沪科版九年级数学上 二次函数课件 适用
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沪科版九年级数学上21.1二次函数 (共22张PPT)
13、He who seize the right moment, is the right man.谁把握机遇，谁就心想事成。2021/8/312021/8/312021/8/312021/8/318/31/2021 •14、谁要是自己还没有发展培养和教育好，他就不能发展培养和教育别人。2021年8月31日星期二2021/8/312021/8/312021/8/31 •15、一年之计，莫如树谷；十年之计，莫如树木；终身之计，莫如树人。2021年8月2021/8/312021/8/312021/8/318/31/2021 •16、教学的目的是培养学生自己学习，自己研究，用自己的头脑来想，用自己的眼睛看，用自己的手来做这种精神。2021/8/312021/8/31August 31, 2021 •17、儿童是中心，教育的措施便围绕他们而组织起来。2021/8/312021/8/312021/8/312021/8/31
• You have to believe in yourself. That's the secret of success. 人必须相信自己，这是成功的秘诀。
•
定义：一般地，形如y=ax²+bx+c(a,b,c是常 数,a≠ 0)的函数叫做x的二次函数。
注意： （1）等号左边是变量y，右边是关于自变量x的
例1、下列函数中，哪些是二次函数？若
是,分别指出二次项系数,一次项系数,常数项.
(1) y=3(x-1)²+1
(2)
y=x+
_1_ x
(3) s=3-2t² (5)y= _x1_²-x
(4) y=(x+3)²-x² (6) v=10πr²
先化简后判断
例2、y=（m+3）xm2-7 为二次函数，求m的值。
• You have to believe in yourself. That's the secret of success. 人必须相信自己，这是成功的秘诀。
•
定义：一般地，形如y=ax²+bx+c(a,b,c是常 数,a≠ 0)的函数叫做x的二次函数。
注意： （1）等号左边是变量y，右边是关于自变量x的
例1、下列函数中，哪些是二次函数？若
是,分别指出二次项系数,一次项系数,常数项.
(1) y=3(x-1)²+1
(2)
y=x+
_1_ x
(3) s=3-2t² (5)y= _x1_²-x
(4) y=(x+3)²-x² (6) v=10πr²
先化简后判断
例2、y=（m+3）xm2-7 为二次函数，求m的值。
二次函数的图像和性质求二次函数解析式课件沪科版数学九年级上册
2
解析式.
分析： 根据二次函数图象上加下减、左加右减的平移规律进行求解
解：
把二次函数y=-
1 2
x2的图象向上平移2个单位
得：y=- 1 x2+2
2
再向左平移1个单位
1
得：y=- 2 (x+1)2+2
故平移后二次函数的解析式为：y=-
1 2
x2-x+
3 2
y
2
-1 O
x
• 例. 把二次函数y=x2+bx+c的图象向右平移3个单位，再向下平移2个单位，所得二次函数 图象的解析式为y=x2-3x+5，则b+c=_____ 分析： 先把所得二次函数图象的解析式化为顶点式的形式 根据二次函数图象上加下减、左加右减的平移规律进行求解
• 例.已知二次函数图象与x轴的交点的横坐标为−2和1,且经过点(0,3)，求这个二次函数的解析式.
分析：
设二次函数的解析式为 y=a(x-x1)(x-x2)
解： 设二次函数的解析式为y=a(x-x1)(x-x2) ∵二次函数图象与x轴的交点的横坐标为−2和1 ∴二次函数图象与x轴的交点坐标为(-2,0)和(1,0).
-1 O 1 3
x
●
●
-4
解： ∵抛物线C:y=x2+2x−3=(x+1)2−4
因此将抛物线C向右平移4个单位．
∴抛物线C的顶点坐标是(-1,-4) ∵两条抛物线关于直线x=1对称
故选: B．
∴抛物线C′的顶点坐标是(3,-4)
求二次函数解析式
一般式(三点式)
y=ax2+bx+c(a≠0） 已知二次函数图象上三点的坐标,通常选择一般式.
解析式.
分析： 根据二次函数图象上加下减、左加右减的平移规律进行求解
解：
把二次函数y=-
1 2
x2的图象向上平移2个单位
得：y=- 1 x2+2
2
再向左平移1个单位
1
得：y=- 2 (x+1)2+2
故平移后二次函数的解析式为：y=-
1 2
x2-x+
3 2
y
2
-1 O
x
• 例. 把二次函数y=x2+bx+c的图象向右平移3个单位，再向下平移2个单位，所得二次函数 图象的解析式为y=x2-3x+5，则b+c=_____ 分析： 先把所得二次函数图象的解析式化为顶点式的形式 根据二次函数图象上加下减、左加右减的平移规律进行求解
• 例.已知二次函数图象与x轴的交点的横坐标为−2和1,且经过点(0,3)，求这个二次函数的解析式.
