高考文科数学专题复习导数训练题(文)

高考文科数学专题复习导数训练题（文）
一、考点回顾
1.导数的概念及其运算是导数应用的基础，是高考重点考查的内容。

考查方式以客观题为主，主要考查导数的基本公式和运算法则，以及导数的几何意义。

2.导数的应用是高中数学中的重点内容，导数已由解决问题的工具上升到解决问题必不可少的工具，特别是利用导数来解决函数的单调性与最值问题是高考热点问题。

选择填空题侧重于利用导数确定函数的单调性、单调区间和最值问题，解答题侧重于导数的综合应用，即与函数、不等式、数列的综合应用。

3.应用导数解决实际问题，关键是建立恰当的数学模型（函数关系），如果函数在给定区间内只有一个极值点，此时函数在这点有极大（小）值，而此时不用和端点值进行比较，也可以得知这就是最大（小）值。

二、经典例题剖析 考点一：求导公式。

例1. ()f x '是3
1()213f x x x =++的导函数，则(1)f '-的值是 。

解析：
()2'2+=x x f ，所以()3211'=+=-f 答案：3
点评：本题考查多项式的求导法则。

考点二：导数的几何意义。

例2. 已知函数()y f x =的图象在点(1
(1))M f ，处的切线方程是1
22y x =
+，则
(1)(1)f f '+= 。

解析：因为
21=
k ，所以()211'=
f ，由切线过点(1(1))M f ，，可得点M 的纵坐标为25
，所
以
()25
1=
f ，所以()()31'1=+f f
答案：3
例3.曲线
32
242y x x x =--+在点(13)-，处的切线方程是 。

解析：
443'2
--=x x y ，∴点(13)-，处切线的斜率为5443-=--=k ，所以设切线方程为b x y +-=5，将点(13)-，
带入切线方程可得2=b ，所以，过曲线上点(13)-，处的切线方程为：025=-+y x 答案：025=-+y x
点评：以上两小题均是对导数的几何意义的考查。

考点三：导数的几何意义的应用。

例4.已知曲线C ：x x x y 232
3+-=，直线kx y l =:，且直线l 与曲线C 相切于点()00,y x 00
≠x ，求直线l 的方程及切点坐标。

解析：Θ直线过原点，则
()000
≠=
x x y k 。

由点
()00,y x 在曲线C 上，则
02
30023x x x y +-=，∴ 2302
000+-=x x x y 。

又263'2
+-=x x y ，∴ 在()00,y x 处
曲线C 的切线斜率为
()263'02
00+-==x x x f k ，∴ 2632302
002
0+-=+-x x x x ，整
理得：0
3200=-x x ，解得：
230=
x 或00=x （舍），此时，830-=y ，41
-
=k 。

