换元积分法第一类换元法
第五章 2-1 第一类换元法
步骤: (1)凑微分；(2)换元求出积分； (3)代回原变量。
例 求 sin 2 xdx .
sin u du
1 解 sin 2 xdx sin 2 xd ( 2 x ) 2
(4). 有些问题需要反复使用凑微分法求解不定积分. 例.
dx x ln x ln ln x
d (ln x ) d (ln ln x ) ln | ln ln x | C. ln x ln ln x ln ln x
(5) 常用的几种配元形式:
1 (1) f (ax b)dx a 1 n n 1 (2) f ( x )x dx n 1 n 1 (3) f (x ) dx n x
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解法 2
(sec x tan x) sec x tan x sec 2 x sec x tan x dx sec x tan x d (sec x tan x) sec x tan x
同样可证
csc xdx ln csc x cot x C
令u 2x
1 1 sin udu cos u C 2 2 1 cos 2 x C ; 2
1 dx. 例 求 2x 3
1 udu 1 1 令2 x 3 u 1 1 d (2 x 3) du 解: 原式 2 2x 3 2 u 1 1 l n u C ln 2 x 3 C . 2 2 ( x) u f [ ( x )] ( x )dx f (u)du
常用积分换元公式换元积分法的公式
常用积分换元公式换元积分法的公式积分换元法是求解积分的一种重要方法，通过引入合适的变量替换的方式，将原积分转化为更容易求解的形式。
下面是一些常用的积分换元公式和换元积分法：1.换元公式(1)第一类换元公式：设函数u=u(x)具有一阶连续导数，则有如下公式：∫f(u)du = ∫f(u(x))u'(x)dx(2)第二类换元公式：设函数x=x(u)可导，且反函数存在，则有如下公式：∫f(x)dx = ∫f(x(u))x'(u)du(3)第三类换元公式：设函数x=x(t)，y=y(t)可导，且满足y=y(x)，则有如下公式：∫f(x,y)dx = ∫f(x(t),y(t))x'(t)dt2.常见换元积分法(1)坐标换元法：根据问题中给定的坐标关系，选择适当的新坐标，从而简化积分的计算。
常见的坐标换元法包括：极坐标、柱坐标、球坐标等。
(2) 幂次换元法：对于形如∫f(x)(ax+b)^n dx的积分，可以引入变量u=ax+b进行代换，从而将积分转化为幂函数的积分。
(3) 三角换元法：对于形如∫f(x)sin(ax+b) dx或∫f(x)cos(ax+b) dx的积分，可以引入变量u=ax+b进行代换，从而将积分转化为三角函数的积分。
(4) 指数换元法：对于形如∫f(x)e^x dx的积分，可以引入变量u=e^x进行代换，从而将积分转化为指数函数的积分。
(5) 对数换元法：对于形如∫f(x)/x dx的积分，可以引入变量u=ln，x，进行代换，从而将积分转化为对数函数的积分。
(6) 倒代换法：对于形如∫f(g(x))dg(x)的积分，可以引入变量u=g(x)进行代换，然后将dg(x)用du表示，从而将积分转化为对u的积分。
(7) Weierstrass换元法：对于形如∫R(x,√(ax^2+bx+c)) dx的积分，可以引入变量u=√(ax^2+bx+c)+px+q进行代换，然后将积分转化为对u的积分。
高等数学-4_2换元法
（2） tan x d x
3
解(1): 原式 sec2 x sec2 x d x
(tan
(tan
1 3
3
2
x 1) sec x d x
2
2
x 1) d (tan x )
tan x tan x C
sec x d x d (tanx )
2
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例7. （1）
sec
2
x x
dx
2
（2）
xd
dx x (1 x )
解 (1) 原式 = (2) 原式 =
2
sec
x 2tan x 2
x c
1 d x
2
(1 x ) d
1
1 (
x)
2
2arctan
1 x d x 2d
x c
2 a x b)
x
x
x
1 e x e (1 ) dx x 1 e x e dx dx x 1 e
x
(1 e ) e
dx
e d x de
x
x
d (e 1 )
x
x ln(1 e x ) C
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结1 x
1 2
x
d(
1 2
2
x ) 2e
1
1 2
x
c
（4）
dx
2
1 d( 1 3 x )
（1 3 x )
《微积分》第二节 不定积分的第一类换元积分法
(sin2 x 2sin4 x sin6 x)d(sin x)
1 sin3 x 2 sin5 x 1 sin7 x C .
3
5
7
说明 当被积函数是三角函数相乘时，拆开奇 次项去凑微分.
