高中数学 必修2,选修2-1易错知识点回顾

高中数学 必修2，选修2－1易错知识点回顾
1 三视图识图不准确致误
【例1】 已知某个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积是________．
【错解】
4 0003
【错因分析】 没有理解几何体的三视图的意义，不能正确从三视图还原成几何体，不清楚几何体中的几何关系．
【正解】
如图所示，作几何体S －ABCD 且知平面SCD ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 为正方形，作SE ⊥CD 于点E ，得SE ⊥平面ABCD 且SE ＝20.
∴V S －ABCD ＝13S 正方形ABCD ·SE ＝8 000
3； ∴这个几何体的体积是8 0003.
【易错突破】 在由三视图还原为空间几何体的实际形状时，要从三个视图
综合考虑，根据三视图的规则，空间几何体的可见轮廓线在三视图中为实线，不可见轮廓线为虚线．在还原空间几何体实际形状时一般是以正(主)视图和俯视图为主，结合侧(左)视图进行综合考虑．
易错点2 线面关系定理条件把握不准致误
【例2】 在棱长为2的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别为DD 1、DB 的中点．
(1)求证：EF ∥平面ABC 1D 1； (2)求证：EF ⊥B 1C . 【错解】 (1)连接BD 1， ∵E 、F 分别为DD 1、DB 的中点， ∴EF ∥D 1B ， ∴EF ∥平面ABC 1D 1. (2)AC ⊥BD ，又AC ⊥D 1D ， ∴AC ⊥平面BDD 1， ∴EF ⊥AC .
【错因分析】 推理论证不严谨，思路不清晰． 【正解】
(1)连接BD 1，如图所示，
在△DD 1B 中，E 、F 分别为DD 1、DB 的中点，则EF ∥D 1B .
⎭
⎬⎫
EF ∥D 1B
D 1B ⊂平面ABC 1D 1EF ⊄平面ABC 1D 1⇒EF ∥平面ABC 1D 1. (2)ABCD －A 1B 1C 1D 1为正方体⇒AB ⊥面BCC 1B 1
⎭⎬⎫⇒B 1C ⊥AB B 1C ⊥BC 1
AB ，BC 1⊂平面ABC 1
D 1
AB ∩BC 1
＝B
⇒
⎭⎬⎫B 1
C ⊥平面ABC 1
D 1
BD 1
⊂平面ABC 1
D 1
⇒ ⎭
⎬⎫
B 1
C ⊥B
D 1
EF ∥BD 1
⇒EF ⊥B 1
C . 【易错突破】 证明空间线面位置关系的基本思想是转化与化归，根据线面平行、垂直关系的判定和性质，进行相互之间的转化，如本题第(2)问是证明线线垂直，但分析问题时不能只局限在线上，要把相关的线归结到某个平面上(或是把与这些线平行的直线归结到某个平面上)，通过证明线面的垂直达到证明线线垂直的目的，但证明线面垂直又要借助于线线垂直，在不断的相互转化中达到最终目的．解这类问题时要注意推理严谨，使用定理时找足条件，书写规范等．
易错点3 忽视直线斜率的特殊情况致误
【例3】 a 为何值时，(1)直线l 1：x ＋2ay －1＝0与直线l 2：(3a －1)x －ay －1＝0平行？
(2)直线l 3：2x ＋ay ＝2与直线l 4：ax ＋2y ＝1垂直？
【错解】 (1)直线x ＋2ay －1＝0与直线(3a －1)x －ay －1＝0的方程可变形为y ＝－12a x ＋1
2a 与y ＝3a －1a x －1a ，
∴当－12a ＝3a －1a 且12a ≠－1a ，即a ＝1
6时，两直线平行．
(2)当－2a ⎝ ⎛⎭⎪⎫
－a 2＝－1时，两直线垂直，此方程无解，故无论a 为何值时，两
直线都不垂直．
【错因分析】 (1)没考虑斜率不存在即a ＝0的情况；(2)没有考虑l 3的斜率不存在且l 4的斜率为0也符合要求这种情况．
【正解】 (1)①当a ＝0时，两直线的斜率不存在，直线l 1：x －1＝0，直线l 2：x ＋1＝0，此时，l 1∥l 2.
②当a ≠0时，l 1：y ＝－12a x ＋1
2a ，l 2：y ＝3a －1a x －1a ， 直线l 1的斜率为k 1＝－1
2a ，
直线l 2的斜率为k 2＝3a －1
a ，
要使两直线平行，必须⎩⎪⎨⎪⎧
－12a ＝3a －1a ，
12a ≠－1
a ，
解得a ＝1
6.