分析：
设二次函数的解析式为 y=a(x-x1)(x-x2)
解： 设二次函数的解析式为y=a(x-x1)(x-x2) ∵二次函数图象与x轴的交点的横坐标为−2和1 ∴二次函数图象与x轴的交点坐标为(-2,0)和(1,0).
-1 O 1 3
x
●
●
-4
解： ∵抛物线C:y=x2+2x−3=(x+1)2−4
因此将抛物线C向右平移4个单位．
∴抛物线C的顶点坐标是(-1,-4) ∵两条抛物线关于直线x=1对称
故选: B．
∴抛物线C′的顶点坐标是(3,-4)
求二次函数解析式
一般式(三点式)
y=ax2+bx+c(a≠0） 已知二次函数图象上三点的坐标,通常选择一般式.
二次函数的概念课件(共27张PPT)沪科版数学九年级上学期
初中数学 九年级 第一学期 《二次函数》
26.1 二 次 函 数 的 概 念
上海教育出版社 九年义务教育课本 九年级 第一学期（试用本）
一、情境引入
一、情境引入
消防水枪的喷射路线
一、情境引入
投出的篮球
跳水比赛
一、情境引入
喷水池喷射出的一条水线
一、情境引入
问题1 我们已经学习过哪些函数？
问题2 从哪些方面研究这些函数？
方厘米，那么 y 关于 x 的函数解析式是__________.
问题6 把一根40厘米的铁丝分为两段，再分别把每一段弯折成一个正方形．设
其中一段铁丝长为 x 厘米，两个正方形的面积和为
y 平方厘米，那么 y
= − + . 定义域是_________.
关于 x 的函数解析式是_____________
问题3 如何研究新的函数？
实际问题
概
念
图
像
性
质
实际应用
一、情境引入
抛物线
一、情境引入
问题4 如果正方形的边长是 x 厘米，那么它的面积 y 平方厘米是边长 x 厘米的
函数，y 关于 x 的函数解析式是__________．
问题5 一个边长为4厘米的正方形， 若它的边长增加 x 厘米，则面积随之增加
的函数叫做二次函数． 其定义域为一切实数．
二次函数解析式的特点：
1.关于自变量的整式
2.自变量的最高次数为二次
3.二次项系数不为零
二、新知讲授
问题7 已知函数 y=ax2+bx+c (其中a、b、c是常数)，那么 y 是 x 的什么函数？
(1)当 a≠0 时， y 是 x 的二次函数．
26.1 二 次 函 数 的 概 念
上海教育出版社 九年义务教育课本 九年级 第一学期（试用本）
一、情境引入
一、情境引入
消防水枪的喷射路线
一、情境引入
投出的篮球
跳水比赛
一、情境引入
喷水池喷射出的一条水线
一、情境引入
问题1 我们已经学习过哪些函数？
问题2 从哪些方面研究这些函数？
方厘米，那么 y 关于 x 的函数解析式是__________.
问题6 把一根40厘米的铁丝分为两段，再分别把每一段弯折成一个正方形．设
其中一段铁丝长为 x 厘米，两个正方形的面积和为
y 平方厘米，那么 y
= − + . 定义域是_________.
