第十章 卷积码

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本章重点： 本章重点： 1.卷积码的基本概念； 卷积码的基本概念； 卷积码的基本概念 2.维特比译码算法。 维特比译码算法。 维特比译码算法
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10.1 卷积码的基本概念
卷积码是纠错码中的又一大类。由于分组码码字 中的n－k个校验元仅与本码字的k个信息元有关，与 其它码字无关，因此分组码的编译码是对各个码字 孤立地进行的。从信息论的观点看，这种做法必然 会损失一部份相关信息，而卷积码的出现使人们有 可能利用这部份相关信息。
0 L 0 L 1 L 0 L 1 L 0 L L L
G∞被称作（3，1，2）卷积码的生成矩阵 ： 生成矩阵
111 = 010 111 001 010 111 000 001 010 111 000 000 001 010 111 L L L L L L L
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10.1.1 卷积码概述
卷积码在编码不仅与本子码的k个信息 元有关，而且还与此前m个子码中的信息 元有关，因此卷积码的编码器需要有存储 m组信息元的记忆部件。
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图10.1给出了一个二进制卷积码的编码器例子。 当输入信息元为mj时， D0、D1中分别存放着此前输 入的mj－1和mj－2， 经运算可得到两个校验元pj，1和pj， 2，即 pj，1＝mj＋mj－1 pj，2＝mj＋mj－2
式中 g∞＝[g0 g1 g2 … gm 0 … ] (10－2)
称作基本生成矩阵。
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下面举一个（3，2，1）卷积码的例子： 由n＝3，k＝2，m＝1，可知该码的基本生成矩阵g∞形 式如下 g∞＝[g0 g1 0 … ] 其中生成子矩阵g 0, g 1都是2×3阶矩阵，设
1 0 1 g0 = 0 1 0
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10.2.2 极大似然译码
设输入至二进制（n，k，m）卷积码编码器的信息序列为 M ＝（m0，…，mi，…，mL－1，0，…，0） 经编码后，编码器输出的码序列为 C ＝（c 0，…，c i，…，c L+m-1） 若码序列C通过无记忆的 BSC信道传输，设译码器收 到的接收序列为 Y＝（y0，…，y i，…，y L+m-1） ＝（c0，…，c i，…，cL+m-1）＋（e0，…，ei，…，e L+m-1） 对于BSC信道，输入的码序列C经传输变成接收序列Y的条 件概率是 p(Y|C)＝p(y 0|c 0) p(y 1|c 1)… p(yL＋m－1|c L＋m－1) 即 n ( L + m ) −1 L + m −1 p (Y | C ) = ∏ p ( y i | c i ) = ∏ p ( y j | c j ) (10－4)
g ∞ g 0 g1 g 2 L g m 0 0 L Dg 0 g g g L g 0 L 0 1 2 m G∞ = 2 ∞ = D g∞ 0 0 g0 g1 g2 L gm L (10－1) M M M M M M M M
10.2.1 状态图和网格图
在维特比译码算法中，可以利用状态图来描述卷积码的 编、译码过程。
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以（3，1，2）卷积码为例。它有四种可能的状态（D0D1 ）：00，01，10和11，分别用S0，S1，S2和S3表示。编码器的工 作过程可以通过各移存器的状态转移情况来描述，这就是如图 10.2所示的状态转移图，简称状态图。
M (Y C ) =
∑M(y c ) = ∑
i =0 i i j =0
信息元mj把cj，cj＋1和cj＋2 三个子码联系在一起，这 三个子码之间存在相关性。 用编码约束度N表示子码 之间的约束关系，显然N ＝m＋1。
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综上所述，一个（n，k，m）卷积码具有以下重要参数：
码长n，子码的信息元个数k，校验元个数n－k； 码率k／n，表示卷积码传输信息的有效性； 编码存贮m，表示信息组在编码器中的存贮周期； 编码约束度N，表示子码之间的约束程度。 编码约束长度NA＝nN，表示相互约束的码元个数。
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10.1.2 卷积码的矩阵描述
描述卷积码的方法很多，如矩阵方法、多项式方 法、状态图和网格图方法等。本节仅介绍矩阵方 法。 以图10.1给出的（3，1，2）卷积码编码器为例进行分析。设输 入的信息序列（m0，m1，m2，…，mi，…）是一个有头无尾的序列， 当编码器清零后开始工作时，输出得到的子码如下： c0＝（m0，p0，1，p0，2） 其中 p0，1＝m0， p0，2＝m0 c 1＝（m1，p1，1，p1，2） 其中 p1，1＝m1＋m0， p1，2＝m1 c 2＝（m2，p2，1，p2，2） 其中 p2，1＝m2＋m1， p2，2＝m2＋m0 c 3＝（m3，p3，1，p3，2） 其中 p3，1＝m3＋m2， p3，2＝m3＋m1 c 4＝（m4，p4，1，p4，2） 其中 p4，1＝m4＋m3， p4，2＝m4＋m2
G∞
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仔细观察（3，1，2）卷积码的生成矩阵G∞可发现： （１）G∞中的每一行都是前一行右移右移3位的结果， 可以由矩阵的第一行完全确定。将第一行取出并表为 g∞＝[ 111 010 001 000 000 … ] g∞ 称作基本生成矩阵。 （２）基本生成矩阵g∞ 只有前（等于该卷积码的编码约束 度N＝m＋1＝3）数字有意义，以后各组数字全部为零。分 别用g 0，g 1，g 2表示各组，即g 0＝[ 111 ]， g 1＝[ 010 ]， g 2＝[ 001 ]，g 0，g 1，g 2 称作生成子矩阵。 （3）现在，G∞可表为
