离散数学 第9章_树

是 v1 v5,v7,v8,v9,v10,v11
v2,v3,v4,v6
否
§9.2.1 基本概念
二、有向树的性质 设有向树T=<V,E>, |V|=n, |E|=m，则:
① T 中无回路； ② T 是连通图； ③ m = n 1； ④ 删去T中任何一条边后，所得到的图不连通。
避圈法 破圈法
求最小生成树 (方法一)
Kruskal避圈算法 (从边的角度) (1)将各条边按照权值从小到大的顺序排列； (2)依次选取权值最小并且没有造成回路的边； (3)总共选取n-1条边（n为图中的结点数）。
求最小生成树(方法二)
破圈法 (从边的角度) 每次删去回路中权最大的边。
举例
（3） 由性质②来推证性质③。 对结点数进行归纳。 当n = 2时，m = n 1 = 1，由T的连通性质，T没有回路。如果两个结点之 间增加一条边，就只能得到唯一的一个基本回路。 假设n = k时，命题成立。则当n = k + 1时，因为T是连通的并有(n1)条边 ，所以每个结点的度数都至少为1，且至少有一个结点的度数为1。否则 ，如果每个结点的度数都至少为2 ，那么必然会有结点的总度数2m 2n ，即m n。这与m = n 1相矛盾，所以，至少有一个结点v的度数为1。 删除结点v及其关联的边，得到图T*，由假设知，图T*无回路。现将结点 v及其关联的边添加到图T*，则还原成T，所以，T没有回路。 在连通图T中，任意两个结点vi和vj之间必存在一条通路，且是基本通路。 如果这条基本通路不唯一，则T中必有回路，这与已知条件矛盾。进一步 地，如果在连通图T中，增加一条边(vi, vj)，则边(vi, vj)与T中结点vi和vj之 间的一条基本通路，构成一个基本回路，且该基本回路必定是唯一的。 否则，当删除边时，T中必有回路，这与已知条分支结点各1个，其余 结点均为叶结点，求树T中叶结点的数目？ 解 设树T中叶结点的数目为x，则树T的结点数目为(x+3) 。 由树的性质知，树T中边的数目为 (x+3) 1 = x +2。 由握手定理知：2(x+2) = 41 + 31 +1 + x1 可以解出： x = 5。
四、生成树
设G是无向连通图； 如果T是G的生成子图，且T为树，则称T是G的生成 树 (Spanning tree)。 将图G在T中的边称为树枝，将不在T中的边称为T的 弦。 T的所有弦导出的G的子图称为T的余树。
四、生成树(续)
例.
一个无向连通图的生成树不一定唯 一；生成树的余树不一定是树，也 不一定连通。
考察上例中的各有向图，不难发现：图G1和图G2都 满足上述性质；在图G3中，删除边<v5, v8>所得到的 图仍然是连通图。
§9.2.2 根树
一、根树
在有向树T中，如果只有1个结点的入度为0，其余结 点的入度均为1，则称此有向树T为根树。 在根树T中，
根结点称为树根； 叶结点称为树叶； 从树根到任意结点v的通路的长度称为结点v的层数（ level order），记作l(v)； 结点的最大层数称为树高（tree height），记作h(T)。
T 中任意每对结点之间有唯一的一条基本通路，所以 ，T 是连通图。 如果T 中有回路，那么回路上任意一对结点之间有两 条基本通路，这与题设条件矛盾。所以，图是连通
的且无回路，是树。
二、无向树的性质（续）
定理9.2 设T=<V,E>为n（n2）阶树，则T中至少有2个叶结点。 证明： (思路) 关键是应用 |E|=|V|-1