所以，
直线l 的方程为
x
y 41
-=，切点坐标是⎪⎭⎫ ⎝⎛-83,23。

答案：直线l 的方程为
x
y 41
-=，切点坐标是⎪⎭⎫ ⎝⎛-83,23 点评：本小题考查导数几何意义的应用。

解决此类问题时应注意“切点既在曲线上又在切线上”这个条件的应用。

函数在某点可导是相应曲线上过该点存在切线的充分条件，而不是必要条件。

考点四：函数的单调性。

例5.已知()132
3
+-+=x x ax x f 在R 上是减函数，求a 的取值范围。

解析：函数()x f 的导数为
()163'2
-+=x ax x f 。

对于R x ∈都有()0'<x f 时，()x f 为减
函数。

由()R x x ax ∈<-+01632
可得⎩
⎨⎧<+=∆<012360a a ，解得3-<a 。

所以，当3-<a 时，函数()x f 对R x ∈为减函数。

2
当3-=a 时，
()983131333
23+
⎪⎭⎫ ⎝⎛
--=+-+-=x x x x x f 。

由函数3
x y =在R 上的单调性，可知当3-=a 是，函数()x f 对R x ∈为减函数。

7
当3->a 时，函数()x f 在R 上存在增区间。

所以，当3->a 时，函数()x f 在R 上不是单调递减函数。

综合（1）（2）（3）可知3-≤a 。

答案：3-≤a
点评：本题考查导数在函数单调性中的应用。

对于高次函数单调性问题，要有求导意识。

考点五：函数的极值。

例6. 设函数
32()2338f x x ax bx c =+++在1x =及2x =时取得极值。

（1）求a 、b 的值；
（2）若对于任意的[03]x ∈，，都有2
()f x c <成立，求c 的取值范围。

解析：（1）2
()663f x x ax b '=++，因为函数()f x 在1x =及2x =取得极值，则有(1)0f '
=，
(2)0f '=．即6630241230a b a b ++=⎧⎨
++=⎩，．，解得3a =-，4b =。

（2）由（Ⅰ）可知，32()29128f x x x x c =-++，
2
()618126(1)(2)f x x x x x '=-+=--。

当(01)x ∈，时，()0f x '>；当(12)x ∈，时，()0f x '<；当(23)x ∈，时，()0f x '>。

所以，当1
x =时，
()f x 取得极大值(1)58f c =+，又(0)8f c =，(3)98f c =+。

则当[]03x ∈，时，
()f x 的
最大值为(3)98f c =+。

因为对于任意的[]03x ∈，，有2()f x c <恒成立，
所以 298c c +<，解得 1c <-或9c >，因此c 的取值范围为(1)(9)-∞-+∞U ，
，。

答案：（1）3a =-，4b =；（2）(1)(9)-∞-+∞U ，
，。

点评：本题考查利用导数求函数的极值。

求可导函数()x f 的极值步骤：①求导数()x f '； ②求()0'=x f 的根；③将()0'=x f 的根在数轴上标出，得出单调区间，由()x f '在各区间上取值的正负可确定并求出函数()x f 的极值。

考点六：函数的最值。

例7. 已知a 为实数，
()()
()a x x x f --=42。

求导数()x f '；（2）若()01'=-f ，求()x f 在区间[]2,2-上的最大值和最小值。

解析：（1）()a x ax x x f 442
3
+--=，∴ ()423'2
--=ax x x f 。

（2）()04231'=-+=-a f ，
21
=
∴a 。

()()()14343'2
+-=--=∴x x x x x f
令()0'=x f ，即()()0143=+-x x ，解得1-=x 或34
=
x ， 则()x f 和()x f '在区间[]2,2-上
随x 的变化情况如下表：
()291=
-f ，275034-=⎪⎭⎫ ⎝⎛f 。

所以，()x f 在区间[]2,2-上的最大值为275034-=⎪⎭⎫ ⎝⎛f ，最小值为()29
1=
-f 。

答案：（1）()423'2
--=ax x x f ；（2）最大值为275034-=⎪⎭⎫ ⎝⎛f ，最小值为()291=-f 。

点评：本题考查可导函数最值的求法。

求可导函数()x f 在区间[]b a ,上的最值，要先求出函数()x f 在区间()b a ,上的极值，然后与()a f 和()b f 进行比较，从而得出函数的最大最小值。

考点七：导数的综合性问题。

例8. 设函数
3
()f x ax bx c =++(0)a ≠为奇函数，其图象在点(1,(1))f 处的切线与直线670x y --=垂直，导函数'()f x 的最小值为12-。

（1）求a ，b ，c 的值；
（2）求函数()f x 的单调递增区间，并求函数()f x 在[1,3]-上的最大值和最小值。

解析： （1）∵()f x 为奇函数，∴()()f x f x -=-，即33
ax bx c ax bx c --+=---
∴0c =，∵
2
'()3f x ax b =+的最小值为12-，∴12b =-，又直线670x y --=的斜率为1
6，因此，'(1)36f a b =+=-，∴2a =，12b =-，0c =．
（2）3
()212f x x x =-。

2'()6126(f x x x x =-=，列表如下：
所以函数()f x 的单调增区间是(,-∞和)+∞，∵(1)10f -=，
f =-，(3)18f =，∴()f x 在[1,3]-上的最大值是(3)18f =，最小值是f =-
答案：（1）2a =，12b =-，0c =；（2）最大值是(3)18f =，最小值是f =- 点评：本题考查函数的奇偶性、单调性、二次函数的最值、导数的应用等基础知识，以及推理能力和运算能力。

