二元一次方程组学案(全章精编)
第8章 二元一次方程组学案
课题：8.1 二元一次方程组【学习目标】1．知道二元一次方程、二元一次方程组的概念，会判断二元一次方程及二元一次方程组； 2．知道二元一次方程（组）的解的意义，并会检验一组数是不是某个二元一次方程(组)的解．【活动方案】情境引入：复习一元一次方程你能用以下方案解决——古老的“鸡兔同笼问题”吗？今有鸡兔同笼，上有9个头，下有32只脚，问鸡兔各有多少只？ 方案一：算术方法方案二：列一元一次方程方案三：设有x 只鸡，y 只兔，依题意可得什么样的方程? 活动一：认识二元一次方程、二元一次方程组.1．阅读课本93P .在课本上画出．．什么是二元一次方程、二元一次方程组，并在关键词下做记．．号．. 2．请写出3个二元一次方程，1个二元一次方程组.3．下列各式：①y x +2； ②04=-y x ；③7=+t s ；④224x y +=；⑤35x y x z +=⎧⎨-=⎩；⑥⎪⎩⎪⎨⎧=-=+221453n m n m 其中是二元一次方程的有 ，是二元一次方程组的有 ．（填序号）思考：判断二元一次方程、二元一次方程组的关键是什么？活动二：探索二元一次方程、二元一次方程组的解.1.（1）满足方程9=+y x 且符合实际意义．．．．．．的x 、y 的值有哪些？请填入表中. xy（2）上表中哪对x 、y 的值还满足方程245x y -=？（3）二元一次方程组9245x y x y +=⎧⎨-=⎩的解为 .2．类比一元一次方程的解的意义，尝试说出二元一次方程的解及二元一次方程组的解的意义．3．请写出方程152=+y x 的其中两组解．4．下列数值①⎩⎨⎧==02y x ； ②⎩⎨⎧=-=02y x ；③⎩⎨⎧==40y x ；④⎪⎩⎪⎨⎧==211y x ．其中是二元一次方程22=+y x 的解有 ．（填序号）5．二元一次方程组⎩⎨⎧=+=-723134y x y x 的解是（ ）A.⎩⎨⎧=-=31y xB.⎩⎨⎧-=-=31y x C.⎩⎨⎧-==13y x D.⎩⎨⎧-=-=13y x思考：如何检验一组数值是二元一次方程或二元一次方程组的解？课堂小结：本节课学习了哪些内容？有哪些收获？【检测反馈】（总分50分）1．下列方程中，是二元一次方程的是（ ）A.532=-b aB.101=+xC.10222=+y x D.322=+x x2．下列方程组： ①⎩⎨⎧=-=+320y x y x ； ②235312x y x z +=⎧⎨-=⎩； ③2338x y xy -=⎧⎨=⎩； ④⎩⎨⎧-=+=+422b a b a ．其中是二元一次方程组的有 ．（填序号）3．下列数值①⎩⎨⎧==22y x ；②⎩⎨⎧==01y x ；③⎩⎨⎧=-=21y x ；④⎩⎨⎧==23y x ．其中是二元一次方程22=-y x 的解有 ，是二元一次方程组⎩⎨⎧=+=-122y x y x 的解有 ．4．请猜出二元一次方程组⎩⎨⎧=-=+210y x y x 的解．课题：§8．2消元---二元一次方程组的解法（第1课时）【学习目标】1．会用代入消元法解二元一次方程组；2．初步体会解二元一次方程组的基本思想――“消元”．【活动方案】活动一认识代入消元法，体会消元思想1．首先阅读课本P96-97例1.2．思考下列问题.篮球联赛中，每场比赛都要分出胜负，每队胜一场得2分，负一场得1分，某队为了争取较好的名次，想在全部22场比赛中得到40分，那么这个队胜负场数分别是多少？⑴在这个问题中，直接设两个未知数（设胜x场，负y场），得方程组22, 240. x yx y+=⎧⎨+=⎩如果只设一个未知数（设胜场x场），这个问题也可以用一元一次方程：____________________________来解．⑵观察上面的二元一次方程组和一元一次方程有什么关系？⑶解二元一次方程组的基本思想是什么？⑷通过小组讨论、合作与交流，你知道代入消元法的具体步骤吗？⑸你认为代入法解二元一次方程组的过程中需要注意的是什么？3．用代入法解方程组21, 54 2.x yx y-=⎧⎨-=-⎩思考：你能总结用代入法解方程的一般步骤吗？活动二用代入消元法解二元一次方程1.把下列方程写成用含x的式子表示y形式：①②①②⑴23;x y -= ⑵310.x y +-=2. 用代入法解下列方程组：⑴23,328;y x x y =-⎧⎨+=⎩ ⑵25,34 2.x y x y -=⎧⎨+=⎩完成后在小组内交流展示课堂小结：这节课你学到了哪些知识与方法？运用这些知识与方法过程中应注意什么？【检测反馈】1.解二元一次方程组的基本思想是_________，即将“二元一次方程组”转化为“一元一次方程”．1． 在二元一次方程组中，由一个方程，将一个未知数用含另一未知数的式子表示出来，再代入另一方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解．这种方法叫做___________，简称_________ ． 2． 已知3212x y +=，用含x 的式子表示y ，得y ＝_________________． 3． 用代入法解下列方程组： ⑴3,759;y x x y =+⎧⎨+=⎩ ⑵35,5215.s t s t -=⎧⎨+=⎩课题：§8．2消元---二元一次方程组的解法（第2课时）【学习目标】1．能熟练地用代入法解二元一次方程组．2．会列二元一次方程组解简单的应用题．【活动方案】活动一感受二元一次方程组的实际应用（先自学课本P97例2，然后独立完成）根据市场调查，某种消毒液的大瓶装（500g）和小瓶装（250g）两种产品的销售数量比（按瓶计算）为2:5．某厂每天生产这种消毒液22．5吨，这些消毒液应该分装大、小瓶装两种产品各多少瓶？⑴问题中包含的两个条件是：⑵如果设这些消毒液应该分装x大瓶和y小瓶，可列方程组：⑶解这个方程组：⑷解方程组的过程可以用框图表示为：⑸思考解这个方程组时，可以先消去x吗？试试看．活动二列方程组解应用题1.有48支队520名运动员参加篮、排球比赛，其中每支篮球队10人，每支排球队12人，每名运动员只参加一项比赛．篮、排球队各有多少支参赛？2.张翔从学校出发骑自行车去县城，中途因道路施工步行一段路，1．5小时后到达县城．他骑自行车的平均速度是15千米/时，步行的平均速度是5千米/时，路程全长20千米．他骑车与步行各用多少时间？独立完成后，在小组内交流课堂小结这节课你学到了什么？【检测反馈】1.用代入法解下列方程组：⑴4,42 1. x yx y-=⎧⎨+=-⎩⑵()()41312,2.23x y yx y--=--⎧⎪⎨+=⎪⎩2.某班去看演出，甲种票每张24元，乙种票每张18元．如果35名同学购票恰好用去750元，甲乙两种票各买了多少张？选做题：甲、乙两人同解方程组232ax bycx y+=⎧⎨-=-⎩，甲正确解得11xy=⎧⎨=-⎩，乙因抄错c，解得26xy=⎧⎨=-⎩，求a、b、c的值．课题：§8．2消元---二元一次方程组的解法（第3课时）【学习目标】1. 进一步认识消元思想，会用加减法解二元一次方程组．2. 培养观察、思考、归纳及解决问题的能力 【活动方案】活动一 认识加减消元法，体会消元思想 1. 用代入法解方程组22,240.x y x y +=⎧⎨+=⎩2.观察并思考：⑴这个方程组的两个方程中，y 的系数有什么关系？利用这种关系你能发现新的消元方法吗？⑵ 方程①－②与②－①都可以吗？哪一个更简便？3.联系上面的解法，怎样解方程组410 3.6,15108.x y x y +=⎧⎨-=⎩4.思考：通过以上探究，在什么情况下用加法？什么情况下用减法？活动二 用加减消元法解二元一次方程组① ②①②1.用加减法解方程组3416, 5633. x yx y+=⎧⎨-=⎩2.思考：（1）直接加减这两个方程能消元吗？（2）怎样才能使某个未知数的系数相反或相等？（3）求出这个方程组的解．（4）什么是加减消元法？用“加减法”解二元一次方程组的步骤是什么？小结：这节课你学到了什么知识？用加减法解二元一次方程组的步骤是什么？还有什么收获或经验？【检测反馈】1．已知二元一次方程组27,28.x yx y+=⎧⎨+=⎩则x y-的值是（）A．1B．0C．－1D．2 2．用加减法解方程组⑴785, 74; x yx y+=-⎧⎨-=⎩⑵236,32 2.x yx y+=⎧⎨-=-⎩（3）29,321;x yx y+=⎧⎨-=-⎩（4）5225,3415.x yx y+=⎧⎨+=⎩①②①②课题：§8．2消元---二元一次方程组的解法（第4课时）【学习目标】1．进一步体会消元思想，会用加减法解二元一次方程组；2．能列二元一次方程组解简单的应用题．【活动方案】活动一感受二元一次方程组的实际应用（先自学书本P101例4，然后独立完成）2台大收割机和5台小收割机工作2小时收割小麦3．6公顷，3台大收割机和2台小收割机工作5小时收割小麦8公顷，1台大收割机和1台小收割机1小时各收割小麦多少公顷？⑴如果1台大收割机和1台小收割机1小时各收割小麦x公顷和y公顷，那么2台大收割机和5台小收割机工作1小时收割小麦_________________ 公顷，3台大收割机和2台小收割机工作1小时收割小麦___________________公顷．⑵根据⑴，进一步考虑两种情况下的工作量，你能列出方程组吗？⑶求出所列方程组的解，并写出答案(4)列二元一次方程组解应用题的基本步骤：活动二列二元一次方程组解简单的应用题（先独立完成，再小组展示）1．一条船顺流航行，每小时行20km；逆流航行，每小时行16km．求轮船在靜水中的速度与水的流速．2．运输360吨化肥，装载了6节火车皮与15辆汽车；运输440吨化肥，装载了8节火车皮与10辆汽车．每节火车皮与每辆汽车平均各装多少吨化肥？课堂小结：通过本节课的学习，你有哪些收获？【检测反馈】1.解方程组253, 4 3. x yx y-=-⎧⎨-+=-⎩2.甲乙二人相距6km，二人同时出发相向而行，1小时相遇；同时出发同向而行，甲3小时可追上乙．二人的平均速度各是多少？3.一种蜂王精有大小盒两种包装，3大盒4小盒共装108瓶，2大盒3小盒共装76瓶．大盒与小盒每盒各装多少瓶？课题8．2消元——二元一次方程组的解法（第5课时）【学习目标】1．进一步体会消元思想，熟练地解二元一次方程组；2．能根据方程组的未知数的系数特征，灵活运用代入法或加减法解方程组；3．体会整体思想，能选择合适的方法解题．【活动方案】活动一基础知识复习（自主完成，组内评价）1．解二元一次方程组的基本思想是_________，即将“二元一次方程组”转化为“一元一次方程”．2．在二元一次方程组中，由一个方程，将一个未知数用含另一未知数的式子表示出来，再代入另一方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解．这种方法叫做___________，简称_________ ．3．两个二元一次方程中同一未知数的系数相反或相等时，将两个方程的两边相加或相减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程．这种方法叫做_______________，简称___________．4．用适合的方法解方程组（1）（2）小组交流：方程组满足什么特征时，用代入法解较简便？方程组满足什么特征时，用加减法解较简便？活动二灵活运用代入法或加减法解方程组，体会整体思想（独立完成下列问题，然后组内交流，说说你的思路，看谁的方法简捷）1.已知27,28x yx y+=⎧⎨+=⎩那么x y-值是( )A．1 B．0 C．－1D．2 变式：上题中x y+＝___________．2.解方程组⑴23(2)1,2 3.a a ba b-+=⎧⎨+=⎩课堂小结：通过本节课的学习，你有哪些收获？【检测反馈】1、解方程组（1）（2）342、列方程组解应用题今有鸡兔同笼，上有35个头，下有94只脚，问鸡兔各有多少只？3、已知方程组43,32 2.x yx y+=⎧⎨+=⎩则x -y=______课题:§8．3实际问题与二元一次方程组（第1课时）【学习目标】1．会借助二元一次方程组解决简单的实际问题，再次体会二元一次方程组与现实生活的联系和作用2．通过应用题学习进一步使用代数中的方程去反映现实世界中等量关系，体会代数方法的优越性3．体会列方程组比列一元一次方程容易【活动方案】活动一再探二元一次方程组解决实际问题（先自学书本P105探究1，然后独立完成，列出方程组，得出问题的解答，然后再互相交流与评价）养牛场原有30只大牛和15只小牛，1天约用饲料675kg；一周后又购进12只大牛和5只小牛，这时1天约用饲料940kg．饲养员李大叔估计每只大牛1天约需饲料18~20kg，每只小牛1天约需饲料7~8kg．你能否通过计算检验他的估计？1. 思考：⑴题中有哪些已知量？哪些未知量？⑵解决问题需要知道什么？⑶题中等量关系有哪些？2. 完成解题过程：小组交流：用二元一次方程组解决实际问题的一般步骤活动二列方程组解应用题1．有大小两种货车，2辆大车与3辆小车一次可以运货15．5吨，5辆大车与6辆小车一次可以运货35吨．求3辆大车与5辆小车一次可以运货多少吨？课堂小结：通过本节课的学习，你有哪些收获？【检测反馈】1．鸡兔同笼，共有12个头，36只腿，则笼中有只鸡，只兔；2．甲、乙两数之和是42，甲数的3倍等于乙数的4倍，求甲、乙两数各是多少？若设甲数为x，乙数为y，依题意可列方程组3．小华买了10分与20分的邮票共16枚，花了2元5角，求10分与20分的邮票各买了多少枚？4．长18米的钢材，要锯成10段，而每段的长只能取“1米或2米”两种型号之一，小明估计2米的有3段，你们认为他估计的是否正确？为什么呢？那2米和1米的各应多少段？课题:§8．3实际问题与二元一次方程组（第2课时）【学习目标】1．学会探索事物间的数量关系，通过方程(组)这个数学模型解决简单的实际问题。
第八章《二元一次方程组》8.1-8.2复习 导学案
第八章《二元一次方程组》8.1-8.2复习 导学案【学习目标】1、进一步认识二元一次方程，了解它的解，会求二元一次方程的正整数解；2、进一步认识二元一次方程组的概念，了解它的解,会解简单的二元一次方程组；3、通过独立思考，合作探究，进一步体会解二元一次方程组的消元转化的数学思想；4、激情投入，全力以赴，养成严谨、规范的数学思维习惯。
【重点】会用两种方法解简单的二元一次方程组【难点】能根据方程组的特点选择合适的方法解方程组【使用方法与学法指导】1、先精读一遍教材P87--98页，用红笔进行勾画；再针对预习案二次阅读教材，并回答问题，时间不超过15分钟；2、找出自己的疑惑和需要讨论的问题，随时记录在课本或导学案上，准备课上讨论质疑；3、预习后，A 层同学结合探究案进行探究、拓展提升，B 层力争完成探究点的研究，C 层同学力争完成例1、例2、例3，拓展提升选做。
预 习 案一、预习自学1、每个方程都含有 未知数（x 和y ），并且未含有末知数的项的 都是1，像这样的方程叫做二元一次方程. （P88）如：________________________2、一般地，使二元一次方程_______________________的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解.（P89）如：_________________________________3、把两个二元一次方程___________，就组成了一个二元一次方程组. 这个方程组中有________个未知数，含有每个末知数的项的次数都是____次,并且一共有____个方程。
（P88）如：_____________________________4、一般地，二元一次方程组的两个方程的 叫做二元一次方程组的解。
(P89）如:_________________________5、解二元一次方程组的基本思想是 ____________（P91）把二元一次方程组中一个方程的一个未知数用含 的式子表示出来，再 另一个方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解，这种方法叫做代入消元法,简称__________。
数学七年级下册苏教版第十章《二元一次方程组》全章教案
第十章二元一次方程组10.1 二元一次方程（一课时）一、教学目标：1、经历分析实际问题中数量关系的过程，进一步体会方程是刻画现实世界的有效数学模型。
2、了解二元一次方程的概念，并会判断一组数据是否是某个二元一次方程的解。
3、培养学生主动探索、敢于实践、勇于发现、合作交流的精神。
二、教学重难点：重点:二元一次方程的认识。
难点：探求二元一次方程的解。
三、教学方法：引导探索法，讲练结合，探索交流。
四、教学过程：（一）创设情境，感悟新知情境一根据篮球的比赛规则，赢一场得2分，输一场得1分，在某次中学生比赛中，一支球队赛了若干场后积20分，问该队赢了多少场？输了多少场？情境二某球员在一场篮球比赛中共得了35分（其中罚球得10分），问他分别投中了多少个两分球？多少个三分球？情境三小亮在“智力快车”竞赛中回答10个问题，小亮能答对几题、答错几题？（学生自己先思考5分钟后，再讨论。
最后由4个人一小组中的一位同学说出讨论结果.）（二）探索活动，揭示新知1、如果设该队赢了x场，输了y场，那么可得方程：（）2、你能列出所有输赢的所有可能情况吗？3、如果设投中了（）个两分球，（）个三分球，根据题意可列方程：（）4、请你设计一个表格，列出这名球员投中两分球和三分球的各种情况，根据你所列的表格回答下列问题：（1）这名球员最多投中了（）个三分球（2）这名球员最多投中了（）个球（3）如果这名球员投中了10个球，那么他投中了（）个三分球，（）个两分球列出上面三小题的方程：（1）设该队赢了x场,输了y场，2x+y=20（2）设赢了x场，输了y场，2x+3y=35-10（3）设答对x题，答错y题，x+y=10观察方程：（1）这三个方程有哪些共同的特点？（2）你能根据这些特点给它们起一个名称吗？引导学生和以前学过的一元一次方程相联系，观察方程中有几个未知数，未知数的次数是几次？含有未知数的项的次数是几次？得出结论：像这含有两个未知数，并且所含有未知数的项的次数都是1的方程叫做二元一次方程。