连通图的生成树不唯一。 若G是连通无向图，则其任何一条回路至少包含一条弦。
四、生成树（续）
推论1 设无向连通图G中有n个结点和m条边，则m n 1。
证明 由定理9.3知，G中存在生成树T，且生成树T的树枝数 为m = n 1。因此，m m = n 1。证毕。
推论2 设无向连通图G中有n个结点和m条边，T是G的生成树，T* 是T的余树，则T*中有(m n + 1)条边。
（5） 由性质④来推证性质⑤。
在连通图T中，任意两个结点vi和vj之间必存在一条通 路，且是基本通路。如果这条基本通路不唯一，则T 中必有回路，删除回路上任意一条边，图仍然是连 通的，这与性质④矛盾。所以，T 中任意每对结点之 间有唯一的一条基本通路。
二、无向树的性质（续）
（6） 由性质⑤来推证树的定义。
某新建城区，要铺设供应居民住宅小区A、B、C、D 、E、F和G的煤气管道，各个居民住宅小区之间铺设煤 气管道的费用由图9.8所示赋权图给出，试给出费用最省 的煤气管道铺设方案，使煤气能供应到各个住宅小区。
即最小费 用为： 1+1+2+2+ 3+4=13
§9.2 有向树
§9.2.1 基本概念
一、有向树 若略去有向图G中所有有向边的方向所得到的无向图是一 棵树，则称G是有向树。 在有向树T中
§9.2.2 根树
例如：判断下列各图是否为根树？给出根树的树根、树叶、各节
点的层数及树高。
解 有向图G1是一个根树，结点v6为树根，结点v2、v5、v8和v9为树叶。各结 点的层数为：l(v1) = 3、l(v2) = 4、l(v3) = 2、l(v4) = 1、l(v5) = 2、l(v6) = 0、 l(v7) = 1、l(v8) = l(v9) = 2。树高为h(T) = 4。 有向图G2是一个根树，结点v1为树根，结点v6、v7、v8、v9、v10和v11为树叶。 各结点的层数为：l(v1) = 0、l(v2) = l(v3) = 1、l(v4) = l(v5) = l(v6) = l(v7) = 2、 l(v8) = l(v9) = l(v10) = l(v11) = 3。树高为h(T) = 3。 有向图G3是一个根树，结点v9为树根，结点v1、v2、v4、v5和v6为树叶。各结 点的层数为：l(v1)=l(v2)= 3、l(v3) = l(v4) = l(v5) = l(v6) = 2、l(v7) = l(v8) = 1、 l(v9) = 0。树高为h(T) = 3。 有向图G4是一个有向树，但不是一个根树，因为结点v1、v5和v8都是根结点。
重点：如果T=<V,E>是树，则|E|=|V|-1
二、无向树的性质（续）
证明 （1）由树的定义来推证性质①。由树的定义可知 ，T 中无回路。
对结点数n进行归纳。
当n = 1时，m = 0，则m = n 1成立。
设 n = k时，成立。那么，当n = k +1 时，因为树是 连通且无回路，所以至少有一个度数为1的结点v， 否则，如果所有结点的度数都至少为2，那么必然存 在回路，这与树的定义矛盾。从树中删除结点v和以 v为端点的边，则得到k个结点的树T*。根据假设， T*有(k 1)条边。现将结点v和以v为端点的边添加到 T*上还原成树T，则T有(k +1)个结点和k 条边，故， m = n 1成立。
图G1、G2和G3是图G的生成子图，并且是图G的生成 树，图G4、G5和G6分别是生成树G1、G2和G3的余树。 从图中可以看出，余树G4和G6中含有回路，它们都不 是树；余树G5是一棵树。
四、生成树（续）
例.
