不定积分的换元法

一般的说，若积分 f (x)dx不易计算可以作适当的
变量代换 x (t) ，把原积分化为 f ((t))'(t) dt 的形
式而可能使其容易积分.当然在求出原函数后， 还要
将 t 1(x) 代回.还原成x的函数，这就是第二换元
积分法计算不定积分的基本思想.
应用第二类换元法求不定积分的步骤为
f
( x) d
x
x
换元
(t)
f
(t)
'(t ) d
t
g(t)d t
F(t)
C
还原
(t)
x
F
1(t) C
第二类积分换元法 分为两种基本类型根 三式 角代 代换 换
例6 求
x dx. 1 x
解 令 1 x t，得x 1t2，得dx 2tdt，所以有
x 1
x
dx
1t
t
2
2tdt
2 (1 t2)dt
ln
x a
x
2 a
a
2
C
.
x2 a2
x
t a
练习：P109 1（12）
小结：二类换元积分法的思想与步骤
作业：P109 1（1）、（4）、（10）
C
1 3
(
x2
3
4)2
C.
x2
4dx
1 2
udu
练习：P109 1（2）、（5）、（15）
二、 第二类换元法
第一类换元法是通过变量替换 u ( x)
将积分
f [( x)]( x)dx化为积分 f (u)du
下面介绍的第二类换元法是通过变量替
换 x (t) 将积分
f ( x)dx化为积分 f [(t)](t)dt
解（二） sin 2xdx 2 sin x cos xdx
2 sin xd(sin x) sin x2 C; 解（三） sin 2xdx 2 sin x cos xdx
2 cos xd(cos x) cos x2 C.
例2 求 xe x2 d x
解
xe
x2
d
x
凑微分
1 2
e x2
d
x2
变量代换
x2 u
1 2
eu d u
1 2
eu
C
还原
u x2
1 2
e x2
C
例3 求 tanx dx.
解
tan x
dx
sin x cosx
dx
1 cosx
d(cos x)
= ln | cos x | C.
类似地，有 cot x dx ln | sinx | C.
例4 求 (3x1)2008dx.
g(x) d x f (x)(x) d x 凑微分 f (x)d(x)
变量代换
(x) u
f
(u)
d
u
F(u)
C
u
还原
F
(x)
(x)
C
这种求不定积分的方法称为第一换元积分法，也 称“凑微分”法
例1 求 sin 2xdx.
解（一）
sin1 c2oxsd2xx12C;sin
2
xd
(2
x)
2
复习：原函数、不定积分、基 本积分公式
3.2 不定积分的积分方法（换元积 分法）
一、第一类换元法
问题 cos2xdx sin 2x C,
解决方法 利用复合函数，设置中间变量.
过程 令 t 2x dx 1 dt, 2
cos
2
xdx
1 2
cos
tdt
1 2
sin
t
C
1 2
sin
2
x
C
.
上述方法求不定积分的步骤为
解 令u 3x 1，得du 3dx，得dx 1du， 3
于是有
(3x－1)2008dx
u
20081 3
du=1 3u2008du
1 3
1 2009
u2009
C
1 6027
(3x
1)2009
C.
例5 求 x x2 4 dx.
解
令u x2 4，则du 2xdx，则 x
=
1 2
23
3u2
2t
2 3
t
3
C
2 1 x 2 (1 x) 1 x C. 3
看情况讲！
例7 求
1 dx (a 0). x2 a2
解 令 x a tan t dx a sec2 tdt
t
2
,
2
x
1 2
a
2
dx
a
1 sec
t
a
sec2
tdt
sectdt ln(sec t tan t) C