二元一次方程(组)全章导学案
鸡西市第十九中学学案鸡西市第十九中学学案二元一次方程解法预备习题班级_______ 姓名________ 得分________已知二元一次方程 3x +y =10.（1）用关于x 的代数式表示y . （2）用关于y 的代数式表示x .已知二元一次方程 3x +2y=10.（1）用关于x 的代数式表示y . （2）用关于y 的代数式表示x .把下列方程改写成用含x 的代数式表示y 的形式：（1）5x -y =3； （2）2（x -y ）=3；（3）-2x +5y=1； （4）（2x -y ）-3（x -2y ）=12．把下列方程改写成用含y 的代数式表示x 的形式：（1）5x -y =3； （2）2（x -y ）=3；（3）-2x +5y=1； （4）（2x -y ）-3（x -2y ）=12． 鸡西市第十九中学学案代入消元法习题班级_______ 姓名________ 得分________用代入法解方程组。
2x – y = 5 ① 3x +4y =2 ②（小窍门：方程①中 的系数是1，用含x 的式子表示y ，比较简便。
） 解：用代入法解下列方程组⎩⎨⎧=+-=82332y x x y ⎩⎨⎧=++=9573y x x y⎩⎨⎧=+=-152553t s t s ⎩⎨⎧=-=+33651643y x y x⎩⎨⎧-=+-=+1)(258y x x y x ⎩⎨⎧=-=+34532y x y x⎩⎨⎧=-+=-0133553y x y x ⎩⎨⎧-=+-=+1)(258y x x y x238355x y x y +=⎧⎨-=⎩ 2728x y x y +=⎧⎨+=⎩325,1;x y y x +=⎧⎨=-⎩23321y x x y =-⎧⎨+=⎩35,5223;x y x y -=⎧⎨+=⎩ ⎩⎨⎧-=+=-14329m n n m1．已知方程组4,2ax by ax by -=⎧⎨+=⎩的解为2,1,x y =⎧⎨=⎩，则2a-3b 的值为多少？2．如果方程组326,322x y x y +=⎧⎨-=⎩的解也是方程4x+2a+y=0的解，则a 的值是（ ）3．关于x ，y 的方程组3,521x y m x y m -=⎧⎨+=+⎩的解是否是方程2x+3y=1的解？为什么？4．已知方程组23,28x y x ky -=⎧⎨+=⎩的解x 和y 的值相等，求k 的值．鸡西市第十九中学学案鸡西市第十九中学学案加减消元法习题班级_______ 姓名________ 得分________用代入法解方程组。
人教版七年级下册数学《二元一次方程组》全章学案
课题：8.1二元一次方程组课型：新授课时：1课时主备人：初一备课组学习目标1、使学生了解二元一次方程的概念，能把二元一次方程化为用一个未知数的代数式表示另一个未知数的形式，能举例说明二元一次方程及其中的已知数和未知数；2、使学生理解二元一次方程组和它的解等概念，会检验一对数值是不是某个二元一次方程组的解。
学习重点1、二元一次方程（组）的含义；2、用一个未知数表示另一个未知数。
学习难点检验一对数是否是某个二元一次方程（组）的解；篮球联赛中，每场比赛都要分出胜负，每队胜1场得2分，负1场得1分。
某队为了争取较好名次想在全部22场比赛中得到40分，那么这个队胜负场数应分别是多少？一、自主学习：二元一次方程概念1、我们来看一个问题：引言（课本P87问题）以上问题包含了哪些必须同时满足的条件?设胜的场数是x，负的场数是y，你能用方程把这些条件表示出来吗?______场数＋______场数＝总场数； ______积分＋______积分＝总积分，这两个条件可以用方程x＋y=10，2x＋y=16 表示。
观察：这两个方程有什么特点?与一元一次方程有什么不同?归纳：①定义___________________________________________________叫做二元一次方程②定义___________________________________________________叫做二元一次方程组二元一次方程的左边和右边都应是式二.合作探究：什么是二元一次方程组和它的解1.填表：对10 (1)216 (2)x yx y⎧+=⎨+=⎩，进行探究，的解。
②？二元一次方程组的解________________________________________练习：1.方程3x ＋2y ＝6，有______个未知数，且未知数所在项都是___次，因此这个方程是_____元_____次方程。
2.下列式子①3x+2y-1；②2(2-x)+3y+5=0；③3x-4y=z ；④x+xy=1；⑤y ²+3y=5x ；⑥4x-y=0；⑦2x-3y+1=2x+5；⑧1x +1y =7中；是二元一次方程的有_________（填序号） 3.若x ²m-1+5y 3n-2m =7是二元一次方程，则m=______，n=_______。
第五章二元一次方程组教案
教师学生 时间和时段2013年 月 日（ ：00 — ：00）学科 数学 年级八年级教材名称 北师大版 授课题目二元一次方程组课 次第（ ）次课专题一：二元一次方程组知识点：一、用代入消元法解二元一次方程组的步骤：1.从方程组中选取一个系数比较简单的方程，把其中的某一个未知数用含另一个未 知数的式子表示出来2.把（1）中所得的方程代入另一个方程，消去一个未知数3.解所得到的一元一次方程，求得一个未知数的值4.把所求得的一个未知 数的 值代入（1）中 求 得 的方程，求出另一个未知 数 的 值，从而确定方程组的解 二、用加减法解二元一次方程组的一般步骤1.在所解的方程组中的两个方程，如果某个未知数的系数互为相反数，可以把这两个方程的两边分别相加，消去这个未知数；如果未知数的系数相等可以直接把两个方程的两边相减，消去这个未知数2.如果方程组中不存在某个未知数的系数绝对值相等，那么应选出一组系数(选最小公倍数较小的一组系数),求出它们的最小公倍数(如果一个系数是另一个系数的整数倍,该系数即为最小公倍数),然后将原方程组变形,使新方程组的这组系数的绝对值相等(都等于原系数的最小公倍数),再加减消元3.对于较复杂的二元一次方程组,应先化简(去分母,去括号,合并同类项等),通常要把每个方程整理成含未知数的项在方程的左边,常数项在方程的右边的形式,再作如上加减消元的考虑 练习题：1、如果方程组⎩⎨⎧=-+=525y x y x 的解是方程2x-3y+a=5的解，那么a 的值是（ ）A 、20B 、-15C 、-10D 、52、以一元二次方程组｛213x y y x-==的解为横、纵坐标的点P （x ，y ）在（ ）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限 3、已知方程组｛03mx y x ny +=+=的解是｛12x y ==-，则2m n += 。
4、直线y=2x-4和直线y=-3x+1交于一点（1，-2），则方程组｛2431x y x y -=+=的解是（ ）A.｛01x y == B.｛02x y ==- C.｛12x y ==- D.｛20x y ==5、方程组⎨⎧=--03y x 的解是⎨⎧-=1x 这表明一次函数y=x-3与y=3x-1的图象交点坐标为___________-6、若方程组⎩⎨⎧=-+=+3)1(134y k kx y x 的解x 和y 的值相等，则k=7、 ｛653615x y x y -=+=- ⎩⎨⎧+=+=+4131332y x y x()()⎪⎩⎪⎨⎧=--+=-++254632y x y x yx y x8、关于x ，y 的方程组：⎩⎨⎧-=+-=+4652by ax y x ，⎩⎨⎧-=+=-81653ay bx y x 的解相同，求a ，b 的值。
二元一次方程组教案3 篇
二元一次方程组教案3 篇一、学习内容分析：执教者钱嘉颖时间XXXX年6月12日1、选自初一年级(下)数学学科第八章(第一单元)第一节(课)(1课时45分钟)2、教材内容简要分析教材以引言中的一个实际例子，“一班和二班进行篮球比赛，总共打了22场。
每胜一场得2分，每负一场得1分，已知比赛结束一班累计得了40分，思考：一班胜了多少场，负了多少场”来开展这次课程。
以本例来首先回忆已学过的一元一次方程的知识内容，以此作为切入点，引导学生思考用两个未知数来表示方程，借此进入二元一次方程的介绍。
之后，引导学生利用一元一次方程的解法特点来思考二元一次方程组的解答方法，本次课程内容主要介绍了代入解答法(也称消元法)的详细解答过程，以及二元一次方程组的实际运用及解答，让学习者更好的吸收及掌握二元一次方程组和二元一次方程组的消元法。
另外，在本单元结束介绍了作为课外知识的“二元一次方程古代表示方法”。
3、学习内容分析表：知识点重点难点编号内容1二元一次方程组定义及特点二元一次方程组的两个特点二元一次方程组成立的条件(未知数要同时满足两个条件)2二元一次方程组代入消元法代入消元法的具体解法消元法与一元一次方程解法间的联系3二元一次方程组实际运用以实际例题列出方程并解答未知数的假设以及运用已知条件列出正确方程。
二、学习者分析：本次教学的对象是云南省某中学的初中一年级学生，平均年龄12岁。
初一年级是学生由幼稚的童年向青年转化和个性逐渐成型的重要转折点，初一年级学生具有其特殊性。
初一年级学生由于刚刚接触完全不同于小学的学习生活而有手足无措的情况。
而在这个时期的学生生理和心理飞速发展变化，自我意识开始强烈，有了自己的兴趣，独立性增强，感情趋于丰富复杂化，有一定独立思考的能力、一定程度的抽象思维能力和逻辑思维能力，处于识记能力最强的时期。
此时，进行的教育可以更加重视独立思考，在数学教学中更加重视引导教学，致使学习者能够更加深刻的理解所学知识，达到教学目标。
第六章二元一次方程和二元一次方程组 教案
第一课时二元一次方程及二元一次方程的解教学目标：1、理解二元一次方程和二元一次方程的解的概念，会解决相关问题；2、会把二元一次方程转化成用含一个未知数的的代数式表示另一个未知数的形式，体会转化思想的应用3、体会数学的应用价值教学重点：1、二元一次方程和它的解的概念2、将二元一次方程变形成汗一个未知数的代数式表示另一个未知数的形式教学难点：将二元一次方程变形成汗一个未知数的代数式表示另一个未知数的形式教学方法：观察法讨论法教学过程：一、问题引入：根据篮球的比赛规则，赢一场得2分，输一场得1分，在某次中学生比赛中，一支球队赛了若干场后积20分，问该队赢了多少场？输了多少场？这可以转化为数学上的问题，设该队赢了x场，输了y场，那么你能说出输赢的所有可能情况吗？x 5 …y 10 …根据以上数据，能列出一些方程吗？二、新授1、观察：前边所列的方程有哪些共同得特点？2、概括：像这含有两个未知数，并且所含有未知数的项的次数都是1的方程叫做二元一次方程。
适合二元一次方程的一对未知数的值称为这个二元一次方程的一个解。
三、知识运用例1 甲种物品每个4kg，乙种物品每个7kg.现有甲种物品x个，乙种物品y个，共76kg .(1) 列出关于x、y的二元一次方程;(2) 如果x=12，求y的值；(3) 请将关于x、y的二元一次方程写成用含x的代数式表示y的形式例2 写出一个二元一次方程，使x=-1 ,y=3为它的一个解，该二元一次方程可以是_______________四、巩固练习（1）判断下列方程哪些是二元一次方程，哪些不是？① 6x+3y=4z ②7xy+y =9 ③2x+y+1 ④ 2（x+y）= 8-x（2）把下列方程写成用含x的代数式表示y的形式① 2x+y=10 ② x+y=20 ③2x+3y=12五、当堂反馈1、方程mx－2y=x+5是二元一次方程时，m的取值为（）A、m≠0B、m≠1C、m≠－1D、m≠22、下列各组数，既是方程2x-y=3的解，同时又是方程3x+4y=10的解的是( )A x=1B x=2C x=4D x=-2y=-1 y=1 y=5y=43、已知 x=2 是方程2x+ay=5的解，则a=_______y=14、二元一次方程2x+y = 5中，当x=2时，y= ;第一课时二元一次方程组教案一、学习内容：教材P 93——94内容二、教学目标：1、认识二元一次方程组；2、了解二元一次方程组的解，会求二元一次方程的正整数解.教学重点：二元一次方程组的解的概念，教学难点：求二元一次方程组的正整数解三：教学过程：一、自学探究1、例题：篮球联赛中，每场比赛都要分出胜负，每队胜一场得2分.负一场得1分，某队为了争取较好的名次，想在全部22场比赛中得到40分，那么这个队胜负场数分别是多少？思考：这个问题中包含了哪些必须同时满足的条件？设胜的场数是x，负的场数是y，你能用方程把这些条件表示出来吗？由问题知道，题中包含两个必须同时满足的条件：胜的场数＋负的场数＝总场数，胜场积分＋负场积分＝总积分.观察上面两个方程可看出，每个方程都含有___ 个未知数（x和y），并且未知数的______ 都是1，像这样的方程叫做二元一次方程. （P 93）把两个方程合在一起，写成x＋y＝22 ①2x＋y＝40 ②像这样，把两个二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组. （P 94）2、探究讨论：满足方程①，且符合问题的实际意义的x、y的值有哪些？把它们填入表中.一般地，使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解. 思考：上表中哪对x、y的值还满足方程②x=18y=4既满足方程①，又满足方程②，也就是说它们是方程①与方程②的公共解。
人教版数学七年级下 第8章 二元一次方程组全章复习 教案
教案术”是《九章算术》最高的数学成就. 其中记载: “今有牛五、羊二，直金十两；牛二、羊五，直金 八两. 问牛、羊各直金几何？”设未知数、列方程组是本章中用数学模型表示和解决实际问题的关键步骤。
如何建立方程解决问题，提高分析问题和解决问题的能力需要同学们在学习中体会、反思和总结。
例：从甲地到乙地有一段上坡与一段平路，如果保持上坡每小时走3km,平路每小时走4km,下坡每小时走5km,那么从甲地到乙地需54min,从乙地到甲地需42min.甲地到乙地全程是多少？画出图形辅助理解题意、画出表格梳理关系，这些都可以帮助我们顺利的找出等量关系、设未知数、列方程组. 探究：已知123,,.....n x x x x 中每一个数值只能取－2、 0、1中的一个,且满足123.....-19n x x x x +++=2222123......47,n x x x x ++++=。
求3333123......n x x x x ++++除了要求的未知量还存在隐含的未知量，寻找等量关系，找到隐含未知量是关键,也是一个考验。
探究：如图1是四个完全一样的直角三角形拼成的图形，将这四个直角三角形分别拼成如图2，图3所示的正方形，则图1中图形的面积为______.发现面积与对角线一半的两条线段长有关，这两个未知量在两个图中满足两个等量关系，设两个未知数列两个方学应用的价值, 提高分析问题、解决问题的能力.在不断学习中去体会和总结其中建模的思想..模型思想是重要的数学思想.设未知数、列方程组是这一章中用数学模型解决实际问题的关键, 需要在不断运用中去加深理解。
分析其中的等量关系是设未知数、列方程组的基础。
建立方程的关键是把已知量和未知量联系起来，找出题目中的等量关系. 借助图形表格式子帮助分析、找出等量关系.含有多个未知量的图3图2图115它们解决问题的过程一样，都是建模的过程.一般地,问题有几个等量关系就可以列出几个方程.随着实际问题中未知量的增多和数量关系的复杂，列方程组将会更加直接. 灵活的运用合理选择.例题例：求下列方程组的解.3(1)3814x yx y-=⎧⎨-=⎩3+416(2)5633x yx y=⎧⎨-=⎩例:某电脑公司有A型、B型、C型三种型号的电脑，其中A型每台6000元，B型每台4000元，C型每台2500元，某中学现有资金100500元，计划全部用于从这家电脑公司购进36台两种型号的电脑.请你设计几种不同的购买方案，供这个学校选择，并说明理由.探究：已知123,,nx x x x…中每一个数值只能取－2、0、1中的一个,且满足123-19nx x x x+++=…222212347,nx x x x++++=…求3333123nx x x x++++…除了要求的未知量还存在隐含的未知量，寻找等量关系，找到隐含未知量是关键,也是一个考验。
8.1二元一次方程组(教案)
在本次《二元一次方程组》的教学中，我发现了一些值得思考的问题和亮点。首先，学生对二元一次方程组的概念和结构掌握得比较扎实，能够理解并运用代入法和加减消元法解题。然而，在具体操作过程中，部分学生对于如何选择合适的方程进行代入以及如何进行消元还存在一定的困难。
在讲授新课环节，我通过案例分析和实际操作，让学生体会到了二元一次方程组在现实生活中的应用。这一点得到了学生的积极反馈，他们对此表现出浓厚的兴趣。但同时，我也意识到，在今后的教学中，需要更加注重培养学生的逻辑思维能力和问题解决能力。
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“二元一次方程组在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