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111 010 001 111 010 001 ] c =[1 0 1 1 0 1 0 1 0 0 L⋅ 111 010 001 111 010 001 O
计算得c＝（ 111 010 110 101 011 … ）
当已知卷积码的生成矩阵G∞ 时，作c＝mG∞运算即可实现编码。 如输入信息序列为m＝（1011010100…）时，求（3，1，2）卷积码 的输出码字序列为
log p(Y C ) = d (Y , C ) ⋅ log pe + [n( L + m) − d (Y,C )] ⋅ log(1 − pe )
pe = d (Y , C ) ⋅ log + n( L + m) ⋅ log(1 − pe ) 1 − pe
(10－6)
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在维特比译码中，码序列C的似然函数log p(Y︱C) 称为C的路径度量，以M(Y︱C)表示。而log p(yi︱ci)和log p(yj︱cj)分别称为分支度量和码元度量，分别以M(yi︱ci)和 M(yj︱cj)表示。由此可得 (10－7) n ( L + m ) −1 L + m −1
+
m1 m1 m1 m2 m1 + + m2 m2 m3 m2 m1 + + m3 m3 m3 m2 M + +
cT
c = [m0 m1 m2 m3 m4
即
c＝mG∞
1 1 1 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 0 1 0 0 0 L]⋅ 1 1 1 0 1 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 L L
……
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令输出的码序列c＝[m0 p0,1 p0,2 m1 p1,1 p1,2 m2 p2,1 p2,2 m3 p3,1 p3,2 m4 p4,1 p4,2 …] 表示成矩阵形式：
m 0 m 0 m 0 m 0 = m 0 1 1 1 0 1 0 0 0 = 1 0 0 0 m 4 0 m 4 0 m 4 0 M 0 0 0 1 1 1 0 1 0 0 0 1 0 0 0 M 0 0 0 0 0 0 1 1 1 0 1 0 0 0 1 M 1 1 1 0 1 0 M 0 0 0 1 1 1 M m0 m 1 m 2 ⋅ m 3 0 m 4 0 M 0 0 0 0 10 M
i=0 j=0
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对式(10－4)两边取对数得
log p(Y C) =
L+m−1 i =0
∑log p( y c ) = ∑
i i j =0
n( L+m)−1
log p( y j c j ) (10－5)
式中：当yj ≠cj 时，p(yj︱cj) 就是BSC信道的误码率pe。 当接收端收到Y后，译码器的任务就是按照极大似然译码准 2 Y 则，在2 kL个码序列中找出一个与 Y最相似的，称为发送序列 ˆ ˆ C的估值序列 C 估值序列 。就是要找到使p(Y︱C)最大的 C 。称log p(Y︱C)为C序列的似然函数 似然函数。 似然函数 对于二进制对称信道（BSC），码序列C的似然函数可写成：
第十章 卷积码
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第十章 卷积码
内容提要: 内容提要 差错控制系统中使用的纠错码， 差错控制系统中使用的纠错码，除前面已 学过的分组码之外，还广泛使用着卷积码。 学过的分组码之外，还广泛使用着卷积码。本 章首先介绍卷积码的基本概念， 章首先介绍卷积码的基本概念，重点论述卷积 码的定义及其矩阵描述。在此基础上，介绍一 码的定义及其矩阵描述。在此基础上， 种目前被广泛应用的概率译码算法：维特比（ 种目前被广泛应用的概率译码算法：维特比（ Viterbi）译码算法。 ）译码算法。
图10.2 （3，1，2）卷积码状态转移图
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状态图只反映了各状态之间的转移关系，却不能表示出状 态转移与时间的关系。为了表示状态转移与时间的关系，我们 以时间为横坐标轴，以状态为纵坐标轴，将一个平面划分成网 格状，得到了网格图 表示。在网格图中，以时钟周期作为时 间的计量单位，称为节点，用L表示，即在一个节点时间内完 成卷积码编码器一个信息组的输入及相应子码的输出。
图10.1 （3，1，2）卷积码编码器
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在编码器输出端，由旋转开关实现并／串转换显然，cj中 的校验元pj，1和pj，2不仅与mj有关，同时还与mj－1和mj－2有 关，即与此前m＝2个子码中的信息元有关。称m为编码存 编码存 贮，表示信息组在编码器中的存贮周期（时钟周期）。
编码器输出的每个子码， 信息位数k＝1，码长n ＝3，码率k／n＝1／3， 编码存贮m＝2，表示为 （3，1，2）卷积码。
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10.2 卷积码的概率译码
卷积码的译码可分为代数译码和概率译码两大类。卷 积码的代数译码方法完全依赖于码的代数结构。而概率译 码不仅根据码的代数结构，而且还利用了信道的统计特性， 因此能用增加译码约束长度来减少译码的错误概率。 本节介绍一种目前被广泛应用的概率译码算法：维特 比（Viterbi）译码算法。
0 0 1 g1 = 0 0 1
000 000 000 000 001 001 L L L L L L L L
则（3，2，1）卷积码的生成矩阵 3 2 1 001 000 101 010 001 000 101 001 G∞ = 010 001 101 010
g∞ g0 Dg 0 G∞ = 2 ∞ = D g∞ 0 M M g1 g0 0 M g2 g1 g0 M 0 g2 g1 M 0 L 0 L g2 L M
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பைடு நூலகம்
上式中D是延时算子，表示一个时钟周期的延迟。
把以上对（3，1，2）卷积码的矩阵描述推广到一般。 对于任意一个（n，k，m）卷积码，其生成矩阵G∞ 是一个 半无限矩阵：