例17 . 求
解: cos4 x (cos2 x)2 (1 cos 2x)2
2
1 4
(1
2
例4. 求 解:
d x
a
1
(
x a
)2
d(
x a
)
1
(
x a
)
2
想到
du 1u2
arcsin u
C
f [ ( x)] ( x)dx f ( (x))d (x)
(直接配元)
例5. 求 解:
sin cos
xdx x
dcos x cos x
类似地,
cos x dx sin x
d sin x sin x
2a xa
例7. 求
解: 原式 =
1
dln x 2 ln
x
1 2
d(1 2 ln x 1 2 ln x
)
例8. 求
e3
x
dx.
x
解: 原式 = 2 e3 x d x 2 e3 x d(3 x) 3
2 e3 x C
3
例9 求
(1
1 x2
x 1
)e xdx.
解
x
1 x
1
1 x2
解
(1
x x
)3
dx
x 1 (1 x)
31dx
[ (1
1 x)2
(1
1 x)3
]d (1
4.2 换元积分法
解：
(1)
a2
1
x2
dx
1 a
1 a2
1
1(ax1)21da(xax22)dx
1 a
arctan
x a
C
用类似的方法还可以求得
1 a2
x2
dx
arcsin
x a
C．
4.2.1 第一换元积分法 4.第一换元积分法的常见类型
例4
求不定积分 (2)
dx a2 x2
4.2.1 第一换元积分法 2.第一换元积分法
计算过程
f
[ ( x)] ( x)dx
凑微分
f
[ ( x)]d ( x)
令 ( x)u
积分
回代
f (u)du F (u) C F ((x)) C
利用复合函数求导公式，可以验证以上公式的正确性．
用这种方法的计算程序是：先“凑”微分式，再作变量置换。 我们将这类求不定积分的方法称为第一类换元积分法，也称凑微 分法。
4.2.1 第一换元积分法 3.第一换元积分公式的应用
例1 求下列不定积分
(1)
dx x 1
解： 令 x 1 u 则 dx du，于是
dx x 1
du u
ln u C
同理可得:
(2)
dx 1 x
ln
1
x
C
(3)
dx 1 x
2
1 x C
再将u x 1 代回，得
(2)
ln x x
dx
解：
(2)
换元积分法(第一类换元法)
§4.2 换元积分法 Ⅰ 授课题目 §4.2 换元积分法（第一类换元法） Ⅱ 教学目的与要求：理解第一类换元法的基本思想，它实际上是复合函数求导法则的逆过程，其关键是“凑微分”，dx x x d )()(ϕ'=ϕ .掌握几种典型的凑微分的方法，熟练应用第一类换元积分法求有关不定积分. Ⅲ 教学重点与难点： 重点：第一换元法的思想，难点：熟练应用第一换元法计算有关函数的不定积分. Ⅳ 讲授内容：一、第一类换元积分法 设)(u f 具有原函数)(u F ，()()f u du F u C =+⎰.若u 是中间变量，()u x ϕ=，()x ϕ可微，则根据复合函数求导法则，有(())()[()]()dF x dF du duf u f x x dx du dx dxϕϕϕ'===。
所以根据不定积分的定义可得：()[()]()[()][][()]u x f x x dx F x C F u C f u du ϕϕϕϕ='=++=⎰⎰ 以上是一个连等式可以改变顺序从新写一遍，就有[][]()[()]()][()]()u x f x x dx f u du F u C F x C ϕϕϕϕ='=+=+⎰⎰.以上就是第一换元积分法。
从以上可以看出，虽然[()]()f x x dx ϕϕ'⎰是一个整体记号，但是被积表达式中的dx 可当作变量x 的微分来对待从而上式中的()x dx ϕ'可以看成是()x ϕ的微分，通过换元()u x ϕ=，应用到被积表达式中就得到()x dx du ϕ'=.定理1 设)(u f 具有原函数)(u F ，)(x u ϕ=可导，dx x du )(ϕ'=，则[()()()()[()]f x x dx f u du F u C F x C ϕϕϕ'==+=+⎰⎰ (1)如何应用公式(1)，在求不定积分积分()g x dx ⎰时如果被积函数g(x)可以化为一个复合函数与它内函数的导函数的积的形式[()]()f x x ϕϕ'的形式 那么()()[()]()[()]x u g x dx f x x dx f u du ϕϕϕ='=⎰⎰⎰()()[()]u x F u C F x C ϕϕ==++.所以第一换元积分法体现了“凑”的思想.把被积函数凑出一个复合函数与其内函数的积[()]()f x x ϕϕ'来.例1 求33x e dx ⎰解33333=3x x x e dx e dx e x dx '=⎰⎰⎰()，可设中间变量x u 3=，dx x d du 3)3(== 3dx du ∴=，所以有3333x x u u x e dx e dx e du e C e C ===+=+⎰⎰⎰.首先观察被积函数的复合函数是什么样的，然后看是否有它的内函数的导数，若没有就去凑。
经济数学44换元积分法
2 1 aln axln axC
21alnaaxx C． 类似可得
x2 1a2dx21alnx x a aC．
ESC
一、第一换元积分法
例15 求 secxdx ． 解 sexcdx c1oxsdx
例2
求
1 x2
1
ex
dx.
