必修-空间几何体

空间几何体【知识梳理】

1.空间几何体的结构特征

2.柱、锥、台和球的表面积和体积

题型一空间几何体的结构特征

【例1】下列说法正确的是（）

A.棱柱的面中，至少有两个面互相平行

B.棱柱的两个互相平行的面一定是棱柱的底面

C.棱柱的一条侧棱的长叫做棱柱的高

D.棱柱的侧面是平行四边形，但它的底面一定不是平行四边形

【例2】下列命题：①圆柱的轴是过圆柱上、下底面圆的圆心的直线；②圆柱的母线是连接圆柱上底面上一点和下底面上一点的直线；③矩形的任意一条边所在直线都可以做轴，其他边绕其围成圆柱；④矩形绕任意一条直线旋转都可以形成圆柱。其中正确的个数为（）

A.1个

B.2个

C.3个

D.4个

【例3】下列命题：①球的半径是球面上任意一点与球心的连线；②球的直径是球面上任意两点的连线；

③用一个平面截一个球，得到的是一个椭圆；④用一个平面截一个球，得到的截面是一个圆。其中正确的有（）

A.1个

B.2个

C.3个

D.4个

【过关练习】

1. 一个棱柱是正四棱柱的条件是（）

A．底面是正方形，有两个侧面是矩形

B．底面是正方形，有两个侧面垂直于底面

C．每个侧面都是全等矩形的四棱柱

D．底面是菱形，且有一个顶点处的三条棱两两垂直

2. 在下列说法中：

①底面是矩形的平行六面体是长方体；

②棱长相等的直四棱柱是正方体；

③有两条侧棱都垂直于底面一边的平行六面体是直平行六面体；

④对角线相等的平行六面体是直平行六面体．

以上四个说法中，正确的有_______．

3. 下列说法不正确的有．

⑴底面是矩形的平行六面体是长方体；

⑵棱长相等的直四棱柱是正方体；

⑶棱锥被平面分成的两部分不可能都是棱锥；

⑷有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥．

4. 下列说法正确的有．

⑴棱柱的侧面都是平行四边形；

⑵ 有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫做棱柱； ⑶ 用一个平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分是棱台； ⑷ 有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台．

5. （1） 一个棱柱至少有 个面，面数最少的一个棱锥有 个顶点，顶点最少的一个棱台有 条侧棱． （2）一个正棱锥的侧棱长与底面边长相等，则该棱锥不可能是（ ） A ． 三棱锥 B ．四棱锥 C ．五棱锥 D ．六棱锥

6. 设A 表示平行六面体，B 表示直平行六面体，C 表示长方体，D 表示正四棱柱，E 表示正方体，则A ，

B ，

C ，

D ，

E 的关系是（ ）

A ．A

B

C

D

E ⊂⊂⊂⊂ B ．A B D C E ⊂⊂⊂⊂C ．E D C B A ⊂⊂⊂⊂ D ．E C D B A ⊂⊂⊂⊂

题型二 空间几何体的体积和表面积

【例1】若正三棱柱的所有棱长均为a ,且体积为则a = .

【例2】侧棱长与底面边长相等的正三棱锥称为正四面体，则棱长为1的正四面体的体积是________. 【例3】如图所示，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，,E F 分别为线段1AA ,1B C 上的点，则三棱锥

1D EDF -的体积为 .

【例4】若圆柱的底面面积为S ，侧面展开图是一个正方形，则这个圆柱的侧面积是（ ）

A.4S π

B. 2S π

C. S π

D.

3

S

【例5】《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著,书中有如下问题:“今有委米依垣内角,下周八尺,高五尺.问:积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米(如图,米堆为一个圆锥的四分之一),米堆底部的弧长为8尺,米堆的高为5尺,问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知1斛米的体积约为1.62立方尺,圆周率约为3,估算出堆放的米约有 ( )

A.14斛

B.22斛

C.36斛

D.66斛

【过关练习】

1. 如图所示，ABC ∆的三边长分别是345AC BC AB ===,, ,则以AB 边所在直线为轴，将此三角形旋转一周所得旋转体的表面积S 为 .

2.半径为R 的半圆卷成一个圆锥，则它的体积为（ ） A.

33R π B. 33R π C. 35R π D. 35

R π 3.已知等腰直角三性的直角边的长为2，将该三角形绕其斜边所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为（ ） A.

2√2π

3

B.

4√2π

3

C.2√2π

D. 4√2π

4. 在棱长为1的正方体上，分别用过共顶点的三条棱的中点的平面截该正方体，则截去8个三棱锥后，剩下的凸多面体的体积是__________.

5.现有橡皮泥制作的底面半径为5,高为4的圆锥和底面半径为2、高为8的圆柱各一个.若将它们重新制作成总体积与高均保持不变,但底面半径相同的新的圆锥与圆柱各一个,则新的底面半径为 .

题型三 几何体与球的切接问题

【例1】一平面截一球得到直径为2√5cm 的圆面，球心到这个圆面的距离是2cm ，则该球的体积是（ ） A.12π cm 3

B. 36π cm 3

C. 64√6π cm 3

D. 108π cm 3

【例2】已知正方体外接球的体积是

32

3

π，那么正方体的棱长等于（ ） A.22 B.

233 C. 423 D. 43

3

【例3】已知各顶点都在一个球面上的正四棱锥高为3，体积为16，则这个球的表面积是（ ） A ．15π B ．20π C ．25π D ．32π

【例4】已知三棱锥P-ABC 的所有棱长都相等且长度为1，则三棱锥P-ABC 的内切球的表面积为__________.

【过关练习】

1.已知球的两平行截面的面积分别为5π和8π，它们位于球心的同一侧，且距离为1，则这个球的表面积为__________.

2.球面上有三个点A,B,C ，其中AB =18,BC =24,AC =30，且球心到平面ABC 的距离为球半径的一半，那么这个球的半径为（ ） A.20

B.30

C.10√3

D. 15√3

3.设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱长都为a ，顶点在一个球面上，则该球的表面积为（ ） A.πa 2

B. 73

πa 2

B. 113

πa 2 D. 5πa 2