关于 x 的函数解析式是_____________
问题3 如何研究新的函数？
实际问题
概
念
图
像
性
质
实际应用
一、情境引入
抛物线
一、情境引入
问题4 如果正方形的边长是 x 厘米，那么它的面积 y 平方厘米是边长 x 厘米的
函数，y 关于 x 的函数解析式是__________．
问题5 一个边长为4厘米的正方形， 若它的边长增加 x 厘米，则面积随之增加
的函数叫做二次函数． 其定义域为一切实数．
二次函数解析式的特点：
1.关于自变量的整式
2.自变量的最高次数为二次
3.二次项系数不为零
二、新知讲授
问题7 已知函数 y=ax2+bx+c (其中a、b、c是常数)，那么 y 是 x 的什么函数？
(1)当 a≠0 时， y 是 x 的二次函数．
21.1+二次函数++课件+2024-2025学年沪科版数学九年级上册
第 21 章 二次函数与反比例函数
第1节 二次函数
二次函数的定义：
一般地，表达式形如 的函数叫做 的二次函数（ 变量。
(a,b,c是常数，且 ） ），其中 是自
二次函数的三要素：
（1）自变量的最高次数必须是2；
（2）等号右边的
是关于自变量
（3）二次项系数
。
的整式；
二次函数的一般形式：
的一般形式。
(a,b,c是常数，且
）是二次函数
他猜们想都：是二次函数,，并且是二次函, 数
是二次函数吗的？特殊形式
特殊形式
二次项
一次项
无
无
常数项
0 0 c
自变量取值范围的确定：
二次函数自变量的取值范围一般都是全体实数，但 是在实际问题中，自变量的取值范围应使实际问题有意 义。
在问题1中矩形水面的一边长应大于零且小于 矩形的两边之和，所以自变量的取值范围是
Hale Waihona Puke 温故知新：问题导入：问题1 某水产养殖户用长40m的围网，在水库中围 一块矩形的水面，投放鱼苗(如图)。要使围成的水面面积 最大，则它的边长应是多少米？
数量关系：围成的水面面积=矩形水面 的一边长×另一边长
设围成的矩形水面的一边长为x m，那
么矩形水面的另一边长应为
m。若
它的面积是S ㎡，则有
。
问题2 有一玩具厂，如果安排装配工15人，那么每人 每天可装配玩具190个；如果增加人数，那么每增加一人， 可使每人每天少装配玩具10个。问增加多少人才能使每天 装配玩具总数最多？玩具总数最多是多少？
辛苦了，抽个红包吧：
牛刀小试： 例1 下列函数为什么不是二次函数
（1）
不一定是，缺少 条件
沪科版九年级上册数学精品教学课件 第21章 第2课时 二次函数y=a(x+h)2的图象和性质
解： 由题意得 m2 9 0，所以 m ≠ ±3.
3. 若函数 y (m 1)xm2 2m1 (m 3)x 4 是二次函数，
那么 m 的取值范围是什么？
解：由题意得
m2
2m
1
2，
m 1 0.
m的取值范围是 m 3.
【解题小结】本题考查二次函数的概念，这类题需紧 扣概念的特征进行解题.
(2) 当 x＝3 时，y＝－32＋8×3＝15， 即矩形的面积为 15 cm2.
课堂小结
二次 函数
定义 一般形式
特殊形式
右边是整式； 自变量的最高指数是 2； 二次项系数 a ≠ 0.
y = ax2 + bx + c (a ≠ 0, a, b, c 是常数)
y = ax2； y = ax2 + bx； y = ax2 + c. (a ≠ 0，a，b，c 是常数)
2. 函数 y = (m - n)x2 + mx + n 是二次函数的条件是( C ) A. m，n 是常数，且 m ≠ 0 B. m，n 是常数，且 n ≠ 0 C. m，n 是常数，且 m ≠ n D. m，n 为任何实数
3．下列函数是二次函数的是 ( C )
A．y = 2x＋1 C．y = 3x2＋1 4. 已知函数 y = 3x2m-1－5.
例3 某工厂生产的某种产品按质量分为 10 个档次，第 1 档次 (最低档次) 产品一天能生产 95 件，每件利润 6 元.每 提高一个档次，每件利润增加 2 元，但一天产量减少 5 件. (1) 若生产第 x 档次的产品一天的总利润为 y 元 (其中 x 为 正整数，且 1≤x≤10)，求出 y 关于 x 的函数关系式； 解：依题意知生产第 x 档次的产品，提高了(x－1)档，利 润增加了 2(x－1) 元. 则有 y＝[6＋2(x－1)][95－5(x－1)]. 即 y＝－10x2＋180x＋400 (其中 x 是正整数，且1≤x≤10).
沪科版数学九年级上册21.3二次函数与一元二次方程 课件(共24张PPT)
第21章 二次函数与反比例函数
21.3 二次函数与一元二次方程
学习目标
学习重难点
重点
难点
1.理解二次函数与一元二次方程(不等式)的关系.2.能运用二次函数及其图象、性质确定方程的解.3.了解用图象法求一元二次方程的近似根的方法.
二次函数图象、性质确定方程的解.
二次函数与一元二次方程(不等式)的关系.
D
C
3.已知函数y＝(k－3)x2＋2x＋1的图象与x轴有交点，求k的取值范围．解：当k＝3时，函数y＝2x＋1是一次函数．∵一次函数y＝2x＋1与x轴有一个交点，∴k＝3;当k≠3时，y＝(k－3)x2＋2x＋1是二次函数．∵二次函数y＝(k－3)x2＋2x＋1的图象与x轴有交点，∴Δ＝b2－4ac≥0.∵b2－4ac＝22－4(k－3)＝－4k＋16，∴－4k＋16≥0. ∴k≤4且k≠3.综上所述，k的取值范围是k≤4.