e 被积函数是两个因子:
1 x
和
1 x2
的乘积
解
因
(1x)
1 x2
,
视
于是被积函数具有形式
(x)
1, x
可用换元 积分法
x12e1x e1x(x12)f((x))(x)
本例可不设出中间变量
u
1 x
,按如下格式书写:
1 x2
1 212 1lnxd(12lnx)
1 2lnlnxC
ESC
一、第一换元积分法
例13 co1 s2x(tanx1)dx
•解法一
co1 s2x(tanx1)dx (tanx1)d(tanx1)(tanx21)2C
•解法二
co1 s2x(tanx1)dx (tanx1)d(tanx)tan22xtanxC
x2x4dx1 2x21 42xdx12 x214d(x24)
于是 1 0 x2
x
4
dx
12ln(x24)
1 0
1 2lnx(24)C,
1 2[l1 n 2(4)ln02(4)
由牛顿—莱
]布尼茨公式
12(ln52ln2).
ESC
一、第一换元积分法
定积分换元积分法的不同换元方法
一、定积分的换元积分法概述定积分的换元积分法是计算定积分的一种重要方法，其主要思想是通过变量替换的方式将原积分转化为一个更容易求解的形式。
这种方法在解决复杂的定积分问题时具有较大的实用价值，因此对于不同的换元方法的掌握和熟练应用显得尤为重要。
二、常见的换元方法在定积分的换元积分法中，常见的换元方法包括但不限于以下几种：1. 第一类换元法：直接代入法直接代入法是指直接将被积函数中的某一个部分用一个变量表示并进行代入的方法。
通常适用于被积函数较简单的情况，能够将原积分转化为一个更容易处理的形式。
2. 第二类换元法：三角代换法三角代换法是指通过选取合适的三角函数来进行变量替换，将原积分转化为三角函数的积分形式。
这种方法通常适用于出现平方根和平方项时的情形，通过选择合适的三角函数可以使原积分变得更加简单。
3. 第三类换元法：指数代换法指数代换法是指通过选取适当的指数函数进行变量替换，将原积分转化为指数函数的积分形式。
这种方法通常适用于出现指数函数和对数函数时的情形，能够将原积分化为更容易处理的形式。
4. 第四类换元法：倒代换法倒代换法是指通过选取合适的变量倒数进行变量替换，将原积分从一个区间转化为另一个区间或者将原积分中的除法项转化为乘法项。
这种方法通常适用于变量之间的换元关系为倒数关系的情形，能够简化原积分的形式。
三、不同换元方法的选用原则在实际应用中，选择合适的换元方法是十分重要的。
一般而言，可以根据以下原则进行选择：1. 根据被积函数的形式选择当被积函数具有特定的形式时，可以根据不同的形式选择对应的换元方法。
如当被积函数中出现三角函数时，可以考虑使用三角代换法；当被积函数中出现指数函数时，可以考虑使用指数代换法。
2. 根据逆变换的便捷性选择在选择换元方法时，通常也要考虑逆变换的便捷性。
换元后新的积分形式是否容易转化回原来的变量，这将影响到最终的计算复杂程度。
3. 根据积分区间的选择当积分区间发生变化时，可以考虑使用倒代换法将原积分转化为更便于处理的形式，从而简化计算过程。
高数4.2
2
其中C 1=C−ln a ．
例 23 求 ∫ 例21
dx x −a
2 2
x (a>0)．
解 当 x>a 时，设 x=a sec t (0<t< 那么
π
2
t
)，
a
x 2 − a 2 = a 2 sec 2 t − a 2 = a sec 2 t − 1 =a tan t ， 于是
∫
a sec t tan t =∫ dt = ∫ sec tdt = ln |sec t + tan t |+C ． 2 2 a tan t x −a
§4．2 换元积分法 ．
一、第一类换元法 二、第二类换元法 三、积分公式小结
一、第一类换元法
定理1 设f(u)具有原函数，u=ϕ(x)可导，则有换元公式
∫
f[ϕ(x)]ϕ′(x)dx = dx
∫
f[ϕ(x)]dϕ(x)= [ )
∫
f(u)d u]u = ϕ(x) ．
根据得
∫
cot x dx=ln|sin x|+C ．
熟练之后，不必再写出变量代换．
例6 例6
∫
1 a2 + x2
dx =
1 a2
∫
1 x = arctan +C ． a a x x x x ch dx =a ch d = a sh +C ． 例7 例7 a a a a 1 例8 dx (a>0)． 例8 求 a2 − x2 1 1 1 1 x dx = 解 dx = d 2 2 a a a2 − x2 x x 1− 1− a a x = arc sin +C ． a
补充公式：
换元积分法
tan 2tdt (sec2t - 1)dt tan t - t C
x sect
2
1 cos t
1 cost , x
1 t arccos , x
1 原式 x - 1 - arccos C x
练习：
2、三角代换：被积函数型如→
