倒立摆系统的建模及MATLAB仿真

(2)
方程 (1) , (2) 是非线性方程 ,由于控制的目的是 保持倒立摆直立 ,在施加合适的外力条件下 ,假定θ 很小 ,接近于零是合理的 。则 sinθ≈θ,co sθ≈1 。在 以上假设条件下 ,对方程线性化处理后 ,得倒立摆系 统的数学模型 :
( M + m) ¨x + mθl¨= f
(3)
Co nference , 1999 :230. [ 2 ] 王沉培 ,周艳红 ,周云飞. 复杂形状刀具磨削运动三维图 形仿真的研究. 中国机械工程 ,1998 ,10 (2) :1232126. [ 3 ] (美) 马尔金 1 S 著. 磨削技术理论与应用 [ M ]1 沈阳 :东 北大学出版社 ,20021
Key words inverted pendulum , model building , simulatio n under t he MA TL AB enviro nment
中图分类号 : TP273 文献标识码 :A
倒立摆系统是 1 个经典的快速 、多变量 、非线 性 、绝对不稳定系统 ,是用来检验某种控制理论或方 法的典型方案 。倒立摆控制理论产生的方法和技术 在半导体及精密仪器加工 、机器人技术 、导弹拦截控 制系统和航空器对接控制技术等方面具有广阔的开 发利用前景 。因此研究倒立摆系统具有重要的实践 意义 ,一直受到国内外学者的广泛关注 。
的稳态响应和瞬态响应特性由矩阵 A - B K 的特征
决定 。如果矩阵 K 选取适当 , 则可使矩阵 A - B K
构成 1 个渐近稳定矩阵 ,并且对所有的 x (0) ≠0 , 当
t 趋于无穷时 ,都可使 x ( t) 趋于 0 。称矩阵 A - B K
的特征值为调节器极点 。如果这些调节器极点均位
于 s 的左半平面内 ,则当 t 趋于无穷时 , x ( t) 趋于 0 。
将闭环极点配置到所期望的位置 , 称为极点配置问
题 。因而极点配置状态反馈控制器的设计最主要就
是 K 值的计算 。
2. 2 极点配置状态反馈控制器的设计 一级倒立摆系统是一个不稳定的系统 。控制器
的目的是使倒立摆系统动态稳定 ,即保持倒立摆在
ml2θ¨+ ml¨x = mgθl
(4)
1. 3 系统的状态方程 以摆角θ,角速度θ,小车的位移 x ,速度 x 为状
态变量 ,输出为 y 。即令 :
x1
θ
y1
x1
x=
x2
θ
=
y =
y2
=
x2
x3
x
y3
x3
x4
θ
y4
x4
则一级倒立摆系统的状态方程为 :
x1
= x2 ; x2
=
M+ Ml
m
g
《新技术新工艺》·数字技术与数字制造 2005 年 第 10 期
·17 ·
根据如下 MA TL AB 程序可求得状态反馈增益 K(假设小车的质量为 3 kg ,摆杆的质量为 0. 1 kg , 摆杆的长度为 0. 5 m) ,程序如下 :
M = 3 ; m = 0. 1 ; l = 0. 5 ; g = 9. 81 ; A21 = (M + m) / M/ l 3 g ; A41 = - m/ M 3 g ;
究前景 。如何提高曲面的制造精度一直是行业研究 的重要课题 。将磨削过程的数值计算 、图形处理 、优 化设计 、误差分析和实践经验等知识结合起来 ,研究 曲面磨削中的定量计算和定性推理等计算制造问 题 ,为轮槽铣刀前 、后刀面的精密磨削和复杂刀具的 设计加工提供了保障 。对其他曲面的磨削及复杂曲 面的精密加工提供了借鉴经验 。
倒立摆系统的建模及 MA TL AB 仿真
华南理工大学机械工程学院 (510640) 曾志新 邹海明 李伟光 周建辉
【摘要】通过建立倒立摆系统的数学模型 ,应用状态反馈控制配置系统极点设计倒立摆系统的 控制器 ,实现其状态反馈 ,从而使倒立摆系统稳定工作 。之后通过 MA TL AB 软件中 Simulink 工具对倒立摆的运动进行计算机仿真 ,仿真结果表明 ,所设计方法可使系统稳定工作并具有良 好的动静态性能 。 关键词 倒立摆 建模 MA TL AB 仿真
稳定在平衡状态 ,即所有的状态变量都可以稳定在 零状态 。这就意味着即使在初始状态或因存在外界 干扰时 ,摆杆稍有倾斜或小车偏离基准位置导轨中 心 ,依靠该状态反馈控制也可以使摆杆垂直竖立 ,并 使小车保持在基准位置 。相对平衡状态的偏移 ,得 到迅速修正的程度要依赖于指定的特征根的位置 。
一般来说 ,将指定的特征根配置在原点的左侧 , 离原点越远 ,控制动作就越迅速 ,但相应地需要更大 的控制力和快速的灵敏度 。
垂直的位置 ,使小车在外力作用下其位移以较小的
误差跟随输入的变化 。由于系统的动态响应主要是
由他的极点位置决定的 ,同时容易证明一级倒立摆
系统是一个能控而且能观的系统 。因此本文通过极
点配置状态反馈控制器来使系统保持稳定 。
状态反馈控制方程为 : f = - K x =
