一元二次函数解法教案(20200107080332)
一元二次函数教案
二次函数教案，a≠0a），b，c为常数，（教学应从生活中的实例引出二次函数，进而总结出二次函数定义：它是从实践中来，上升为理论的方法，使学生由感性到理性，感的二次函数.那么y叫做x的图象，，y=-x2到真实贴切，易于接受.进而引导学生自己列表，动手画出二次函数y=x2为基础，以具体实例研究，然后由以二次函数y=ax2总结出其性质，图象的形状--抛物线.要始终把由特殊到一般的思维方法孕育在教学中，把.两个特殊型过渡到一般型的二次函数再通过描点画出二次函数配方法交给学生，待定系数法确定二次函数解析式展现给同学们，图象是轴的图象，结合图象确定抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标、图象的平移规律.结合二次方程的有关知对称图形，并由二次函数的一般形式，通过配方写成顶点式的形式；三种形式实质是一致的，各有千秋，要向学生揭示各种识，由一般式可写成截距式的形式.轴有交点时，可选[如知其抛物线过三点时，可选用一般式求解；知其图象与x形式的特点.用截距式求解]，以例在求函数解析式时灵活运用要求动手画图，配方法、待定系数法.在教学中，要始终贯彻数形结合法、归纳法、演绎法、. 动脑思考，精心观察，培养学生的各种思维方法批点迷津如二次函数这一内容，必须牢记数形结合法进行思维，知其三点求二次函数解析式的方法.是求二次函数解析式的关键所几何、锐角三角函数及生活实际等找到这三点，何结合代数、在，要根据其性质、平移规律等进行思维，精心观察，数形结合，才能找到解题的突破口，取值一般地说，二次函数的图象是一条抛物线，那么x并根据自变量的取值范围画出图象.根据实际问.x范围必须是实数的取值范围在某一区间，则所画图象只是抛物线的一部分.若.总之，要根据自变量的取值范围具体画出图象题，有时是整数点.. 这根主线，对动静的互相转化的辩证关系也要把握适时在本单元，除抓住数形结合法航海导二、学思维基础。
，顶点从标是，对称轴是（一）1．二次函数的图象的开口方向是向. 的值等于x轴上，则m2．抛物线的顶点在，再向左平移个单位，就得到第二条抛物）3.如果把第一条抛物线向上平移个单位（a?0线，已知第一条抛物线过点（0，4），则第一条抛物线的函数关系式是.（二）1.如图代13-3-1所示二次函数的图象，则有（）图代13-3-1 图代13-3-2A.a+b+c?0B.a+b+c=0C.a+b+c?0D.a+b+c的符号不定2.如图1-3-2是抛物线的图象，则下列完全符合条件的是（）A.a?0，b?0，c?0，b2?4acB.a?0，b?0，c?0，b2?4acC.a?0，b?0，c?0，b2?4acD.a?0，b?0，c?0，b2?4ac3．已知抛物线的对称轴为x=1，与x轴、y轴的三个交点构成的三角形的面积为6，），则此二次函数的解析式为（3轴的交点到原点的距离为y且与或 A.或 B.或 C.或 D.学法指要例在直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，其中点A在点B的左边，若∠ACB=90°，.（1）求点C的坐标及这个二次函数的解析式；（2）试设计两种方案，作一条与y轴不生命，与△ABC的两边相交的直线，使截得的三角形与△ABC相似，并且面积是△AOC面积的四分之一.【思考】（第一问）1.坐标轴上点的坐标有何特点？2.如何求抛物线与y轴的交点坐标？3.如何设出抛物线与x轴的两个交点坐标？4.线段与坐标之间有何种关系？你会用坐标表示线段吗？【思路分析】本例必须准确设出A，B两点坐标，再求出C点坐标，并会用它们表示线段的长，将代数问题转化为几何问题，再由几何问题转化为代数问题，相互转化，相互转化，水到渠成.解：（1）依题意，设A(a,0),B(,0)其中a?0, β?0，则a,β是方程∴AOC∽△COB。
一元二次不等式的解法 说课稿 教案 教学设计
课题：一元二次不等式及其解法课题：一元二次不等式及其解法（第二课时）教学目标：1、知识与技能目标：（1）理解二次函数、一元二次方程、一元二次不等式的关系. （2）熟练掌握一元二次不等式的解法. （3）掌握含参数的一元二次不等式的解法及简单的不等式中的恒成立问题的解题方法.（4）培养学生数形结合的能力，分类讨论的思想方法，培养抽象概括能力和逻辑思维能力；2、过程与方法目标：培养学生运用等价转化和数形结合等数学思想解决数学问题的能力.3、情感态度价值观目标：激发学习数学的热情，培养勇于探索的精神，勇于创新精神，同时体会事物之间普遍联系的辩证思想。
教学重难点：1、一元二次不等式的解法.2、含参数的一元二次不等式以及不等式中的恒成立问题. 教学方法：情景教学法、问题教学法、引探式教学法。
教学过程：一、复习回顾，引入新课1、二次函数、一元二次方程、一元二次不等式之间的关系是什么？ac b 42-=∆ 0>∆ 0=∆ 0<∆ )0(2>++=a c bx ax y 的图象)0(02>=++a c bx ax 的根不相等的两实根1x )212x x x <（、相等的两实根abx x 221-== 无实根2、解一元二次不等式的基本步骤是什么？（1）化不等式为标准形式：)0(02>>++a c bx ax 或)0(02><++a c bx ax 。
（2）求方程)0(02>=++a c bx ax 的根。
（3）画出函数)0(2>++=a c bx ax y 的图像。
（4）由图像找出不等式的解集。
即：转化、求根、画图、找解。
二、讲授新课：例题1. 一元二次不等式的解法： 解不等式：10732≤-x x教师展示做题步骤：解：原不等式可化为：010732≤--x x因为010732=--x x 的两根分别为11-=x 、3102=x 所以原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤-3101x x变式训练：解下列不等式：（1）04422<-+-x x （2）322-<+-x x 学生演板：（1） 解：原不等式可化为：0222>+-x x 因为0424)2(2<-=⨯--=∆ 所以原不等式的解集为Ø学生复述做题过程：（2）解：原不等式可化为：0322>+-x x因为0322=--x x 的两根分别为11-=x 、232=x 所以原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧>-<3101x x x 或例题2. 已知解集，求参数的取值或取值范围。
一元二次函数教案模板(共7篇)
一元二次函数教案模板（共7篇）篇：二次函数与一元二次方程教案22.5二次函数与一元二次方程（教案）一、目标1、经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程，体会方程与函数之间的关系.2、理解二次函数与x轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系，理解何时函数有两个交点、一个交点和没有没有交点.3、理解一元二次方程的根就是二次函数与x轴交点的横坐标.二、教学重点和难点重点：探索二次函数图象与x轴的交点及一元二次方程的根的情况.难点：利用图象法探究交点个数的判别方法.教学方法自主探究、合作交流四、教学设计1.旧知回顾：（1）一次函数y＝x＋2的图象与x轴的交点为（，）一元一次方程x＋2＝0的根为________（2）一次函数y＝－3x＋6的图象与x轴的交点为（，）一元一次方程－3x＋6＝0的根为________ 通过观察对比，一次函数y＝kx＋b的图象与x轴的交点与一元一次方程kx＋b＝0的根有什么关系？结论：一次函数y＝kx＋b的图象与x轴的交点的横坐标就是一元一次方程kx＋b＝0的根2.新课引入：2.1问题导出：二次函数y＝ax2＋bx＋c与一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有什么关系？动手操作：请每位同学在方格纸中画出二次函数y＝x－2x－3的图象观察思考：你的图象与x轴的交点坐标是什么？2 解一元二次方程：x－2x－3＝0你发现了什么？