(1) a 2 x 2 , 设x a sin t ; (3) x 2 a 2 , 设x a sect. (2) a 2 x 2 , 设x a tan t ;
例1：求 4 - x 2 dx
解：设x 2 sin t , 则 4 - x 2 4 - 4 sin 2 t
4(1 sin 2 t ) 2 cost
dx d (2 sin t ) (2 sin t)' dt 2 costdt
原式 2 cos t 2 cos tdt
2t sin 2t C x x 4 - x2 sin t , t arcsin , 又 cos t 2 2 2
解：设x 3 tan t , 则 x 2 9
dx d (3 tan t ) (3 tan t)' dt 3 sec2 tdt
原式 1 3 sec2 tdt 3 sect
sectdt
ln sect tan t C
x tan t , 3
sect
cosudu 求结果 sin u C
分析本例被积函数的特点：
sin x 2 C
1、被积函数能看做两函数的乘积; 2、其一为复合函数；
3、其二能看做复合函数的中间变量的导数。
此题的解法被称作第一换元法，又叫凑微分法。用公式表示为：
§4.2-换元积分法(第一类换元法)
§ 4.2 -换元积分法（第一类换元§ 4.2 换元积分法I 授课题目§ 4.2 换元积分法(第一类换元法)n 教学目的与要求：1. 理解第一类换元法的基本思想，它实际上是 复合函数求导法则的逆过程，其关键是“凑微 分"，d (x) (x)dx.2. 掌握几种典型的凑微分的方法，熟练应用第 一类换元积分法求有关不定积分. 皿教学重点与难点：重点：第一换元法的思想，难点：熟练应用第一换元法计算有关函数的不定积 分.W 讲授内容：一、第一类换元积分法设f(u)具有原函数F(u)， f(u)du F(u) C .若u 是中间变 量，u (x)，(x)可微，则根据复合函数求导法则，有所以根据不定积分的定义可得:dF( (x))dxd£du du dxf(u)乎 dxf[ (x)] (x)。
f[ (X)] (x)dx F[ (x)] C u (x)F[u] C [ f(u)du]以上是一个连等式可以改变顺序从新写一遍，就有f[ (x)] (x)]dx u (x)[ f (u)du] F u C F (x) C .以上就是第一换元积分法。
从以上可以看出，虽然f[ (x)] (x)dx是一个整体记号，但是被积表达式中的dx可当作变量x的微分来对待从而上式中的(x)dx可以看成是(x)的微分，通过换兀u(X)，应用到被积表达式中就得到(x)dx du .定理1设f(u)具有原函数F(u) , u (x)可导，du (x)dx , 则f[ (x) (x)dx f(u)du F(u) C F[ (x)] C (1)如何应用公式(1)，在求不定积分积分g(x)dx时如果被积函数g(x)可以化为一个复合函数与它内函数的导函数的积的形式f[ (x)] (x)的形式那么g(x)dx f[ (x)] (x)dx (x) u[ f(u)du] F(u) C u (x)F[ (x)] C.所以第一换元积分法体现了“凑”的思想•把被积函数凑出一个复合函数与其内函数的积f[ (x)] (x)来.例 1 求3e3x dx角军3e3x dx e3x3dx= e3x(3x) dx，可设中间变量u 3x，du d (3x) 3dx 3dx du，1 5 1 63dx 二一(3x 2) d(3x 2)(3x 2) 3183 2x^^以^^ e 3xdxe 3x 3dxe u du e u C e 3x C .首先观察被积函数的复合函数是什么样的， 看是否有它的内函数的导数，若没有就去凑。
(九)换元法
1 dx dx ∴ 原式 = ∫ x −a − ∫ x + a 2a
d(x + a) 1 d(x −a) −∫ = ∫ x +a 2a x −a
1 x −a 1 +C = [ ln x−a −ln x+ a ] +C = ln 2a x +a 2a
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(P203 公式 (23) )
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例22. 求 解: 原式 = ∫
5 ( 2 )2 −(x − 1)2 2
d(x − 1) 2
例23. 求 解: 原式 = −∫
de−x 1−e−2x
= −arcsine−x +C
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例24. 求 解: 令 x = 1 , 得 t 原式 = −∫
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例7. 求
∫
e3
x
x
dx.