-在讲解代入法时，以\( \begin{cases} {x+y=5} \\ {2x-y=3}\end{cases}\)为例，强调如何从方程组中选取合适的方程进行代入。
-通过\( \begin{cases} {3x+4y=7} \\ {2x+3y=5}\end{cases}\)讲解加减消元法，让学生掌握消元的步骤和技巧。
-针对实际问题，如“甲乙两地相距120公里，甲车从甲地出发，以每小时40公里的速度向乙地行驶，同时乙车从乙地出发，以每小时30公里的速度向甲地行驶，两车多久后相遇？”，指导学生如何从中提取信息，建立方程组\( \begin{cases} {x+y=120} \\ {4x+3y=0}\end{cases}\)。
二元一次方程(组)全章导学案
鸡西市第十九中学学案例2:已知二元一次方程x+y=10.(1)用关于x的代数式表示y .y=(2)用关于y的代数式表示x .【变式】已知二元一次方程 3x+y=10.（1）用关于x的代数式表示y.（2）用关于y的代数式表示x.(3) 求当x= －2，0，3时,对应的y的值,并写出方程3x＋2y=10的三个解. 例3：如图，等腰三角形ABC， AB＝x，BC＝y，周长为12．（1）列出关于x、y的二元一次方程___________________.（2）求该方程的所有整数解。
【当堂训练】1.下列各对数不是方程2221=+yx的解的是（）A、⎩⎨⎧==15yxB、⎩⎨⎧==15yxC、⎩⎨⎧==15yxD、⎩⎨⎧==15yx2.二元一次方程93=+yx的自然数解的组数是（）A、1组B、2组C、3组D、4组3.已知二元一次方程1173=+yx，用含x的代数式表示y，得=y4.已知方程，是二元一次方程,则a= b=5.如果⎩⎨⎧==13yx是二元一次方程kx+y=7的解,则k=6.方程()()()224125k x k x k y-+++-=，当k取何值时，它是二元一次方程？4321032=+++-ba yx鸡西市第十九中学学案5．如果⎩⎨⎧==2,1y x 是二元一次方程3mx －2y －1＝0的解，则m ＝______．6.二元一次方程组 x+y=2 的解是（ ） x-y=0A x=0B x=2C x=1D x=-1 y=2 y=0 y=1 y=-17.方程3x-4y=10的一组解是（ ）A x=4B x=6C x=0D x=2 y=1 y=2 y=3 y=18. x=2是方程组 2x+y=1 的一个解，则 ｋ=y=-3 ｋx+3y=-29.绥芬河远洋公司一货轮载重是600吨，容积是2400立方米，现有甲乙两种货物待装，甲种货物每吨体积是7立方米，乙种货物每吨体积是2立方米，求怎样装货才能最大限度地利用船的载重和容积。
第八章 二元一次方程组整章讲学稿
8.1 二元一次方程组学习目标：1.弄懂二元一次方程、二元一次方程组和它们的解的含义；2.会检验一对数是不是某个二元一次方程组的解； 学习过程： 问题1:⑴ 小红到邮局寄挂号信，需要邮资3元8角。
小红有票额为6角和8角的邮票若干张，问各需要多少张这两种面额的邮票？ ①这个问题中有几个未知数，能列一元一次方程求解吗？ ②如果设需要票额为6角的邮票x 张，需要票额为8角的邮票y 张，列出方程为： 。
⑵ 在高速公路上，一辆轿车行驶2时的路程比一辆卡车行驶3时的路程还多20千米。
如果设轿车的速度是a 千米/小时，卡车的速度是b 千米/小时，列出方程为： 。
⑶ 已知两个数的和是7，求这两个数？如果设一个数为x ,另一个为y ，那么可列出方程为： 。
观察上述两个方程，归纳特点二元一次方程的定义：含有 个未知数，并且未知数的指数都是 的方程，叫做 方程． 问题2：你能找到两个未知数x,y 的值使方程：x +y =7 成立吗？请你写几个？二元一次方程的解定义：使二元一次方程两边 的两个未知数的 ，叫二元一次方程的一个解，记为⎩⎨⎧==b y ax 由此可知，二元一次方程的解是由两个未知数的值组成。
想想，二元一次方程的解固定吗？ 二元一次方程有 个解例1：已知方程3x +2y =10 ⑴ 用关于x 的代数式表示y （分析：只要把方程3x +2y =10看作未知数是y 的一元一次方程，解关于y 的方程）；⑵ 求当x =-2，0，3时，对应的y 的值练习1⑴ 3x ＋2y ＝6，它有______个未知数，且求知数是___次，因此是_____元______次方程.⑵ 3x =6是____元____次方程，其解x =_____，有______个解，3x ＋2y ＝6，当x =0时，y =_____； 当x =2时，y =_____；当y =5时，x =____；当y = 0.5时， x =_____ . ⑶把下列方程中的y 用x 表示出来：① y －2x =5 ② 3x －4y =8问题3：已知两个数的和是7，且其中一个数是另一数2倍多1，求这两个数？如果设一个数为x ,另一个为y ，那么可列出方程为：二元一次方程组的定义：把具有 的两个二元一次方程合在一起，就组成了一个 ．问题4：有没有这样的两个未知数的值能使两个等式成立？如果有的话，它是什么？二元一次方程组的解的定义：二元一次方程组的两个方程的 叫做二元一次方程组的解． 练习2.1.下列方程组是不是二元一次方程组( )34A 257x y x y +=⎧⎨+=⎩ 264B 257x x y -=⎧⎨+=⎩ 3427x y C x z +=⎧⎨+=⎩4D 257x y x y -=⎧⎨+=⎩ 2.下列各对数值中是二元一次方程⎩⎨⎧-=+=+2222y x y x 的解是（ ）A ⎩⎨⎧==02y x B ⎩⎨⎧=-=22y x C ⎩⎨⎧==10y x D ⎩⎨⎧=-=01y x3. 若方程x 2 m –1 + 5y 3n – 2 = 7是二元一次方程.则m= ， n = 。
二元一次方程组学案(全章精编)
二元一次方程学习目标：1、认识二元一次方程2、了解二元一次方程的解3、会求二元一次方程的正整数解4、列二元一次方程 二、例题解析1、已知方程3x m-2-2y 2n-1=7是二元一次方程，求m 和n 的值．2、已知⎩⎨⎧-==13y x 是方程42-=-y mx 解，求m 的值.3、方程82=+y x 的正整数解补充例题：1、用x 的代数式表示y 的代数式．x －y ＝3 2x=3y 2x=3y+1 2x=4y-1 3x-4y=3 4x+3y=2 2、把方程化为一般形式：X=y-1 2x=3(y-1) 2(x+1)-3(y-1)=5 3x-1=2(y+1)-1三、同步练习：1．已知方程21123m x +-y 2-3n=1是二元一次方程，则m=_____，n=_______2．在（1）5121(2)(3)(4)2346x x x x y y y y ==-==⎧⎧⎧⎧⎨⎨⎨⎨=-=-==⎩⎩⎩⎩中， _______是方程7x-3y=2的解；•________是方程2x+y=8的解；3．若1213x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩是方程4x+9x-15m=0的一组解，则m=_______．4、甲种面包每个2元，乙种面包每个2.5元，现在某人买了x 个甲种面包，y 个乙种面包，共花了30元.（1）列出关于x 、y 的二元一次方程 ; （2）如果5=x ，那么=y .（3）如果乙种面包买了4个，那么甲种面包买了 个.5、二元一次方程x+2y=7的正整数解是______________．6、现有足够的1元、2元的人民币，需要把面值为10元人民币换成零钱，请你设计几种兑换方案．二元一次方程组学习目标：1、认识二元一次方程组；2、了解二元一次方程组的解3、列二元一次方程组 一、教学过程例题：篮球联赛中，每场比赛都要分出胜负，每队胜一场得2分.负一场得1分，某队为了争取较好的名次，想在全部10场比赛中得到16分，那么这个队胜负场数分别是多少？ 解：设胜的场数是x ，负的场数是y由题意得二元一次方程组的解：二、例题：1、已知关于x ，y 的二元一次方程组⎩⎨⎧=+=+23,4y nx my x 的解是⎩⎨⎧-==,3,1y x 求m ＋n 的值．2、 某校师生200人到甲乙两地参观学习，到甲地的人数比到乙地的人数的2倍少4人．到两地的人数各是多少？（列方程组表示，不要求出解） 二、练习：1、已知下列三对值：x ＝－6 x ＝10 x ＝10 y ＝－9 y ＝－6 y ＝－1（1） 哪几对数值使方程21x －y ＝6的左、右两边的值相等？ （2）哪几对数值是方程组的解？ 2、若⎩⎨⎧==2,1y x 是方程组⎩⎨⎧=+=-3,0by x y ax 的解，则a ＝______，b ＝______．3、若｜x －2｜＋(3y ＋2x )2＝0，则yx的值是______． 4、已知y ＝ax ＋b ，当x ＝1时，y ＝1；当x ＝－1时，y ＝0，则a ＝______，b ＝______ 5、若等式0|21|)42(2=-+-y x 中的x 、y 满足方程组⎩⎨⎧=+=+,165,84n y x y mx 求2m 2－n ＋41mn 的值 6、已知⎩⎨⎧-==12y x 是方程组⎩⎨⎧-=-=+4232y nx my x 的解，求m 、n 的值.21x －y ＝6 2x ＋31y ＝－117、根据题意列出方程组：1、某班共有学生42人，男生比女生人数的2倍少6人，问男、女生各有多少人?2、苹果的售价3元/kg，葡萄的售价是4元/kg，，小华共买了苹果和葡萄9kg，付款29元。
七年级下第八章全章教案(全国新人教版)
第八章二元一次方程组本章教材分析本章主要内容包括：二元一次方程组的相关概念、二元（三元）一次方程组的解法及其应用．本章在学生对一元一次方程已有所了解的基础上，将“一元”问题向“多元”问题探究，引入了二元一次方程组．在实际问题向方程组转化的数学建模过程中，应使学生充分挖掘实际问题中的各种条件，正确寻找相应的等量关系，这是列出正确方程组的关键．二元一次方程组的解答过程体现了将一种新知识向已学过的知识的转化思想，所以一元一次方程也就成了二元一次方程组得以解答的基础．转化的方法──“消元法”，具体地可分为加减、代入消元法．教学中应让学生深刻理解这种消元的目的，三元一次方程组是对于二元一次方程组的拓展．以下是本章知识结构．本章教学时间约需9课时，具体分配如下（仅供参考）：8．1 二元一次方程组 1课时8．2 消元 3课时8．3 实际问题和二元一次方程组 3课时*8．4 三元一次方程组解法举例 1课时本章复习 1课时8.1 二元一次方程组从容说课本章是前面一元一次方程的继续与深化，实际生活中的未知元往往不止一个，因此有必要研究未知数多于一个的方程和方程组，学习二元一次方程组能使我们深刻体会到归化思想的神奇作用．本节要让学生通过探索与活动了解二元一次方程、二元一次方程组的概念，体会增设未知元的优越性，进一步感受方程是刻画现实世界的有效模型，理解二元一次方程的解和二元一次方程组的解的概念，会检验一组数是否是方程、方程组的解，从而达到能够通过设两个未知数将实际问题转化为二元一次方程组来解决的目的．教学目标1．了解二元一次方程、二元一次方程组的概念．2．理解二元一次方程的解及二元一次方程组的解的概念，•并会检验一组未知数的值是否是方程或方程组的解．3．能通过设两个未知数，将实际问题转化为二元一次方程组．教学重点了解二元一次方程、二元一次方程组、二元一次方程组的解的含义，并会检验二元一次方程组的解．教学难点1．探索实际问题中的等量关系，列出二元一次方程组．2．判断一组数是不是二元一次方程组的解．导入新课师：同学们都很喜欢篮球明星姚明吧，他在今年的雅典奥运会上带领我国篮球健儿们奋勇拼搏，打进了世界八强，为祖国争得了很高的荣誉．同学们，你们了解篮球联赛的有关规定吗？请看下列问题：1．篮球联赛中，每场比赛都要分出胜负，每队胜一场得2分，负一场得1分，•某队为了争取较好名次，想在全部22场比赛中得到40分，那么这个队胜负场数应分别是多少？ 2．已知某一铁路桥长1000m，有一列火车从桥上通过，测得火车开始上桥到完全过桥共用1min，整列火车完全在桥上的时间为40s，求火车的速度和它的长度．你能用学过的一元一次方程解决这些问题吗？请同学们思考、讨论，•并积极发表意见．生：解：设这个队胜x场，则负（22-x）场，据题意，得2x+（22-x）=40．解得x=18，∴22-18=4．答：这个队胜18场负4场．生：对于问题2 ，我发现1min减去40s即20s的时间火车走了两个身长，•但它们都是未知数．生：不用方程也可以解答．如果把问题转化成从车头上桥到车头出桥为一个过程，则相当于1min加40s走了2个过程，每次行程1000m，所以火车的速度为（1000×2）÷（60+40）=20，再结合上位同学提到的车身长=12×速度×时差=12×20×（60-40）=200（m），所以说火车速度为20m/s，•车身长为200m．师：同学们的发言都很精彩，特别是第三位同学的深入思考解决了第二位同学的困难，而且他们都用到了数学的化归思想，我们为他们的良好表现鼓掌加油，好吗？刚才第二位同学提到速度与车身长都是未知数，而且在解决上述两个问题时，大家讨论中也能发现，设一个未知数或用算术解法都需要深入思考才能解决问题，那么我们能不能多设一个未知数来解决大家遇到的困难呢？推进新课多条件限制，增设未知元帮忙师：对于问题1，我们设这个队胜x场，负y场，请同学们寻求等量关系．生：胜场数+负场数=总场数；胜积分+负积分=总积分．师：请同学们根据条件列出方程．生：x+y=22；2x+y=40．师：能按同样办法解决问题2吗？（这时老师可参与学生的讨论，帮助学生用示意图寻找等量关系）（从图中学生不难找出等量关系）讨论结果：①桥长+车身长=车速×时间；②桥长-车身长=车速×时间．注意：一个min ，一个40s ，要单位统一．设火车速度为xm/s ，车身长为ym ，根据题意可列出下列方程：1000+y=x ·60，1000-y=x ·40．师：同学们已经感受到了，设出两个未知元，列方程时简便多了，请大家仔细观察和讨论，我们上面列出的四个方程和我们以前学过的一元一次方程有什么区别与联系． 定义方程、理解含义生：上面我们所列的四个方程都含有两个未知数，未知数的次数和含有未知数项的次数都是一次，我们是不是可以称它们为二元一次方程呢？师：很好，它们的确都是二元一次方程．老师现在有一个方程，请同学们判断它是不是二元一次方程？xy+1=0．它和上面四个方程一样吗？（同学们各抒己见，激烈争论，最后得出结论）它和上面四个方程不一样，虽然含有两个未知数，未知数x ，y•的次数也都是一次的，但xy 这一项是二次的，所以它不是二元一次方程．师：大家看到了问题的本质，这很好．那么请同学们用自己的语言归纳什么叫二元一次方程，好吗？归纳结果：含有两个未知数且含有两个未知数的项的次数都是1的方程叫二元一次方程． 出示投影：判断下列方程是不是二元一次方程．1．2x 2+y=0 （ ）2．1x+3y=1 （ ） 3．x+y=0 （ ）4．2x+3y=1+2x （ ）5．52x +=y （ ） 6．32x y -=1 （ ） 答案：1．× 2．× 3．∨ 4．× 5．∨ 6．∨师：接下来，我们继续研究方程x+y=22和2x+y=40，它们中的x 、y 含义相同吗？ 生：应该相同，在两个方程中x 都表示胜的场数，y 都表示负的场数．师：也就是说x、y同时满足两个二元一次方程，于是我们把这两个方程合在一起，写成22,240.x yx y+=⎧⎨+=⎩像这样的含有两个未知数的两个二元一次方程所组成的一组方程叫做二元一次方程组．如：由问题2可得一个二元一次方程组100060,100040.y xy x+=⎧⎨-=⎩在这个二元一次方程组中x都表示火车的速度，y都表示车身长．出示投影：做一做：1．x=6，y=2适合方程x+y=8吗？x=5，y=3呢？x=4，y=4呢？你还能找到其他适合x+•y=8的x，y的值吗？2．找一组x，y的值同时适合方程1000+y=60x和1000-y=40x．3．通过上述问题，归纳总结什么是二元一次方程的解，满足什么条件的一组值才能作为二元一次方程组的解．（教师参与学生的活动，从中发现问题，及时解决）师生共析得出：两个二元一次方程的公共解叫做这个二元一次方程组的解．应用举例，巩固发展例1：若3x m+1+5y2-n=3是一个二元一次方程，则m=______，n=______．解：由二元一次方程的定义，得m+1=1，2-n=1．∴m=0，n=1．例2：写出一个以1,1xy=⎧⎨=⎩为解的二元一次方程组．（开放题，答案不唯一）如2,23,0;32x y x yx y x y+=+=⎧⎧⎨⎨-=-=⎩⎩等．评价：像这样的构造型题，构造应按要求进行，越简单越好，不必将问题复杂化．知能训练加工某种产品需经两道工序，第一道工序每人每天可完成900件，•第二道工序每人每天可完成1200件，现有7位工人参加这两道工序，应怎样安排人力，才能使每天第一、第二道工序所完成的件数相等？解：设有x位工人参加第一道工序，y位工人参加第二道工序，由题意，得7, 9001200. x yx y+=⎧⎨=⎩根据问题的实际意义x、y必须是正整数，且x>y>0，取y=1，2，3，得x=6，5，4．•经验证可得x=4，y=3，即解4,3. xy=⎧⎨=⎩所以安排第一道工序4人，第二道工序3人，才能使每天第一、第二道工序所完成的件数相等．课堂小结这节课我们通过对实际问题的分析，进一步体会到方程是刻画现实世界的模型，在此基础上了解了二元一次方程（组）及其解等概念，并学会判断一组未知数的值是不是某个二元一次方程组的解．布置作业:习题8．1 1、2．活动与探究足球联赛得分规定: 胜1场得3分，平1场得1分，负1场得0分.某队在足球联赛的4场比赛中得6分，这个队胜了几场，平了几场，负了几场？8.2消元第一课时教学目标1．体会用“代入法”解二元一次方程组的基本思路；2．