3
方法总结
（一）方法总结
导数是中学限选内容中较为重要的知识，由于其应用的广泛性，为我们解决所学过的有关函数问题提供了一般性方法，是解决实际问题强有力的工具。

导数的概念及其运算是导数应用的基础，是高考重点考查的对象。

要牢记导数公式，熟练应用导数公式求函数的导数，掌握求导数的方法。

应用导数解决实际问题的关键是要建立恰当的数学模型，了解导数概念的实际背景。

应用导数求函数最值及极值的方法在例题讲解中已经有了比较详细的叙述。

（二）高考预测
导数的考查方式以客观题为主，主要考查求导数的基本公式和法则，以及导数的几何意义。

也可以解答题的形式出现，即以导数的几何意义为背景设置成导数与解析几何的综合题。

导数的应用是重点，侧重于利用导数确定函数的单调性和极值、最值、值域问题。

4 强化训练
5 选择题
1. 已知曲线
2
4
x
y=
的一条切线的斜率为
1
2，则切点的横坐标为（ A ）
A．1 B．2 C．3 D．4
2. 曲线
1
32
3+
-
=x
x
y
在点（1，－1）处的切线方程为（ B ）
A．
4
3-
=x
y B．2
3+
-
=x
y C．3
4+
-
=x
y D．5
4-
=x
y
3. 函数
)1
(
)1
(2-
+
=x
x
y在1
=
x处的导数等于（D ）
A．1 B．2 C．3 D．4
4. 已知函数
)
(
,3
1
)
(x
f
x
x
f则
处的导数为
在=的解析式可能为（ A ）
A．
)1
(3
)1
(
)
(2-
+
-
=x
x
x
f B．)1
(2
)
(-
=x
x
f
C．
2
)1
(2
)
(-
=x
x
f D．1
)
(-
=x
x
f
5. 函数
9
3
)
(2
3-
+
+
=x
ax
x
x
f，已知)
(x
f在3-
=
x时取得极值，则a=（D ）
（A）2 （B）3 （C）4 （D）5
6. 函数
32
()31
f x x x
=-+
是减函数的区间为( D )
（Ａ）(2,)
+∞（Ｂ）(,2)
-∞（Ｃ）(,0)
-∞（Ｄ）(0,2)
8. 函数
23
1
()2
3
f x x x
=-
在区间
[0,6]上的最大值是（A）
A．32
3B．
16
3C．12D．9
9. 函数
x
x
y3
3-
=的极大值为m，极小值为n，则n
m+为（ A ）
A．0 B．1 C．2 D．4
10. 三次函数
()x ax x f +=3
在()+∞∞-∈,x 内是增函数，则 （ A ） A ． 0>a
B ．0<a
C ．1=a
D ．
31
=
a
11. 在函数
x x y 83
-=的图象上，其切线的倾斜角小于4π
的点中，坐标为整数的点的个数是
（ D ）
A ．3
B ．2
C ．1
D ．0
12. 函数)(x f 的定义域为开区间),(b a ，导函数)(x f '
在),(b a 内的图象如图所示，则函数)
(x f 在开区间),(b a 内有极小值点（ A ）
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ． 4个
2
填空题
13. 曲线3
x y =在点()1,1处的切线与x 轴、直线2=x 所围成的三角形的面积为__________。

14. 已知曲线
314
33y x =+
，则过点(2,4)P “改为在点(2,4)P ”的切线方程是______________ 15. 已知()
()n f
x 是对函数()f x 连续进行n 次求导，若65()f x x x =+，对于任意x R ∈，都有
()()n f x =0，则n 的最少值为 。