3 x
2 3 x 解: 原式 = 2∫e d x = ∫e d(3 x) 3 2 3 x = e +C 3
例8. 求 ∫sec6xdx.
2 dtan xdx 解: 原式 = ∫(tan x +1 ⋅ sec ) 2 2
= ∫(tan4 x + 2tan2 x +1 dtan x )
第二节 换元积分法
一、第一类换元法 二、第二类换元法
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基本思路
设 F′(u) = f (u), 可导, 则有
dF[ϕ(x)] = f [ϕ(x)]ϕ′(x)dx
换元积分详解
x 2n1
1 xndxn
(xn 9)9 dx n (xn 9)9
(5)被积函数可写成 f (sinx)cosx或 f (cosx)sinx的形式, 例如
f (sin x)cos xdx f (sin x)d sin x f (cos x)sin xdx f (cos x)d cos x
24
22
x a2 x2 a2 sin1 x C
2
2a
例2 求
dx (a 0)
a2 x2
解:
x
a
tan
t(
2
t
2
),
t
tan 1
x a
,
a2 x2 a2 a2 tan2 t a 1 tan2 t a sin2 t cos2 t a sect, cos2 t
dx a sec2 tdt
a2 x2
1 (x / a)2
1u2
a
例5
(x3 x) 1 x2 dx 1
(x2 1) 1 x2 dx2 1
3
(1 x2 )2 d (1 x2 )
2
2
1x2u 1
3
u 2 du
1
2
(1
5
x2 )2
C
1
(1
5
x2 )2
C
2
25
5
常见的凑元法有以下几种情况:
(1)关于自变量是线性形式,例如
x
1 t2 1 t2
, sin
x
2t 1 t2
, dx
2dt 1 t2
)或 tan
x
t
tan x t, 2
dt sec2 x d ( x), 22
dt (1 t2 )d( x). 2
定积分第一类换元法和第二类换元法
定积分是微积分中的重要概念，通过定积分我们可以求解曲线与坐标轴之间的面积、体积以及质心等问题。
在求解定积分时，换元法是一种常用且有效的方法。
换元法分为第一类换元法和第二类换元法，它们在不同类型的积分计算中发挥着重要作用。
下面我们将分别介绍这两种换元法的原理和应用。
一、第一类换元法1.1 换元法简介第一类换元法，又称代换法或变量代换法，是对定积分中被积函数中的变量进行替换，将原来的积分变为更容易求解的积分。
其基本思想是通过引入适当的新变量，将被积函数中的复杂部分转化为简单的形式，从而便于积分计算。
1.2 换元法的步骤（1）寻找合适的变量替换：根据被积函数的形式和特点，选择适当的新变量代替原来的变量。
（2）计算新变量的微分：对新变量进行微分，求出新变量的微分表达式。
（3）将被积函数用新变量表示：将原来的积分中的被积函数用新变量表示出来，得到新的积分形式。
（4）进行积分计算：对新的积分形式进行计算，得出最终结果。
1.3 换元法的应用第一类换元法常用于代换型积分，如含有根式、三角函数等形式的积分。
通过合适的变量替换，可以将原积分化为简单的形式，从而便于求解。
二、第二类换元法2.1 换元法简介第二类换元法，又称参数代换法或极坐标代换法，是通过引入参数来替换被积函数中的自变量，从而实现对原积分的简化。
这种换元法常用于解决平面曲线和曲面的面积、弧长以及质心等问题。
2.2 换元法的步骤（1）引入参数：选择适当的参数替换自变量，通常选择直角坐标系下的参数形式或极坐标系下的参数形式。
（2）表达被积函数：将原来的被积函数用参数表示出来，并求出新的被积函数。
（3）进行积分计算：对新的被积函数进行积分计算，得出最终结果。
2.3 换元法的应用第二类换元法常用于参数型积分，如平面曲线、曲面以及柱面体的面积、弧长和质心的计算。
通过引入参数替换自变量，可以将原积分化为简单的形式，从而便于求解。
三、第一类换元法和第二类换元法的比较3.1 适用范围（1）第一类换元法适用于一般的代换型积分，如含有根式、三角函数等形式的积分；（2）第二类换元法适用于参数型积分，如平面曲线、曲面以及柱面体的面积、弧长和质心的计算。
换元积分法
1 ( x)2 a
a
a
arcsin x C 公式 a
⑦
dx a2 x2
1 a2
1
1 ( x)2
dx
1 a
1
1 (x
)2
d
(
x a
)
a
a
1 arctan x C 公式
a
a
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1
【例如】求
x2
8x
dx. 25
8/38
【解】
x2
1 8x
dx 25
(
x
1 4)2
2x 3
2x 3
2x 1
2x 1 2x 3
2x 1 dx
1 4
2
x
3dx
1 4
2x 1dx
有理化
1 8
2
x
3d
(2x
3)
1 8
2x 1d(2x 1)
1 2x 33 1 2x 13 C.
