常微分方程主要内容复习

将上述变换代入欧拉方程，则可化为以t为自变量的 常系数线性微分方程，求出该方程的解后，把t换为 ln x ，即得欧拉方程的解。

/ 0 时，方程(1) 称为二阶线性齐次微分方程，当 f ( x) 称为二阶线性非齐次微分方程. 当系数P(x)、Q(x)分别为常数p、q时，则称方程
y'' py' qy 0
(3)
(4)
为二阶常系数线性齐次微分方程，称方程 / 为二阶常系数线性非齐次微分方程.
y'' py' qy f ( x) ( f ( x) 0)
一、二阶常系数线性微分方程
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二、 常系数线性齐次微分方程解的结构
三、 二阶常系数线性齐次微分方程的解法
(1) 的方程，称为二阶线性微分方程.当 f ( x) 0 时，
方程(1)成为
y'' P( x) y' Q( x) y 0 (2)
形如 y'' P( x) y' Q( x) y f ( x)
的实部
欧拉方程
形如 xn y(n) p1xn1 y( n1) pn1xy pn y f (x) 的方程称为欧拉方程，其中 p1 , p2 , pn 为常数。 欧拉方程的特点是：方程中各项未知函数导数的 阶数与其乘积因子自变量的幂次相同。 t 解法：作变量替换 x e 或t ln x, 将自变量x换成t， 则有 dy dy dt 1 dy d 2 y 1 d 2 y dy
不可合并而使个数减少的)任意常数的个数与微分
方程的阶数相同，这样的解为微分方程的通解. 不包含任意常数的解为微分方程特解.
可分离变量的微分方程
1．定义 形如
dy f x g y dx (1)
的方程称为可分离变量的方程. 特点 -- 等式右端可以分解成两个函数之积， 其中一个只是x的函数，另一个只是y的函数 2 ．解法 :
如果Q( x) 0，即
为一阶线性齐次方程.
dy P( x) y 0 dx
(2)
一阶线性非齐次微分方程的求解步骤如下: dy P( x) y 0 (2) 的通解： 1.先求 dx dy P( x)dx 分离变量后得 y
任意常数写成ln C的形式，得 ln y P( x)dx ln C，
dy f ( x, y ) dx
y y ux 由 u ，得 x

两端求导，得
dy du ux dx dx
ux du (u ) dx

代入方程中，得
这是变量可分离的微分方程．分离变量并积分， du dx 得
y （3）求出积分后，再以 u 代回，便得到所 x
(u) u
y C1 y1 ( x) C2 y2 ( x) (C1, C2为任意常数)
就是方程(3)的通解.
求二阶常系数齐次线性微分方程(3)的通解步骤： 1.写出特征方程，并求出特征方程的两个根； 2 .根据两个特征根的不同情况，按照公式(6)、(7)或(8)写出 微分方程的通解.可使用下表:
特征方程: r 2 pr q 0 的两个根r1,r2 两个不相等的实根 两个相等的实根 r1 r2 一对共轭复根
化简后，方程(2)的通解为
y Ce
P ( x )dx
，
(3)
其中C为任意常数.
2.利用“常数变易法”求线性非齐次方程(1)的通解： P ( x )dx ， (4) 设 y C ( x )e 是方程(1)的解，其中C(x)为待定常数, 将(4)式求其对x的导数，得
P ( x )dx P ( x )dx dy C' ( x)e P( x)C ( x)e ， dx 代入方程(1)中，得
微分方程的基本概念
含未知函数的导数(或微分)的方程称为微分方程； 未知函数是一元函数的微分方程，称为常微分方程; 未知函数是多元函数的微分方程，称为偏微分方程； 微分方程中未知函数的导数的最高阶数，称为微分 方程的阶.
微分方程的解、通解与特解 能使微分方程成为恒等式的函数，称为微分方程 的解. 如果微分方程的解中含任意常数,且独立的(即
微分方程:
y'' py' qy 0
1 2
的通解
r1 r2
y C1e r x C2 e r x y (C1 C2 x)e
r1 x
y ex (C1 cos x C2 sin x)
r1 , 2 i ( 0)
二阶常系数非齐次线形微分方程