- [ K1 K2 K3 K4 ] x 闭环系统的方程为 : x = A x + B f = ( A - B K) x 选取所期望的闭环极点位置 :μ1 ,μ2 ,μ3 ,μ4
B21 = - 1/ M/ l ;
B41 = 1/ M ;
A = [ 0 1 0 0 ;A21 0 0 0 ;0 0 0 1 ;A41 0 0 0 ] ;
B = [ 0 ;B21 ;0 ;B41 ] ;
C = [1 0 0 0 ;0 1 0 0 ;0 0 1 0 ;0 0 0 1 ] ;
D=0; M = [B A 3 B A^2 3 B A^3 3 B ] ; J = [μ1 0 0 0 ;0 μ2 0 0 ;0 0 μ3 0 ;0 0 0 μ4 ] ; jj = poly (J ) ; Phi = polyvalm (poly (J ) ,A) ; K = [ 0 0 0 1 ] 3 (inv ( M) ) 3 Phi ; 求得 :
o n t he pole placement met hod wit h f ull state feedback to make t he inverted pendulum system work stably. Then co mp uter simulation fo r t he movement of inverted pendulum is done by t he Simulink tool of t he MA T2 L AB software . The result of simulation shows t hat t his met hod can make t he system wo rk stably and have good dynamic 、static qualities. Therefore , it is effective.
泛的科学与工程计算软件 ,具有高级的数学分析和运 算能力 ,可以如上编写 MATLAB 程序计算倒立摆系 统的状态反馈增益 K;同时还具有强大的动态系统的 分析 和 仿 真 能 力[2] 。以 下 是 用 MATLAB 软 件 中 Simulink 工具箱来设计仿真一级倒立摆系统 。
应用 MA TL AB 中的 Simulink 设计用极点配 置控制的一级倒立摆系统的仿真模型如图 3 所示 。 图中 State - Space 模块填入了上面程序计算所得 的 A , B , C , D 值 。然后用 1 个 Bus Selector 输出转 角 、角速度 、位移和速度 4 个量 ,之后用 4 个 Gain (分别输出参数 K ( 1) K ( 2) K ( 3) K ( 4) ) 和 1 个 Sum 构成状态反馈 ,同时用示波器输出转角 、角速 度 、位移和速度 4 个量 。输出结果如图 4 所示 。
图 4a 、图 4b 分别是配置极点为 : u1 = - 2 - j2 3 , u2 = - 2 + j2 3 , u3 = - 10 , u4 = - 10 和 u1 = - 1 - j 3 , u2 = - 1 + j 3 , u3 = - 10 , v4 = - 10 (其中 u1 , u2 是主导闭环极点) 一级倒立摆系统的仿真结果图 :
计算制造作为新兴的研究领域 ,具有广泛的研
责任编辑 吕 菁
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《新技术新工艺》·数字技术与数字制造 2005 年 第 10 期
M ,摆杆的质量为 m , 摆杆长度为 l ,在某一 瞬间时刻摆角 (即摆 杆与 竖 直 线 的 夹 角) 为θ,作用在小车上的 水平控制力为 f 。这 样 ,整个倒立摆系统 就受到重力 ,水平控 制力和摩擦力的 3 外 图 1 一级倒立摆物理模型 力的共同作用 。 1. 2 系统的数学模型[1]
在系统数学模型中 ,本文首先假设 : (1) 摆杆为 刚体 。(2) 忽略摆杆与支点之间的摩擦 。(3) 忽略小 车与导轨之间的摩擦 。
然后根据牛顿第二运动定律 ,求得系统的运动 方程为 :
M
d2 x d t2
+
m
d2 d t2
(x
+
l si nθ)
=
f
(1)
mlco sθddt22 ( x + lsinθ) = mg l sinθ
本文就一级倒立摆系统进行分析和研究 ,建立 倒立摆系统的数学模型 ,采用状态反馈极点配置的 方法设计控制器 ,并应用 MA TL AB 软件进行仿真 。
1 一级倒立摆系统的建模
1. 1 系统的物理模型 如图 1 所示 ,在惯性参考系下 ,设小车的质量为
练样本 ,对系统进行重新训练 。实际加工中 ,上述学 习和决策过程均是在事前或加工间隙进行的 ,对其 算法的实时性 (快速性) 并未提出特别苛刻的要求 , 所以上述思想是切实可行的 。图 3 是基于知识的曲 面磨削系统结构图[3 ] 。