发现的结论：（1）二次函数y＝ax2＋bx＋c与x轴的交点的横坐标就是当y＝0时一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根（2）二次函数的问题可以转化为一元二次方程去解决反馈练习1：求下列二次函数与x轴的交点坐标（1）y＝x＋4x－5；（2）y＝－x＋6x－9；（3）y＝2x＋3x＋5通过计算发现问题：不是所有的二次函数与x轴都有两个交点！有的函数只有一个交点，有的没有交点（借助图象的平移说明这个事实）22222.2设想：二次函数与x轴的交点个数与一元二次方程的解的个数有关系我们在学习一元二次方程时是用什么来判断解的个数的？回顾判别式：对于一元二次方程ax＋bx＋c＝0 b－4ac＞0 b－4ac＝0 b2－4ac＜0 222方程有两个不相等的实数根方程有两个相等的实数根方程没有实数根那么，对于二次函数y＝ax2＋bx＋c，判别式又能给我们什么样的结论？学生归纳：b2－4ac＞0 b2－4ac＝0 b－4ac＜0 2函数与x 轴有两个交点函数与x轴有一个交点函数与x轴没有交点反馈练习2：判断下列二次函数图象与x轴的交点情况（1）y ＝x2－1；（2）y＝－2x2＋3x－9；（3）y＝x2－4x＋4；（4）y＝－ax2＋（a＋b）x－b（a、b为常数，a≠0）2.3联想：二次函数与x轴的交点个数可以借助判别式解决，那么二次函数与一次函数的交点个数又该怎么解决呢？例如，二次函数y＝x－2x－3和一次函数y＝x＋2有交点吗？有几个？分析：两个函数的交点是这两个函数的公共解，列出方程组，消去y后再利用判别式判断即可.反馈练习3：二次函数y＝x2－2x－3和一次函数y＝x＋b有唯一公共点，求出b的值.3.交流4.作业2第2篇：二次函数与一元二次方程教案一§6.3 二次函数与一元二次方程（一）南京市东山外国语学校黄秀旺【教学目标】体会二次函数与一元二次方程之间的联系；理解二次函数的图象与x轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系；理解一元二次方程的根就是二次函数图象与x轴交点的横坐标．教学重点: 二次函数的图象与x轴交点的个数与一元二次方程的根的关系．教学难点: 理解二次函数图象与x轴的位置关系与一元二次方程的根的情况之间的关系．【教学过程】一、创设情境，揭示课题一个小球从地面以一定的速度竖直向上抛起,小球的高度h(m)与运动时间t(s)2之间的关系为二次函数h=-5t+40t，其函数图象如图（图略）所示．试问：小球经过多少秒后落地?与同伴进行交流.（揭示课题：6.3 二次函数与一元二次方程）二、活动探索，研究问题1.师生探究(1)观察：二次函数y=x2-2x-3的图象与x轴有几个交点？你能说出交点的坐标吗？(2)思考：利用交点的坐标你能说出x取何值时，y=0吗？(3)探究：你能说出一元二次方程x 2-2x -3=0的根吗？2.自主探究类似的，你能利用二次函数y=x2-6x+9的图象研究一元二次方程x2-6x+9=0的根的情况吗？一元二次方程x2-2x+3=0呢？3.归纳总结二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点的坐标与一元二次方程ax2+bx+c=0的根有什么关系? 4.例题示范三、自主研究，巩固应用四、延伸拓展，提高能力在本节一开始的小球上抛问题中, 提出新的问题: （1）当t=7秒时，小球距地面的高度是多少？（2）方程-5t2+40t=75的根的实际意义是什么？（3）何时小球离地面的高度是60m? 五、回顾小结，强化认知通过这节课的学习: 我发现了…… 我学会了……六、布置作业，课后练习课本P33–P34 4 ，7。
一元二次方程的定义及其解法教案
一元二次方程及其解法教学设计
一元二次方程及其解法（复习）
林勤勤
一元二次方程及其解法
【学习目标】
知识与技能目标
过程与方法目标
情感与态度目标
【学习过程】
一、自主学习
二、自主探究
1.旧知温习：
一元二次方程的四种常用解法：
（1）直接开平方法
（2）因式分解法
（3）公式法
（4）配方法
2.解下列一元二次方程
总结：将方程右边化为0，左边化成两个一次因式的乘积，令每个因式都等于0，得到两个一元一次方程，它们的解就是原一元二次方程的解。
四、课后作业
P26第4,5,8题
五、课后反思。
《一元二次函数》示范公开课教案【高中数学必修第一册北师大】
《一元二次函数》教学设计1. 熟悉配方法,理解a,b,c (或a,h,k )对二次函数图象的作用.2．理解由y =ax 2到y =a(x −ℎ)2+k 的图象变换方法.3. 掌握二次函数的性质.4. 体会抽象概括的过程，加强直观想象素养的培养.重点：掌握一元二次函数的图象和性质．难点：体会用平移的方法研究一元二次函数的图象，并能迁移到对其他函数的图象的研究之中． 一、新课导入 回顾旧知：初中阶段，我们学习了一元二次函数y =ax²+bx +c （a ≠0），请回顾认识这个函数的过程.答案：认识这个函数的过程是从y =x²开始的，是由简到繁的过程.如图所示：思考：对于二次函数y =a(x −ℎ)2+k (a ≠0)的图象，可以由函数y =ax²的图象，经过怎样的变换得到？师揭示本节课题：《一元二次函数》．设计意图：通过对旧知识的回顾，激发学生对一元二次函数的探究，从而引出今天的课题，激发学生的学习兴趣，让学生在对新问题的挑战中，进一步深化数形结合思想．二、新知探究探究一：一元二次函数．分析：一元二次函数的三种形式：（1）一般式：y =ax²+bx +c （a ≠0）（2）顶点式：y =a(x −ℎ)2+k(a ≠0)◆教学目标 ◆教学重难点 ◆ ◆教学过程◆（3）两根式：y =a(x −x 1)(x −x 2)(a ≠0)思考：如何把一元二次函数的一般式化为顶点式？答案：配方法.一元二次函数y =ax²+bx +c （a ≠0）都可以通过配方化为y =a (x +b 2a )2+4ac−b 24a ，若设 ℎ=−b 2a ，k =4ac−b 24a ，则有y =a(x 一ℎ)2+k （顶点式）通常把一元二次函数的图象叫作抛物线.例如：一元二次函数y =2x 2+3x +5，通过配方可化为y =2(x +34)2+318，其图象为开口向上，以x =−34为对称轴，（−34，318）为顶点的抛物线.探究二：一元二次函数的图象变换规律．分析：如图所示，一元二次函数y =2(x −2)2的图象可以由y =2x 2的图象右移2个单位长度得到；y =2(x −2)2−1的图象可以由由y =2x 2的图象右移2个单位长度，下移1个单位长度得到．知识点：一元二次函数y =a(x −ℎ)2+k 的图象可以由y =ax 2的图象经过向左（或向右）平移|ℎ|个单位长度，再向上（或向下）平移|k|个单位长度而得到．探究三：一元二次函数y =a(x 一ℎ)2+k(a ≠0)的性质．知识点：（1） 函数y =a(x −ℎ)2+k 的图象是一条抛物线，顶点坐标是（ℎ，k ），对称轴是直线x =ℎ．（2）当a >0时，抛物线开口向上；在区间(−∞,ℎ]上，函数值y 随自变量x 的增大而减小；在区间[ℎ,+∞）上，函数值y 随自变量x 的增大而增大；函数在x =ℎ处有最小值，记作y min =k ．（3）当a <0时，抛物线开口向下；在区间(−∞,ℎ]上，函数值y 随自变量x 的增大而增大；在区间[ℎ,+∞）上，函数值y 随自变量x 的增大而减小；函数在x =ℎ处有最大值，记作y max =k ．小结：二次函数y =a(x −ℎ)2+k(a ≠0)，a 决定了二次函数图象的开口大小及方向（a >0，图象开口向上，a 值越大，开口越小；a <0，图象开口向下，a 值越大，开口越大）﹔h 决定了二次函数图象的左、右平移，而且“h 正左移，h 负右移”﹔k 决定了二次函数图象的上、下平移，而且“k 正上移，k 负下移”．图象变换口诀：“上加下减，左加右减”.设计意图：从一元二次函数的三种形式进行探究，从简到繁，唤醒旧知，联系新知，从形式到图象变换，再到性质分析，循序渐进对一元二次函数的变换以及性质进行理解．三、应用举例例1： 已知一元二次函数y =12x ²+2x +5.（1）指出它的图象可以由y =12x ²的图象经过怎样的变换才能得到；（2）指出它的对称轴，试述函数的变化趋势及函数的最大值或最小值．