归纳小结
1.二次函数与一元二次方程的关系： 一般地，关于x的一元二次方程 的根，就是二次函数 的值为0时自变量x的值，也就是函数 的图像与x轴交点的横坐标.2.二次函数 与x轴交点个数的确定. 可有一元二次方程的根的判别式来表示判定二次函数图象与x轴的交点的情况，由根与系数的关系来解决相关问题.在函数问题中，往往需要解方程：反过来也可以利用函数图象解方程.
思 考： 如何利用二次函数求一元二次方程的近似解.例：求一元二次方程x2+2x-1=0的根的近似值（精确到 0.1）. 分析：一元二次方程x²+2x-1=0的根就是抛物线y=x²+2x-1与x轴的交点的横坐标，因此我们可以先画出这条抛物线，然后从图上找出它与x轴的交点的横坐标，这种解一元二次方程的方法叫作图象法.
想一想：观察下列二次函数，图象与x轴有公共点吗? 如果有，公共点的横坐标是多少?当x取公共点的横坐标时，函数的值是多少?由此你能得出相应的一元二次方程的根吗?(1) y＝x2＋x－2.(2)y＝x2－6x＋9.(3)y＝x2－x＋1.
21.3 二次函数与一元二次方程
学习目标
学习重难点
重点
难点
1.理解二次函数与一元二次方程(不等式)的关系.2.能运用二次函数及其图象、性质确定方程的解.3.了解用图象法求一元二次方程的近似根的方法.
二次函数图象、性质确定方程的解.
二次函数与一元二次方程(不等式)的关系.
D
C
3.已知函数y＝(k－3)x2＋2x＋1的图象与x轴有交点，求k的取值范围．解：当k＝3时，函数y＝2x＋1是一次函数．∵一次函数y＝2x＋1与x轴有一个交点，∴k＝3;当k≠3时，y＝(k－3)x2＋2x＋1是二次函数．∵二次函数y＝(k－3)x2＋2x＋1的图象与x轴有交点，∴Δ＝b2－4ac≥0.∵b2－4ac＝22－4(k－3)＝－4k＋16，∴－4k＋16≥0. ∴k≤4且k≠3.综上所述，k的取值范围是k≤4.
归纳小结
1.二次函数与一元二次方程的关系： 一般地，关于x的一元二次方程 的根，就是二次函数 的值为0时自变量x的值，也就是函数 的图像与x轴交点的横坐标.2.二次函数 与x轴交点个数的确定. 可有一元二次方程的根的判别式来表示判定二次函数图象与x轴的交点的情况，由根与系数的关系来解决相关问题.在函数问题中，往往需要解方程：反过来也可以利用函数图象解方程.
思 考： 如何利用二次函数求一元二次方程的近似解.例：求一元二次方程x2+2x-1=0的根的近似值（精确到 0.1）. 分析：一元二次方程x²+2x-1=0的根就是抛物线y=x²+2x-1与x轴的交点的横坐标，因此我们可以先画出这条抛物线，然后从图上找出它与x轴的交点的横坐标，这种解一元二次方程的方法叫作图象法.
想一想：观察下列二次函数，图象与x轴有公共点吗? 如果有，公共点的横坐标是多少?当x取公共点的横坐标时，函数的值是多少?由此你能得出相应的一元二次方程的根吗?(1) y＝x2＋x－2.(2)y＝x2－6x＋9.(3)y＝x2－x＋1.
沪科版九年级数学上册《二次函数》课件
分的面积是多少？
感悟新知
知1－讲
导引：(1)根据图形及题意可得出重叠部分是等腰直角三角形， 从而根据MA的长度可得出y与x之间的函数表达式；
(2)将x＝1代入函数表达式可得出重叠部分的面积．
感悟新知
解： (1)由题意知，开始时点A与点M重合，
然后让△ABC向右移动，
两图形重叠部分为等腰直角三角形，
感悟新知
例1
知1－讲
下列函数中，哪些是二次函数？并指出二次函
数的二次项系数、一次项系数和常数项．
(1)y＝7x－1；
(2)y＝－5x2；
(3)y＝3a3＋2a2； (5)y＝3(x－2)(x－5)；
(4)y＝x－2＋x；
(6)y＝x2＋
1 x2
.