熟练地用代入法解二元一次方程组；3．掌握“代入法”这一基本数学思想．教学重点难点1．用代入法解二元一次方程组；2．利用代入法解方程组时，灵活运用已学知识；3．学会选择适当的、简便的、有特点的方程变形．教学准备课件．教学过程课件展示上节课例“篮球联赛”题．师：设一个未知数（设胜x 场），可以用一元一次方程2x ＋(22－x)＝40来解．如果设两个未知数（设胜x 场，负y 场），可以列方程组⎩⎨⎧=+=+40222y x y x 那么一元一次方程与二元一次方程组有什么关系呢？点评：引出的这一问题是建立在学生的认知发展水平和已有的知识经验基础之上，体现了以学生为本的教学观念．一、探究活动一．一元一次方程与二元一次方程的关系．生：我们小组经过讨论，认为二元一次方程组中第一个方程x ＋y ＝22可变形为y ＝22－x ，再将第二个方程2x ＋y ＝40中的y 换为(22－x)，二元一次方程组就化为一元一次方程． 解这个方程，得x ＝18，再把x ＝18代入y ＝22－x ，得y ＝4，从而得到这个方程组的解．师：二元一次方程组中有两个未知数，如果消去其中一个未知数，将二元一次方程组转化为我们熟悉的一元一次方程，我们就可以先求出一个未知数，然后再设法求另一个未知数．这种将未知数的个数由多化少、逐一解决的想法，叫做消元思想，这种方法叫做代入消元法，简称代入法．点评：创设学习情境，为学生提供从事数学活动的机会，同时也使学生在学习过程中不断被点拨、提升和指导．二、探究活动二．如何用代入法解二元一次方程组？组：我们小组讨论后认为首先应从方程组中选取一个方程，把其中的某一个未知数用另一个未知数的代数式表示出来．例如，可将⎩⎨⎧②＝＋①＝＋.402,22y x y x 中的第一个方程变形为 y ＝22－x ③．生：我们同意他们的做法，接下来就应该将这个代数式代入另一个方程，达到消去一个未知数的目的，得到只含有一个未知数的一元一次方程．例如，将③代入②，得到方程2x ＋(22－x)＝40，再解这个方程，求出一个未知数x ＝18，最后将x ＝18代入第一步所得的式子，求出另外一个未知数的值．师：同学们的探究活动进行得很好，如何解二元一次方程组呢？可以概括为： （课件展示．）（1）求表达式；（2）代入消元；（3）回代求解．师：下面我们用大家总结出来的代入消元法求二元一次方程组的解．（例题分析．）例1 用代入法解方程组⎩⎨⎧②＝－①＝－.1483.3y x y x 三、探究活动三．如何求二元一次方程组的解？需注意哪些问题？师：选择哪个方程呢？为什么？组：我们认为选取①，因为①中未知数x 的系数为1，用含y 的代数式表示x ，比较简便，把①变为x ＝3＋y ③．师：把③代入①可以吗？为什么？生：不可以．因为③与①是同一个方程，应将③代入②，得3(3＋y)－8y ＝14． 师：得到这个方程后，下一步如何解？生：先解出这个方程y ＝－1，再把y ＝－1代入③，得x ＝2．师：能否将y ＝－1代入①或②？生：可以．师：如何表示方程组的解？生：把两个未知数的解写在一起，就是方程组的解，一般写成⎩⎨⎧by a x ＝＝的形式．师：请同学们完整地解出题目．四、探究活动四．如何用方程（组）解决实际问题．例2 根据市场调查，某种消毒液的大瓶装(500g)和小瓶装(250g)两种产品的销售数量比（按瓶计算）为2∶5．某厂每天生产这种消毒液22.5吨，这些消毒液应该分装大、小瓶两种产品各多少瓶？师：如何来求解？生：我们组认为用方程组解比较好．设大瓶数为x ，小瓶数为y ．两个相等关系分别为：大瓶数︰小瓶数＝2∶5．大瓶装消毒液＋小瓶装消毒液＝总生产量．可列出方程组⎩⎨⎧②＝＋①∶＝∶2250000025050052y x y x 师：不论用一元一次方程还是用二元一次方程组，都能达到解决问题的目的．如何解这个二元一次方程组呢？由同学们自己独立完成，并以小组为单位，归纳出解二元一次方程组的步骤．课件展示几个学生的解题过程及解二元一次方程组的步骤．点评：不断地帮助学生在自主探索和合作交流的过程中，真正理解和掌握数学的基础知识和基本技能，帮助学生体会数学思想，掌握数学方法．生：由①得，5x ＝2y ，变形为x y 25=．③ 把③代入②，得500x ＋625x ＝22500000．解这个方程，得x ＝20000．把x ＝20000代入③，得y ＝50000．这个方程组的解是⎩⎨⎧==5000020000y x生：小结解二元一次方程组的步骤：（1）从方程组中选取一个未知数比较简单的方程；（2）用一个未知数的代数式表示另一个未知数；（3）把代数式代入到另一个方程，消未知数，得到一元一次方程；（4）解一元一次方程，求出未知数的值；（5）把未知数的值代入代数式，求另一个未知数的值；（6）写出方程组的解．师：在解二元一次方程组的解时，往往需先化简方程组．点评：给予学生充分展示自我的机会，体现学生学习的主体性，关注学生在学习中成功情感的体验．五、课堂练习．解方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-+=+②①1323241y x x y 师：如何解这个二元一次方程组？生：我认为首先要对①进行化简，这样做的目的在于降低计算难度．化简①，得4x －3y ＝－5，则3y ＝4x ＋5，不必化为354+-x y ，为什么？ 生：因为②中恰好有－3y 这一项，故可将3y 看成一个整体，代入消元，这样也可以减少计算量．点评：从简单的“代入法”到“整体消元”，体现了技巧的灵活性和练习的层次性． 由学生独立写出解题步骤．师：如何求()()()()⎩⎨⎧-=---=---②①2511029,71423y x y x 的解？ 生：我们发现方程中x 、y 都是以x －2，y －1的形式出现的，若将x －2，y －1看成整体，看成新的未知数，解关于x －2，y －1的方程组比较简便．学生独立完成解题过程．生：由①，得3(x －2)＝7＋4(y －1)③．把③代入②，得3[7＋4(y －1)]－10(y －1)＝－25．2(y －1)＝－46，y －1＝－23，y ＝－22．将y －1＝－23代入③，得3(x －2)＝－85，x －2＝3128-， 3126-=x 原方程组的解为⎪⎩⎪⎨⎧-=-=223126y x师：代入法是解二元一次方程组的基本方法之一，其基本思想是“消元”，将“二元”转化为“一元”，同时也体现了数学中的“转化思想”．代入法是在很多地方都用得到的一种基本数学方法，更是一种数学思想．六、课后小结．今天的探究学习你们有哪些收获？以小组为单位总结出来．七、作业练习．p103 1，2，3．教学反思：本节教案的设计以学生为本，重视学生的感悟，主动探究、合作、补充的学习过程．注重激发学生的学习积极性，为学生提供充分从事数学活动的机会，帮助学生在自主探索和合作交流的过程中去理解和掌握基本的数学知识与技能、数学思想与方法，充分体现了学生是学习的主体这一教育理念．8.2消元第二课时教学目标1．进一步体会用“代入消元法”解二元一次方程组的基本思想；2．熟练地用“加减消元法”解二元一次方程组；3．掌握“加减消元法”这一基本数学思想．教学重点难点1．用“加减消元法”解二元一次方程组；2．利用“加减消元法”解方程组时，灵活运用已学知识；3．选择适当的、简便的、有特点的方程变形．教学准备课件．教学过程师：观察方程组⎩⎨⎧=+=+②①402.22y x y x 并求解 师：（待同学们解出后，教师根据学生解题情况小结）同学们大多用代入消元法解出，“代入”的目的是“消元”，把“二元”消成“一元”，把不会解的转化为会解的，同学们观察方程组，它还有什么特征？你还能发现新的消元方法吗？点评：所提出的问题，能帮助学生明确探究方向．一、探究活动一．如何消元？生：在这个方程组的两个方程中，y 的系数相同，若将②—①，即可消去未知数y ． 2x ＋y －(x ＋y)＝40－22，x ＝18．师：用②—①的理论依据是什么？生：利用等式的性质．师：当二元一次方程组中某一未知数的系数相同时，可以利用等式的性质，消去这一未知数，达到化“二元”为“一元”的目的．点评：所提出的问题，让学生认识到推理必须要有依据，引导学生从问题出发，利用观察、比较、归纳等思维活动，寻求解决问题的方法．二、探究活动二．如何解方程组？师：联系上一解法，思考一下如何解方程组：⎩⎨⎧=-=+② ①810156.3104y x y x 生：二元一次方程组中y 的系数相反，②＋①可消去未知数y ，得19x ＝11.6． 师：什么情况下，可以用这种方法消元？生：在两个二元一次方程中，同一未知数的系数相反或相同时，可以用这种方法． 师：在两个二元一次方程中，同一未知数的系数相等或相反时，将两个方程的两边分别相减或相加，就能消去这个未知数，得到一元一次方程，这种方法叫做“加减消元法”，简称加减法．三、探究活动三．能否用加减消元法解方程组？师：方程组⎩⎨⎧=-=+②①33651643y x y x 能用加减消元法吗？ 生：这两个方程中没有同一个未知数的系数相同或相反，不能直接用加减消元法，如果将①×3，得9x ＋12y ＝48．③②×2，得10x －12y ＝66．④③④组成的新方程组中未知数y 的系数相反，就可以用加减消元法．师：③④组成的新方程组的解一定是①②组成的方程组的解吗？生：一定是．因为③与①是同解方程，④与②是同解方程，所以③④的解一定是①②的解．师：如果用加减法消去x ，应如何解？生：要想消去x ，那么就需要将y 的系数化成相等或相反．因此①×5，②×3之后，x 的系数就相等了．①×5得，15x ＋20y ＝80．③②×3得，15x －18y ＝99．④③－④消去x ，得一元一次方程 38y ＝－19．师：在解一个二元一次方程组时，首先要根据两个方程的未知数的系数特征，选择合适的未知数消元．四、探究活动四．如何选择消元的对象？生：我们小组经过讨论交流后认为：一般选择系数绝对值较小的未知数消元；（1）当某一未知数绝对值相等：若符号不同，用加法消元；若符号相同，用减法消元．（2）当相同未知数的系数都不相同时：找出某一个未知数系数的最小公倍数，同时对两个方程进行变形，使得某未知数系数的绝对值相同，再用加减消元法求解．师：在用加减法解二元一次方程组时，应仔细观察两个方程的系数特征，通过比较后，选择一个易于消去的未知数，通过变形再用加减法．加减消元法是解二元一次方程组不同于代入消元法的另一基本方法．点评：引导学生体会数学方法之间的联系，感受数学的整体性，不断地丰富解题的方法，提高解决问题的能力．五、探究活动五．如何用加减法解二元一次方程组？生：我们经过讨论后，总结出如下步骤：（1）把一个方程或两个方程的两边乘以适当的数，使两个方程中的某一未知数的系数的绝对值相等；（2）把所得的两个方程的两边分别相加或相减，消去一个未知数，得到一个一元一次方程；（3）解这个方程，求得一个未知数的值；（4）把所求得的未知数的值代入方程组中某一个方程，求出另一个未知数的值；（5）把求得的未知数的值写成⎩⎨⎧==b y a x 的形式． 师：这个组总结得很好．总之，以上步骤可以概括为：变换系数，加减消元，回代求解． 点评：此处体现了教师是数学教学活动的组织者、引导者和合作者，教师的作用在于启迪学生的思维．为学生提供从事数学活动的机会，帮助学生在合作交流、自主探索的过程中掌握数学知识与技能，获取广泛的数学活动经验．六、探究活动六．如何列方程组解应用题？师：运用方程组的知识如何解决实际问题，请看例题（课件展示）：2台大收割机和5台小收割机，工作2小时收割小麦3.6公顷；3台大收割机和2台小收割机工作5小时收割小麦8公顷．求1台大收割机和1台小收割机1小时各收割小麦多少公顷？学生自主学习合作交流，师点评。
第七章二元一次方程组全章教案
7.1二元一次方程组和它的解知识技能目标1.理解二元一次方程、二元一次方程组和它的解的含义；2.会检验一对数是不是某个二元一次方程组的解.过程性目标1.在运用数据比较分析、作出推断的过程中，提高学生参与数学活动，乐于接触社会环境中数学信息的兴趣.2.为学生创设学数学、用数学的情境，让学生体验用数学知识解决实际问题的方法．教学过程设计一、创设情境问题的提出：暑假里, 《新晚报》组织了“我们的小世界杯”足球邀请赛. 勇士队在第一轮比赛中共赛9场, 得17分. 比赛规定胜一场得3分, 平一场得1分, 负一场得0分. 勇士队在这一轮中只负了2场, 那么这个队胜了几场? 又平了几场呢?二、探索归纳问能否用我们已经学过的知识来解决这个问题?答可以用一元一次方程来求解. 设勇士队胜了x场, 因为它共赛了9场, 并且负了2场, 所以它平了(9-x-2) 场. 根据得分规则和它的得分, 我们可以列出一元一次方程: -+x17-x. 解这个方程可得53=)29(x. 所以勇士队胜了5场, 平了2场.=由上面解答可知, 这个问题可以用一元一次方程来求解, 而我们很自然地会提出这样一个问题: 既然要求胜的场数和负的场数，这其中有两个未知数，那么能不能同时设出这两个未知数呢?师生共同探讨: 不妨就设勇士队胜了x场, 负了y场. 在下表的空格中填入数字或式子.根据填表的结果可知: 7=+y x ① 和 173=+y x ②引导学生观察方程①、②的特点, 并与一元一次方程作比较, 可知: 这两个方程都含有两个未知数, 并且未知数的次数都是1.我们把上面这样的方程, 即把含有两个未知数, 并且未知数的次数是1的方程叫做二元一次方程(linear equation with two unknowns ).由题意可知两个未知数必须同时满足①、②这两个方程. 因此, 把两个方程合在一起,并写成⎩⎨⎧=+=+②①1737y x y x . 把两个二元一次方程用一个大括号“{”合在一起, 就组成了一个二元一次方程组. 注意 方程组中的各方程中, 同一个字母必须代表同一个量. 问: 什么是方程的解?答: 能使方程左、右两边的值相等的未知数的值叫做方程的解.由问题的解法1我们已得到答案, 勇士队胜了5场, 平了2场, 即2,5==y x .5=x 与2=y 既满足方程①, 又满足方程②, 我们就说5=x 与2=y 是二元一次方程组⎩⎨⎧=+=+1737y x y x 的解, 并记作⎩⎨⎧==25y x .一般地, 使二元一次方程组的两个方程左右两边的值都相等的两个未知数的值, 叫做二元一次方程组的解.注意: (1) 未知数的值必须同时满足两个方程时, 才是方程组的解. 若取4=x , 3=y 时, 它们能满足方程①, 但不满足方程②, 所以它们不是方程组的解.(2) 二元一次方程组的解是一对数, 而不是一个数, 所以必须把5=x 与2=y 合起来, 才是方程组的解. 三、实践应用例1 已知下面三对数值: ⎩⎨⎧-==,40y x ⎩⎨⎧-==,32y x ⎩⎨⎧-==51y x .(1)哪几对是方程72=-y x 的解? (2)哪几对是方程4-=+y x 的解? (3)哪几对是方程组⎩⎨⎧-=+=-472y x y x 的解?分析 根据二元一次方程(组)的解的定义, 把每对数值中的x ,y 的值代入方程(组)来检验它们是否满足方程(组).解 (1) ⎩⎨⎧-==,32y x ⎩⎨⎧-==51y x 是方程72=-y x 的解.(2) ⎩⎨⎧-==,40y x ⎩⎨⎧-==51y x 是方程4-=+y x 的解. (3) ⎩⎨⎧-==51y x 是方程组⎩⎨⎧-=+=-472y x y x 的解.例2 根据下列语句, 列出二元一次方程:(1)甲数减去乙数的差是5；(2)甲数的21与乙数的31的和是13.分析 要列出方程, 首先要设出适当的未知数来代表相应的对象. 解 设甲数为x , 乙数为y . (1) 5=-y x . (2)133121=+y x .例3 某校现有校舍200002m , 计划拆除部分旧校舍, 改建新校舍, 使校舍总面积增加30% ,同时使建造新校舍的面积为被拆除的旧校舍面积的4倍. 若设应拆除旧校舍2xm , 建造新校舍2ym , 请你根据题意列一个方程组.分析 由建造新校舍的面积为被拆除的旧校舍面积的4倍, 我们马上可得出方程x y 4=.拆除部分旧校舍, 改建新校舍后,校舍总面积仍增加30%, 其增加量应当对应到新校舍面积与拆除的旧校舍面积的差值, 所以我们可列出另一方程%3020000⨯=-x y . 解 设应拆除旧校舍2xm , 建造新校舍2ym ,根据题意列出方程组⎩⎨⎧=⨯=-xy x y 4%3020000.四、交流反思师生共同回顾, 并总结归纳.(1) 什么是二元一次方程? (含有两个未知数, 并且未知数的次数是1的方程叫做二元一次方程.)(2) 什么是二元一次方程组? (把两个二元一次方程合在一起, 就组成了一个二元一次方程组.)(3) 什么是二元一次方程组的解? (使二元一次方程组的两个方程左右两边的值都相等的两个未知数的值, 叫做二元一次方程组的解.)五、检测反馈1.根据下列语句, 分别设适当的未知数, 列出二元一次方程或方程组: (1)甲数的31比乙数的2倍少7:____；(2)摩托车的时速是货车的23倍，它们的速度之和是200千米/时:_____；(3)某种时装的价格是某种皮装的价格的1.4倍, 5件皮装比3件时装贵700元:_________________.2.已知下面的三对数值: ⎩⎨⎧=-=108y x , ⎩⎨⎧-==60y x , ⎩⎨⎧-==110y x .(1)哪几对数值是方程621=-y x 左、右两边的值相等?(2)哪几对数值是方程组⎪⎩⎪⎨⎧-=+=-1132621y x y x 的解?3.(1)已知满足二元一次方程组 ⎩⎨⎧-=+=-20325y x y x 的x 的值是1-=x , 求方程组的解；(2)已知满足二元一次方程组⎩⎨⎧=-=+423425y x yx 的y 的值是21-=y ，求方程组的解.二元一次方程组的解法代入法（一）知识技能目标1.