分析：因为题中给出了一元二次函数的一般形式y =12x ²+2x +5，所以我们直接利用配方，将它变成y =a (x +b 2a )2+4ac−b 24a的形式，然后通过结合图形，即可得出答案. 解：（1）配方,可得，y =12x 2+2x +5y =12(x 2+4x)+5y =12(x 2+4x +4−4)+5 y =12(x +2)²+3.所以，y =12x 2+2x +5的图象可以由y =12x ²的图象向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度而得到.（2） 由（1）可知：该函数的图象开口向上，对称轴为直线x =-2；在区间(−∞,−2]上，函数值y 随自变量x 的增大而减小，在区间[−2,+∞)上,函数值y 随自变量x 的增大而增大；函数在x =−2处取得最小值3，y min =3.例2：若函数y =(a −1)x 2+2x +5的图象恒在x 轴的上方,求实数a 的取值范围. 解：当a −1=0时，函数解析式为y =2x +5，此时函数图象为一条直线，不是恒在x 轴的上方，故a ≠1；当a −1≠0时，若函数图象恒在x 轴上方，则有{a -1>0,Δ=4-20(a -1)<0,解得a >65. 综上所述，实数a 的取值范围为a >65. 四、课堂练习1. 判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里画“√”，错误的画“×”.（1）二次函数y =3x 2的开口比y =x 2的开口要大.（2）要得到y =—(x—2)2的图象，需要将y =—x 2向左平移2个单位长度．（3）二次函数y =ax 2+bx +c(a ≠0)一定有最小值.（4）二次函数y =x 2−2x +1的对称轴为x =—1.2.若抛物线y=x2−(m−2)x+m+3的顶点在y轴上,求m的值.3. 若函数y=x2+2(2a−1)x＋2在区间(−∞，7]上y随x的增大而减小，求实数a的取值范围.4. 求函数y=3+2x−x2（0≤x≤3）的最小值.参考答案：1. （1）×（2）×（3）×（4）×解析：由一元二次函数的图象和性质得知.2. m的值为2.解析：因为抛物线y=x2−(m−2)x+m+3的顶点在y轴上，所以顶点的横坐标为−−(m−2)2×1=m−22=0，故m=2.3. (−∞，−3]解析：由一元二次函数的性质知，抛物线y在区间(−∞，7]上y随x的增大而减小,可得−（2a−1）≥7，所以a的取值范围为(−∞，−3].4. 0解析：将一元二次函数y=3+2x−x2配方得y=−(x−1)2+4，因为（0≤x≤3），所以当x=3时，y min=3+6−9=0.故y的最小值为0.五、课堂小结1.一元二次函数的图象变换规律：h决定了二次函数图象的左、右平移，而且“h正左移，h负右移”﹔k决定了二次函数图象的上、下平移，而且“k正上移，k负下移”．图象变换口诀：“上加下减，左加右减”.2. 一元二次函数图象的性质：（1）函数y=a(x−ℎ)2+k的图象是一条抛物线，顶点坐标是（ℎ，k），对称轴是直线x=ℎ．a决定了二次函数图象的开口大小及方向（a>0，图象开口向上，a值越大，开口越小；a<0，图象开口向下，a值越大，开口越大）﹔（2）当a>0，抛物线开口向上；在区间(−∞,ℎ]上，函数值y随自变量的增大而减小；在区间[ℎ,+∞）上，函数值y随自变量的增大而增大；函数在x=ℎ处有最小值，记作y min=k．（3）当a<0，抛物线开口向下；在区间(−∞,ℎ]上，函数值y随自变量的增大而增大；在区间[ℎ,+∞）上，函数值y随自变量的增大而减小；函数在x=ℎ处有最大值，记作y max=k．六、布置作业教材第33页练习第1、2题．。
高一数学上册《一元二次不等式的解法》教案、教学设计
2.选做题（针对学有余力的学生）：
（1）研究一元二次不等式的性质，如单调性、奇偶性等，并举例说明。
（2）探讨一元二次不等式解法在生活中的应用，撰写一篇小论文，分享自己的观点和心得。
3.小组合作作业：
（1）小组内分工合作，共同探讨并总结一元二次不等式的解法技巧。
2.引导学生运用数形结合的思想，将一元二次不等式与图像相结合，培养学生的直观想象能力和逻辑思维能力。
3.通过对一元二次不等式解法的讨论，培养学生分类讨论、逐步推进的思维习惯。
4.结合实际例题，引导学生总结一元二次不等式的解法技巧，提高解题效率。
5.鼓励学生运用所学知识解决实际问题，培养学生的创新意识和应用能力。
（4）将一元二次不等式解法应用于解决实际问题，培养学生数学建模和解决问题的能力。
（二）教学设想
1.教学方法：
（1）采用启发式教学，引导学生通过观察、猜想、验证、总结等环节，自主探究一元二次不等式的解法。
（2）结合图像法，利用多媒体教学手段，形象直观地展示一元二次不等式的解法过程。
（3）小组合作学习，让学生在讨论、交流中相互学习、共同提高，培养学生的团队协作能力。
5.引导学生正确看待数学学习中的成功与失败，形成积极向上的心态，为未来的学习奠定坚实基础。
本教学设计旨在帮助学生在掌握一元二次不等式解法的基础上，提高数学思维能力、解决问题的能力以及情感态度与价值观的培养。在教学过程中，教师应关注学生的个体差异，因材施教，使每位学生都能在学习中收获成长。
二、学情分析
作业要求：
1.学生需独立完成作业，确保作业质量。
2.作业完成后，认真检查，及时纠正错误。
一元二次方程的解法教案
《一元二次方程的解法》教案、教学目标（一）知识教学点：认识形如 x 2= a （a>0）或（ax+b ） 2= c （aM0，c>0， a ，b ，c 为常数）类型的方程，并会用直接开平方法解.（二）能力训练点：培养学生准确而简洁的计算能力及抽象概括能力.（三）德育渗透点：通过两边同时开平方，将 2次方程转化为一次方程，向 学生渗透数学新知识的学习往往由未知（新知识）向已知（旧知识）转化，这是 研究数学问题常用的方法，化未知为已知.、教学重点、难点和疑点1. 教学重点：用直接开平方法解一元二次方程.2. 教学难点：认清具有（ax+ b ） 2= c （aM0，c>0， 样结构特点的一元二次方程适用于直接开平方法.3. 教学疑点：一元二次方程可能有两个不相等的实数解,2等的实数解，也可能无实数解口：（ ax+ b ） =c （aM0， c>0时，有两个不等的实数解， 解.三、教学步骤 （一）明确目标在初二代数“数的开方”这一章中，学习了平方根和开平方运算.“如果 x 2=a（aM0），那么x 就叫做a 的平方根“求一个数平方根的运算叫做开平 方运算”.正确理解这个概念，在本节课我们就可得到最简单的一元二次方程 x 2= a 的解法，在此基础上，就可以解符合形如（ax+ b ） 2=c （a ，b ，c 常数，a M 0，c> 0）结构特点的一元二次方程，从而达到本节课的目的.（二）整体感知通过本节课的学习，使学生充分认识到：数学的新知识是建立在旧知识的基 础上，化未知为已知是研究数学问题的一种方法， 本节课引进的直接开平方法旦 建立在初二代数中平方根及开平方运算的基础上， 可以说平方根的概念对初二代 数和初三代数起到了承上启下的作用.而直接开平方法又为一元二次方程的其他 解法打下坚实的基础，此法可a, b, c 为常数）这 也可能有两个相a ，b ，c 常数），当 c = 0时，有两个相等的实数解，c<0时无实数以说起到一个抛砖引玉的作用. 学生通过本节课的学习应深刻领会数学以旧引新的思维方法，在已学知识的基础上开发学生的创新意识.•元二次方程的解法：开平方法1.复习提问(1)什么叫整式方程？举两例，一元一次方程及一元二次方程的异同?(2)平方根的概念及开平方运算?2 .引例：解方程X2-4=0 .解：移项，得X = 4.两边开平方，得X =± 2.X 1 = 2, X2= -2 .分析 X2= 4, 一个数X的平方等于4,这个数X叫做4的平方根(或二次方根)；据平方根的性质，一个正数有两个平方根，它们互为相反数；所以这个数X为±2.求一个数平方根的运算叫做开平方.由此引出上例解一元二次方程的方法叫做直接开平方法.使学生体会到直接开平方法的实质是求一个数平方根的运算.练习：教材P. 8中1 (1)( 2)( 3)( 6).学生在练习、板演过程中充分体会直接开平方法的步骤以及蕴含着关于平方根的一些概念.3.例1 解方程9X2-16 = 0.