感悟新知
知1－讲
导引：判断一个函数是否是二次函数，要紧扣定义并将 其化简再判断．(1)是一次函数；(2)是二次函数，二次项 系数为－5，一次项系数和常数项为0；(3)中自变量的最 高次数是3，所以不是二次函数；(4)中x－2不是整式，所 以不是二次函数；把(5)整理得到y＝3x2－21x＋30，是二 次函数，二次项系数为3，一次项系数为－21，常数项为
课堂小结
二次函数的定义要理解三点： (1)函数关系式必须是整式，自变量的取值是全体
实数；而在实际应用中，自变量的取值必须符 合实际意义． (2)确定二次函数的各项系数及常数项时，要把函 数关系式化为一般形式． (3)二次项系数不为0.
第21章 二次函数与反比例函数
第21章 二次函数与反比例函数
21.1 二次函数
学习目标
1 课时讲解 二次函数的定义
用二次函数的表达式表示实际问题
2 课时流程
21.4 二次函数的应用(课件)沪科版数学九年级上册
知1－练
感悟新知
(1) 求点 P 的坐标和 a 的值；
知1－练
解题秘方：利用待定系数法可求得 a 的值；
解： 在一次函数 y=－0.4x+2.8 中， 令 x=0，得 y=2.8，∴ P(0， 2.8)． 将点 P(0， 2.8)的坐标代入 y=a( x－1) 2+3.2 中， 得 a+3.2=2.8，解得 a=－0.4．
感悟新知
如图②，当两辆消防车喷水口 A， B 的水平距离为 知1－练 80 m 时，两条水柱在抛物线的顶点 H 处相遇，此时相 遇点 H 距地面 20 m， 喷水口 A， B 距地面均为4 m. 若两辆消防车同时后退 10 m，两条水柱的形状及喷水 口 A′， B′到地面的距离均保持不变，则此时两条水柱 相遇点 H′距地面 ___1_9_____m．
感悟新知
解： ∵ OA=3 m， CA=2 m，∴ OC=5 m．
若选择扣球，则令 － 0.4x+2.8=0，解得 x=7，
知1－练
即落地点到 O 点的距离为 7 m，
∴落地点到 C 点的距离为 7 － 5=2(m)；
若选择吊球，则令 － 0.4(x － 1) 2+3.2=0，
解得 x=±2 2 +1(负值舍去)，
∴落水点 C， D 之间的距离为 22 m.
感悟新知
(3) 若需要在 OD 上的点 E 处竖立雕塑 EF， OE=10 m知，1－练
EF=1.8 m， EF ⊥ OD． 问： 顶部 F 是否会碰到
水柱？ 请通过计算说明 .
解：当
x=10
时，
y=
－
1 6
×(10
－
5)
2+6=
2023年沪科版数学九年级上册 二次函数课件优选课件
解（：1）由题意，得
a2
3a 2 2,
a 4 0,
解得 a= 1;
（2）当a=-1时，函数关系式为 y (1 4)x2 1 5x2 1.
（3）将x=-2代入函数关系式中，有 y 5 (2)2 1 21.
6.写出下列各函数关系，并判断它们是什么类型的
函数
（1）写出正方体的表面积S(cm2)与正方体棱长a（
►为你理想的人，否则，爱的只是你在他身上找到的你的影子。 ►冲冠一怒为红颜，英雄难过美人关。只愿博得美人笑，烽火戏侯弃江山。 宁负天下不负你，尽管世人唾千年。容颜迟暮仍为伴，倾尽温柔共缠绵。 ►蜜蜂深深地迷恋着花儿，临走时留下定情之吻，啄木鸟暗恋起参天大树， 转来转去想到主意，便经常给大树清理肌肤。你还在等待什么呢？真爱是 靠追的，不是等来的！
问题3 有一玩具厂，如果安排装配工15人，那么每 人每天可装配玩具190个；如果增加人数，那么每增 加1人，可使每人每天少装配玩具10个.问增加多少人
才能使每天装配玩具总数最多？最多为多少？
设增加x 人，这时，则共有 (15+x) 个装配工,每
人每天可少装配__1_0_x_个玩具，因此，每人每天只装配 (190－10x) 个玩具.所以，增加人数后，每天装配玩
cm）之间的函数关系； S 6a2(a 0)
（2）写出圆的面积y(cm2)与它的周长x(cm)之间的函
数关系；
x2 y (x 0)
4
（3）菱形的两条对角线的和为26cm，求菱形的面
积S(cm2)与一对角线长x(cm)之间的函数关系．
S 1 x(26 x) 1 x2 13x(0 x 26)
问题2 某水产养殖户用长40m的围网，在水库中围一 块矩形的水面，投放鱼苗.要使围成的水面面积最大， 则它的边长应是多少米？
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函数,则k的值一定是_0_____
x 3.如果函数y=(k-3) k2 - 3k+ 2
函数,则k的值是__1_，_2_，_3或3 5 2
+kx+1是一次
练习. y=(m+3)x m2－7 (1) m取什么值时,此函数是正比例函数? (2) m取什么值时,此函数是二次函数?