二阶常系数非齐次线形微分方程的一般形式为：
y py qy f ( x)
当 f ( x) pm ( x)e x 时，二阶常系数非齐次线形 微分方程具有形如 y* xk Qm ( x)e x 的特解，其中 Qm ( x) 是与 P 同次（m m ( x) 次）的多项式，而k按 是不是特征方程的根、 是特征方程的单根或是特征方程的重根依次取0、 1或2。
x
求齐次方程的通解
一阶线性微分方程
形如
dy P( x) y Q( x) dx
(1)
的方程称为一阶线性微分方程，其中P(x)，Q(x)是连 dy 续函数，且方程关于y及 dx 是一次的，Q(x)是自由项. 如果Q( x) 0，则称
dy P( x) y Q( x) dx
为一阶线性非齐次方程，

dt dx x dt dx x dt dt d3y 1 d3y d2y dy 同理，有 3 3 ( 3 3 2 2 )， dx x dt dt dt
dx


,
2

2
(
2

)，
如果采用记号D表示对自变量t的求导运算 则上述结果可以写为 2

d dt
xy Dy, x y D ( D 1 ）y , x3 y D( D 1 ） ( D 2）y, x k y ( k ) D( D 1 ） (D k 1 ）y。
(5)
其中C为任意常数.
把(5)式代入(4)式中，即得方程(1)的通解为
ye
P ( x )dx
通过把对应的线性齐次方程的通解中的任意 常数变易为待定函数，然后求出线性非齐次方程 的通解，这种方法称为常数变易法.
P ( x )dx ( Q( x)e dx C ).
(6)
二阶常系数线性微分方程
C' ( x)e
P ( x )dx
P( x)C ( x)e
P ( x )dx
P( x)C ( x)e
P ( x )dx
Q( x)，
化简后，得 P ( x ) dx C' ( x) Q( x)e ， 将上式积分，得
P ( x ) dx C ( x) Q( x)e dx C，

当
f ( x) Pm ( x)e x cos x
或
f ( x) Pm ( x)e x sin x
时，
由欧拉公式知道， x P ( x ) e cos x m 分别是
和
Pm ( x)e x sin x
( i ) x x 和虚部。 Pm ( x)e Pm (x)e (cos x i sin x) 而方程 具有形如 ( i ) x y py qy P ( x ) e (9) m 的特解，其中 是与 * k ( i ) x P Q ( x是不是特征 ) y x Q ( x ) e m ( x) 同次（m m 次）的多项式，而k按 m 方程的根、是特征方程的单根依次取 0或1。 方程 和 x x y py qy P ( x ) e sin x m y py qy P ( x ) e cos x m 9）式的特解的实部和虚部。 的特解分别是（
分离变量得 1 dy f x dx g y
g y 0
两端积分得通解:
g y dy f x dx
1
齐次方程
y y 如果一阶微分方程 可以化成 d dx x 的形式，则称此方程为齐次微分方程． 这类方程的求解分三步进行： dy y （1）将原方程化为方程 dx 的形式． x y （2）作变量代换 u x u 仍是 x 的函数）， 以 u 为新的未知函数（注意， 就可以把齐次微分方程化为可分离变量的微分方 程来求解．
一、二阶常系数线性齐次微分方程解的性质与通解结构
定理 设y1(x)， y2(x)是二阶常系数线性齐次微分方程 (3)的两个解，则 y C1 y1 ( x) C2 y2 ( x) 也是方程(3)的
解，其中C1, C2是任意常数.
定理 如果函数y1(x) 与y2(x)是二阶常系数线性齐次微
分方程(3)的两个线性无关的特解，则