了解解方程组的基本思想是消元, 即把较为复杂的多元一次方程组化为较简单的一元一次方程来解决；2.了解代入法是消元的一个基本方法, 掌握代入法. 过程性目标在积极参与探索二元一次方程组的解法的数学活动中，培养数学思维能力, 发展应用数学知识的意识． 教学过程设计 一、创设情境1.复习提问: 什么叫做二元一次方程、二元一次方程组、二元一次方程组的解?2.回顾上节课中的问题2:设应拆除旧校舍2xm , 建造新校舍2ym , 那么根据题意可列出方程组: ⎩⎨⎧=⨯=-②①xy x y 4%3020000 (*) 问 怎样求出这个二元一次方程组的解? 二、探索归纳我们知道此题可以用一元一次方程来求解, 即设应拆除旧校舍2xm , 则建造新校舍24xm , 根据题意可得到%30200004⨯=-x x (**). 对于一元一次方程的解法我们是非常熟悉的. 那么我们如果能将解二元一次方程组转化为解一元一次方程, 我们的问题不就可以解决了吗? 可是如何来转化呢?引导学生观察方程组(*)和相应的一元一次方程(**)间的联系.在方程组(*)中的方程②x y 4=, 把它代入方程①中y 的位置, 我们就可以得到一元一次方程%30200004⨯=-x x .通过“代入”, 我们消去了未知数y ,得到了一元一次方程, 这样就可以求解了.解方程(**)得:2000=x , 把2000=x 代入②，得8000=y . 所以⎩⎨⎧==80002000y x . 答 应拆除旧校舍22000m , 建造新校舍28000m .能否用同样的方法来求解问题1中的二元一次方程组. 三、实践应用 例1 解方程组: ⎩⎨⎧=+=+②①1737y x y x 与方程组(*)不同, 这里的两个方程中, 没有一个是直接用一个未知数表示另一个未知数的形式, 这时怎么办呢?由学生观察后得出结论: 可以将方程①变形成为用x 来表示y 的形式, 即x y -=7, 然后再将它代入方程②, 就能消去y , 得到一个关于x 的一元一次方程. 解 由①得 x y -=7 ③. 将③代入②, 得 1773=-+x x . 即5=x .将5=x 代入③, 得 2=y . 所以⎩⎨⎧==25y x . (可以在依据二元一次方程组的定义来验证得出的解是否正确.)由上面的例题可看出, 我们是通过“代入”消去一个未知数, 方程转化为一元一次方程来解的. 这种解法叫做代入消元法, 简称代入法. 解方程组的基本思想方法就是“消元”. 例2 把下列方程写成用含x 的代数式表示y 的形式:(1) 0143=-+y x ； (2)0925=+-y x分析 即将方程作适当的变形, 把含有y 的项放在方程的一边, 其他的项移到方程另一边, 再把y 的系数化1.解 (1)431x y -= ； (2)295+=x y .课堂练习: 用代入法解下列方程组: (1)⎩⎨⎧=++=61y x x y ； (2)⎩⎨⎧+==+35y x y x ；(3)⎩⎨⎧=+-=82332y x x y ； (4)⎩⎨⎧=+=-24352y x y x .四、交流反思1.解二元一次方程组的问题可以转化为解一元一次方程的问题, 其基本的思想方法是消元.通过使用“代入法”可实现消元.2.代入法解二元一次方程组的一般步骤为: 如果方程组中有一个方程恰好是一个未知数表示另一个未知数的形式, 就可以直接把它代入另一个方程. 如果没有, 则需将其中一个方程作适当的变形后, 化为一个未知数表示另一个未知数的形式, 再把它代入另一个方程. 这样得到一个一元一次方程. 解这个一元一次方程, 求出一个未知数的值；将求得的值代入前一个方程中，求出另一个未知数的值，从而得到方程组的解. 五、检测反馈 解下列方程组: (1)⎩⎨⎧=++=8323y x y x ； (2)⎩⎨⎧-==-x y y x 571734.(3)⎩⎨⎧=+-=-10235y x y x ； (4)⎩⎨⎧-=-=-2.32872x y y x .二元一次方程组的解法代入法（二）知识技能目标进一步了解代入消元法的原理和一般步骤,能够熟练地用代入法解一般形式的二元一次方程组. 过程性目标在进一步探讨代入法解二元一次方程组的过程中, 培养学生的数学纵向思维能力和应用数学解决实际问题的意识. 教学过程设计 一、创设情境复习代入法解二元一次方程组的一般步骤.例1 解方程组⎩⎨⎧=+=+②①5321y x y x .(由学生来叙述解题过程, 教师加以板书.)(1) 选取未知数系数比较简单的方程①, 作适当变形, 转化为用一个未知数表示另一个未知数的形式, 得方程 x y -=1 ③；(2) 将③代入②消去y , 得到关于x 的一元一次方程5)1(32=-+x x ； (3) 解这个一元一次方程，得2-=x ； (4) 把2-=x 代入③，得3=y ；(5) 所以方程组的解是⎩⎨⎧=-=32y x .二、探索归纳 例2 解方程组⎩⎨⎧=--=-②①01083872y x y x .观察分析此方程组与例1中的方程组在形式上的差别. 易知例1的方程组中有未知数系数的绝对值是1的方程, 而此例2方程组中两个方程未知数的系数都不是1, 这时怎么办呢? 能不能将其中一个方程适当变形, 用一个未知数来表示另一个未知数? 显然, 这个变形是能够办到的. 我们有两个办法, 一个是某个方程两边同除以某个未知数的系数, 使这个未知数的系数化1, 化成例1的形式；另一个是将某个方程的某一个未知数移到方程的一边, 其他各项移到另一边,再把这个未知数的系数化1, 从而达到“用一个未知数来表示另一个未知数”的目的.显然第二种方法更为直接, 因而考虑方程中各项的系数, 选择一个系数比较简单的方程. 易见“2”比较简单, 所以将方程①中的x 用y 来表示. 解 由①, 得 y x 274+= ③. 将③代入②, 得 0108)274(3=--+y y , 8.0-=y .将8.0-=y 代入③, 得 2.1=x .所以 ⎩⎨⎧-==8.02.1y x .说明 这里是先消去x ,得到关于y 的一元一次方程,可不可以先消去y 呢?(让学生试一试, 并比较两种解法的优劣. 易知先消去x 使变形后的方程比较简单和代入后化简比较容易). 三、实践应用课堂练习: 解下列方程组: (1)⎩⎨⎧=--=+894132t s t s ； (2)⎩⎨⎧=+-=-025109743n m n m .例3 学校文化艺术节需要制作一批小红花, 某班全体同学承担了这一任务. 如果每位同学做20朵, 则多出20朵；如果每位同学做19朵，则还差31朵. 那么这个班共有多少名同学? 这批任务共需要多少朵小红花?分析 相等关系是: 实际完成量= 任务量+差额.解 设这个班共有x 名同学, 这批任务共需y 朵小红花. 根据题意, 得⎩⎨⎧-=+=31192020y x y x , 解之, 得⎩⎨⎧==100051y x .答 这个班共有51名同学, 这批任务共需要1000朵小红花. 四、交流反思用代入法解一般形式的二元一次方程组时, 先观察系数的特点, 选取的原则是: 尽量选取一个未知数的系数是1的方程；未知数的系数不是1时，选取系数绝对值比较小的方程. 变形后的方程要代入没变形的方程, 不能将它代入变形前的方程. 运算的结果要进行检验. 五、检测反馈1.把下列各方程变形为用一个未知数的代数式表示另一个未知数的形式. (1) 14-=-y x ； (2)015105=+-y x .2.解下列方程组： (1)⎩⎨⎧=+=-1723642y x y x ； (2)⎩⎨⎧=++=235253y x x y ；(3)⎩⎨⎧=-=+153732y x y x ； (4)⎩⎨⎧=-=+2343553y x y x .3.某校师生乘汽车春游, 如果每车坐50人, 则刚好坐满；如果每车坐60人，则余下一辆车且还多出40个座位. 求该校参加春游的人数和汽车的辆数.用加减法解二元一次方程组（一）知识技能目标1.会阐述用加减法解二元一次方程组的基本思路：通过“加减”达到“消元”的目的，从而把解二元一次方程组转化为解一元一次方程；2.会用加减法解简单的二元一次方程组．过程性目标1.让学生在运用已掌握的方法解二元一次方程组时，体会到代入法的不足，引发寻找新方法的意愿．2.在探究的过程中，获得用加减法解二元一次方程组的初步经验．教学过程一、创设情境我们知道解二元一次方程组的关键是“消元”，那对于方程组该如何进行消元呢？哪种是最简便的方法呢（组织学生进行讨论）？结论较简便方法是把(2)变形为3x=23 + 4y (3) ，再把(3)代入(1)直接消去“3x”．想一想，还有其它方法可以直接消去“3x”吗？二、探索归纳看一看：上述方程组中，未知数x的系数有何特征？做一做：把两个方程的左边与左边相减，右边与右边相减．你得到了什么结果？9y = －18 , (消去了未知数x，达到了消元的目的)y = －2.把y = －2代入（1），得3x ＋5×(－2) = 5, x = 5.⎩⎨⎧-==25y x 所以. 从上面的解答过程中，你发现了二元一次方程组的新的解法吗？三、巩固应用 例1 解方程组：⎩⎨⎧=-=+)2(.574)1(,973y x y x 看一看：y 的系数有什么特点？想一想：先消去哪一个比较方便呢？用什么方法来消去这个未知数呢？ 解 (1)+(2)得,7x = 14, x = 2. 把x = 2代入（1）得, 6 + 7y = 9, 7y = 3,.73=y ⎪⎩⎪⎨⎧==732y x 所以当方程组中同一未知数的系数互为相反数时，我们可以把两方程相加，从而达到消元的目的．那当方程组中同一未知数的系数相等时，如何达到消元的目的呢？ 例2 解方程组：⎩⎨⎧-=-=-)2(73)1(732yxyx解(1)－(2)得，x = 14．把x = 14代入(1)得，y=7．归纳将两个方程相加（或相减）消去一个未知数，将方程组转化为一元一次方程来解．这种解法叫做加减消元法，简称加减法．例3解方程组：分析注意到两方程中有相同的项，也有互为相反数的项，所以只要把两方程相加或相减，即可达到消元的目的．解(1)+(2)得，103131=-+-xxx = 16．(2)-(1)得，34242=+++yyy = 6．⎩⎨⎧==616yx所以练习解下列方程组：⎪⎩⎪⎨⎧=+--=-⎩⎨⎧=-=+⎩⎨⎧=+=-⎩⎨⎧=-=+3521135.0.41976576.31464534.21375.1yxyxyxyxyxyxyxyx四、交流反思用加减法消元的关键是根据方程组中同一未知数的系数的某种特点灵活消元；加减法、代入法都是解二元一次方程组的基本方法，虽然消元的途径不同，但是它们的目的相同，即把“二元”转化为“一元”，可谓“异曲同工”． 五、检测反馈 一、解下列方程组：⎩⎨⎧=-=-⎩⎨⎧=-=+73732.22451915419.1y x y x y x y x ⎪⎩⎪⎨⎧=+-=-⎩⎨⎧=+=-51072107.03.41232634.3x y x y y x y x.23213523的值、的解，试求是方程组已知二b a ay bx by ax y x 、⎩⎨⎧-=+=-⎩⎨⎧-==用加减法解二元一次方程组（二）知识技能目标1.能熟练、灵活地运用加减法解一般形式的二元一次方程组；2.会把比较复杂的方程组化简成一般形式的方程组，并能熟练地求解． 过程性目标1.让学生在学习的过程中主动寻找解题的方法，提高学生解决问题，获取知识的能力；2.通过探求二元一次方程组的解法，体会消元的思想，使学生会把复杂问题转化为简单问题来处理；3.培养学生一题多解的能力，增进学好数学的自信心． 教学过程 一、创设情境下列各方程组，你觉得用哪一种方法消元较恰当呢？并说说你的理由（学生讨论）．.8422048)3(;48252)2(;84252)1(⎩⎨⎧=-=-⎪⎩⎪⎨⎧-=-=⎩⎨⎧=-=-y x y x x y x y y x y x在求上述三个方程组的解时，你发现了什么？看一看：这三个方程组之间有联系吗？有怎样的内在联系？二、探索归纳上述问题只要根据等式的基本性质，方程组(1)的两个方程变形成用x 的代数式表示y 的形式，就是方程组(2)；方程组(1)的方程“2x – y = 5”两边乘以4就是方程组(3)．你能构造出与方程组⎩⎨⎧=+=+10431529y x y x 解相同的方程组吗？请举例.答 可以构造许多与原方程组的解相同的方程组，如⎩⎨⎧=+=+301291529y x y x 等等.现在你会求解方程组⎩⎨⎧=+=+10431529y x y x 吗？通过上面问题的讨论，实质是让学生参与新问题——对于相同未知数的系数的绝对值不相等的方程组如何用加减法来解的研究，并且开放式的问题有利于培养学生灵活、多角度的思维习惯． 三、巩固应用 例 解方程组：⎩⎨⎧=+=-)2(4265)1(1043y x y x方法一：利用加减消元法消去未知数y ． 解 (1)×3，(2)×2得，⎩⎨⎧=+=-)4(841210)3(30129y x y x(3)+(4)得，19x = 114， x = 6．把x = 6代入(2)得，30 + 6y = 42， y = 2．所以 ⎩⎨⎧==26y x方法二：利用加减消元法消去未知数x ． 解 (1)×5，(2)×3，得 ⎩⎨⎧=+=-)4(1261815)3(502015y x y x(4)-(3)得38y = 76y = 2把y =2代入(2)得5x + 12=42 x = 6所以⎩⎨⎧==26y x 现在请你和你的同桌分别用加减法和代入法来解下面方程组,比较一下谁的方法更方便？解方程组⎩⎨⎧=--=-01083872y x y x通过交流让学生体会到学习加减法必要性，进一步感受到用加减法解二元一次方程组的基本思路是：通过“加减”，达到化“二元”为“一元”，即消元的目的．你能说说用加减法解二元一次方程组的一般步骤是什么？ 一般步骤是：(1)方程组的两个方程中，如果同一未知数的系数既不互为相反数又不相等，就用适当的数去乘方程的两边，使一个未知数的系数互为相反数或相等；(2)把两个方程的两边分别相加或相减，消去一个未知数，得到一个一元一次方程； (3)解这个一元一次方程；(4)将求出的未知数的值代入原方程组的任意一个方程中，求出另一个未知数，从而得到方程组的解． 练习解下列方程组：⎩⎨⎧=-=-⎩⎨⎧=+-=-⎩⎨⎧=+=-⎩⎨⎧=+=-575832.410073203.3751424.21732623.1x y y x y x y x y x y x y x y x四、交流反思你觉得用加减法解方程组时要注意些什么？你能说出用加减法解二元一次方程组的一般步骤吗？通过学习你觉得加减法和代入法有何异同点？与学生共同总结出两种方法实质是相同的即消元，只是消元的途径不同． 五、检测反馈 一．解下列方程组：⎩⎨⎧=+-=-⎩⎨⎧=-+=+-⎩⎨⎧=+=+⎩⎨⎧=+=-73482.40100730203.363402.218223.1y x x y y x y x b a b a y x y x ）原方程组的解．（的值；）．试求：（写成了相反数，解得乙将一个方程中的；，解得甲解题时看错了）（）（组甲、乙两位同学解方程二．2,1112325311b a y x b y x a by x by ax ⎩⎨⎧-==⎩⎨⎧==⎩⎨⎧=+=-二元一次方程组的应用知识技能目标1.会找出简单问题中的相等关系，从而列出二元一次方程组解简单的实际问题；2.培养学生用数学知识来解决实际问题的能力． 过程性目标1.让学生在掌握了二元一次方程组的解法后，再次体验二元一次方程组与现实生活的联系和作用．2.有的实际问题既可以用列一元一次方程也可以列二元一次方程组解，让学生从中体会它们之间的联系和区别． 教学过程 一、创设情境小军买了80分与2元的邮票共16枚，花了18元8角．你知道小军80分与2元的邮票各买了多少枚？这是一个大家熟悉的购物问题，你会用所学到的知识来解决吗(学生讨论)？ 解 设80分的邮票买了x 枚，则2元的邮票买了(16－x )枚 根据题意得0.8x + 2 (16 -x ) = 18.8 解这个方程得x = 1116－x = 5.答 小军买了80分的邮票11枚, 买了2元的邮票5枚.那如果设小军买了80分的邮票 x 枚，2元的邮票y 枚呢，如何来解呢？ 二、探索归纳引导学生发现两种面值的邮票的数量与数量之间、总价与总价之间的相等关系.考虑它们有什么样的相等关系呢？在上述问题中数量与数量之间的相等关系：x + y = 16总价与总价之间的相等关系：0.8x + 2y = 18.8根据题意从而列出方程组，⎩⎨⎧=+=+8.1828.016y x y x⎩⎨⎧==511y x 解这个方程组得 答 小军买了80分的邮票11枚, 买了2元的邮票5枚.我们可以发现在实际问题中，都存在着一些等量关系，因此我们可借助列方程或方程组的方法来处理这些问题. 三、巩固应用例 某蔬菜公司收购到某种蔬菜140吨，准备加工后上市销售．该公司的加工能力是：每天可以精加工6吨或者粗加工16吨．现计划用15天完成加工任务，该公司应安排几天粗加工，几天精加工，才能按期完成任务？如果每吨蔬菜粗加工后的利润为1000元，精加工后为2000元，那么该公司出售这些加工后的蔬菜共可获利多少元？分析 问题的关键是先解答前一半问题，即先求出安排精加工和粗加工的天数．我们不妨用列方程组的方法来解答．抓住“计划用15天完成加工任务”和“收购到某种蔬菜共140吨”这两个数量关系建立二元一次方程组． 解 设应安排x 天精加工，y 天粗加工，⎩⎨⎧=+=+14016615y x y x 根据题意得，⎩⎨⎧==510y x 解这个方程组得. 出售这些加工后的蔬菜一共可获利，2000×6×10＋10×16×5＝200000元答 应安排10天精加工，5天粗加工，加工后出售共可获利200000元.处理这些实际问题的过程可以进一步概括为：练习1．22名工人按定额完成了1400件产品，其中三级工每人定额200件，二级工每人定额50件．