看谁算得快!
1.函数 y(k1)x2k2k1 是一次函数，求k的值。0
(5)y=x-2+x (不是 ) (6)y=x2-x(1+x) (不是 )
驶向胜利的 彼岸
思考：2. 二次函数的一般式y＝ ax2＋bx＋c（a≠0）与一元二次方 程ax２＋bx＋c＝0（a≠0）有什么 联系和区别？
联系(1)等式一边都是ax2＋bx＋c且 a ≠0 (2)方程ax2＋bx＋c=0可以看成是 函数y= ax2＋bx＋c中y=0时得到的. 区别:前者是函数.后者是方程.等式另一 边前者是y,后者是0
21.1二次函数
基础回顾 什么叫函数?
在某变化过程中的两个变量x、y，当变量x在某个范围内取 一个确定的值，另一个变量y总有唯一的值与它对应。
这样的两个变量之间的关系我们把它叫做函数关系。 对于上述变量x 、y，我们把y叫x的函数。 x叫自变量， y叫应变量。
目前，我们已经学习了那几种类型的函数？
变 量 之 间函 的数 关 系
一次函数
y=kx+b (k≠0)
正比例函数
y=kx (k≠0)
二次函数
节日的喷泉给人带来喜庆，你是否注意过水流所经 过的路线？它会与某种函数有联系吗？
运动场上飞舞的跳绳
赛场上腾空的篮球
以上图形给我们什 么形象，都有哪些共同
特点？
问题1 某水产养殖户用长40m的围 网，在水库中围一块矩形的水面，投 放鱼苗。要使围成的水面面积最大， 它的长应是多少米？
2
2.函数
y(m1)xm2mmx1
是二次函数， 求m的值。
2
3.函数
y(m2m)xm2m
是二次函数， 求m的值
2
例3. 一块矩形的草地，长为8m,宽为 6m，若将长和宽都增加xm,设增加的面 积为ym. （1）求y与x之间的函数关系式 （2）若要使草地的面积增加32m2，长 和宽都增加多少米？
问题2
一玩具厂，有装配工15人，规定每人每天 应装配玩具190个，但如果每增加一人，那 么每人每天可少装配10个，问增加多少人可 使每天装配总数最多？最多时是多少个？
练习1: 正方体的六个面是全等的正方形,设
正方形的棱长为x,表面积为y,显然对于x的每一个 值,y都有一个对应值,即y是x的函数,它们的具体关
(3) s=3-2t²是二次函数.
二次项系数: 8π
二次项系数: -2 一次项系数: 0 常数项: 3
一次项系数: 0 常数项: 0
练习、下列函数中，哪些是二次函数？若 是,分别指出二次项系数,一次项系数,常数项.
(1) y=3(x－1)²+1 (是)
(2)y=x+ (3)s=3－2_1x_t² (5)y= －x
知识运用
例2:m取何值时， 函数y= (m+1)x m22m1
+(m-3)x+m 是二次函数？
解:由题意得
m2—2m-1=2 m+1 ≠0
∴m=3
驶向胜利 的彼岸
练习：
x 1.如果函数y= k2 - 3k+ 2 +kx+1是二次函数,
则k的值是_0_或__3__
x 2.如果函数y=(k-3) k2 - 3k+ 2 +kx+1是二次
注意：（1）等号左边是变量y，右边是关于自变量
x的 整式。
（2）a,b,c为常数，且 a≠0.