解：移项，得：9X2=16,把方程的各项除以9,得/=¥两边开平方，士聘.. 4 4此例题是在引例的基础上将二次项系数由 1变为9,由此增加将二次项系数变为1的步骤.此题解法教师板书，学生回答，再次强化解题歩骤,并且强调炳个根J正确写法彷=1，/冷J礁丢掉负根.例2 解方程(x + 3) 2 = 2.分析：把x + 3看成一个整体y.Si因为囂+ 3是2的平方根，所liU + 3= ± 72* 迺=-3+ V2, ^2 = - 3 -*例2把引例中的x变为X+3,反之就应把例2中的X+3看成一个整体,两边同时开平方，将二次方程转化为两个一次方程，便求得方程的两个解.可以说：禾用平方根的概念，通过两边开平方，达到降次的目的，化未知为已知，体现一种转化的思想.练习：教材P. 8中2，此组练习更重要的是体会方程的左边不是未知数的平方，而是含有未知数的代数式的平方，而右边是个非负实数，采用直接开平方法便可以求解.例 3 解方程(2-X ) 2-81 = 0.解法（一）2移项，得：（2-X ） = 81.两边开平方，得：2-x= ± 92-X = 9 或 2-X = -9 .X 1=-7 , X2= 11.练习：解下列方程:(1)( 1-X ) 2-18 = 0;( 2)( 2-X ) 2 = 4;⑶卄極,（4）（3必尸二49.（四）总结、扩展曰.个1.如果一元二次方程的一边是含有未知数的一次式的平方，另一边疋非负常数，便可用直接开平方法来解.如（ax+ b）2= c （a，b，c为常数，a^0， c > 0）.2.一元二次方程可能有两个不同的实数解，也可能有两个相同的实数解, 也可能无实数解.元二次方程的解法：配方法例1解一元二次方程x 2-64x+768=0移项7 x 2-64x= -768—2 2 2 2 2两边加（）使左边配成x +2bx+b 的形式 7 x -64x+32 =-768+10242左边写成平方形式7 （x-32） 2=?256 ?降次7 x-32= ± 16即x-32=16解一次方程7 X 1=48, X 2=16。
一元二次不等式及其解法教案
一元二次不等式及其解法教案一元二次不等式及其解法教案【教学目标】1．知识与技能：理解一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系，掌握图象法解一元二次不等式的方法；培养数形结合的能力，培养分类讨论的思想方法，培养抽象概括能力和逻辑思维能力；2．过程与方法：经历从实际情境中抽象出一元二次不等式模型的过程和通过函数图象探究一元二次不等式与相应函数、方程的联系，获得一元二次不等式的解法；3．情态与价值：激发学习数学的热情，培养勇于探索的精神，勇于创新精神，同时体会事物之间普遍联系的辩证思想。
【教学重点】从实际情境中抽象出一元二次不等式模型；一元二次不等式的解法。
【教学难点】理解二次函数、一元二次方程与一元二次不等式解集的关系。
【教学过程】一、课题导入1、在初中，我们解过一元一次不等式，如解不等式x – 1 > 0，现在请同学们先画出函数y = x – 1 的图象，并通过观察图象回答以下问题:1）x 为何值时， y = 0;2）x 为何值时， y > 0;3）x 为何值时， y < 0;所以，不等式的解集是﹛x|x<1或x>6﹜，从而解决了本节开始时提出的问题。
(3)探究一般的一元二次不等式的解法任意的一元二次不等式，总可以化为以下形式： )0(,02>>++a c bx ax 或)0(,02><++a c bx ax一般地，怎样确定一元二次不等式的解集呢？组织讨论：从上面的例子出发，综合学生的意见，可以归纳出确定一元二次不等式的解集，关键要考虑以下两点：(1)抛物线=y c bx ax ++2与x 轴的相关位置的情况，也就是一元二次方程c bx ax ++2=0的根的情况(2)抛物线=y c bx ax ++2的开口方向，也就是a 的符号总结讨论结果：（l ）抛物线 =y c bx ax ++2（a> 0）与 x 轴的相关位置，分为三种情况，这可以由一元二次方程 c bx ax ++2=0的判别式ac b 42-=∆三种取值情况(Δ> 0，Δ=0，Δ<0）来确定.因此，要分三种情况讨论（2）a<0可以转化为a>00>∆ 0=∆ 0<∆二次函数c bx ax y ++=2 （0>a ）的图象0672>+-x x三、例题解析例1、解不等式02322>--x x 解：原不等式等价于0)2)(12(>-+x x方程02322=--x x 的解是2,2121=-=x x 所以，原不等式的解集是：}⎩⎨⎧>-<221|x x x 或 例2、解不等式2632≥+-x x 解：原不等式可变形为02632≤--x x 0>∆ ，方程02632=--x x 的解为33133121+=-=x x 或所以，原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫-≤≤-331331|x x 例3、 求不等式01442>+-x x 的解集. 解：因为210144,0212===+-=∆x x x x 的解是方程. 所以，原不等式的解集是⎭⎬⎫⎩⎨⎧≠21x x 通过例题让学生总结解一元二次不等式的步骤一看：看二次项系数是否为正，若为负化为正二算：算△及对应方程的根三写：由对应方程的根，结合不等号的方向，根据函数图象写出不等式的解集。
高中数学必修5《一元二次不等式及其解法》教案
高中数学必修5《一元二次不等式及其解法》教案高中数学必修5《一元二次不等式及其解法》教案【一】教学准备教学目标知识与技能理解三个“二次”的关系，掌握图像法解一元二次不等式;培养学生数形结合的能力。
过程与方法经历从实际情境中抽象出一元二次不等式模型的过程和通过函数图像探究一元二次不等式与相应函数、方程的联系，获得一元二次不等式的解法;情感态度与价值观激发学习数学的热情，培养勇于探索的精神，勇于创新精神，同时体会事物之间普遍联系的辩证思想。
教学重难点【教学重点】一元二次不等式的解法。
【教学难点】理解三个二次之间的关系。
教学过程(一)课题导入上网获取信息已经成为人们日常生活的重要组成部分，因特网服务公司(ISP)的任务就是负责将用户的计算机接入因特网，同时收取一定的费用。
某同学要把自己的计算机接入因特网，比如说在我们周围现有两家ISP公司电信和网通可供选择。
假如电信公司每小时收费1.5元(不足1小时按1小时计算);网通公司的收费原则如下图所示，即在用户上网的第1小时内(含恰好1小时，下同)收费1.7元，第2小时内收费1.6元，以后每小时减少0.1元(若用户一次上网时间超过17小时，按17小时计算)。
一般来说，一次上网时间不会超过17小时，所以，不妨设一次上网时间总小于17小时。
那么，一次上网在多长时间以内能够保证选择电信公司的上网费用小于或等于选择网通公司所需费用?分析问题：假设一次上网x小时，则电信公司收取的费用为1.5x(元)，网通公司收取的费用为出的问题，所以我们可知当一次上网在5个小时之内(含5个小时)的时候，选择电信比选择网通费用要少。
当超过5个小时的时候，选择网通费用较少。
因此，我们可以结合平时的上网时间合理的来进行选择。
设计意图：从一个特殊的不等式出发，通过图像分析给出，一元二次不等式可以通过结合其所对的二次函数图像来进行求解。
(3)探究一般的一元二次不等式的解法从上面的例子出发，综合学生的意见，可以归纳出确定一元二次不等式的解集，关键要考虑以下两点：小结：解一元二次不等式的步骤：(1)化标准：将不等式化成标准形式(右边为0、最高次的系数为正);(2)判Δ，求根：计算判别式的值，若值为正，则求出相应方程的两根;(3)下结论：注意结果要写成集合或者区间的形式设计意图：通过三种不同形式的题目，让学生从各个面对一元二次不等式进行进一步了解，强调一些注意事项，让学生规范操作。
高中数学 第一章第12课时一元二次不等式解法教师专用教案 新人教A版
专心1第十二教时 一元二次不等式解法目的：从一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系出发，掌握运用二次函数求解一元二次不等式的方法。