若这22名工人中只有二级工与三级工．问二级工与三级工各有多少名?2. 为改善富春河的周围环境,县政府决定,将该河上游A 地的一部分牧场改为林场,预计林场和牧场共有162公顷,牧场面积是林场面积的20%.请你算一算,完成后林场、牧场的面积各为多少公顷？四、交流反思列二元一次方程组和列一元一次方程解同一个实际问题，是用两种不同的表达形式揭示了问题中的相等关系；反过来，求解实际问题的实质是把问题中的相等关系翻译成数学表达式，从而把实际问题转化为数学问题.学习各类实际问题,不仅要熟悉各类问题的基本数量关系,而且还要弄清各类问题之间的本质联系. 五、检测反馈1．某船的载重为260吨，容积为1000立方米.现有甲、乙两种货物要运，其中甲种货物每吨体积为8立方米，乙种货物每吨体积为2立方米，若要充分利用这艘船的载重与容积，甲、乙两种货物应各装多少吨（设装运货物时无任何空隙）？2．第一小组的同学分铅笔若干枝.若其中有4人每人各取4枝,其余的人每人取3枝,则还剩16枝；若有1人只取2枝，则其余的人恰好每人各可得6枝，问同学有多少人？铅笔有多少枝？ 3．有一批机器零件共418个，若甲先做2天，乙再加入合作，则再做2天可超产2个；若乙先做3天，然后两人再共做2天，则还有8个未完成.问甲、乙两人每天各做多少个零件？ 4.某厂第二车间的人数比第一车间的人数的54少30人.如果从第一车间调10人到第二车间，那么第二车间的人数就是第一车间的43.问这两个车间各有多少人？实践与探索(一)知识技能目标1.通过对实际问题的探索与解决,逐步形成结合具体事例情境发现,提出数学问题的能力；2.学会用二元一次方程组解决简单的实际问题.过程性目标1.通过学生积极思考、互相讨论，经历探索事物之间的数量关系，形成方程模型，解方程和运用方程解决实际问题的过程，进一步体会方程是刻画现实世界的有效数学模型；2.通过在解决实际问题的过程中同伴之间的讨论、交流与合作，体会与他人合作的重要性，逐步形成积极参与讨论、敢于发表见解并尊重与理解他人见解的合作意识．教学过程一、创设情境1.通过前面的学习,你能说出列二元一次方程组解决实际问题的步骤吗?其中什么是关键?2.请同学们阅读教科书第35页实践与探索中的问题1.二、探究归纳请同学们独立思考,试解上面的问题,然后与你的同伴讨论、交流，探索解题的方法．在学生探索解题方法的过程中，教师要鼓励学生多角度地思考，只要学生的方法有道理，就要给予肯定和鼓励．鼓励学生进行质问和大胆创新．学生有困难，教师可加以引导：1.本题有哪些已知量？(1)共有白卡纸20张；(2)一张白卡纸可以做盒身2个或盒底盖3个；(3)1个盒身与2个盒底盖配成一套．2.求什么？用几张白卡纸做盒身？几张白卡纸做盒底盖？3.若设用x张白卡纸做盒身，y张白卡纸做盒底盖，那么可做盒身多少个？盒底盖多少个？（x2个盒身，y3个盒底盖）4.找出2个等量关系．(1)用做盒身的白卡纸张数+用做盒底盖的白卡纸张数=20；(2)由已知(3)可知盒底盖的个数应该是盒身的2倍，才能使盒身与盒底盖正好配套． 根据题意，得⎩⎨⎧⨯==+x y y x 22320解这个方程组，得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==7311748y x由于解为分数，所以如果不允许剪开，则只能做成16个包装盒，无法全部利用；如果允许剪开，则分法很多，例如可以将一张白卡纸一分为二，用8张半做盒身，11张半做盒底盖，可以做成盒身17个，盒底盖34个，正好配套成17个包装盒，较充分地利用了材料． 三、实践应用 课堂练习：某服装厂计划生产某款运动服,已知每卷布料可做上装200件或裤子300条,一件上装与一条裤子为一套,仓库现有这种布料12卷,请你设计一个方案,分配给生产上装的车间和生产裤子的车间各几卷布料.要求：分配布料时,每卷布料不能拆零；尽可能多地安排生产任务. 要求:学生独立思考后与同伴讨论、交流，探索解题的方法．在师生交流的基础上板书解题过程．解 设分配给生产上装的车间x 卷布料，分配给生产裤子的车间y 卷布料．根据题意，得 ⎩⎨⎧==+.30020012y x y x解这个方程组，得⎩⎨⎧==8.42.7y x由于不能拆零分配，且要配套，故选择4,6==y x ．答 分配给生产上装的车间6卷布料，生产裤子的车间4卷布料．。
第八章 二元一次方程组 全章教案
第八章二元一次方程组二元一次方程组学习内容：二元一次方程组.学习目标：1.理解二元一次方程、二元一次方程组及它们解的概念.2.会检验一对数是不是二元一次方程组的解.重点、难点：二元一次方程、二元一次方程组及其解的含义是重点；理解二元一次方程组的解是难点.教学学资源的利用：多媒体.导学流程：一、问题导入我们很多同学喜欢打篮球，这里面也有学问.看下面的问题：（投影1）篮球联赛中，每场比赛都要分出胜负，每队胜一场得2分，负一场得1分，某队为了争取较好的名次，想在全部22场比赛中得到40分，那么这个队胜负场数分别是多少？二、呈现目标任务导学（一）呈现目标1.二元一次方程.2.二元一次方程组.（二）自主学习1.二元一次方程组这个问题中包含了哪些必须同时满足的条件？胜的场数＋负的场数＝总场数，胜场积分＋负场积分＝总积分.若设胜的场数是x，负的场数是y，你能用方程把这些条件表示出来吗？x＋y＝222x＋y＝40这两个方程与一元一次方程有什么不同？它们有什么特点？所含未知数的个数不同；特点是：（1）含有两个未知数，（2）含有未知数的项的次数是1.像这样含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数是1的方程叫做二元一次方程.上面的问题包含了两个必须同时满足的条件，也就是未知数x、y必须同时满足方程x ＋y＝22和2x＋y＝40.把两个方程合在一起，写成x＋y＝22 ①2x＋y＝40 ②像这样，把具有两个未知数且含未知数的项的次数是1的两个方程合在一起，就组成了二元一次方程组.探究：（投影2）满足方程①，且符合问题的实际意义的x 、y 的值有哪些？把它们填入上表中.为此我们用含x 的式子表示y ，即y ＝22－x （x 可取一些自然数）.显然，上表中每一对x 、y 的值都是方程①的解.一般地，使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解. 如果不考虑方程的实际意义，那么x 、y 还可以取哪些值？这些值是有限的吗？ 还可以取x ＝－1，y ＝23；x ＝0.5，y ＝21.5，等等. 所以，二元一次方程的解有无数对. 上表中哪对x 、y 的值还满足方程②？x ＝18，y ＝2还满足方程②.也就是说，它们是方程①与方程②的公共解，记作=18 =4 二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解. （二）合作学习若方程x 2 m –1 + 5y 2–3n = 7是二元一次方程.求m 2＋n 的值. 解：依题意，得2 m –1＝1，2–3n ＝1. 由2 m –1＝1，得 m ＝1由2–3n ＝1得n ＝31 ∴m 2＋n ＝1＋31＝43. （三）总结梳理1.二元一次方程、二元一次方程组的概念；2.二元一次方程、二元一次方程组的解. 三、强化训练、当堂达标1、下列各对数值中是二元一次方程x ＋2y=2的解的是〔 〕 A ⎩⎨⎧==02y x B ⎩⎨⎧=-=22y x C ⎩⎨⎧==10y x D ⎩⎨⎧=-=01y x 2、课本94面练习.四、设计问题、布置预习 1.课本95面1－4. 2.预习下一节. 课后反思：消元（1）学习内容：消元.学习目标：1.掌握代入法解二元一次方程组.2.经历探索二元一次方程组的解法的过程.3.初步体会“消元”的基本思想.重点、难点：代入消元法解二元一次方程组是重点；理解“消元”的基本思想是难点.教学资源的利用多媒体导学流程：一、情景导入二、呈现目标、任务导学（一）呈现目标1.掌握代入法解二元一次方程组.2.经历探索二元一次方程组的解法的过程.3.初步体会“消元”的基本思想.（三）自主学习下面是我们讨论过的一个关于篮球比赛的问题：篮球联赛中，每场比赛都要分出胜负，每队胜一场得2分.负一场得1分，某队为了争取较好的名次，想在全部22场比赛中得到40分，那么这个队胜负场数分别是多少？请你求出结果.设这个队胜了x场，依题意，得 2x+(22-x)=40解得x＝1822－x＝4所以，这个队胜了18场，负了4场.我们知道，设胜的场数是x，负的场数是y，可列方程组：x＋y＝222x＋y＝40那么怎样求这个方程组的解呢？（三）自主学习上面的二元一次方程组和一元一次方程有什么关系？可以发现，二元一次方程组中第1个方程x＋y＝22说明y＝22－x，将第2个方程2x ＋y＝40的y换为22－x，这个方程就化为一元一次方程2x+(22-x)=40.这就是说，二元一次方程组中的两个未知数，可以消去其中的一个未知数，转化为我们熟悉的一元一次方程.这样，我们就可以先求出一个未知数，然后再求出另一未知数.这种将未知数的个数由多化少、逐一解决的思想，叫做消元思想.（四）合作学习解方程组：x-y=33x-8y=14讨论：根据消元的思想，解方程组要把两个未知数转化为一个未知数，为此，需要用一个未知数表示另一个未知数.怎样表示呢？转化成的一元一次方程是什么？解：由①得x=y+3③把③代入②，得 3（y＋3）-8y＝14解得y=－1把y=－1代人③得x=2.x=2y=-1（五）交流展示、反馈矫正（投影2）上面的解法，是由二元一次方程组中一个方程，将一个未知数用含另一未知数的式子表示出来，再代入另一方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解.这种方法叫做代入消元法，简称代入法.解上面的方程组能消去y吗？试试看.（六）总结梳理1.什么是消元的思想？什么是代入消元法？2.用代入消元法解二元一次方程组.三、强化训练、当堂达标完成课本98面1；99面2题.四、设计问题、布置预习1.课本103面1、2题.2.解方程组 4x－y =52x＋4y=24课后反思：消元（2）学习内容：消元.学习目标1.继续学习用消元法解二元一次方程组2.初步学会用二元一次方程组解决简单的实际问题及有关的数学问题.3.体会方程思想在解决问题中的应用.重点、难点：二元一次方程的运用是重点；用二元一次方程组解决简单的实际问题是难点.教学资源的利用多媒体.导学流程：一、复习导入上节课我们学习了用代入消元法解二元一次方程组，回忆一下： 怎样用代入消元法解二元一次方程组？什么是二元一次方程组的解？ 今天我们学习用二元一次方程组解决有关的问题. 二、呈现目标、任务导学 （一）呈现目标二元一次方程组在代数问题和实际问题中的应用. （二）互动探究 1.（投影1）已知12-==y x 是方程组54+=-=+a by x by ax 的解，求a 、b 的值.根据方程组的解的意义，我们可以知道什么？解：把 12-==y x 代入 54+=-=+a by x b y ax ，得21425a b b a -=⎧⎨⨯+=+⎩把①代入②，得8+2a-1=a+5 解得a ＝－2 把a ＝－2代入①，得b=-5 ∴25a b =-⎧⎨=-⎩2.（投影2）根据市场调查，某种消毒液的大瓶装(500g)和小瓶装(250 g)两种产品的销售数量比（按瓶计算）为2：5.某厂每天生产这种消毒液22.5吨，这些消毒液应该分装大、小瓶装两种产品各多少瓶？问题中有哪些未知量？消毒液应该分装的大瓶数和小瓶数. 问题中有哪些等量关系？ 大瓶数︰小瓶数＝2︰5大瓶所装消毒液＋小瓶所装消毒液＝22.5吨 设怎样的未知数可以表示上面的两个等量关系？ 设这些消毒液应分装x 大瓶和y 小瓶，则⎩⎨⎧=+=2250000025050025y x yx 请你用代入消元法解答上面的方程组. 解之得，2000050000x y =⎧⎨=⎩答：这些消毒液应该分装20000大瓶和50000小瓶. （三）总结梳理列二元一次方程组解决实际问题与列一元一次方程解决实际问题的思想和步骤是相同的，不同的是一个设一个未知数，一个设两个未知数.一般地，同一个问题既可以列一元一次方程来解决，也可以列二元一次方程组来解决，不过，有时设两个未知数列方程组更方便些.三、强化训练、当堂达标①②完成课本99面3、4题. 四、设计问题、布置预习 1.课本103面4、6.2.已知方程组⎩⎨⎧=+=-31ay bx by ax 的解为112x y =⎧⎪⎨=⎪⎩，求a ＋b 的值.3.预习下一节.课后反思：消元（3）学习内容：加减法解二元一次方程组. 学习目标：1.会用加减法解二元一次方程组.2.体会方程思想在数学中的应用. 重点、难点：用加减法解二元一次方程组是重点；用加减法解相同未知数的系数不成整数倍的二元一次方程组是难点.教学资源的利用： 多媒体. 导学流程： 一、情景导入（投影1）王老师昨天在水果批发市场买了2千克苹果和4千克梨共花了14元，李老师以同样的价格买了2千克苹果和3千克梨共花了12元，梨每千克的售价是多少？比一比看谁求得快．最简便的方法：抵消掉相同部分，王老师比李老师多买了1千克的梨，多花了2元，故梨每千克的售价为2元．这种思想也可以用来解二元一次方程组. 二、呈现目标、任务导学 （一）呈现目标 加减消元法. （二）合作学习我们知道，对于方程组22240x y x y +=⎧⎨+=⎩可以用代入消元法求解，除此之外，还有没有别的方法呢？这个方程组的两个方程中，y 的系数有什么关系？•利用这种关系你能发现新的消元方法吗？y的系数相等；用②－①可消去未知数y，得(2x+y)-(x+y)=40-22 解得x=18把x=18代入①得y=4.显然，由①－②也能消去未知数y.思考：联系上面的解法，想一想应怎样解方程组410 3.6 15108 x yx y+=⎧⎨-=⎩这两个方程中未知数y的系数互为相反数，•因此由①＋②可消去未知数y，从而求出未知数x的值.我们看到，把两个二元一次方程的两边分别相加减，可以达到“消元”的目的.（投影2）当两个二元一次方程中同一未知数的系数相反或相等时，将两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程，这种方法叫做加减消元法，简称加减法.（三）互动探究用加减法解方程组3416 5633 x yx y+=⎧⎨-=⎩分析：这两个方程中未知数的系数既不相反也不相同，直接加减不能消元，试一试，能否对方程变形，使得两个方程中某个未知数的系数相反或相同.解：①×3,得 9x+12y=48 ③②×2,得 10x-12y=66 ④③＋④,得 19x=114x=6把x=6代入①，得3×6+4y=164y=-2, y=-1 2所以，这个方程组的解是612 xy=⎧⎪⎨=-⎪⎩想一想：本题如果用加减法消去x该怎么办？把①×5，②×3即可.（四）总结梳理1、什么是加减消元法？2、用加减消元法解二元一次方程.三、强化训练、当堂达标完成课本102面1题.四、设计问题、布置预习1.课本103面3、5题.2.预习下一节.课后反思：①②①②消元（4）学习内容： 消元.学习目标：1.初步学会用二元一次方程组解决有关的问题.2.进一步认识方程模型的重要性. 重点、难点：用二元一次方程组解决有关的问题是重点；列二元一次方程组是难点. 教学资源的利用： 多媒体. 导学流程： 一、复习导入1、什么是二元一次方程组？什么是二元一次方程组的解？2、解二元一次方组的基本思想是什么？有哪些方法？ 今天我们来运用二元一次方程组解决有关的问题. 二、呈现目标、任务导学 （一）呈现目标用二元一次方程组解决实际问题. （二）合作求解1.（投影1）甲、乙两人同求方程a x －by=7的整数解，甲求出的一组解为 而乙把方程中的7错看成了1，求得一组解为 试求a 、b 的值.由甲求出的一组解，我们可以知道什么？由乙求出的一组解我们可以知道什么？怎样求a 、b 的值呢？解：把x=3,y=4代入a x －by=7，得 3a －4b=7①把x=1,y=2代入a x －by=1，得 a －2b=1② 联立①②得方程组 解这个方程组，得故a 、b 的值分别是5、2.2.（投影2）2台大收割机和5台小收割机工作2小时收割小麦3．6公顷，3台大收割机和2台小收割机工作5小时收割小麦8公顷，问：1台大收割机和1台小收割机1小时各收割小麦多少公顷？本题要我们求什么？1台大收割机1小时收割小麦的公顷数和1台小收割机1小时收割小麦公顷数. 本题的等量关系是什么？2台大收割机2小时的工作量＋5台小收割机2小时的工作量=3.6x=3y=4,x=1y=2,3a －4b=7 a －2b=1 a =5 b =2,3台大收割机5小时的工作量＋2台小收割机5小时的工作量=8若设1台大收割机和1台小收割机1小时各收割小麦x 公顷和y 公顷.请你列出方程组.2(25) 3.65(32)8x y x y +=⎧⎨+=⎩ 整理,得410 3.615108x y x y +=⎧⎨+=⎩②-①,得11x=4.4 ∴x=0.4把x=0.4代入①,得y=0.2∴0.40.2x y =⎧⎨=⎩答:1台大收割机和1台小收割机1小时各收割小麦0.4公顷和0.2公顷. 三、强化训练、当堂达标 完成课本102面练习2、3题. 四、设计问题、布置预习：1.课本103面7；104面8、9题.2.预习下一节. 课后反思：练 习 课学习内容：复习二元一次方程组. 学习目标：1.复习二元一次方程组及其相关概念.2.复习二元一次方程组的解法.3.继续体会二元一次方程组这种数学模型在生活中的应用. 重点、难点：重点是做一些练习；难点是与二元一次方程组有关的应用问题. 教学资源的利用： 多媒体. 导学流程： 一、复习引入 1.填空含有 ，并且未知项的次数是 的方程叫做二元一次方程.两个含有 ，并且未知项的次数是 的两个方程组成二元一次方程组. 