（3 ）等式的右边最高次数为 2，可以没有一次
项和常数项，但不能没有二次项。
（4）x的取值范围是任意实数。
(5) 函数的右边是一个 整 式
二次函数的一般形式: y＝ax2＋bx＋c (其中a、b、c是常数,a≠0)
二次函数的特殊形式：
当b＝0时， y＝ax2＋c 当c＝0时， y＝ax2＋bx 当b＝0，c＝0时， y＝ax2
想一想
函数y ax2 bx c(其中ab,,c是常数)， 当a,b,c满足什么条件时 （1）它是二次函数？ （2）它是一次函数？ （3）它是正比例函数？
解：（1） 0a
(2 )0ab,0
(3) 0ba , 0c, 0
例1、下列函数中，哪些是二次函数？若是, 分别指出二次项系数,一次项系数,常数项。
(1) y=3(x－1)²+1
(2)
y=x+
_1_ x
(3) s=3－2t²
(4) y=(x+3)²－x²
(5)y= _x1_²－x
(6) v=8π r²
解: (1)y=3(x-1)²+1
2
即 d1n2 3n②
22
②式表示了多边形的 对角线数d与边数n之 间的关系,对于n的每一 个值,d都有唯一的对应 值,即d是n的函数。
观察：函数①②③ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ什么共同点?
y=6x2①
d12n232n②
在上面的问题中,函数都是用自变量的二次式表示的。
定义：一般地，形如y=ax²+bx+c(a,b,c是常数,a≠ 0) 的函数叫做二次函数。其中x是自变量，a为二次项 系数，ax2叫做二次项，b为一次项系数，bx叫做一 次项，c为常数项。
系可以表示为 y=6x2①
练习2:
多边形的对角线数d与边数n有什么关系？ n 由图可以想出,如果多边形有n条边,那么它有 个顶点,从一个顶点出发,连接与
点不相邻的各顶点,可以(作n-3) 条
对角线.
因为像线段MN与NM那样,连接 相同两顶点的对角线是同一条对
M
N
角线,所以多边形的对角线总数
d 1nn3
(4) y=(x+3)²-x²=x2+6x+9-x2
=3(x2-2x+1)+1
=3x2-6x+3+1 即 y=6x+9
即 y=3x2-6x+4
不是二次函数.
是二次函数.
二次项系数: 3 一次项系数: -6
(5)y= _1_ -x x²
常数项: 4
(2) y=x+
_1_ x
不是二次函数.
不是二次函数. (6) v=8π r² 是二次函数.
(6)v=r ²3
(否) (是(4))y=((7x)+y3=)²x－²+xx²³+25(否) (否) (8)y=2²+2x (否) (否) (是)
知识运用
练习2:下列函数中，哪些是二次函数？
(1)y=3x-1 (不是 )
(2)y=3x2 （ 是 )
(3)y=3x3+2x2 ( 不是 ) (4)y=2x2-2x+1( 是 )
x 3.如果函数y=(k-3) k2 - 3k+ 2
函数,则k的值是__1_，_2_，_3或3 5 2
+kx+1是一次
练习. y=(m+3)x m2－7 (1) m取什么值时,此函数是正比例函数? (2) m取什么值时,此函数是二次函数?
看谁算得快!
1.函数 y(k1)x2k2k1 是一次函数，求k的值。0
(5)y=x-2+x (不是 ) (6)y=x2-x(1+x) (不是 )
驶向胜利的 彼岸
思考：2. 二次函数的一般式y＝ ax2＋bx＋c（a≠0）与一元二次方 程ax２＋bx＋c＝0（a≠0）有什么 联系和区别？
联系(1)等式一边都是ax2＋bx＋c且 a ≠0 (2)方程ax2＋bx＋c=0可以看成是 函数y= ax2＋bx＋c中y=0时得到的. 区别:前者是函数.后者是方程.等式另一 边前者是y,后者是0
21.1二次函数
基础回顾 什么叫函数?
在某变化过程中的两个变量x、y，当变量x在某个范围内取 一个确定的值，另一个变量y总有唯一的值与它对应。
这样的两个变量之间的关系我们把它叫做函数关系。 对于上述变量x 、y，我们把y叫x的函数。 x叫自变量， y叫应变量。
目前，我们已经学习了那几种类型的函数？
变 量 之 间函 的数 关 系
一次函数
y=kx+b (k≠0)
正比例函数
y=kx (k≠0)
二次函数
节日的喷泉给人带来喜庆，你是否注意过水流所经 过的路线？它会与某种函数有联系吗？
运动场上飞舞的跳绳
赛场上腾空的篮球
以上图形给我们什 么形象，都有哪些共同
特点？
问题1 某水产养殖户用长40m的围 网，在水库中围一块矩形的水面，投 放鱼苗。要使围成的水面面积最大， 它的长应是多少米？
2
2.函数
y(m1)xm2mmx1
是二次函数， 求m的值。
2
3.函数
y(m2m)xm2m
是二次函数， 求m的值
2
例3. 一块矩形的草地，长为8m,宽为 6m，若将长和宽都增加xm,设增加的面 积为ym. （1）求y与x之间的函数关系式 （2）若要使草地的面积增加32m2，长 和宽都增加多少米？
问题2
一玩具厂，有装配工15人，规定每人每天 应装配玩具190个，但如果每增加一人，那 么每人每天可少装配10个，问增加多少人可 使每天装配总数最多？最多时是多少个？
练习1: 正方体的六个面是全等的正方形,设
正方形的棱长为x,表面积为y,显然对于x的每一个 值,y都有一个对应值,即y是x的函数,它们的具体关
(3) s=3-2t²是二次函数.