12
12
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④
1 x2 a2
1( 1 1 ) 2a x a x a
d(x 9
4)
1
1
32 x 4 2
3
d( x 4) 1
1 3
1
x 42
3
d 1
x
3
4
1 arctan x 4 C.
3
3
可省略，直接套上页公式⑦
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(2) f (axn b)xn1dx 1 f (axn b)d(axn b) na
9/38
【解】
①
tan xdx
定积分的换元法和分部积分法
3、定积分分部积分公式的用法与不定积分分部积分 公式的用法类似。
0
分部积分
t sint
6
0
6 sintdt
0
1 62
[
cos
t
]6 0
3 1.
12 2
例16
计算
e-1
ln(1
x)dx
0
解
e-1
ln(1
x)dx
e-1
ln(1
x)d( x)
0
0
x
ln(1
x)
e1 0
e1
0
xd
ln(1
x)
e
1
e-1 0
x
1
1
x
dx
e
1
e-1 0
(1
1
1
x
)dx
f ( x)为偶函数；
0
0,
f ( x)为奇函数。
证毕。
例10
计算
3 3
x5 sin2 x dx.
1 x2 x4
解
3 3
x5 sin2 x dx 1 x2 x4
0
奇函数
例11
计算
π
2
π 2
sin2
x cos xdx
解
π
2
π 2
sin2 x cos xdx
π
2
2
0
sin2
x cos xdx
π
2
2
e
1
x
ln
|
1
x
|
e1 0
1
例17
第二节 不定积分的换元积分法
例22 求
∫
1
2
1 x 4 − x arcsin 2
2
dx .
解
∫
x 4 − x arcsin 2 1
dx = ∫
1
2
x 1− arcsin 2 2
x d x 2
x x d (arcsin ) = ln arcsin + C . =∫ x 2 2 arcsin 2
例23. 求
(x +1)e 1 1 dx = ∫( x − )d(xex ) 解: 原式= ∫ x x xe (1+ xex ) xe 1+ xe
x
= ln xex −ln 1+ xex +C = x +ln x −ln 1+ xex +C
1 1+ xex − xex 分析: 分析 x x = xe (1+ xe ) xex (1+ xex )
(x +1 exdx = xexdx +exdx )
例24. 求
f (x) f ′′(x) f (x) 1− dx 解: 原式 = ∫ 2 f ′(x) f ′ (x)
d(x + a) 1 d(x −a) −∫ = ∫ x +a 2a x −a
1 x −a 1 +C = [ ln x−a −ln x+ a ] +C = ln 2a x +a 2a
常用的几种配元形式:
1 1 ∫ f (ax +b)dx = ) a 1 n n− 1 2) ∫ f (x ) x dx = n 1 n 1 3) ∫ f (x ) d x = n x
1 1 2 = ( 2 x + 3) − ( 2 x − 1) 2 + C . 12 12
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§4.2 换元积分法Ⅰ 授课题目§4.2 换元积分法（第一类换元法） Ⅱ 教学目的与要求：1. 理解第一类换元法的基本思想，它实际上是复合函数求导法则的逆过程，其关键是“凑微分”，dx x x d )()(ϕ'=ϕ .2. 掌握几种典型的凑微分的方法，熟练应用第一类换元积分法求有关不定积分.Ⅲ 教学重点与难点：重点：第一换元法的思想，难点：熟练应用第一换元法计算有关函数的不定积分. Ⅳ 讲授内容：一、第一类换元积分法设)(u f 具有原函数)(u F ，()()f u du F u C =+⎰.若u 是中间变量，()u x ϕ=，()x ϕ可微，则根据复合函数求导法则，有(())()[()]()dF x dF du duf u f x x dx du dx dxϕϕϕ'===。
所以根据不定积分的定义可得：()[()]()[()][][()]u x f x x dx F x C F u C f u du ϕϕϕϕ='=++=⎰⎰ 以上是一个连等式可以改变顺序从新写一遍，就有[][]()[()]()][()]()u x f x x dx f u du F u C F x C ϕϕϕϕ='=+=+⎰⎰.以上就是第一换元积分法。