过程 ：一、课题：一元二次不等式的解法先回忆一下初中学过的一元一次不等式的解法：如 2x -7>0⇒x>27这里利用不等式的性质解题从另一个角度考虑：令 y=2x -7 作一次函数图象：引导观察，并列表，见 P17 略 当 x=3.5 时, y=0 即 2x -7=0 当 x<3.5 时, y<0 即 2x -7<0 当 x>3.5 时, y>0 即 2x -7>0 结论：略 见P17注意强调：1︒直线与 x 轴的交点x 0是方程 ax+b=0的解2︒当 a>0 时, ax+b>0的解集为 {x | x > x 0 }当 a<0 时, ax+b<0可化为 -ax -b<0来解二、一元二次不等式的解法同样用图象来解，实例：y=x 2-x -6 作图、列表、观察 当 x=-2 或 x=3 时, y=0 即 x 2-x -6=0 当 x<-2 或 x>3 时, y>0 即 x 2-x -6>0 当 -2<x<3 时, y<0 即 x 2-x -6<0∴方程 x 2-x -6=0 的解集：{ x | x = -2或 x = 3 }不等式 x 2-x -6 > 0 的解集：{ x | x < -2或 x > 3 } 不等式 x 2-x -6 < 0 的解集：{ x | -2 < x < 3 } 这是 △>0 的情况：若 △=0 , △<0 分别作图观察讨论 得出结论：见 P18--19说明：上述结论是一元二次不等式 ax+bx+c>0(<0) 当 a>0时的情况若 a<0, 一般可先把二次项系数化成正数再求解三、例题 P19 例一至例四练习：（板演）有时间多余，则处理《课课练》P14 “例题推荐”四、小结：一元二次不等式解法（务必联系图象法） 五、作业：P21 习题 1.5 《课课练》第8课余下部分。
一元二次函数的教案
一元二次函数的教案【篇一：高一数学二次函数与一元二次方程教案】高一数学二次函数与一元二次方程教案知识目标:（1）会用判别式的符号解释二次函数图象与x轴交点及一元二次方程的根。
（2）理解解函数的零点与方程根的联系及判断函数的零点所在的大致区间。
能力目标：体验并理解函数与方程相互转化的数学思想培和数形结合的数学思想。
情感目标：培养学生积极探索，主动参与，大胆创新，勇于开拓的精神教学过程: 一、引入等式ax2+bx+c=0(a≠0)是关于x的一元二次方程，关系式y=ax2+bx+c(a≠0)则是关于自变量x的二次函数。
今天我们将进一步研究它们之间的关系。
二、新授观察思考：1、几个具体的一元二次方程及其对应的二次函数，如①方程x-2x-3=0与函数y=x2-2x-3；2②方程x-2x+1=0与函数y=x2-2x+1；2③方程x2-2x+3=0与函数y=x2-2x+3。
研讨探究问题：一元二次方程的根与二次函数图象和x轴交点坐标有什么关系？探究点一：二次函数图象与一元二次方程根的关系。
⑴以①为例（幻灯片）结论：一元二次方程x-2x-3=0的判别式?＞0 ?一元二次方程x-2x-3=0有两个不相等的实数根?对应的二次函数y=x2-2x-3的图象与x轴有两个交点为（3，0），（–1，0）。
（2）再研究②③，能得类似的结论吗？22结论：一元二次方程x-2x+1=0判别式?=0一元二次方程x-2x+1=0?有两22等根?对应的二次函数y=x-2x+1的图象与x轴有唯一的交点为（1，0）。
22一元二次方程判别式x-2x+3=0?﹤0 ?一元二次方程x-2x+3=02方程无实数根?对应的二次函数y=x2-2x+3的图象与x轴没有交点。
联想发散22、一元二次方程ax+bx+c=0（a＞0）根的个数及其判别式与二次函数y=ax2+bx+c（a＞0）图象与x轴的位置之间有什么联系？）思考：当二次函数y=ax2+bx+c（a﹤0）时，是否也有类似的结论呢？探究点二：函数的零点一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的的实数根就是二次函数y=ax2+bx+c的值为零时自变量的x的值，也就是二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点的横坐标，因2此一元二次方程ax+bx+c=0(a≠0)的的实数根也称为二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的零点。
一元二次函数讲解教案2篇
一元二次函数讲解教案一元二次函数讲解教案精选2篇（一）教案：一元二次函数的讲解目标：1. 学生能够理解一元二次函数的基本概念。
2. 学生能够识别一元二次函数的标准形式和一般形式，并进行相互转化。
3. 学生能够画出一元二次函数的图像，并能够提取关键信息。
4. 学生能够解一元二次方程，并能够应用一元二次函数解决实际问题。
教学过程：一、导入（5分钟）通过简单的问题引入一元二次函数的概念：- 请举一个实际生活中的例子，可以用一元二次函数来描述的。
- 你知道一元二次函数和一次函数的区别吗？二、概念讲解（10分钟）1. 定义一元二次函数：y = ax^2 + bx + c。
其中a、b、c为常数，并且a ≠ 0。
2. 一元二次函数的图像呈现抛物线的形状。
3. 标准形式和一般形式的区别：- 标准形式：y = a(x - h)^2 + k。
其中(h, k)为顶点坐标。
- 一般形式：y = ax^2 + bx + c。
4. 标准形式和一般形式的转化方法。
三、画图和提取信息（15分钟）1. 根据给定的一元二次函数，画出抛物线的图像。
2. 从图像中提取关键信息：开口方向、顶点坐标、对称轴、x轴与y轴的交点等。
四、方程求解（15分钟）1. 什么是一元二次方程？如何解一元二次方程？2. 通过图像求解一元二次方程的根。
3. 通过公式求解一元二次方程的根。
4. 实际问题的应用案例。
五、练习与巩固（15分钟）1. 练习解一元二次方程：给定一元二次函数的图像，求解相应的方程。
2. 练习画图和提取信息：给定一元二次函数的一般形式，画出抛物线的图像，并提取关键信息。
3. 练习应用问题：通过一元二次函数解决实际问题。
六、总结与反思（5分钟）请学生总结今天学习的重点内容，并提出自己的疑问或观点。
七、课堂延伸可以引导学生进一步探究一元二次函数的性质，如开口方向、对称性等。
可以让学生自主寻找相关的性质与规律，并进行讨论和总结。
也可以通过拓展问题拓宽学生的思维，如给定一元二次函数的一般形式，求解其与坐标轴的交点等。
一元二次函数讲解教案
一元二次函数讲解教案一、教学目标1.理解一元二次函数的定义、图像和性质。
2.掌握一元二次方程的求解方法。
3.能够运用一元二次函数解决实际问题。
二、教学重点与难点1.教学重点：一元二次函数的定义、图像和性质，一元二次方程的求解方法。
2.教学难点：一元二次函数图像的变换，一元二次方程的求解技巧。
三、教学过程一、导入1.回顾一元一次函数的定义、图像和性质。
2.提问：一元二次函数与一元一次函数有什么区别？二、新课讲解1.定义介绍一元二次函数的定义：一般地，形如y=ax²+bx+c（a≠0）的函数称为一元二次函数。
2.图像开口方向：当a>0时，开口向上；当a<0时，开口向下。
对称性：一元二次函数的图像关于其对称轴对称。
顶点：一元二次函数的图像有唯一的顶点，顶点坐标为（-b/2a，4ac-b²/4a）。
3.性质介绍一元二次函数的性质：当a>0时，函数在顶点左侧单调递减，在顶点右侧单调递增。
当a<0时，函数在顶点左侧单调递增，在顶点右侧单调递减。
函数的最大值或最小值出现在顶点处。
4.一元二次方程介绍一元二次方程的求解方法：公式法：x=[-b±√(b²-4ac)]/2a因式分解法：将一元二次方程分解为两个一次因式的乘积，然后求解。
配方法：将一元二次方程转化为完全平方形式，然后求解。
三、案例分析1.分析几个典型的一元二次函数图像，让学生找出它们的开口方向、对称轴、顶点坐标等。
2.分析几个一元二次方程，让学生运用所学方法求解。
四、巩固练习1.让学生独立完成几个一元二次函数的图像绘制和性质分析。
2.让学生独立求解几个一元二次方程。
五、课堂小结3.强调一元二次函数在实际问题中的应用。
六、课后作业1.绘制几个一元二次函数的图像，并分析它们的性质。
2.求解几个一元二次方程。
3.选取一个实际问题，运用一元二次函数解决。
通过本节课的学习，希望同学们能够掌握一元二次函数的基本知识，为后续学习打下坚实基础。
九年级上册-一元二次函数教案