二次项系数: 8π
二次项系数: -2 一次项系数: 0 常数项: 3
一次项系数: 0 常数项: 0
练习、下列函数中，哪些是二次函数？若 是,分别指出二次项系数,一次项系数,常数项.
(1) y=3(x－1)²+1 (是)
(2)y=x+ (3)s=3－2_1x_t² (5)y= －x
知识运用
例2:m取何值时， 函数y= (m+1)x m22m1
+(m-3)x+m 是二次函数？
解:由题意得
m2—2m-1=2 m+1 ≠0
∴m=3
驶向胜利 的彼岸
练习：
x 1.如果函数y= k2 - 3k+ 2 +kx+1是二次函数,
则k的值是_0_或__3__
x 2.如果函数y=(k-3) k2 - 3k+ 2 +kx+1是二次
注意：（1）等号左边是变量y，右边是关于自变量
x的 整式。
（2）a,b,c为常数，且 a≠0.
（3 ）等式的右边最高次数为 2，可以没有一次
项和常数项，但不能没有二次项。
（4）x的取值范围是任意实数。
(5) 函数的右边是一个 整 式
二次函数的一般形式: y＝ax2＋bx＋c (其中a、b、c是常数,a≠0)
二次函数的特殊形式：
当b＝0时， y＝ax2＋c 当c＝0时， y＝ax2＋bx 当b＝0，c＝0时， y＝ax2
想一想
函数y ax2 bx c(其中ab,,c是常数)， 当a,b,c满足什么条件时 （1）它是二次函数？ （2）它是一次函数？ （3）它是正比例函数？
解：（1） 0a
(2 )0ab,0
(3) 0ba , 0c, 0
例1、下列函数中，哪些是二次函数？若是, 分别指出二次项系数,一次项系数,常数项。
(1) y=3(x－1)²+1
(2)
y=x+
_1_ x
(3) s=3－2t²
(4) y=(x+3)²－x²
(5)y= _x1_²－x
(6) v=8π r²
解: (1)y=3(x-1)²+1
2
即 d1n2 3n②
22
②式表示了多边形的 对角线数d与边数n之 间的关系,对于n的每一 个值,d都有唯一的对应 值,即d是n的函数。
观察：函数①②③ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ什么共同点?
y=6x2①
d12n232n②
在上面的问题中,函数都是用自变量的二次式表示的。
定义：一般地，形如y=ax²+bx+c(a,b,c是常数,a≠ 0) 的函数叫做二次函数。其中x是自变量，a为二次项 系数，ax2叫做二次项，b为一次项系数，bx叫做一 次项，c为常数项。
系可以表示为 y=6x2①
练习2:
多边形的对角线数d与边数n有什么关系？ n 由图可以想出,如果多边形有n条边,那么它有 个顶点,从一个顶点出发,连接与
点不相邻的各顶点,可以(作n-3) 条
对角线.
因为像线段MN与NM那样,连接 相同两顶点的对角线是同一条对
M
N
角线,所以多边形的对角线总数
d 1nn3
(4) y=(x+3)²-x²=x2+6x+9-x2
=3(x2-2x+1)+1
=3x2-6x+3+1 即 y=6x+9
即 y=3x2-6x+4
不是二次函数.
是二次函数.
二次项系数: 3 一次项系数: -6
(5)y= _1_ -x x²
常数项: 4
(2) y=x+
_1_ x
不是二次函数.
不是二次函数. (6) v=8π r² 是二次函数.
(6)v=r ²3
(否) (是(4))y=((7x)+y3=)²x－²+xx²³+25(否) (否) (8)y=2²+2x (否) (否) (是)
知识运用
练习2:下列函数中，哪些是二次函数？
(1)y=3x-1 (不是 )
(2)y=3x2 （ 是 )
(3)y=3x3+2x2 ( 不是 ) (4)y=2x2-2x+1( 是 )