一笔画知识

一笔画

一、一笔画概念

所谓一笔画就是从图形上的某点出发，笔不离开纸，而且每条线都只画一次不重复。

二、一笔画的由来

一笔画的问题源于著名的“哥德斯堡七桥问题”，故事发生在18世纪的哥尼斯堡城，流经那里的一条河中有两个小岛，还有七座桥把这两个小岛与河岸联系起来，那里风景优美，游人众多，在这美丽的地方，人们议论着一个有趣的问题：一个游人怎样才能不重复地一次走遍七座桥，最后又回到出发点呢？

七桥问题引起了著名数学家欧拉的关注。他把七桥布局化归为图2 所示的简单图形。于是，七桥问题就变成了一个一笔画问题：怎样才能从A、B、C、D 中的某一点出发，一笔画出这个简单图形？经过欧拉的细心研究，成功的解决了哥德斯堡七桥问题，从而确立了著名的“一笔画原理”。

三、一笔画的条件

（一）图形是联通的网络

由有限条线组成的图形叫做网络，其中每条线都要求有两个不同的端点。这些线叫做网络的弧，弧的端点叫做网络的顶点。例如，图2 是一个网络，a、b、c、d、e、f、g 是它的7 条弧，A、B、C、D 是它的4 个顶点。网络中互相衔接的一串弧叫做一条路。如果网络中任意两个顶点都可以用一条路连结起来，那么就称这个网络为连通的；否则称为不连通的。例如，图2 是连通的网络，图3 是不连通的网络，其中有的顶点（例如B 与D）之间没有路线连结。

（二）图形中奇数点的个数为0个或2个

奇数点：从一点出发的线的条数是奇数（如图3中的F点）。

偶数点：从一点出发的线的条数是偶数（如图3中的C点）。

图形中奇数点的个数为0个或2个的原理分析：如果我们从某点出发，一笔画出了某个图形，到某一点终止，那么除起点和终点外，画笔每经过一个点一次，总有画进该点的一条线和画出该点的一条线，因此就有两条线与该点相连结。如果画笔经过一个点n 次，那么就有2n 条线与该点相连结。因此，这个图形中除起点与终点外的各点，都与偶数条线相连。如果起点和终点重合，那么这个点也与偶数条线相连；如果起点和终点是不同的两个点，那么这两个点都是与奇数条

线相连的点。综上所述，一笔画出的图形中的各点都是与偶数条线相连的点，或者其中只有两个点与奇数条线相连且从一个奇数点出发另一个奇数点结束。

四、一笔画题型

（一）直接利用“一笔画的条件”进行判断

（1）（2）（3） (4) 上图（1）是联通的网络，而且有0个奇数点，所以可以一笔画成；图（2）有0个奇数点，但是不是联通的网络，所以不能一笔画成；图（3）是联通的网络，但是有8个奇数点，所以不能一笔画成；图（4）是联通的网络，而且有两个奇数点，所以可以一笔画成。

（二）“一笔画”的实际应用问题

例如：1.下图是某地区所有街道的平面图.甲、乙二人同时分别从A、B出发，以相同的速度走遍所有的街道，最后到达C。如果允许两人在遵守规则的条件下可以选择最短路径的话，问两人谁能最先到达C？

从图中，我们可以看出，该图是联通的网络，有2个奇数点A和

A

B

C

C，所以从A可以一笔画成，而从B开始走则不能一笔画成，所以甲、乙二人同时分别从A、B出发，以相同的速度走遍所有的街道，A先到达C点。

2.下图是一个公园的平面图。要使游客走遍每条路而不重复，问出入口应设在哪里？

上图是一个联通的网络，有两个奇数点B和H，所以该图能一笔画成，而且起点必须是B或H，终点必须是H或B，所以，要使游客走遍每条路而不重复，出入口应设在B或H处。

（三）不能“一笔画”的图形如何变成“一笔画”图形

例如，判断下面图形能否一笔画成，若不能，你能用什么办法改成一笔画成？

图中共有6个点，其中2格式偶数点，4个是奇数点，因此不能一笔画成。要想一笔画成，关键是减少奇数点的个数，把奇数点的个数减小到0或2，所以只要在任意两点间连上线，就可以变成一笔画，如图红线所示；也可以将多余的两个奇数点间的线去掉，改成一笔画，如下图所示

（四）不能“一笔画”的图形最少可以几笔画成

一般地，我们有：含有2n（n>0）个奇数点的脉络，需要n笔画成。

例如：如图所示，可以几笔画成？

图中共有8个奇数点，因此不能一笔画成。要想一笔画成，关键是减少奇数点的个数，把奇数点的个数减小到0或2，因为要最少的笔数画成，所以要把奇数点减少到2，所以只要在任意,六个奇数点间连上线，就变成了有两个奇数点的图形，最少则要1+3=4；或可以这样想，有8个奇数点，所以要8÷2=4。

得分

评卷人

教育硕士课程实践考核作业

科目名称：小学课程与教材分析（数学）

姓名：王雪

学号： 13818012

专业教学部：学前与初等教育学院

专业：小学教育

考核时间： 2013年11月15日

沈阳师范大学教育硕士研究生院印制