一对一个性化辅导教案一、错题回顾1、抛物线的顶点是C （2，3），它与x 轴交于A ，B 两点，它们的横坐标是方程0342=+-x x 的两根，则ABCS ∆=。
2、抛物线m x x y +--=22，若其顶点在x 轴上，则=m ． 3、函数362+-=x kx y 的图象与x 轴有交点，则k 的取值范围是（ ） A ．3<kB ．03≠<k k 且C ．3≤kD ．03≠≤k k 且 4判断方程02=++c bx ax (a ≠0，a ，b ，c 为常数)一个解x 的范围是（ ）A ．3＜x ＜3.23B ．3.23＜x ＜3.24C ．3.24＜x ＜3.25D ．3.25 ＜x ＜3.26一元二次函数二、考点分析1、一元二次函数的性质一般式c bx ax y ++=2（0a ≠）中系数a 、b 、c 的意义：a ：决定函数图像的开口方向、大小a>0时，函数图像开口向上 a<0时，函数图像开口向下a 越大，函数图像的开口越小b ：与对称轴有关：对称轴为x=ab 2-c ：函数图像与y 轴交点的纵坐标与坐标轴的交点，x 轴（a 2ac 4b b 2---，0）和（a2ac4b b 2-+-，0），y 轴（0，c ）例题1、（2015•沈阳）在平面直角坐标系中，二次函数y =a （x ﹣h ）2（a ≠0）的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．例题2、（2015•甘孜州）二次函数y =x 2+4x ﹣5的图象的对称轴为（ ）A ． x =4B ． x =﹣4C ．x =2D ． x =﹣2例题3、（2015•黔南州）二次函数y =x 2﹣2x ﹣3的图象如图所示，下列说法中正确的是（ ）A ． 函数图象与y 轴的交点坐标是（0，﹣3）B ． 顶点坐标是（1，3）C ． 函数图象与x 轴的交点坐标是（3，0）D ． 当x>0时，y 随x 的增大而减小例题4、（2015•咸宁）如图是二次函数y =ax 2+bx +c 的图象，下列结论： ①二次三项式ax 2+bx +c 的最大值为4； ②4a +2b +c ＜0；③一元二次方程ax 2+bx +c =1的两根之和为﹣1； ④使y ≤3成立的x 的取值范围是x ≥0． 其中正确的个数有（ ）A ． 1个B ． 2个C ． 3个D ． 4个强化训练1、（2015•深圳）二次函数y =ax 2+bx +c （a ≠0）的图象如图所示，下列说法正确的个数是（ ） ①a ＞0；②b ＞0；③c ＜0；④b 2﹣4ac ＞0．A ． 1B ． 2C ． 3D ． 42、（2015•安顺）如图为二次函数y =ax 2+bx +c （a ≠0）的图象，则下列说法： ①a ＞0 ②2a +b =0 ③a +b +c ＞0 ④当﹣1＜x ＜3时，y ＞0 其中正确的个数为（ ）A ． 1B ． 2C ． 3D ． 43、（2015•南昌）已知抛物线y =ax 2+bx +c （a ＞0）过（﹣2，0），（2，3）两点，那么抛物线的对称轴（ ） A ． 只能是x =﹣1 B ． 可能是y 轴C ． 在y 轴右侧且在直线x =2的左侧D ． 在y 轴左侧且在直线x =﹣2的右侧填空1、（2015•常州）二次函数y =﹣x 2+2x ﹣3图象的顶点坐标是 ．2、（2015•漳州）已知二次函数y =（x ﹣2）2+3，当x 时，y 随x 的增大而减小．3、（2015•杭州）函数y =x 2+2x +1，当y =0时，x = ；当1＜x ＜2时，y 随x 的增大而 （填写“增大”或“减小”）．4、（2015•莆田）用一根长为32cm 的铁丝围成一个矩形，则围成矩形面积的最大值是 cm 2．一元二次函数解析式的3种求法（1）已知抛物线上三点坐标，可根据一般式c bx ax y ++=2（0a ≠）用待定系数法求出a 、b 、c 的值（2）已知抛物线的顶点坐标或对称轴方程，可采用顶点式求解析式()0a k )(y 2≠+-=h x a（3）已知抛物线与x 轴 的交点的横坐标，可采用交点式()0a -x x x -x 21≠=））（（a y例题1、已知抛物线的顶点坐标是（－2，1），且过点（1，－2）， 求抛物线的解析式。
一元二次函数的教学设计 示范文档
一元二次函数的教学设计示范文档芦庙中心中学刘红伟一、教案三要素教师进行教学设计是为了达到教学活动的预期目的，减少教学中的盲目性和随意性，其最终目的是为了使学生能更高效的学习，开发学生的学习潜能，塑造学生的健全人格，以促进学生的全面发展。
既然是设计，就需要思考、立意和创新。
因而，数学教学设计是一个既要满足常规教学要求，又要进行个人创造的过程。
数学教学设计，是为数学教学活动制定蓝图的过程。
完成数学教学设计，教师需要考虑以下三个方面：一、教学目的(3)在作业中，补充思考题：ab=1一定有a=1或b=1吗？3教学方法独立探究，合作交流与教师引导相结合。
三、教具准备无盖长方体盒子、长20cm，宽12cm的硬纸片、小黑板、彩色粉笔、幻灯片、投影仪等。
四、小结（引导学生按下面的思路进行小结）1.这堂课的主要任务是什么？2.解一元二次方程的基本思路是什么？3.你用什么方法达到“降次”转化的目的？这节课我们学习了一元二次方程的概念及其解法，解法的基本思路是将一元二次方程转化为一元一次方程，而达到这一目的，我们主要利用了因式分解“降次”。
在今天的学习中，我们还要逐步深入、领会、掌握“转化”这一数学思想方法。
总评：这是一份完善的、比较优秀的实习生教案。
它在教学目的的确定、教学设计的理念和教学过程的展示三个要素上是清晰的，三者之间的联系是紧密的。
在教学过程中，教师由一个实际问题引入新方程，要解决这个实际问题需要学习新知识，激发了学生的学习动机。
而新知识与已有知识一元一次方程有内在联系，引导学生用比较、概括的方法获得新知识：一元二次方程的概念。
通过补充练习，及时加深理解。
在例1的处理上，教师为学生铺路搭桥，即明确了降次的依据，又为用饮食分解法解一元二次方程作了铺垫，学生能够比较顺利的解答原先的实际问题，从而树立了学习的信心。
再次基础上，补充变式练习，训练思维的灵活性，并了解其他几种一元二次方程的方法，从而构件起一元二次方程的概念和解法的认知结构。
32不等式一元二次不等式及其解法
课题: §3.2 一元二次不等式及其解法〔1〕授课类型：新授课【教学目标】1．知识与技能: 理解一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系，掌握图象法解一元二次不等式的方法；培养数形结合的能力，培养分类讨论的思想方法，培养抽象概括能力和逻辑思维能力；【教学重、难点】重点：从实际情境中抽象出一元二次不等式模型；一元二次不等式的解法．难点：理解二次函数、一元二次方程与一元二次不等式解集的关系．【教学过程】1．课题导入从实际情境中抽象出一元二次不等式模型： 课本P76互联网的收费问题教师引导学生分析问题、解决问题，最后得到一元二次不等式模型：250x x -<．2．讲授新课〔1〕一元二次不等式的定义象250x x -<这样，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式．〔2〕探究一元二次不等式的解集 怎样求不等式250x x -<的解集呢？ 探究：①二次方程的根与二次函数的零点的关系 容易知道：二次方程的有两个实数根：120, 5x x == 二次函数有两个零点：120, 5x x ==于是，我们得到：二次方程的根就是二次函数的零点． ②观察图象，获得解集画出二次函数25y x x =-的图象，如图，观察函数图象，可知：当 0x <，或5x >时，函数图象位于x 轴上方，此时，0y >，即250x x ->； 当05x <<时，函数图象位于x 轴下方，此时，0y <，即250x x -<； 所以，不等式250x x -<的解集是{}|05x x <<，从而解决了本节开始时提出的问题．〔3〕探究一般的一元二次不等式的解法任意的一元二次不等式，总可以化为以下两种形式：20ax bx c ++>，或20ax bx c ++< (0)a >．一般地，怎样确定一元二次不等式20ax bx c ++>与20ax bx c ++<的解集呢？