16. 某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x 吨，运费为4万元／次，一年的总存储费用为
4x 万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x = 吨．
3
解答题
17. 已知函数()c bx ax x x f +++=23，当1-=x 时，取得极大值7；当3=x 时，取得极小值．求
这个极小值及c b a ,,的值．
18. 已知函数.93)(2
3
a x x x x f +++-= （1）求)(x f 的单调减区间；
（2）若)(x f 在区间[－2，2].上的最大值为20，求它在该区间上的最小值.
19. 设0≠t ，点P （t ，0）是函数
c bx x g ax x x f +=+=2
3)()(与的图象的一个公共点，两函数的图象在点P 处有相同的切线。

（1）用t 表示c b a ,,；
（2）若函数)()(x g x f y -=在（－1，3）上单调递减，求t 的取值范围。

20. 设函数
()32()
f x x bx cx x R =++∈，已知()()()
g x f x f x '
=-是奇函数。

（1）求b 、c 的值。

（2）求()g x 的单调区间与极值。

21. 用长为18 cm 的钢条围成一个长方体形状的框架，要求长方体的长与宽之比为2：1，问该长方体的长、宽、高各为多少时，其体积最大？最大体积是多少？
22. 已知函数3211
()32f x x ax bx
=++在区间[11)
-，，(13]，内各有一个极值点． （1）求2
4a b -的最大值；
7
当2
48a b -=时，设函数()y f x =在点(1(1))A f ，处的切线为l ，若l 在点A 处穿过函
数()y f x =的图象（即动点在点A 附近沿曲线()y f x =运动，经过点A 时，从l 的一侧进入另一侧），求函数()f x 的表达式．
强化训练答案： （一）选择题
1.A
2.B
3.D
4.A
5.D
6.D 8.A 9.A 10.A 11.D 12.A （二）填空题
13. 38
14. 044=+-x y 15. 7 16. 20
（三）解答题
17. 解：
()b ax x x f ++=23'2。

据题意，－1，3是方程
0232
=++b ax x 的两个根，由韦达定理得
⎪⎪⎩⎪⎪⎨
⎧
=⨯--=+-3313231b a
∴9,3-=-=b a
∴
()c x x x x f +--=932
3 ∵()71=-f ，∴2=c
极小值
()2523933332
3-=+⨯-⨯-=f ∴极小值为－25，9,3-=-=b a ，2=c 。

18. 解：（1）
.963)(2
++-='x x x f 令0)(<'x f ，解得,31>-<x x 或 所以函数)(x f 的单调递减区间为).,3(),1,(+∞--∞
（2）因为,218128)2(a a f +=+-+=- ,2218128)2(a a f +=+++-=
所以).2()2(->f f 因为在（－1，3）上0)(>'
x f ，所以)(x f 在[－1，2]上单调递增，又
由于)(x f 在[－2，－1]上单调递减，因此)2(f 和)1(-f 分别是)(x f 在区间[]2,2-上的最大值和最小值.于是有2022=+a ，解得.2-=a
故
.293)(2
3-++-=x x x x f 因此,72931)1(-=--+=-f 即函数)(x f 在区间[]2,2-上的最小值为－7.
19. 解：（1）因为函数)(x f ，)(x g 的图象都过点（t ，0），所以0)(=t f ，
即03=+at t .因为,0≠t 所以2t a -=.
.,0,0)(2ab c c bt t g ==+=所以即 又因为)(x f ，)(x g 在点（t ，0）处有相同的切线，所以).()(t g t f '='
而.23,2)(,3)(22
bt a t bx x g a x x f =+='+='所以
将2t a -=代入上式得.t b = 因此.3t ab c -==故2t a -=，t b =，.3
t c -=
（2）
))(3(23,)()(2
23223t x t x t tx x y t tx x t x x g x f y -+=--='+--=-=. 当0))(3(<-+='
t x t x y 时，函数)()(x g x f y -=单调递减.
由0<'y ，若
t x t t <<-
>3,0则；若
.3,0t
x t t -<<<则 由题意，函数)()(x g x f y -=在（－1，3）上单调递减，则
).3,()3,1(),3()3,1(t t t t -⊂--⊂-或所以.
39.333≥-≤≥-≥t t t
t 或即或
又当39<<-t 时，函数)()(x g x f y -=在（－1，3）上单调递减. 所以t 的取值范围为).,3[]9,(+∞⋃--∞
20. 解：（1）∵
()32f x x bx cx
=++，∴
()232f x x bx c
'=++。

