2014年高考数学(理科)数列经典大题13例

1、[2014·江西卷] 已知首项都是1的两个数列{a n }，{b n }(b n ≠0，n ∈N *)满足a n b n ＋1－a n ＋1b n ＋2b n ＋1b n ＝0.

(1)令c n ＝a n b n

，求数列{c n }的通项公式；(2)若b n ＝3n －1，求数列{a n }的前n 项和S n .

2、[2014·新课标全国卷Ⅰ] 已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，a n ≠0，a n a n ＋1＝λS n －1，其中λ为常数．

(1)证明：a n ＋2－a n ＝λ.(2)是否存在λ，使得{a n }为等差数列？并说明理由．

3、[2014·新课标全国卷Ⅱ] 已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝3a n ＋1.

(1)证明⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n ＋12是等比数列，并求{a n }的通项公式；(2)证明1a 1＋1a 2＋…＋1a n

＜32.

4、[2014·重庆卷] 设a 1＝1，a n ＋1＝a 2n －2a n ＋2＋b (n ∈N *)．

(1)若b ＝1，求a 2，a 3及数列{a n }的通项公式．(2)若b ＝－1，问：是否存在实数c 使得a 2n

5、[2014·湖北卷] 已知等差数列{a n }满足：a 1＝2，且a 1，a 2，a 5成等比数列．

(1)求数列{a n }的通项公式．(2)记S n 为数列{a n }的前n 项和，是否存在正整数n ，使得S n >60n ＋800？若存在，求n 的最小值；若不存在，说明理由．

6、[2014·湖南卷] 已知数列{a n }满足a 1＝1，|a n ＋1－a n |＝p n ，n ∈N *.

(1)若{a n }是递增数列，且a 1，2a 2，3a 3成等差数列，求p 的值；

(2)若p ＝12，且{a 2n －1}是递增数列，{a 2n }是递减数列，求数列{a n }的通项公式．

7、[2014·全国卷] 等差数列{a n }的前n 项和为S n .已知a 1＝10，a 2为整数，且S n ≤S 4.

(1)求{a n }的通项公式；(2)设b n ＝1a n a n ＋1

，求数列{b n }的前n 项和T n .

8、[2014·山东卷] 已知等差数列{a n }的公差为2，前n 项和为S n ，且S 1，S 2，S 4成等比数列．

(1)求数列{a n }的通项公式；(2)令b n ＝(－1)n －14n a n a n ＋1

，求数列{b n }的前n 项和T n

9、[2014·陕西卷] △ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .

(1)若a ，b ，c 成等差数列，证明：sin A ＋sin C ＝2sin(A ＋C )；

(2)若a ，b ，c 成等比数列，求cos B 的最小值．

10、[2014·天津卷] 已知q 和n 均为给定的大于1的自然数．设集合M ＝{0，1，2，…，q －1}，集合A ＝{x |x ＝x 1＋x 2q ＋…＋x n q n －1，x i ∈M ，i ＝1，2，…，n }．

(1)当q ＝2，n ＝3时，用列举法表示集合A .

(2)设s ，t ∈A ，s ＝a 1＋a 2q ＋…＋a n q n －1，t ＝b 1＋b 2q ＋…＋b n q n －1，其中a i ，b i ∈M ，i ＝1，2，…，n .证明：若a n

11、[2014·安徽卷] 设实数c ＞0，整数p ＞1，n ∈N *.

(1)证明：当x ＞－1且x ≠0时，(1＋x )p ＞1＋px ；

(2)数列{a n }满足a 1＞c 1p ，a n ＋1＝p －1p a n ＋c p a 1－p n ，证明：a n ＞a n ＋1＞c 1p

.

12、[2014·四川卷] 设等差数列{a n }的公差为d ，点(a n ，b n )在函数f (x )＝2x 的图像上(n ∈N *)．

(1)若a 1＝－2，点(a 8，4b 7)在函数f (x )的图像上，求数列{a n }的前n 项和S n ；

(2)若a 1＝1，函数f (x )的图像在点(a 2，b 2)处的切线在x 轴上的截距为2－1ln 2，求

数列⎩⎨⎧⎭

⎬⎫a n b n 的前n 项和T n .

13、[2014·浙江卷] 已知数列{a n }和{b n }满足a 1a 2a 3…a n ＝n b (n ∈N *)．若{a n }为等比数列，且a 1＝2，b 3＝6＋b 2.

(1)求a n 与b n .(2)设c n ＝1a n －1b n

(n ∈N *)．记数列{c n }的前n 项和为S n . (i)求S n ；(ii)求正整数k ，使得对任意n ∈均有S k ≥S n .