组织学生讨论：从上面的例子出发，综合学生的意见，可以归纳出确定一元二次不等式的解集，关键要考虑以下两点：①抛物线与x 轴的相关位置的情况，也就是一元二次方程20ax bx c ++=的根的情况；②抛物线2y ax bx c =++的开口方向，也就是a 的符号． 总结讨论结果：①抛物线 2y ax bx c =++(0)a >与x 轴的相关位置，分为三种情况，这可以由一元二次方程20ax bx c ++=的判别式24b ac ∆=-三种取值情况(0∆>，0∆=，0∆<〕来确定．因此，要分二种情况讨论．②0a <可以转化为0a >分0∆>，0∆=，0∆<三种情况，得到一元二次不等式20ax bx c ++>与20ax bx c ++<(0)a >的解集．设相应的一元二次方程20ax bx c ++=(0)a ≠的两根为1212x x x x ≤、且，24b ac ∆=-，那么不等式的解的各种情况如下表：(让学生独立完成课本第77页的表格)0∆> 0∆= 0∆< 二次函数2y ax bx c =++ (0)a >的图象一元二次方程 20ax bx c ++= 有两相异实根1212, ()x x x x <有两相等实根122bx x a ==-无实根20ax bx c ++>(0)a >的解集 {}12x x x x x <>或2b x x a ⎧⎫≠-⎨⎬⎩⎭R20ax bx c ++<(0)a >的解集{}12x xx x <<∅ ∅3．范例讲解例1 (课本第78页)求不等式24410x x -+>的解集.解：因为0∆=，方程24410x x -+=的解是1212x x ==．所以，原不等式的解集是12x x ⎧⎫≠⎨⎬⎩⎭．评述：此题主要熟悉最简单一元二次不等式的解法，一定要保证步骤正确，计算准确．变式训练：课本第80页第1题(1)，(4)，(6)．例2 (课本第78页)解不等式2230x x -+->． 解：整理，得2230x x -+<.因为0∆<，方程2230x x -+=无实数解， 所以不等式2230x x -+<的解集是∅.从而，原不等式的解集是∅.评述：将2230x x -+->转化为2230x x -+<的过程注意符号的变化，这是解题关键之处，讲课要放慢速度．变式训练：课本第80页第1题(2)，(3)，(5) (7)．解一元二次不等式的步骤：①将二次项系数化为“+〞：20A ax bx c =++>(或0<) (0)a >． ②计算判别式∆，分析不等式的解的情况：ⅰ．0∆>时，求根12x x <，12120;0.A x x x A x x x ><>⎧⎪⎨<<<⎪⎩若，则或若，则ⅱ．0∆=时，求根，00000.A x x A x A x x >≠⎧⎪<∈∅⎨⎪≤=⎩若，则的一切实数；若，则；若，则ⅲ．0∆<时，方程无解，00.A x A x >∈⎧⎨≤∈∅⎩R 若，则；若，则③写出解集．【作业布置】课本第80页习题3.2[A]组第1题 【板书设计】【教学后记】课题: §3.2 一元二次不等式及其解法〔1〕课前预习学案【知识准备】1．我们把 ，并且 不等式，称为一元二次不等式．2．不等式30ax +>的解集是 ．3．假设将不等式20x bx c -++>的二次项系数化为正数，那么不等式化为 ． 【预习内容】课本第76-78页．1．尝试写出课本P76三个实例对应的不等式． 2．探究方程的根与二次函数的零点的关系． 3．探究不等式250x x -<的解集． 【提出疑惑】1．不等式250x x -<与250x x ->的解集之间有什么关系？规律是什么？ 2．如何将不等式与二次函数的零点的关系？以不等式250x x -<与二次函数25y x x =-的零点为例进行探究．3．如何将不等式20ax bx c ++>(0)a <进行转化？课内探究学案【学习目标】1．理解一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系，掌握图象法解一元二次不等式的方法；2．熟练准确地解节简单的一元二次不等式． 【提出问题】1．如何解一般的一元二次不等式20ax bx c ++>(0)a >与20ax bx c ++<(0)a >？ 2．如何解一般的一元二次不等式20ax bx c ++>(0)a <？ 【合作探究】1．探究不等式250x x -<与二次函数25y x x =-的零点之间的关系． 2．总结其中的规律，并尝试完成课本第77页的表格0∆> 0∆= 0∆< 二次函数2y ax bx c =++ (0)a >的图象一元二次方程 20ax bx c ++=无实根20ax bx c ++>(0)a >的解集2b x x a ⎧⎫≠-⎨⎬⎩⎭3．试运用上面的规律解答例题，修正已有的观念，并做对应练习进行稳固． 例1 (课本第78页)求不等式24410x x -+>的解集． 变式训练：课本第80页第1题(1)，(4)，(6)． 例2 (课本第78页)解不等式2230x x -+->．变式训练：课本第80页第1题(2)，(3)，(5) (7)．【反思总结】解一元二次不等式的步骤：①将二次项系数化为“+〞：20A ax bx c =++>(或0<) (0)a >． ②计算判别式∆，分析不等式的解的情况：ⅰ．0∆>时，求根12x x <，12120;0.A x x x A x x x ><>⎧⎪⎨<<<⎪⎩若，则或若，则ⅱ．0∆=时，求根120x x x <=，00000.A x x A x A x x >≠⎧⎪<∈∅⎨⎪≤=⎩若，则的一切实数；若，则；若，则ⅲ．0∆<时，方程无解，00.A x A x >∈⎧⎨≤∈∅⎩R 若，则；若，则③写出解集．【完成作业】课本第80页习题3.2[A]组第1题课后练习与提高1．与不等式(3)(5)0x x +-<的解集相同的是〔 〕A ．3050x x +>⎧⎨-<⎩B ．3050x x +<⎧⎨->⎩C ．5030x x ->⎧⎨+<⎩D ．3050x x +>⎧⎨->⎩2．关于x 的不等式0ax b +>的解集为{}2x x >，那么关于x 的不等式2023ax bx x +>--的解集为〔 〕A ．{|213}x x x -<<->或B ．{|321}x x x -<<->或C ．{|123}x x x -<<>或D ．{|13}x x <-<或 3．集合{}2540A x x x =-+≤，{}2560B x x x =-+≥，那么AB =〔 〕A ．{|1234}x x x ≤≤≤≤或B ．{|1234}x x x ≤≤≤≤且C ．{1, 2, 3, 4}D ．{|4123}x x x -≤≤-≤≤或4．集合{}2320U x x x =-+≥，{}31A x x x =><或，那么U C A = ． 5．不等式2228x x ≤-<的正整数解集为 ． 6．解以下不等式① (1)(3)52x x x --<-； ② 22(11)3(1)x x x +≥+)； ③ 2(21)(3)3(2)x x x +-+＞ 答案：1．A 2．C 3．A 4．{|231}x x x≤≤=或5．{3}6．①{|24}x x x<>或；②3{|1}2x x≤≤；③∅课题: §3.2 一元二次不等式及其解法〔2〕授课类型：新授课【教学目标】1．知识与技能：稳固一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系，进一步熟练解一元二次不等式的解法；2．过程与方法：培养数形结合的能力，一题多解的能力，培养抽象概括能力和逻辑思维能力；3．情态与价值：激发学习数学的热情，培养勇于探索的精神，勇于创新精神，同时体会从不同侧面观察同一事物思想．【教学重、难点】重点：熟练掌握一元二次不等式的解法难点：理解一元二次不等式与一元二次方程、二次函数的关系 【教学过程】1．课题导入〔1〕一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系 〔2〕一元二次不等式的解法步骤——课本第77页的表格 2．范例讲解例3 某种牌号的汽车在水泥路面上的刹车距离s m 和汽车的速度 x km/h 有如下的关系：21120180s x x =+． 在一次交通事故中，测得这种车的刹车距离大于39.5m ，那么这辆汽车刹车前的速度是多少？