从而
322()()()(32)g x f x f x x bx cx x bx c '=-=++-++＝32(3)(2)x b x c b x c +-+--是一个奇
函数，所以(0)0g =得0c =，由奇函数定义得3b =；
（2）由（Ⅰ）知3()6g x x x =-，从而
2
()36g x x '=-，由此可知，
(,-∞和)+∞是函数()g x 是单调递增区间；
(是函数()g x 是单调递减区间；
()g x
在x =()g x 在x =
-。

21. 解：设长方体的宽为x （m ），则长为x 2 (m)，高为
⎪
⎭⎫ ⎝
⎛
-=-=
230(m)35.44
1218＜＜x x x
h . 故长方体的体积为
()()()⎪⎭⎫ ⎝⎛<<-=-=2306935.423322x m x x x x x V
从而
).1(18)35.4(1818)(2x x x x x x V -=--=' 令()0'=x V ，解得0=x （舍去）或1=x ，因此1=x .
当10<<x 时，()0'>x V ；当231<<x 时，()0'<x V ，
故在1=x 处()x V 取得极大值，并且这个极大值就是()x V 的最大值。

从而最大体积()()
3
321619'm x V V ⨯-⨯==，此时长方体的长为2 m ，高为1.5 m. 答：当长方体的长为2 m 时，宽为1 m ，高为1.5 m 时，体积最大，最大体积为33m 。

22. 解：（1）因为函数3211()32f x x ax bx =++在区间[11)
-，，(13]，内分别有一个极值点，所以
2()f x x ax b '=++0=在[11)-，，(13]，内分别有一个实根， 设两实根为12x x ，（12x x <
），则21x x -=2104x x <-≤．于是
04，20416a b <-≤，且当11x =-，23x =，即2a =-，3b =-时等号成立．故
24a b -的最大值是16．
（2）解法一：由(1)1f a b '=++知()f x 在点(1(1))f ，处的切线l 的方程是
(1)(1)(1)y f f x '-=-，即21(1)32y a b x a =++--，
因为切线l 在点(1
())A f x ，处空过()y f x =的图象， 所以
21()()[(1)]32g x f x a b x a =-++--在1x =两边附近的函数值异号，则 1x =不是()g x 的极值点．
而()g x 321121(1)3
232x ax bx a b x a =++-++++，且
22()(1)1(1)(1)g x x ax b a b x ax a x x a '=++-++=+--=-++．
若11a ≠--，则1x =和1x a =--都是()g x 的极值点．
所以11a =--，即2a =-，又由248a b -=，得1b =-，故321()3f x x x x =--．
解法二：同解法一得
21()()[(1)]32g x f x a b x a =-++-- 2133(1)[(1)(2)]322a x x x a =-++-+．
因为切线l 在点(1(1))A f ，处穿过()y f x =的图象，所以()g x 在1x =两边附近的函数值异号，于是存在
12m m ，（121m m <<）． 当11m x <<时，()0g x <，当21x m <<时，()0g x >；
或当
11m x <<时，()0g x >，当21x m <<时，()0g x <． 设
233()1222a a h x x x ⎛⎫⎛⎫=++-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则 当11m x <<时，()0h x >，当21x m <<时，()0h x >；
或当11m x <<时，()0h x <，当21x m <<时，()0h x <．
由(1)0h =知1x =是()h x 的一个极值点，则
3(1)21102a h =⨯++=， 所以2a =-，又由248a b -=，得1b =-，故321()3f x x x x =--．
6 复习建议
重点是利用导数的几何意义求解与切线有关的综合性问题求解和多项式函数的导数。

有意识地把导数函数的单调性、函数的极值、最值、二次函数、方程等进行交汇，综合运用。

特别是精选一些以导数为工具分析和解决一些函数问题，以及一些实际问题中的最大（小）值问题。