从以上可以看出，虽然[()]()f x x dx ϕϕ'⎰是一个整体记号，但是被积表达式中的dx 可当作变量x 的微分来对待,从而上式中的()x dx ϕ'可以看成是()x ϕ的微分，通过换元()u x ϕ=，应用到被积表达式中就得到()x dx du ϕ'=.定理1 设)(u f 具有原函数)(u F ，)(x u ϕ=可导，dx x du )(ϕ'=，则[()()()()[()]f x x dx f u du F u C F x C ϕϕϕ'==+=+⎰⎰ (1)如何应用公式(1)，在求不定积分积分()g x dx ⎰时, 如果被积函数g (x )可以化为一个复合函数与它内函数的导函数的积的形式[()]()f x x ϕϕ'的形式, 那么()()[()]()[()]x u g x dx f x x dx f u du ϕϕϕ='=⎰⎰⎰()()[()]u x F u C F x C ϕϕ==++. 所以第一换元积分法体现了“凑”的思想.把被积函数凑出一个复合函数与其内函数的积[()]()f x x ϕϕ'来.例1 求33x e dx ⎰解 33333=3x x x e dx e dx e x dx '=⎰⎰⎰()，可设中间变量x u 3=， dx x d du 3)3(==Θ 3dx du ∴=，所以有3333x x u u x e dx e dx e du e C e C ===+=+⎰⎰⎰.首先观察被积函数的复合函数是什么样的，然后看是否有它的内函数的导数，若没有就去凑。
例2 ⎰xdx 2cos解 11cos 2cos 22=cos 2(2)22xdx x dx x x dx '=⋅⋅⎰⎰⎰ 令x u 2=，显然dx du 2=，则1cos 2cos 222xdx x dx =⋅⎰⎰111cos sin sin 2222udu u C x C ==+=+⎰.在比较熟练后，我们可以将设中间变量()u x ϕ=的过程省略，从而使运算更加简洁。
例3 ⎰-dx x 5)23(解 如将5)23(-x 展开是很费力的，不如把23-x 作为中间变量，dx x d 3)23(=-Θ，5556111(32)=(32)3=(32)(32)(32)3318x dx x dx x d x x C --⋅--=-+⎰⎰⎰. 例4132dx x +⎰ 111111=2=(32)ln |32|322322322dx dx d x x C x x x ⋅+=+++++⎰⎰⎰. 例5 22x xe dx ⎰2222222()x x x xxe dx e x dx e dx e C '===+⎰⎰⎰例6 求⎰1(22x =--⎰⎰2211)(1)22x dx x '=--=--33222211211(1)2233x u C x Cu --=-⨯+=--=+. 二、掌握几种典型的“凑微分”的方法1()dx d ax b a =+； 11()n n x dx d x b n -=+； )(x x e d dx e =；1(ln )dx d x x=； 1()ln x x a dx d a a =； )(sin cos x d xdx =； )(cos sin x d xdx -=； )(tan sec 2x d xdx =； 2csc (cot )xdx d x =-； )(sec tan sec x d xdx x =；)(arcsin 12x d x dx =-；)(arctan 12x d xdx=+。
三、利用第一换元积分法法计算有关函数的不定积分计算有关函数的不定积分时，需要先把被积函数变形转化，再利用第一换元积分法计算. 例7 求⎰xdx 2sin解 2111sin (1cos 2)cos 2222xdx x dx dx xdx =-=-⎰⎰⎰⎰11(cos 2)2sin 22424x x x dx x C =-⋅=-+⎰.（此题利用三角函数中的降幂扩角公式） 例8求⎰-22xa dx)0(>a 解()arcsin x xdx C a a===+⎰. 利用dx nxx d n n 1)(-=，有如下例题例9 求⎰dx xx 21sin解 dx xxd 21)1(-=Θ 221sin1111(sin )()(sin )()x dx dx dx x x x x x '∴=--=-⎰⎰⎰ 111sin ()cos d C x x x =-=+⎰例10求⎰dx e e xx cos解 C e e d e dx e e xx x xx +=⎰⎰sin )(cos cos ＝. 利用dx e e d xx=)(，adx a a d xxln )(= 例11 求⎰-+x x e e dx习题 4-2:2(30)解 C e e de dx e e e e dx x x xx x xx +=+=+=+⎰⎰⎰-arctan 1)(1)(22. 例12 求⎰+1x e dx解 111111+-=+-+=+x xx x x x e e e e e e ΘC e x e e d x dx e e dx e dx x x x x x x ++-=++-=+-=+∴⎰⎰⎰⎰)1ln(1)1(11.例13 求dx xxx⎰+946 解 263()64239491()124x xx x x xx x xdx dx dx ==+++⎰⎰⎰ 211313[()]arctan()32ln3ln 223ln 1()22x x x d C ==+-⎡⎤+⎢⎥⎣⎦⎰.此题利用adx a a d xxln )(= 下面几个例题利用dx xx d 1)(ln = 例14 求⎰x x dx ln解111(ln )ln ln ln ln ln dx dx d x x C x x x x x ===+⎰⎰⎰.又如习题 4-2:2（16）ln ln ln dxx x x ⋅⋅⎰;解 111=ln ln ln ln ln ln dx dxx x x x x x ⋅⋅⋅⋅⎰⎰11ln ln ln ln d x x x=⋅⎰1ln ln ln |ln ln |ln ln d x x C x ==+⎰. 