中考数学专题训练---反比例函数的综合题分类及答案

中考数学专题训练---反比例函数的综合题分类及答案

一、反比例函数

1．一次函数y=ax+b（a≠0）的图象与反比例函数y= （k≠0）的图象相交于A，B两点，与y轴交于点C，与x轴交于点D，点D的坐标为（﹣1，0），点A的横坐标是1，tan∠CDO=2．过点B作BH⊥y轴交y轴于H，连接AH．

（1）求一次函数和反比例函数的解析式；

（2）求△ABH面积．

【答案】（1）解：∵点D的坐标为（﹣1，0），tan∠CDO=2，

∴CO=2，即C（0，2），

把C（0，2），D（﹣1，0）代入y=ax+b可得，

，解得，

∴一次函数解析式为y=2x+2，

∵点A的横坐标是1，

∴当x=1时，y=4，即A（1，4），

把A（1，4）代入反比例函数y= ，可得k=4，

∴反比例函数解析式为y=

（2）解：解方程组，可得或，

∴B（﹣2，﹣2），

又∵A（1，4），BH⊥y轴，

∴△ABH面积= ×2×（4+2）=6．

【解析】【分析】（1）先由tan∠CDO=2可求出C坐标，再把D点坐标代入直线解析式，可求出一次函数解析式，再由直线解析式求出A坐标，代入双曲线解析式，可求出双曲线解析式；（2）△ABH面积可以BH为底，高=y A-y B=4-(-2)=6.

2．在平面直角坐标系中，我们不妨把横坐标与纵坐标相等的点称为梦之点，例如，点

（1，1），（﹣ 2，﹣ 2），（，），…，都是梦之点，显然梦之点有无数个．

（1）若点P（2，b）是反比例函数 (n为常数，n≠0)的图象上的梦之点，求这个反比例函数解析式；

（2）⊙O的半径是，

①求出⊙O上的所有梦之点的坐标；

②已知点M（m，3），点Q是（1）中反比例函数图象上异于点P的梦之点，过点Q的直线l与y轴交于点A，∠OAQ＝45°．若在⊙O上存在一点N，使得直线MN∥l或MN⊥l，求出m的取值范围．

【答案】（1）解：∵P（2，b）是梦之点，∴b=2

∴P（2，2）

将P（2，2）代入中得n=4

∴反比例函数解析式是

（2）解：①设⊙O上梦之点坐标是（，）∴∴

=1或 =-1

∴⊙O上所有梦之点坐标是（1，1）或（-1，-1）

②由（1）知，异于点P的梦之点Q的坐标为（-2，-2）

由已知MN∥l或MN⊥l

∴直线MN为y=-x+b或y=x+b

当MN为y=-x+b时，m=b-3

由图可知，当直线MN平移至与⊙O相切时，

且切点在第四象限时，b取得最小值，

此时MN记为，

其中为切点，为直线与y轴的交点

∵△O 为等要直角三角形，

∴O =

∴O =2

∴b的最小值是-2，

∴m的最小值是-5

当直线MN平移至与⊙O相切时，且切点在第二象限时，

b取得最大值，此时MN记为，

其中为切点，为直线与y轴的交点。

同理可得，b的最大值为2，m的最大值为-1．

∴m的取值范围为-5≤m≤-1．

当直线MN为y=x+b时，

同理可得，m的取值范围为1≤m≤5，

综上所述，m的取值范围为-5≤m≤-1或1≤m≤5

【解析】【分析】（1）由“ 梦之点”的定义可得出b的值，就可得出点P的坐标，再将点P的坐标代入函数解析式，求出n的值，即可得出反比例函数的解析式。

（2）①设⊙O上梦之点坐标是（a，a ）根据已知圆的半径，利用勾股定理建立关于a的方程，求出方程的解，就可得出⊙O上的所有梦之点的坐标；② 由（1）知，异于点P 的梦之点Q的坐标为（-2，-2），由已知直线MN∥l或MN⊥l，就可得出直线MN的解析式为y=-x+b或y=x+b。分两种情况讨论：当MN为y=-x+b时，m=b-3，当直线MN平移至与⊙O相切时，且切点在第四象限时，b取得最小值，当直线MN平移至与⊙O相切时，且切点在第二象限时，b的最大值为2，m的最大值为-1，就可得出m的取值范围，当直线MN为y=x+b时，同理可得出m的取值范围。

3．阅读理解：配方法是中学数学的重要方法，用配方法可求最大（小）值。对于任意正实数a、b，可作如下变形a+b= = - + = + ,

又∵≥0，∴ + ≥0+ ，即≥ ．

（1）根据上述内容，回答下列问题：在≥ （a、b均为正实数）中，若ab为定值p，则a+b≥ ，当且仅当a、b满足________时，a+b有最小值．

（2）思考验证：如图1，△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D，CO为AB边上中线，AD＝2a， DB＝2b, 试根据图形验证≥ 成立，并指出等号成立时的条件．

（3）探索应用：如图2，已知A为反比例函数的图象上一点，A点的横坐标为1，将一块三角板的直角顶点放在A处旋转，保持两直角边始终与x轴交于两点D、E，F（0，-3）为y轴上一点，连接DF、EF，求四边形ADFE面积的最小值．

【答案】（1）a=b

（2）解：有已知得CO=a+b,CD=2 ,CO≥CD,即≥2 .

当D与O重合时或a=b时，等式成立.

（3）解： ,

当DE最小时S四边形ADFE最小.

过A作AH⊥x轴，由（2）知：当DH=EH时，DE最小，

所以DE最小值为8，此时S四边形ADFE= （4+3）=28.

【解析】【分析】（1）根据题中的例子即可直接得出结论。

（2）根据直角三角形的性质得出CO=a+b，CD=，再由（1）中的结论即可得出等号成立时的条件。

（3）过点A作AH⊥x轴于点H，根据S四边形ADFE=S△ADE+S△FDE，可知当DH=EH时DE最小，由此可证得结论。