综合①②可得当a ＝0或a ＝1
6时，两直线平行．
(2)方法一 ①当a ＝0时，直线l 3的斜率不存在，直线l 3：x －1＝0，直线l 4：y －1
2
＝0，此时，l 3⊥l 4. ②当a ≠0时，直线l 3：y ＝－2a x ＋2a 与直线l 4：y ＝－a 2x ＋1
2，直线l 3的斜率为k 3＝－2a ，直线l 4的斜率为k 4＝－a
2，要使两直线垂直，必须k 3·k 4＝－1，
即－2a ·⎝ ⎛⎭⎪⎫
－a 2＝－1，不存在实数a 使得方程成立． 综合①②可得当a ＝0时，两直线垂直．
方法二 要使直线l 3：2x ＋ay ＝2和直线l 4：ax ＋2y ＝1垂直，根据两直线垂直的充要条件，必须A 1A 2＋B 1B 2＝0，即2a ＋2a ＝0，解得a ＝0，所以，当a ＝0时，两直线垂直．
【易错突破】 求直线方程，特别是研究含参数的直线方程问题时，一定要对直线斜率的存在性进行讨论，这是避免出错的重要方法．
易错点4 忽视圆锥曲线定义中的条件致误
【例4】 已知圆C 1：(x ＋3)2＋y 2＝1和圆C 2：(x －3)2＋y 2＝9，动圆M 同时与圆C 1及圆C 2外切，则动圆圆心M 的轨迹方程为______．
【错解】 x 2
－y 2
8
＝1
【错因分析】 错误运用双曲线定义出错．本题中，|MC 2|－|MC 1|＝2，与双曲线定义相比，左边少了外层绝对值，因此只能是双曲线的一支．如果不注意，就会得出错误的结果，即点M 的轨迹方程为x 2
－y 2
8＝1.
【正解】
如图所示，设动圆M 与
圆C 1及圆C 2分别外切于A 和B .
根据两圆外切的条件，得|MC 1|－|AC 1|＝|MA |，|MC 2|－|BC 2| ＝|MB |.
因为|MA |＝|MB |，
所以|MC 1|－|AC 1|＝|MC 2|－|BC 2|， 即|MC 2|－|MC 1|＝|BC 2|－|AC 1|＝2.
所以点M 到两定点C 1、C 2的距离的差是常数．
又根据双曲线的定义，得动点M 的轨迹为双曲线的左支(点M 与C 2的距离大，与C 1的距离小)，其中a ＝1，c ＝3，则b 2
＝8.故点M 的轨迹方程为x 2
－y 2
8＝
1(x <0)．
【易错突破】 应注意平面内到两个定点F 1，F 2的距离之差等于定长2a (a >0)的点的轨迹不是双曲线；当定长2a <|F 1F 2|时，表示的只是双曲线的一支；当2a ＝|F 1F 2|时，表示的是一条射线；当2a >|F 1F 2|时，点的轨迹不存在．
易错点5 离心率范围考虑不周致误
【例5】 双曲线x 2a 2－y 2
b 2＝1(a >0，b >0)的两个焦点为F 1、F 2，若P 为双曲线上一点，且|PF 1|＝2|PF 2|，则双曲线离心率的取值范围为________．
【错解】
如图，设|PF 2|＝m ，∠F 1PF 2＝θ(0<θ<π)，由条件得|PF 1|＝2m ，|F 1F 2|2＝m 2＋(2m )2－4m 2cos θ，且||PF 1|－|PF 2||＝m ＝2a .
所以e ＝2c
2a ＝m 2＋(2m )2－4m 2cos θm
＝5－4cos θ.
又－1<cos θ<1，所以e ∈(1,3)．
【错因分析】 漏掉了P 在x 轴上的情况，即∠F 1PF 2＝π时的情况． 【正解】 设|PF 2|＝m ，∠F 1PF 2＝θ(0<θ≤π)， 当点P 在右顶点处时，θ＝π. e ＝c a ＝2c 2a ＝3m
m ＝3.
当θ≠π，由条件，得|PF 1|＝2m ，|F 1F 2|2＝m 2＋(2m )2－4m 2cos θ，且||PF 1|－|PF 2||＝m ＝2a .
所以e ＝2c 2a ＝m 2＋(2m )2－4m 2cos θm ＝5－4cos θ.
又－1<cos θ<1，所以e ∈(1,3)． 综上，e ∈(1,3]．
【易错突破】 对圆锥曲线上点的特殊位置(如顶点)不能忽略，综合考虑所有可能情况求离心率范围．。