线性代数第一章矩阵的转置

特别 两个同阶的反对称矩阵的和还是反对称矩阵, 反对称矩阵的数乘也是反对称矩阵.但两个反对称矩 阵的乘积不一定是反对称矩阵.
例2.设A (aij )3 为一个3阶实矩阵，若A 0. T T 证明：AA 为对称矩阵且AA 0.
证明: AAT )T ( AT )T AT AAT , 故AAT 为对称 （ 矩阵；设
a12 a 22 a 32
a13 a11 a 23 a12 a 33 a13
a 21 a 22 a 23
a 31 a 32 , a 33
再由题设A 0知，A至少有一个元素akl 0, 则bkk 0, 于是B AAT 0.
例3 设列矩阵 X x1 , x2 ,, xn ，满足 X T X 1,
1 0 1 1 0 1 3 1 1 3 2 2 1 1 2 0
对称矩阵的特点是： 它的元素以主对角线 为对称轴对应相等.
特别 两个同阶的对称矩阵的和还是对称矩阵, 对称 矩阵的数乘也是对称矩阵.但两个对称矩阵的乘积不
一定是对称矩阵.
反对称矩阵
2 4 1 2 4 2 16 28 而且 B A 0 3 5 1 11 19 1 3
T T
( AB)T BT AT 显然
对称矩阵
定义 设 A 为 n 阶方阵，若 AT A，即 aij a ji ，
那么 A 称为对称矩阵. 如
E 4 XX T 4 X X T X X T
E 4 XX T 4 XX T E .
E 4 XX T 4XX T XX T

例7 证明任一 n 阶矩阵 A 都可表示成对称阵与 反对称阵之和.
证明
T
C A AT 设
则 C A A

T
A
$2 矩阵的转置 1、定义 把矩阵 A 的行换成同序数的列得到的新矩 阵，叫做 A 的转置矩阵，记作 A .or . A .
1 4 1 2 2 T 例 A , A 2 5 . 4 5 8 2 8 2、运算规律
B 9 6 ,
9 B . 6
n 阶方阵，若 AT A ，即 aij a ji ， 定义 设 A 为
那么 A 称为反对称矩阵. 0 1 2 1 1 0 5 2 如 2 5 0 1 1 2 1 0
反对称矩阵的主要特点是: 主对角线上的元素为0,其余 的元素关于主对角线互为相 反数.
b
k 1
n
ki
a jk
a
k 1
n
jk
bki , ( i 1,2,...,m; j 1,2,...,s )
T T T
于是： ) B A ( AB
1 0 2 3 , B 2 1 , 求( AB)T , BT AT . 例1 已知 A 4 3 4 5 1 0 2 1 2 3 2 1 16 11 解 AB 4 3 4 5 28 19 2 16 28 T ） 所以 （AB 1 11 19
证明：思路：先证两矩 阵行数和列数相同， 再阵每个元素对应相等 . 设A是s n矩阵，B是n m矩阵, 则AB是 s m矩阵， )T 是m s矩阵; ( AB
B T 为m n矩阵, AT 为n s矩阵，故B T AT 为 m s矩阵;
( AB)T 与BT AT 是同型矩阵，而且
T
T百度文库
A C,
所以C为对称矩阵. B A AT , 设 则 B A A
T

T

T
AT A B,
所以B为反对称矩阵.
A AT A AT C B , A 2 2 2 2
命题得证.
( AB )T 的i行j列元素 ( AB )的j行i列元素 ＝（A的j行）B的i列） (
a
k 1
n
jk
bki
BT AT 的i行j列元素 ( BT 的i行 )( AT 的j列) ( B的i列)T ( A的j行 )T
a j1 a j2 ( b1i , b2 i , , bni ) a jn
T
E 为 n 阶单位矩阵，且 H E 2 XX T ，证明 H 是对
称矩阵，且 HH T E .
T
证明 H E 2 XX E 2 XX E 2 XX T H ,
T T
T
T T

又 HH H E 2 XX
T 2
H 是对称矩阵.
T 2
则bij ai1a j1 ai 2a j 2 ai 3a j 3 (i , j 1,2,3)
特别地，B的对角元素bii 是实数的平方和, 即：bii ai21 ai22 ai33 0( i 1,2,3),
a11 B AAT a 21 a 31
T
A （假定所有运算合法， B 是矩阵， R ）
（1） A

T
T
A
T
( A B)T AT BT （2）
AB BT AT （4）
T
（3） A AT
T
特别 A1 A2 An1 An AnT An1T A2T A1T
下面证明 AB)T BT AT (