T中的树枝： e1,e2,e7,e4,e5 T的弦： e3,e6,e8 如果G为n阶m条边，则T有多少条树枝？多少条弦？
离散数学
第4篇 图论基础 第8章 图 第9章 树
第9章 树
约定：本章所谈的回路都指初级回路或简单回路。
树、森林
无向树的性质
生成树
最小生成树 求最小生成树
有向树、根树
几类特殊的根树
二叉树
最优树 用Huffman算法构造最优树
二元前缀码
最优二叉树的应用：Huffman编码
定理 9.1 对于树T=<V,E>，|V|=n，|E|=m，下列性质 成立且相互等价： ① T中无回路且边数m=n-1； ② T是连通图且边数m=n-1； ③ T中无回路，但在T的任何不相邻结点之间增加一 条边，就得到唯一的一条基本回路。 ④ T是连通图，但删去任何一条边后，所得到的图 不连通。 ⑤ T中每对结点之间有唯一的一条基本通路。 树是“最小的连通图” 树是“最大的无回路图”
二、无向树的性质（续）
（2） 由性质①来推证性质②。 采用反证法。若T 不是连通图，设T有k个连通分支 T1、T2、…、Tk（k 2），其结点数分别为n1、n2、 …、nk，边数分别为m1、m2、…、mk，则有
这与m = n 1相矛盾，故，T 是连通图且m = n 1。
二、无向树的性质（续）
在赋权树T2中，w(v1, v2) =2、w(v2, v3) = 2、w(v2, v5) = 3、 w(v3, v4) = 1、w(v3, v6) = 2、w(v5, v7) = 5、w(v5, v8) = 1、 w(v5, v9) = 1，赋权树T2的权值为2 + 2 + 3 + 1 + 2 + 5 + 1 + 1 = 17。
练习
画出所有非同构的6阶树。
解：
三、赋权树
边赋权树（简称为赋权树）：对于树T = <V, E>，其中 ，V = {v1,v2,…,vn}，E = {e1, e2, …, em}，通过函数W： ER（实数集）对T中的任意边e = (vi, vj)标注一个属性 w(vi, vj)，所得到的树。
记为T = <V, E, W>。
四、生成树（续）
定理9.3 任何无向连通图都存在生成树。 证明： 若连通图G没有回路，则它本身就是一棵生成树。 若G至少有一个回路，删去回路上的一条边，得到G1，它 仍然是连通的，并与G有相同的结点集合。 若G1没有回路，则G1就是G的生成树； 若G1仍然有回路，再删去G1回路上的一条边。 重复上面的步骤，直到得到一个连通图T，它没有回路，所 以T是树。又由于T与G有相同的结点集，因此T为G的生成 树。
§9.1 无向树
一、基本概念 无向树（简称树）：连通且不含有回路的无向图，常 用T表示。 森林：每个连通分支都是树的无向图。 叶结点（简称叶）：在树T中，度数为1的结点。 内部结点（或分支结点，简称分支点）：在树T中， 度数大于1的结点。
树？ 森林？
叶？
内部结点？
二、无向树的性质
入度为0的结点称为根结点，简称为根； 入度为1出度为0的结点称为叶结点，简称为叶； 除叶结点和根结点之个的其余结点称为内部结点，或者分支 结点，简称为分支点。
§9.2.1 基本概念
例如
有向图
G1
G2
G3
有向树？ 根结点 叶结点
分支结点
是 v3,v6,v9 v2,v5,v8
v1,v4,v7

证明 由定理9.3知，G中存在生成树T，且生成树T的树枝数 为m = n 1。设T*是T的余树，那么，T*中的边的数目为：m m = m n + 1。证毕。
四、生成树（续）
例：求图G的生成树。
五、最小生成树
对于无向连通赋权图G = <V, E, W> 图G的最小生成树：权值最小的赋权生成树。 最小生成树的求解方法：
二、无向树的性质（续）
（4） 由性质③来推证性质④。
如果T 不是连通图，则存在两个结点vi和vj，在结点vi 和vj之间没有通路，如果增加边(vi, vj)，不产生回路 ，这与性质③矛盾，因此，T 是连通图。 因为T 中没有回路，所以删除任意一条边，所得到的 图必定不是连通图。
二、无向树的性质（续）
称函数W为图G的权函数，w(e) 称为边e上的权，简记为 wij；
树T中所有边的权的总和，即， T的权值。
e E
w (e )
，称为赋权树
三、赋权树（续）
例如：在赋权树T1中，w(v1, v2) =2、w(v1, v5) = 3、w(v5, v4) = 2、w(v5, v9) = 5、w(v5, v6) = 2、w(v4, v8) = 1、w(v6, v3) = 1、w(v6, v7) = 3、w(v6, v10) = 1，赋权树T1的权值为2 + 3 + 2 + 5 + 2 + 1 + 1 + 3 + 1 = 20；