中考专题动点问题

动点问题 题型方法归纳

动态几何特点----问题背景是特殊图形，考查问题也是特殊图形，所以要把握好一般与特殊的关系；分析过程中，特别要关注图形的特性（特殊角、特殊图形的性质、图形的特殊位置。）

动点问题一直是中考热点，近几年考查探究运动中的特殊性：等腰三角形、直角三角形、 相似三角形、平行四边形、梯形、特殊角或 其三角函数、线段或面积的最值。 下面就此问题的常见题型作简单介绍，解题方法、关键给以点拨。 一、三角形边上动点

1、（2009年齐齐哈尔市）直线3

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y x =-

+与坐标轴分别交于A B 、两点，动点P Q 、同时从O 点出发，同时到达A 点，运动停止．点Q 沿线段OA 运动，速度为每秒1个单位长度，点P 沿路线O →B →A 运动． （1）直接写出A B 、两点的坐标； （2）设点Q 的运动时间为t 秒，OPQ △的面积为S ，求出S 与t 之间的函数关系式； （3）当48

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S =

时，求出点P 的坐标，并直接写出以点O P Q 、、为顶点的平行四边形的第四个顶点M 的坐标．

提示：第（2）问按点P 到拐点B 所有时间

分段分类； 第（3）问是分类讨论：已知三定点O 、P 、Q ，探究第四点构成平行四边形

时按已知线段身份不同分类-----①OP 为边、OQ 为边，②OP 为边、OQ 为对角线，③OP 为对角线、OQ 为边。然后画出各类的图形，根据图形性质求顶点坐标。

图（3）

B

图（1）

B

图（2）

2、（2009年衡阳市）

如图，AB 是⊙O 的直径，弦BC=2cm ， ∠ABC=60º．

（1）求⊙O 的直径；

（2）若D 是AB 延长线上一点，连结CD ，当BD 长为多少时，CD 与⊙O 相切；

（3）若动点E 以2cm/s 的速度从A 点出发沿着AB 方向运动，同时动点F 以1cm/s 的速度从B 点出发沿BC 方向运动，设运动时间为)20)((<

注意：第（3）问按直角位置分类讨论

3、（2009重庆綦江）

如图，已知抛物线

(1)20)

y a x a

=-+≠经过点(2)

A-，0，抛物线的顶点为D，过O作射线OM AD

∥．过顶点D平行于x轴的直线交射线OM于点C，B在x轴正半轴上，连结BC．

（1）求该抛物线的解析式；

（2）若动点P从点O出发，以每秒1个长度单位的速度沿射线OM运动，设点P运动的时间为()

t s．问当t为何值时，四边形DAOP分别为平行四边形？直角梯形？等腰梯形？

（3）若OC OB

=，动点P和动点Q分别从点O和点B同时出发，分别以每秒1个长度单位和2个长度单位的速度沿OC和BO 运动，当其中一个点停止运动时另一个点也随之停止运动．设它们的运动的时间为t()s，连接PQ，当t为何值时，四边形BCPQ的面积最小？并求出最小值及此时PQ的长．

注意：发现并充分运用特殊角∠DAB=60°当△OPQ面积最大时，四边形BCPQ 的面积最小。

二、 特殊四边形边上动点

4、（2009年吉林省）如图所示，菱形ABCD

的边长为6厘米，60B ∠=°．从初始时刻

开始，点P 、Q 同时从A 点出发，点P 以

1厘米/秒的速度沿A C B →→的方向运

动，点Q 以2厘米/秒的速度沿

A B C D →→→的方向运动，当点Q 运

动到D 点时，P 、Q 两点同时停止运动，

设P 、Q 运动的时间为x 秒时，APQ △与

ABC △重叠部分．．．．

的面积为y 平方厘米（这里规定：点和线段是面积为O 的三角形），

解答下列问题：

（1）点P 、Q 从出发到相遇所用时间是

秒；

（2）点P 、Q 从开始运动到停止的过程中，

当APQ △是等边三角形时x 的值是

秒；

（3）求y 与x 之间的函数关系式．

提示：第(3)问按点Q 到拐点时间B 、C 所有

时间分段分类 ； 提醒----- 高相等的两

个三角形面积比等于底边的比 。

图（1） 图（2） 5、（2009年哈尔滨）如图1，在平面直角坐标系中，点O 是坐标原点，四边形ABCO 是菱形，点A 的坐标为（3-，4），点C 在x 轴的正半轴上，直线AC 交y 轴于点M ，AB 边交y 轴于点H ．

（1）求直线AC 的解析式； （2）连接BM ，如图2，动点P 从点A 出发，沿折线ABC 方向以2个单位／秒的速度向终点C 匀速运动，设△PMB 的面积为S （0S ≠），点P 的运动时间为t 秒，求S 与t 之间的函数关系式（要求写出自变量t 的取值范围）； （3）在（2）的条件下，当 t 为何值时，∠MPB 与∠BCO 互为余角，并求此时直线OP 与直线AC 所夹锐角的正切值．

注意：第（2）问按点P 到拐点B 所用时间

分段分类；

第（3）问发现∠MBC=90°，∠BCO 与

∠ABM 互余，画出点P 运动过程中， ∠MPB=∠ABM 的两种情况，求出t 值。 利用OB ⊥AC,再求OP 与AC 夹角正切值.

6、(2009年温州)如图，在平面直角坐标系中，点A(3，0)，B(33，2)，C（0，2)．动

点D以每秒1个单位的速度从点0出发沿OC 向终点C运动，同时动点E以每秒2个单位的速度从点A出发沿AB向终点B运动．过点E作EF上AB，交BC于点F，连结DA、DF．设运动时间为t秒．

(1)求∠ABC的度数；

(2)当t为何值时，AB∥DF；

(3)设四边形AEFD的面积为S．

①求S关于t的函数关系式；

②若一抛物线y=x2+mx经过动点E，当S<23时，求m的取值范围(写出答案即

注意：

发现特殊性，DE∥OA