使二元一次方程 的两个未知数 ，叫做二元一次方程的解. 2.解答（1）写出二元一次方程3x+2y=14的非负整数解.（2）用两种方法解方程组433,3215.x y x y +=⎧⎨-=⎩二、呈现目标、任务导学（一）呈现目标1.复习二元一次方程组.2.练习用二元一次方程组解决有关的实际问题. （二）合作学习1.解方程组6,232()3324.x y x yx y x y +-⎧+=⎪⎨⎪+-+=⎩ 2.若(a-3)x+y1a1-2=9是关于的x 、y 的二元一次方程，求a 的值.3.已知方程组35,4.x y ax by -=⎧⎨-=⎩与方程组6,47 1.ax by x y +=⎧⎨-=⎩的解相同，求a －b 的值.4.兴华学校美术小组的同学分铅笔若干枝，若其中4人每人各取4枝，其余的人每人取3枝，则还剩16枝；若有1人只取2枝，则其余的人恰好每人各得6枝，问同学有多少人？铅笔有多少枝？三、强化训练、当堂达标1、将二元一次方程5x ＋2y=3化成用含有x 的式子表示y 的形式是y= ；化成用含有y 的式子表示x 的形式是x= .2、若方程21(32)7m x n y -+-=是二元一次方程，则m ，n .3、已知x ＝2，y ＝2是方程ax －2y ＝4的解，则a ＝________.4、方程x ＋2y=7在自然数范围内的解〔 〕A.有无数个B.有一个C.有两个D.有三个 四.设计问题布置预习 1.完成下列题目. （1）若⎩⎨⎧==12y x 是方程组⎩⎨⎧=+=-81my nx ny mx 的解则⎩⎨⎧==n m（2）解方程组453(1)23x y x y -=⎧⎨-=-⎩ 3429525x y x y +=⎧⎨-=⎩ 2.预习下一节. 课后反思：实际问题与二元一次方程（1）学习内容：用二元一次方程组解决实际问题. 学习目标：1.学会借助二元一次方程组解决简单的实际问题.2.再次体会二元一次方程组与现实生活的联系和作用.3.提高解决问题的能力. 重点难点：解决含有多个未知数的实际问题是重点；找出问题中的两个等量关系是难点. 教学资源的利用： 多媒体. 导学流程： 一、导入新课前面我们结合实际问题，讨论了用方程组表示问题中的条件以及如何解方程组．本节我们继续探究如何用方程组解决实际问题．二、呈现目标、任务导学 （一）呈现目标用二元一次方程组解决实际问题. （二）互动探究 看下面的问题.（投影1）养牛场原有30只母牛和15只小牛，一天约需用饲料675 kg;一周后又购进12只母牛和5只小牛，这时一天约需用饲料940 kg.饲养员李大叔估计平均每只母牛1天约需用饲料18～20 kg,每只小牛1天约需用饲料7～8 kg.你能否通过计算检验他的估计？怎样检验李大叔的估计是否正确？（1）先假设李大叔的估计正确，再根据问题中给定的数量关系来检验；（2）根据问题中给定的数量关系求出平均每只母牛和每只小牛1天各约需用饲料量，再来判断李大叔的估计是否正确．本题的等量关系是什么？30只母牛一天用的饲料量+15只小牛一天用的饲料量=675 （1）（30+12）只母牛一天用的饲料量+（15+5）只小牛一天用的饲料量=940（2）设平均每只母牛和每只小牛1天各约需用饲料xkg 和ykg ， 根据题意可列怎样的方程组？⎩⎨⎧=+=+)2(9402042)1(6751530y x y x 解这个方程组得⎩⎨⎧==520y x答：每只母牛和每只小牛1天各需用饲料为20kg和5kg，饲料员李大叔对母牛的食量估计正确，对小牛食量估计有一定的偏差.三、强化训练、当堂达标某所中学现在有学生4200人，计划一年后初中在校生增加8%，高中在校生增加11%，这样全校学生将增加10%，这所学校现在的初中在校生和高中在校生人数各是多少人？四、设计问题、布置预习1.课本108面1、2、3题.2.《一千零一夜》中有这样一段文字：有一群鸽子，其中一部分在树上欢歌，另一部分在地上觅食．树上的一只鸽子对地上觅食的鸽子说：“若从你们中飞上来一只，则树下的鸽子就是整个鸽群的1/3；若从树上飞下去一只，则树上、树下的鸽子就一样多了．”你知道树上、树下各有多少只鸽子吗？3.预习下一节.实际问题与二元一次方程（2）学习内容：用二元一次方程组解决实际问题.学习目标：1.学会借助二元一次方程组解决简单的实际问题.2.再次体会二元一次方程组与现实生活的联系和作用.3.提高解决问题的能力.重点难点：解决含有多个未知数的实际问题是重点；找出问题中的两个等量关系是难点.教学资源的利用：多媒体.导学流程：一、导入新课前面我们初步体验了用方程组解决实际问题的全过程，其实生产、生活中还有许多问题也能用方程组解决．二、呈现目标、任务导学（一）呈现目标用二元一次方程组解决实际问题.（二）互动探究看下面的问题：（投影1）据统计资料，甲、乙两种作物的单位面积产量的比是1:1:5，现要在一块长200 m，宽100 m的长方形土地，分为两块长方形土地，分别种植两种作物，怎样划分这块地，使甲、乙两种作物的总产量的比是3:4(结果取整数)？本题中的基本关系是什么？本题中的等量关系有哪些？总产量＝单位面积产量×面积甲作物的单位面积产量:乙作物的单位面积产量＝1:1.5甲作物的总产量:乙作物的总产量＝3:4怎样划分这块土地呢？第一种是甲、乙两种作物的种植区域分别为长方形AEFD 和BCFE ，如图（1）；第二种是甲、乙两种作物的种植区域分别为长方形ABFE 和FECD,如图（2）.(1) (2)对第一种种植方案，设AE=xm ，BE=ym ，可得怎样的方程组？⎩⎨⎧=⨯=+431005.1:100200：y x y x 解这个方程组，得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==172941715105y x 具体怎么划分呢？请你作答.过长方形土地的长边上离一端约106 m 处，把这块地分为两个长方形．较大一块地种甲作物，较小一块地种乙作物．你能求出第二种种植方案的答案吗？试试看. 三、强化训练、当堂达标一种圆凳由一个凳面和三条腿组成，如果1立方米木材可制作300条腿或制作凳面50个，现有9立方米的木材，为充分利用材料，请你设计一下，用多少木材做凳面，用多少木材做凳腿，最多能生产多少张圆凳？四、设计问题、布置预习 1.课本108面4、6题2.一个长方形，把它的长减少4cm ，宽增加2cm ，变成一个正方形，且面积与长方形的面积相等，怎样划分长方形？3.预习下一节.实际问题与二元一次方程（3）学习内容：用二元一次方程组解决实际问题. 学习目标：1.学会借助二元一次方程组解决简单的实际问题.2.再次体会二元一次方程组与现实生活的联系和作用.3.提高解决问题的能力. 重点难点：解决含有多个未知数的实际问题是重点；用列表分问题中的数量关系是难点. 教学资源的利用： 多媒体. 导学流程： 一、情景导入BF最近几年，全国各地普遍出现了夏季用电紧张的局面，为疏导电价矛盾，促进居民节约用电、合理用电，各地出台了峰谷电价试点方案．通常白天的用电称为高峰用电，即8:00～22:00，深夜的用电是低谷用电即22:00～次日8:00.（投影1）若某地的高峰电价为每千瓦时0.56元，低谷电价为每千瓦时0.28元．八月份小彬家的总用电量为125千瓦时，总电费为49元，你知道他家高峰用电量和低谷用电量各是多少千瓦时吗？像这样的实际问题还有很多. 二、呈现目标、任务导学 （一）呈现目标用二元一次方程组解决实际问题. （二）互动探究（投影2）如图，长青化工厂与A ，B 两地有公路、铁路相连．这家工厂从A 地购买一批每吨1 000元的原料运回工厂，制成每吨8 000元的产品运到B 地．公路运价为1. 5元（吨·千米），铁路运价为1.2元（吨·千米），这两次运输共支出公路运费15000元，铁路运费97200元．这批产品的销售款比原料费与运输费的和多多少元？要求“这批产品的销售款比原料费与运输费的和多多少元？”我们必须知道什么？ 销售款与产品数量有关，原料费与原料数量有关，而公路运费和铁路运费与产品数量和原料数量都有关．因此，我们必须知道产品的数量和原料的数量.本题涉及的量较多，我们知道，这种情况下常用列表的方式来处理.本题涉及哪两类量呢？一类是公路运费，铁路运费，价值；二类是产品数量，原料数量. 设产品重x 吨，原料重y 吨，列表如下：()()⎩⎨⎧=+⨯=+⨯972001201102.11500010205.1y x y x 解这个方程组，得⎩⎨⎧==400300y x 销售款:8000×300=2400000; 原料费:1000×400=400000; 运输费:15000+97200=112200.所以这批产品的销售款比原料费与运输的和多1887800元.AB铁路120km公路10km长春化工厂铁路110km 公路20km三、强化训练、当堂达标前面我们提到过峰谷电价问题，你能求出小彬家高峰用电量和低谷用电量各是多少千瓦时吗？试试看.四、设计问题、布置预习 1.课本5、8、9. 2.预习下一节. 课后反思：练 习 课学习内容：复习二元一次方程组的应用. 学习目标：1.复习二元一次方程组的解法.2.用二元一次方程组解决实际问题.3.体会二元一次方程组这种数学模型在生活中的应用. 重点、难点：重点是做一些练习；难点是列二元一次方程组. 教学资源的利用： 多媒体. 导学流程： 一、复习引入 1.解下列方程组. （3）53215.05.1=+=-y x y x （4）23123417x y x y +=⎧⎨+=⎩2.已知方程组⎩⎨⎧-=+=-275532y x y x ，求y x :的值.3.超市里某种罐头比解渴饮料贵1元，小彬和同学买了3听罐头和2听解渴饮料一共用了16元，你能求出罐头和解渴饮料的单价各是多少元吗？二、呈现目标、任务导学 （一）呈现目标进行实际问题与二元一次方程组的专项训练. （二）互动探究1.阅读下列解方程组的方法，然后回答并解决有关问题：解方程组191817(1)171615(2)x y x y +=⎧⎨+=⎩时，我们如果直接考虑消元，那将非常繁琐，而采用下面的解法却轻而易举：（1）－（2）得2x+2y=2,所以x+y=1(3).(3)×16,得16x+16y=16(4).(2)-(4)，得x=-1,从而y=2.所以原方程组的解是12x y =-⎧⎨=⎩，请用上述方法解方程组200820072006200620052004(2)xy xy +=⎧⎨+=⎩2.已知0432)2052(2=-++--y x y x 求y x ,的值.3.为了保护环境,某校环保小组成员收集废电池,第一天收集1号电池4节,5号电池5节,总重量为460克,第二天收集1号电池2节,5号电池3节,总重量为200克,试问1•号电池和5号电池每节分别重多少克?三、强化训练、当堂达标1.二元一次方程组941611x y x y +=⎧⎨+=-⎩的解满足2x －ky =10，则k 的值等于〔 〕A ．4B ．－4C ．8D ．－82.在b ax y +=中，当5=x 时6=y ，当1-=x 时2-=y ，则=a ，=b . 3.二元一次方程组⎩⎨⎧-=-+=+122323m y x m y x 的解互为相反数，则m ＝〔 〕 A.－7 B.－8 C.－10 D.－12 四、设计问题、布置预习 1.解方程组（1）⎩⎨⎧-=+=-++10512)()(2y x y x y x （2）⎪⎩⎪⎨⎧-=-=+743243y x yx2.预习下一节. 课后反思：三元一次方程组解法举例学习内容：简单的三元一次方程组的解法. 学习目标：1.了解三元一次方程组的概念.2.掌握三元一次方程组的解法.3.体会三元一次方程组的应用.重点、难点：三元一次方程组的解法既是重点，也是难点.教学资源的利用：多媒体.导学流程：一、导入新课前面我们学习了二元一次方程组及其解法，知道有些含有两个未知数的问题，可以列出二元一次方程组来解决.实际上，有不少问题含有三个或更多的未知数，那么怎样解决呢？二、呈现目标、任务导学（一）呈现目标学习三元一次方程组的解法.（二）自主学习.看下面的问题：（投影1）小明手头有12张面额分别为1元，2元，5元的纸币，共计22元，其中1元纸币的数量是2元纸币数量的4倍，求1元、2元、5元纸币各多少张？这里有三个未知数，自然要设1元、2元、5元的纸币分别为x张、y张、z张，依题意，有x+y+z=12x+2y+5z=22x=4y这个问题的解必须同时满足上面三个条件，因此，我们把这三个方程全在一起，写成x+y+z=12 ①x+2y+5z=22 ②x=4y ③这个方程含有三个相同的未知数，每个方程中含未知数的项的次数都是1，并且一共有三个方程，像这样的方程叫做三元一次方程组.（三）互动探究怎样解三元一次方程组呢？我们知道二元一次方程组是通过消元变成一元一次方程组来解的，那么能不能通过消元把三元一次方程组变为二元一次方程组来解呢？显然，把方程③分别代入方程①②消去x就变成了二元一次方程组，即5y+z=12 ①6y+5z=22 ②因此，（投影2）解三元一次方程组的基本思想是：通过“代入”或“加减”进行消元，把“三元”变成“二元”，从而把三元一次方程组转化为二元一次方程组来解.这里还体现了化归的思想方法.（四）合作学习（投影3）解三元一次方程组3x+4z=12 ①2x+3y+z=9 ②5x－9y+7 z=8 ③。
第八章二元一次方程组学案
8.1二元一次方程组年级:七年级科目：数学执笔: 路红升审核:内容: 二元一次方程组课型: 新课时间:学习目标：1、理解并能说出二元一次方程、二元一次方程组及二元一次方程组的解的概念；2、通过实例认识二元一次方程和二元一次方程组都是反映两个未知数的等量关系3、通过对课本知识的探究和应用，提高学生的逻辑思维能力和分析解决问题的能力.学习重点：二元一次方程、二元一次方程组的解的概念及二元一次方程（组）的解检验学习难点：求二元一次方程的特殊解学习过程：一、探究与思考1、问题：篮球联赛中，每场比赛都要分出胜负，每队胜一场得2分.负一场得1分，某队为了争取较好的名次，想在全部22场比赛中得到40分，那么这个队胜负场数分别是多少？思考：这个问题中包含了哪些必须同时满足的条件？设胜的场数是x，负的场数是y，你能用方程把这些条件表示出来吗？由问题知道，题中包含两个必须同时满足的条件：胜的场数＋负的场数＝总场数，胜场积分＋负场积分＝总积分.这两个条件可以用方程_____________________________，_____________________________表示。
观察上面两个方程可看出，每个方程都含有未知数（x和y），并且含有未知数的都是1，像这样的方程叫做二元一次方程。
练习题(1)3x＋2y＝6，它有_____个未知数，且未知数的最高次数是___次，因此是_____元______次方程(2)下列各式是不是二元一次方程：○13x＋2y ○22－x+3+5=0 ○3 3x-4y=z ○4x+xy=1 ○5x2+3x=5y ○67x-y=0(3)3x＋2y＝6，通过怎样的变化可使x＝_____ ，如用x来表示y，则y＝__________(4)x+2y=3, 用x表示y=________；用y表示x=________2、探究讨论：把前面问题中两个方程合在一起，写成x ＋y ＝22 ①2x ＋y ＝40 ②像这样，把两个二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组 练习题下列方程组是不是二元一次方程组⎩⎨⎧=+=+75243)1(y x y x ⎩⎨⎧=+=7524)2(y x xy ⎩⎨⎧=+=+7243)3(z x y x ⎩⎨⎧=+=+75243)4(2y x y x 3. 探究讨论：一般地，使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解.思考：上表中哪对x 、y 的值还满足方程② x=18y=4 既满足方程①，又满足方程②，也就是说它们是方程①与方程二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解.二、做一做(1)3x=6是____元____次方程，其解x=_____，有______个解，3x ＋2y ＝6，当x=0时，y=_____；当x=2时，y=_____；当y=5时，x=____ （使二元一次方程左右两边相等的______个未知数的值，叫作二元一次方程的解。
人教版七年级数学下册第八章第三节二元一次方程组应用学案
一、专题精讲二元一次方程组精选应用题库二元一次方程组是最简单的方程组，其应用广泛，尤其是生活、生产实践中的许多问题，大多需要通过设元、列二元一次方程组来加以解决。
