全等三角形中辅助线的添加完整版

全等三角形中辅助线的

添加

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全等三角形中辅助线的添加

一.教学内容：全等三角形的常见辅助线的添加方法、基本图形的性质的掌握及熟练应用。

二．知识要点：

1、添加辅助线的方法和语言表述

（1）作线段：连接……；

（2）作平行线：过点……作……∥……；

（3）作垂线（作高）：过点……作……⊥……，垂足为……；

（4）作中线：取……中点……，连接……；

（5）延长并截取线段：延长……使……等于……；

（6）截取等长线段：在……上截取……，使……等于……；

（7）作角平分线：作……平分……；作角……等于已知角……；

（8）作一个角等于已知角：作角……等于……。

2、全等三角形中的基本图形的构造与运用

常用的辅助线的添加方法：

（1）倍长中线（或类中线）法：若遇到三角形的中线或类中线（与中点有关的线段），通常考虑倍长中线或类中线，构造全等三角形。

（2）截长补短法：若遇到证明线段的和差倍分关系时，通常考虑截长补短法，构造全等三角形。①截长：在较长线段中截取一段等于另两条中的一条，然后证明剩下部分等于另一条；②补短：将一条较短线段延长，延长部分等于另一条较短线段，然后证明新线段等于较长线段；或延长一条较短线段等于较长线段，然后证明延长部分等于另一条较短线段。

（3）一线三等角问题（“K”字图、弦图、三垂图）：两个全等的直角三角形的斜边恰好是一个等腰直角三角形的直角边。

（4）角平分线、中垂线法：以角平分线、中垂线为对称轴利用”轴对称性“构造全等三角形。

（5）角含半角、等腰三角形的（绕顶点、绕斜边中点）旋转重合法：用旋转构造三角形全等。

（6）构造特殊三角形：主要是30°、60°、90°、等腰直角三角形(用平移、对称和弦图也可以构造)和等边三角形的特殊三角形来构造全等三角形。

三、基本模型：

（1）

△ABC中AD是BC边中线

方式1：延长AD到E，使DE=AD，连接BE

方式2：间接倍长，作CF⊥AD于F，作BE⊥AD的延长线于E，连接BE

方式3：延长MD到N，使DN=MD，连接CD

（2）

由△ABE≌△BCD导出由△ABE≌△BCD导出由△ABE≌△BCD 导出

BC=BE+ED=AB+CD ED=AE-CD EC=AB-CD

（3）角分线，分两边，对称全等要记全

角分线+垂线，等腰三角形必呈现（三线合一）

（4）

D C

B A ①旋转：

方法：延长其中一个补角的线段（延长CD 到E ，使ED=BM ，连AE 或延长CB 到F ，使FB=DN ，连AF ）

结论：①MN=BM+DN ②AB C CMN 2=∆ ③AM 、AN 分别平分∠BMN 和∠DNM

②翻折：

思路:分别将△ABM 和△ADN 以AM 和AN 为对称轴翻折，但一定要证明 M 、P 、N 三点共线.（∠B+∠D =0

180且AB=AD ）

（5）手拉手模型

①△ABE 和△ACF 均为等边三角形

结论：（1）△ABF ≌△AEC ；（2）∠B0E=∠BAE=60°（“八字型”模型证明）；（3）OA 平分∠EOF 拓展：

条件：△ABC 和△CDE 均为等边三角形

结论：（1）、AD=BE （2）、∠ACB=∠AOB （3）、△PCQ 为等边三角形 （4）、PQ ∥AE （5）、AP=BQ （6）、CO 平分∠AOE （7）、OA=OB+OC （8）、OE=OC+OD （（7），（8）需构造等边三角形证明） ②△ABD 和△ACE 均为等腰直角三角形 结论：（1）、BE =CD （2）BE ⊥CD ③ABEF 和ACHD 均为正方形

结论：（1）、BD ⊥CF （2）、BD =CF

变形一：ABEF 和ACHD 均为正方形，AS ⊥BC 交FD 于T ， 求证：①T 为FD 的中点. ②.ADF ABC S S ∆∆=

方法一： 方法二： 方法三：

变形二：ABEF 和ACHD 均为正方形，M 为FD 的中点，求证：AN ⊥BC

④当以AB 、AC 为边构造正多边形时，总有：∠1=∠2=

n

360180-

. 四、典型例题：

考点一：倍长中线（或类中线）法：

核心母题 已知，如图△ABC 中，AB=5，AC=3，则中线AD 的取值范围是_________.

练习：

1、如图，△ABC 中，E 、F 分别在AB 、AC 上，DE ⊥DF ，D 是中点，试比较BE+CF 与EF 的大小.

2、如图，△ABC 中，BD=DC=AC ，E 是DC 的中点，求证：AD 平分∠

BAE. 3、如图，CE 、CB 分别是△ABC 与△ADC 的中线，且∠ACB=∠ABC ，求证：CD=2CE 。 4、已知：如图，在正方形ABCD 中，E 是BC 的中点，点F 在CD 上，∠FAE=∠BAE ．求证：AF=BC+FC ．

5、如图，D 是AB 的中点，∠ACB=90°,求证：2CD=AB.

6、已知在△ABC 中，AB=AC ，D 在AB 上，E 在AC 的延长线上，DE 交BC 于F ，且DF=EF ，求证：BD=CE 。

7、已知在△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 上一点，且BE=AC ，延长BE 交AC 于F ，求证：AF=EF 。

8、已知：如图，在ABC ∆中，AC AB ≠，D 、E 在BC 上，且DE=EC ，过D 作BA DF //交AE 于点F ，DF=AC. 求证：AE 平分BAC ∠。

9、以ABC ∆的两边AB 、AC 为腰分别向外作等腰Rt ABD ∆和等腰Rt ACE ∆，90,BAD CAE ∠=∠=︒连接DE ，M 、N 分别是

BC 、DE 的中点．探究：AM 与DE 的位置关系及数量关系． （1）如图① 当ABC ∆为直角三角形时，AM 与DE 的位置关系

是 ，线段AM 与DE 的数量关系是 ；

（2）将图①中的等腰Rt ABD ∆绕点A 沿逆时针方向旋转︒

θ(0<θ<90)后，如图②所示，（1）问中得到的两个结论是否发生改变？并说明理由．

10、已知：△ABC 和△ADE 是两个不全等的等腰直角三角形，其中BA =BC ，DA =DE ，联结EC ，取EC 的中点M ，联结BM 和DM ．

（1）如图1，如果点D 、E 分别在边AC 、AB 上，那么BM 、DM 的数量关系与位置关系

是 ；

（2）将图1中的△ADE 绕点A 旋转到图2的位置时，判断（1）中的结论是否仍然成

立，并说明理由．

变式1：已知：在Rt △ABC 中，AB=BC ，在Rt △ADE 中，AD=DE ，连结EC ，取EC 的中点M ，连结DM 和BM ． （1）若点D 在边AC 上，点E 在边AB 上且与点B 不重合，如图①，探索BM 、DM 的关系并给予证明； （2）如果将图①中的△ADE 绕点A 逆时针旋转小于45°的角，如图②，那么（1）中的

结论是否仍成

立？如果不成立，请举出反例；如果成立，请给予证明．

变式:2：已知：△ABC 和△ADE 都是等腰直角三角形，∠ABC =∠ADE =90°，点M 是CE

的中点，连接BM .

第 1 题图

A

B

F

D

E

C M

E

A

B

C

B E B E