〔精确到0.01km/h 〕解：设这辆汽车刹车前的速度至少为x km/h ，根据题意，我们得到21139.520180x x +> 移项整理得：2971100x x +->显然0>△，方程2971100x x +-=有两个实数根，即1288.94, 79.94x x ≈-≈．所以不等式的解集为{}|88.94, 79.94x x x <->或．在这个实际问题中，0x >，所以这辆汽车刹车前的车速至少为79.94km/h.评述：注意体会三个“二次〞之间的关系． 变式训练：课本第80页练习2例4 一个汽车制造厂引进了一条摩托车整车装配流水线，这条流水线生产的摩托车数量x 〔辆〕与创造的价值y 〔元〕之间有如下的关系：假设这家工厂希望在一个星期内利用这条流水线创收6000元以上，那么它在一个星期内大约应该生产多少辆摩托车？解：设在一个星期内大约应该生产x 辆摩托车，根据题意，我们得到 移项整理，得因为1000=>△，所以方程211030000x x -+=有两个实数根1250, 60x x ==． 由二次函数的图象，得不等式的解为：5060x <<．因为x 只能取正整数，所以，当这条摩托车整车装配流水线在一周内生产的摩托车数量在51-59辆之间时，这家工厂能够获得6000元以上的收益．评述：教师板书图象的绘制过程，以起到示范作用． 变式训练：课本第80页习题3.2 A 组第5题．例5 设2{|430}A x x x =-+<，2{|280}B x x x a =-+-≤，且A B ⊆，求a 的取值范围．解：令2()28f x x x a =-+-由A B ⊆，及二次函数图象的性质可得(1)0(3)0f f ≤⎧⎨≤⎩，即12809680a a -+-≤⎧⎨-+-≤⎩，解之得95a -≤≤． 因此a 的取值范围是95a -≤≤．评述：留足思考时间，弄清楚两个集合对应二次函数图象之间的关系． 变式训练：课本第80页习题3.2 A 组第3题．进一步熟练掌握一元二次不等式的解法；一元二次不等式与一元二次方程以及一元二次函数的关系． 【板书设计】【作业布置】课本第80页习题3.2[A]组第4，6题【教学后记】课题: §3.2 一元二次不等式及其解法〔2〕课前预习学案【知识准备】1．回忆一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系．2．重新复述一元二次不等式的解法步骤——课本第77页的表格．3．如何将不等式20ax bx c ++>(0)a <进行转化？【预习内容】课本第78-79页．1．尝试解答课本P78-79两个例题．2．进一步稳固一元二次不等式的解法步骤．3．探究下面题目的解法例5 设2{|430}A x x x =-+<，2{|280}B x x x a =-+-≤，且A B ⊆，求a 的取值范围．不等式250x x -<的解集．【提出疑惑】1．为什么遇到有关应用的题目就“头疼〞，如何审题？2．解容许用题需要注意些什么？课内探究学案【学习目标】1．稳固一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系，进一步熟练解一元二次不等式的解法；2．激发自己学习数学的热情，培养不怕困难、勇于探索的精神．【提出问题】1．有关应用的题目如何审题？怎样才能顺利入手解题？需要注意点有哪些问题？2．一元二次不等式20ax bx c ++>(0)a >与20ax bx c ++>(0)a <的解集具有什么关系？【合作探究】1．例3 某种牌号的汽车在水泥路面上的刹车距离s m 和汽车的速度 x km/h 有如下的关系：21120180s x x =+． 在一次交通事故中，测得这种车的刹车距离大于39.5m ，那么这辆汽车刹车前的速度是多少？〔精确到0.01km/h 〕探究不等式250x x -<与二次函数25y x x =-的零点之间的关系．变式训练：课本第80页练习22．例4 一个汽车制造厂引进了一条摩托车整车装配流水线，这条流水线生产的摩托车数量x 〔辆〕与创造的价值y 〔元〕之间有如下的关系：假设这家工厂希望在一个星期内利用这条流水线创收6000元以上，那么它在一个星期内大约应该生产多少辆摩托车？变式训练：课本第80页习题3.2 A 组第5题．3．补充例5 设2{|430}A x x x =-+<，2{|280}B x x x a =-+-≤，且A B ⊆，求a 的取值范围．变式训练：课本第80页习题3.2 A 组第3题．【反思总结】1．熟练掌握一元二次不等式的解法；2．一元二次不等式与一元二次方程以及一元二次函数的关系．【完成作业】课本第80页习题3.2[A]组第4，6题课后练习与提高1．假设不等式20ax x a ++<〔0a ≠〕无解，那么实数a 的取值范围是〔 〕A ．1122a a ≤-≥或B ．12a <C ．11 22a -≤≤D ．1 2a ≥ 2．关于x 的不等式21mx mx m ++<的解集为R ，那么实数m 的取值范围是〔 〕A ．(, 0)-∞B ．4(, 0)(, )3-∞+∞ C ．(, 0]-∞ D ． 4(, 0](, )3-∞+∞ 3．(1998年上海高考题)设全集U =R ，2{|560}A x x x =-->，{||5|}B x x a =-＜ (a 是常数)，且11∈B ，那么〔 〕 A ．()U C A B =R B ．()U A C B =RC ．()()U U C A C B =RD ．A B =R4．假设2()40f x ax ax =--<恒成立，那么实数a 的取值范围是 ．5．假设210ax bx +-<的解集为{|12}x x <<－，那么a =________，b =________． 6．22()4422f x x ax a a =-+-+在区间[0, 2]上的最小值是3，求a 的值．。
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教学目标
（1）掌握一元二次不等式的解法；
（2）知道一元二次不等式可以转化为一元一次不等式组；
（3）了解简单的分式不等式的解法；
（4）能利用二次函数与一元二次方程来求解一元二次不等式，理解它们三者之间
的内在联系；
（5）能够进行较简单的分类讨论，借助于数轴的直观，求解简单的含字母的一元
二次不等式；
（6）通过利用二次函数的图象来求解一元二次不等式的解集，培养学生的数形结
合的数学思想；
（7）通过研究函数、方程与不等式之间的内在联系，使学生认识到事物是相互联
系、相互转化的，树立辨证的世界观．
教学重点：一元二次不等式的解法；
教学难点：弄清一元二次不等式与一元二次方程、二次函数的关系．
教与学过程设计
第一课时
Ⅰ．设置情境
问题：
①解方程②作函数的图像
③解不等式
【置疑】在解决上述三个问题的基础上分析，一元一次函数、一元一次方程、一元
一次不等式之间的关系。
能通过观察一次函数的图像求得一元一次不等式的解集吗？
【回答】函数图像与x轴的交点横坐标为方程的根，不等式的解集为函数图像落在x轴上方部分对应的横坐标。
能。
通过多媒体或其他载体给出下列表格。
扼要讲解怎样通过观察一次函数的图像求
得一元一次不等式的解集。
注意色彩或彩色粉笔的运用
在这里我们发现一元一次方程，一次不等式与一次函数三者之间有着密切的联系。
利用这种联系（集中反映在相应一次函数的图像上！）我们可以快速准确地求出一元一
次不等式的解集，类似地，我们能不能将现在要求解的一元二次不等式与二次函数联系
起来讨论找到其求解方法呢？
Ⅱ．探索与研究
我们现在就结合不等式的求解来试一试。
（师生共同活动用“特殊点法”而非课本上的“列表描点”的方法作出的图像，然后请一位程度中下的同学写出相应一元二次方程及一元二次不等式的解集。
）
【答】方程的解集为不等式的解集为
【置疑】哪位同学还能写出的解法？（请一程度差的同学回答）
【答】不等式的解集为我们通过二次函数的图像，不仅求得了开始上课时我们还不知如何求解的那个第（5）小题的解集，还求出了的解集，可见利用二次函数的图像来解一元二次不等式
是个十分有效的方法。
下面我们再对一般的一元二次不等式与来进行讨论。
为简便起见，暂只考虑的情形。
请同学们思考下列问题：
如果相应的一元二次方程分别有两实根、惟一实根，无实根的话，其对应的二次函数的图像与x轴的位置关系如何？（提问程度较好的学生）
【答】二次函数的图像开口向上且分别与x轴交于两点，一点及无交。