列二元一次方程组解应用题的一般步骤可概括为“审、找、列、解、答”五步，即：（1）审：通过审题，把实际问题抽象成数学问题，分析已知数和未知数，并用字母表示其中的两个未知数；（2）找：找出能够表示题意两个相等关系；（3）列：根据这两个相等关系列出必需的代数式，从而列出方程组；（4）解：解这个方程组，求出两个未知数的值；（5）答：在对求出的方程的解做出是否合理判断的基础上，写出答案.现将中考中常见的几种题型归纳如下：一、市场营销问题例1某商场购进甲、乙两种服装后，都加价40%标价出售. “春节”期间商场搞优惠促销，决定将甲、乙两种服装分别按标价的八折和九折出售. 某顾客购买甲、乙两种服装共付款182元，两种服装标价之和为210元. 问这两种服装的进价和标价各是多少元？二、生产问题例2某工厂第一季度生产两种机器共480台. 改进生产技术后，计划第二季度生产两种机器共5544台，其中甲种机器产量要比第一季度增产10%，乙种机器产量要比第一季度增产20%. 该厂第一季度生产甲、乙两种机器各多少台？三、校舍改造问题例3为满足市民对优质教育的需求，某中学决定改变办学条件，计划拆除一部分旧校舍，建造新校舍，拆除旧校舍每平方米需80元，建造新校舍每平方米需700元. 计划在年内拆除旧校舍与建造新校舍共7200平方米，在实施中为扩大绿地面积，新建校舍只完成了计划的80%，而拆除旧校舍则超过了计划的10%，结果恰好完成了原计划的拆、建总面积.（1）求原计划拆、建面积各是多少平方米？（2）若绿化1平方米需200元，那么在实际完成的拆、建工程中节余的资金用来绿化大约是多少平方米？四、方案选择问题例4李明家和陈刚家都从甲、乙两供水点购买同样的一种桶装矿泉水，李明家第一季度从甲、乙两供水点分别购买了8桶和12桶，且在乙供水点比在甲供水点多花18元钱. 若只考虑价格因素，通过计算说明到哪家供水点购买这种桶装矿泉水更便宜一些？1、某天，一蔬菜经营户用60元钱从蔬菜批发市场批了西红柿和豆角共40kg到菜市场2、随着我国人口速度的减慢，小学入学儿童数量每年按逐渐减少的趋势发展，某区2003年和2004年小学儿童人数之比为8 : 7，且2003年入学人数的2倍比2004年入学人数的3倍少1500人，某人估计2005年入学儿童数将超过2300人，请你通过计算，判断他的估计是否符合当前的变化趋势.五、数字问题例1 一个两位数，比它十位上的数与个位上的数的和大9；如果交换十位上的数与个位上的数，所得两位数比原两位数大27，求这个两位数．六、利润问题例2一件商品如果按定价打九折出售可以盈利20%；如果打八折出售可以盈利10元，问此商品的定价是多少？七、配套问题例3某厂共有120名生产工人，每个工人每天可生产螺栓25个或螺母20个，如果一个螺栓与两个螺母配成一套，那么每天安排多名工人生产螺栓，多少名工人生产螺母，才能使每天生产出来的产品配成最多套？八、行程问题例4在某条高速公路上依次排列着A、B、C三个加油站，A到B的距离为120千米，B到C的距离也是120千米．分别在A、C两个加油站实施抢劫的两个犯罪团伙作案后同时以相同的速度驾车沿高速公路逃离现场，正在B站待命的两辆巡逻车接到指挥中心的命令后立即以相同的速度分别往A、C两个加油站驶去，结果往B站驶来的团伙在1小时后就被其中一辆迎面而上的巡逻车堵截住，而另一团伙经过3小时后才被另一辆巡逻车追赶上．问巡逻车和犯罪团伙的车的速度各是多少？九、货运问题典例5 某船的载重量为300吨，容积为1200立方米，现有甲、乙两种货物要运，其中甲种货物每吨体积为6立方米，乙种货物每吨的体积为2立方米，要充分利用这艘船的载重和容积，甲、乙两重货物应各装多少吨？十、工程问题例 6 某服装厂接到生产一种工作服的订货任务，要求在规定期限内完成，按照这个服装厂原来的生产能力，每天可生产这种服装150套，按这样的生产进度在客户要求的期限内只能完成订货的；现在工厂改进了人员组织结构和生产流程，每天可生产这种工作服200套，这样不仅比规定时间少用1天，而且比订货量多生产25套，求订做的工作服是几套？要求的期限是几天？十一．分配问题某停车场的收费标准如下：中型汽车的停车费为6元/辆，小型汽车的停车费为4元/辆.现在停车场有50辆中、小型汽车，这些车共缴纳停车费230元，问中、小型汽车各有多少辆？例2某蔬菜公司收购蔬菜进行销售的获利情况如下表所示：现在该公司收购了140吨蔬菜，已知该公司每天能精加工蔬菜6吨或粗加工蔬菜16吨（两种加工不能同时进行）．（1）如果要求在18天内全部销售完这140吨蔬菜，请完成下列表格：（2）如果先进行精加工，然后进行粗加工，要求在15天内刚好加工完140吨蔬菜，则应如何分配加工时间？例3为满足市民对优质教育的需求，某中学决定改变办学条件，计划拆除一部分旧校舍，建造新校舍，拆除旧校舍每平方米需80元，建新校舍每平方米需700元. 计划在年内拆除旧校舍与建造新校舍共7200平方米，在实施中为扩大绿地面积，新建校舍只完成了计划的80%，而拆除旧校舍则超过了计划的10%，结果恰好完成了原计划的拆、建总面积.（1）求：原计划拆、建面积各是多少平方米？（2）若绿化1平方米需200元，那么在实际完成的拆、建工程中节余的资金用来绿化大约是多少平方米？二：专题过关1.某厂买进甲、乙两种材料共56吨，用去9860元。
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二元一次方程学习目标：1、认识二元一次方程2、了解二元一次方程的解3、会求二元一次方程的正整数解4、列二元一次方程 二、例题解析1、已知方程3x m-2-2y 2n-1=7是二元一次方程，求m 和n 的值．2、已知⎩⎨⎧-==13y x 是方程42-=-y mx 解，求m 的值.3、方程82=+y x 的正整数解补充例题：1、用x 的代数式表示y 的代数式．x －y ＝3 2x=3y 2x=3y+1 2x=4y-1 3x-4y=3 4x+3y=2 2、把方程化为一般形式：X=y-1 2x=3(y-1) 2(x+1)-3(y-1)=5 3x-1=2(y+1)-1三、同步练习：1．已知方程21123m x +-y 2-3n=1是二元一次方程，则m=_____，n=_______2．在（1）5121(2)(3)(4)2346x x x x y y y y ==-==⎧⎧⎧⎧⎨⎨⎨⎨=-=-==⎩⎩⎩⎩中， _______是方程7x-3y=2的解；•________是方程2x+y=8的解；3．若1213x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩是方程4x+9x-15m=0的一组解，则m=_______．4、甲种面包每个2元，乙种面包每个2.5元，现在某人买了x 个甲种面包，y 个乙种面包，共花了30元.（1）列出关于x 、y 的二元一次方程 ; （2）如果5=x ，那么=y .（3）如果乙种面包买了4个，那么甲种面包买了 个.5、二元一次方程x+2y=7的正整数解是______________．6、现有足够的1元、2元的人民币，需要把面值为10元人民币换成零钱，请你设计几种兑换方案．二元一次方程组学习目标：1、认识二元一次方程组；2、了解二元一次方程组的解3、列二元一次方程组 一、教学过程例题：篮球联赛中，每场比赛都要分出胜负，每队胜一场得2分.负一场得1分，某队为了争取较好的名次，想在全部10场比赛中得到16分，那么这个队胜负场数分别是多少？ 解：设胜的场数是x ，负的场数是y由题意得二元一次方程组的解：二、例题：1、已知关于x ，y 的二元一次方程组⎩⎨⎧=+=+23,4y nx my x 的解是⎩⎨⎧-==,3,1y x 求m ＋n 的值．2、 某校师生200人到甲乙两地参观学习，到甲地的人数比到乙地的人数的2倍少4人．到两地的人数各是多少？（列方程组表示，不要求出解） 二、练习：1、已知下列三对值：x ＝－6 x ＝10 x ＝10 y ＝－9 y ＝－6 y ＝－1（1） 哪几对数值使方程21x －y ＝6的左、右两边的值相等？ （2）哪几对数值是方程组的解？2、若⎩⎨⎧==2,1y x 是方程组⎩⎨⎧=+=-3,0by x y ax 的解，则a ＝______，b ＝______．3、若｜x －2｜＋(3y ＋2x )2＝0，则yx的值是______． 4、已知y ＝ax ＋b ，当x ＝1时，y ＝1；当x ＝－1时，y ＝0，则a ＝______，b ＝______ 5、若等式0|21|)42(2=-+-y x 中的x 、y 满足方程组⎩⎨⎧=+=+,165,84n y x y mx 求2m 2－n ＋41mn 的值 6、已知⎩⎨⎧-==12y x 是方程组⎩⎨⎧-=-=+4232y nx my x 的解，求m 、n 的值.7、根据题意列出方程组：1、某班共有学生42人，男生比女生人数的2倍少6人，问男、女生各有多少人?2、苹果的售价3元/kg ，葡萄的售价是4元/kg ，，小华共买了苹果和葡萄9kg ，付款2921x －y ＝6 2x ＋31y ＝－11元。
3、小颖和她的爸爸一起玩投篮游戏.规则为：小颖投中一个得3分，爸爸投中一个得1分，结果两人一共投中20个，计算发现两人的得分刚好相等4、甲种铅笔每支0.2元，乙种铅笔2支0.5元，现在某人买了x支甲种铅笔，y支乙种铅笔，共花了4.5元，已知甲种铅笔数是乙种铅笔数的2 倍.甲种铅笔、乙种铅笔各买了多少支？5、某玩具厂要生产一批玩具，若每天生产35个，则差10个才能完成任务；若每天生产40个，则可超额生产20个．求预定期限是多少天?计划生产多少个玩具?6、小亮在“智力快车”竞赛中回答10个问题，答对一题得4分，答错一题扣1分，他共得25分，小亮答对几题、答错几题？7、某玩具厂要生产一批玩具，若每天生产35个，则差10个才能完成任务；若每天生产40个，则可超额生产20个．求预定期限是多少天?计划生产多少个玩具?消元----二元一次方程组的解法（一）学习目标：1．会用代入法解二元一次方程组.2．解二元一次方程组的基本思想――“消元”.1、复习提问：篮球联赛中，每场比赛都要分出胜负，每队胜一场得2分.负一场得1分，某队为了争取较好的名次，想在全部22场比赛中得到40分，那么这个队胜负场数分别是多少？解：设胜的场数是x，负的场数是y由题意得x＋y＝10 ①2x＋y＝16 ②那么怎样求解二元一次方程组呢？上面的二元一次方程组和一元一次方程有什么关系？例1解方程组①②y2x3,3x2y8.⎧=-⎨+=⎩解后反思：(1)选择哪个方程代人另一方程？其目的是什么？(2)为什么能代？(3）只求出一个未知数的值，方程组解完了吗？(4)把已求出的未知数的值，代入哪个方程来求另一个未知数的值较简便？(5)怎样知道你运算的结果是否正确呢？解方程组：①②2x y 12, y 3x 2 . ⎧+=⎨=+⎩①②x 12y, 2x 3y 2. ⎧=-⎨+=-⎩⎩⎨⎧=--=523x y x y⎩⎨⎧+==-1302y x y x ⎩⎨⎧=++=143,5y x y x ⎩⎨⎧-=-+=122y x x y1.已知方程x －2y ＝8，用含x 的式子表示y ，则y =_________________， 用含y 的式子表示x ，则x =________________2、．解方程组21,328y x x y =-⎧⎨-=⎩把①代入②可得_______3、以方程组⎩⎨⎧-=+-=1,2x y x y 的解为坐标的点(x ，y )在平面直角坐标系中的位置是( )．(A)第一象限(B)第二象限(C)第三象限(D)第四象限4、在下列各对数值中，哪一对是方程组⎩⎨⎧-=++=521y x x y 的解？（1）⎩⎨⎧==21y x ;（2）⎩⎨⎧-=-=23y x ;（3）⎩⎨⎧-=-=12y x ;（4）⎩⎨⎧-=-=31y x5、下列方程组中和方程组⎩⎨⎧=+-=732,43y x y x 同解的是( )．(A)⎩⎨⎧=+=.732,11y x x(B)⎩⎨⎧=+=.732,5y x y(C)⎩⎨⎧=+--=.7386,43y x y x(D)⎩⎨⎧-==.43,1y x x6、已知3a 4b 3x 与5a 4x b 3+2y 是同类项，那么，x=_______，y=________．7、若方程组431,(1)3,x y ax a y +=⎧⎨+-=⎩的解x 与y 相等，则a=________．(2)：①②2x y 5 , 3x 4y 2. ⎧-=⎨+=⎩解：由①，得y=____________.③ 把③代入_____，得_______________.解这个方程,得x=_____.把x=_____代入_____，得y=_____.所以这个方程组的解是x ____,y ____.⎧=⎨=⎩消元——二元一次方程组的解法（2）学习目标：1、会用代入法解较简单的二元一次方程组.（移项后代入）；1. 填空：(1)由y+2x=1，得y=__________； (2)由x+2y=1，得x=__________； (3)由2x-y=1，得y=__________； (4)由2y-x=1，得x=__________.2.完成下面的解题过程：(用代入法解方程组)(结合P97页例1,分析填空)(1): 2x 3y 2, ①x 12y.②⎧+=-⎨=-⎩解：把②代入①，得________. 解这个方程，得y=____.把y=____代入②得x=____.所以这个方程组的解是x ____ ,y ____.⎧=⎨=⎩用代入法解下列方程(写出文字说明)（1）⎩⎨⎧=+=-5253y x y x （3）⎩⎨⎧=+=-152y x y x课堂检测4. 把下列方程写成用含x 的式子表示y 的形式： （1）2x －y ＝3 （2）3x ＋y －1＝0①②2x y 5, 5x y 9. ⎧+=⎨-=⎩ 5.用代入法解方程组 y ＝3 ① (2) 8y ＝14 ②（3）⎩⎨⎧-=+=-14329m n n m （4）⎩⎨⎧=+-=-q p q p 451332消元——二元一次方程组的解法(3)学习目标：1. 会用代入法解比较复杂的二元一次方程组.（变形、化简后代入）讲授新知1.填空：(1)由3x+4y=1，得y=_____________；(2)由3x+4y=1，得x=______________；(3)由5x-2y+12=0，得y=______________；(4)由5x-2y+12=0，得x=____________. 2. (1)x 3y 2, ①3x 4y 50. ②⎧-=⎨--=⎩ 解：由①，得x=____________.③ 把③代入②，得____________.解这个方程，得y=_____.把y=_____代入_____，得x=_____.所以这个方程组的解是x ____ ,y ____.⎧=⎨=⎩三、练习1、将二元一次方程5x ＋2y=3化成用含有x 的式子表示y 的形式是y= ；化成用含有y 的式子表示x 的形式是x= 。
2、用代入消元法解方程组⎩⎨⎧=-=+②①52,243y x y x 使得代入后化简比较容易的变形是( )．(A)由①得342y x -= (B)由①得432xy -=(C)由②得25+=y x(D)由②得y ＝2x －53、完成下面的解题过程： 用代入法解方程组：①②4x 9y 8, 2x 3y 1. ⎧-=⎨+=-⎩解法一：由①，得x=____________.③ 把③代入②，得_______________.解这个方程，得y=_____. 把y=____代入，_____得x=____.所以这个方程组的解是x ____ ,y ____.⎧=⎨=⎩4、.用代入法解下列方程组．（1）⎩⎨⎧=-=52332t s t s （2）⎩⎨⎧-=+=+11871365y x y x解法二：由②，得y=____________.③把③代入①，得_______________________. 解这个方程，得x=_____. 把x=_____代入_____，得y=_____. 所以这个方程组的解是x ____ ,y ____.⎧=⎨=⎩（3）⎩⎨⎧=-=-y x y x 32153 （4）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+236244n m nm5、用代入消元法解下列方程组：⎩⎨⎧=--=243263y x y x ⎩⎨⎧-=+-=-134532y x y x ⎩⎨⎧-=+=+11871365y x y x 232=+b a 6、（1）甲、乙两数的和是25，甲数比乙数的2 倍大1，求这两个数.（2）有大小两种蛋糕，2个大蛋糕1个小蛋糕售价6元，1个大蛋糕2个小蛋糕售价4.5元，大小蛋糕售价各是多少元？消元——二元一次方程组的解法（4）学习目标：1.会用加减法解简单的二元一次方程组.（直接加减）2.进一步体会解二元一次方程组的基本思想——“消元”，渗透化归思想. 一、讲授新知3. 加减消元法的概念 如果两个二元一次方程中同一未知数的系数______或______时，将两个方程的两边分别______或______，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程，这种方法叫做加减消元法二、完成下面的解题过程：(用加减法解方程组并与同学生说明为什么用“加”或“减”的)(1)①②3x 7y 9 , 4x 7y 5.⎧+=⎨-=⎩194-=-b a (2) ①②3x 7y 9 , 4x 7y 5.⎧+=⎨+=⎩解：①+②，得____________.解这个方程，得x=____.把x=____代入____，得_________， y=_____.所以这个方程组的解是x ____ ,y ____.⎧=⎨=⎩三、练习 1、方程组⎩⎨⎧=-=+7283y x y x 的解是( )．(A)⎩⎨⎧-=-=.1,3y x (B)⎩⎨⎧=-=.3,1y x (C)⎩⎨⎧-==.1,3y x (D)⎩⎨⎧=-=.1,3y x2、已知代数式b kx +，当x =2时，代数式的值是－3；当x =4时，代数式的值是－7. 求这个代数式.3、.解方程组 ⎩⎨⎧=+=-15y x y x⎩⎨⎧=+=-182y x y x ⎩⎨⎧=+=-1252y x y x ⎩⎨⎧=+=-152y x y x （1）⎩⎨⎧=+=-924523n m n m （2） （3）(4)⎩⎨⎧=-=-1523625y x y x （5）①②3x 7y 9 , 4x 7y 5. ⎧+=⎨+=⎩①②6x 7y 19 , 6x 5y 17. ⎧+=-⎨-=⎩ 8.2消元——二元一次方程组的解法（5）学习目标：会用加减法解较简单的二元一次方程组.（乘后加减） 讲授新知x-y+1=0 3x+y+5=0 x-y=1 3x+y=51.完成下面的解题过程：（1） ①②3x 2y 4 , 3x 3y 10. ⎧+=⎨+=⎩解：①-②，得___________.解这个方程，得y=_____.把y=__代入__，得______， x=_____.所以这个方程组的解是x ____ ,y ____.⎧=⎨=⎩2、阅读P95页中例3,“分析”。