例15 求dx x x ⎰+4)5ln 2(1解 44112(2ln 5)(2ln 5)2x dx x dx x x +=+⎰⎰ 4511(2ln 5)(2ln 5)(2ln 5)210x d x x C =++=++⎰.第一次课可以讲到这里.被积函数是分母是二次函数,分子是常数或一次函数的有理分式函数的不定积分的求法 (例16～例22六个例题) 例16求⎰+22x a dx)0(>a 分子是常数，分母是二次二项式，没有一次项.解 2222111()dx dx x a x a a =++⎰⎰2111()arctan 1()x xd C x a a a aa==++⎰. 例17⎰++41292x x dx被积函数分母是一个完全平方式解2211=391243(32)dx dx x x x ⋅+++⎰⎰2111(32)3(32)3(32)d x C x x =+=-+++⎰. 被积函数分母是一个完全平方式，被积函数化为22111=()()()dx d ax b ax b a ax b +++⎰⎰例18⎰++17442x x dx分子是常数，分母是二次三项式，不是完全平方式解 2221121441716(21)161()4dx dx dx x x x x ==++++++⎰⎰⎰2112111()tan()21848241()4x x d arc C x +==++++⎰ 被积函数分母是二次三项式且不可以分解因式，不是完全平方式时可以把分母配方化为2()ax b c ++的形式， 然后利用21arctan 1dx x C x=++⎰练习：求2125dx x x -+⎰（第一换元积分法分）解 2225(1)4x x x -+=-+，222111=1(25)(144(12dx dx dx x x x x =--+-++⎰⎰⎰）） 211111==arctan 122221(2x x d Cx --+-+⎰） 例19 求⎰--122x x dx分子是常数，分母是二次三项式且可以分解因式解 211111()12(3)(4)743x x x x x x ==---+--+Q2111()12743dx dx x x x x ∴=----+⎰⎰11117473dx dx x x =--+⎰⎰ 1111(4)(3)7473d x d x x x =--+-+⎰⎰1114ln |4|ln |3|ln ||7773x x x C C x -=--++=++. 被积函数分母是二次三项式且可以分解因式，被积函数可以用裂项法转化为两个简单分式的差.11[]()()()()c c x a x b a b x a x b =------例20求⎰+dx x x21 分子是一次多项式，分母是二次多项式解 xdx x d 2)1(2=+Θ2212121x x dx dx x x ∴=++⎰⎰222111(1)ln(1)212d x x C x =+=+++⎰. 例21求⎰++dx x x x1022解 2(210)(22)d x x x dx ++=+Q ，则1022222110222++-+⋅=++x x x x x x2212222102210x x dx dx x x x x +-∴=++++⎰⎰221221222102210x dx dx x x x x +=-++++⎰⎰222221(210)11ln(210)22102102(1)9d x x dx x x dx x x x x x ++=-=++-++++++⎰⎰⎰22111ln(210)129()13x x dx x =++-++⎰2111ln(210)arctan233x x x C +=++-+. 被积函数分子是一次多项式，分母是二次多项式时，首先把分子凑成分母的导数. 下面几个例题利用三角函数的微分公式：xdx x d cos )(sin =；xdx x d sin )(cos -=；xdx x d 2sec )(tan =；2()csc d cotx xdx =-例22 求 ⎰xdx tan （化切为弦）解sin sin tan =cos cos x x xdx dx dx x x --⎰⎰⎰＝ 1=(cos )ln cos cos d x x C x-=-+⎰ 例23 求⎰xdx 3tan解 322sin tan tan (sec 1)tan sec cos xxdx x x dx x xdx dx x =-=-⎰⎰⎰⎰211tan (tan )(cos )tan ln cos cos 2xd x d x x x C x =+=++⎰⎰例24 求csc xdx ⎰222tan 21cos 112csc =sin 22sin cos sin2222cos2x sec x xx xdx dx dx dx d x x x x x ==⎰⎰⎰⎰⎰＝ 1tanln |tan |22tan 2x xd C x ==+⎰. 因为 22sin 2sin 2sin 222cos 2sin cos 2221cos tan csc cot sin 2sin xxxx x xx x x x x x -=====-. 所以csc ln |tan |ln |csc cot |2x xdx C x x C =+=-+⎰. 此题用三角万能公式代换也可以22112tan csc 2sin 21x tt xdx dx dt x t t +=⋅=+⎰⎰⎰＝1ln ||ln |tan |2x dt t C C t =+=+⎰. 例25 求s c e xdx ⎰。