射影定理在中学数学中的应用

相似三角形中的射影定理及其应用
1、定理介绍：该定理由欧几里得在公元前300年的著作《几何原本》中提出，故又称“欧几里得定理”。在九年级人教版初中数学教材中，以例题形式出现过该定理。但教材中内容对该定理叙述不完整，任课老师也只称之为直角三角形中的射影定理，而此处会在直角三角形中的射影定理上做扩充，从特殊到一般，将直角三角形中的射影定理扩充到相似三角形中的射影定理，让学生更好体会射影定理的内涵，并举例论证，射影定理在解题时候的便捷性与重要性。
2、定理内容：直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项。每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项。
3、相关定理：母子相似定理：直角三角形斜边上的高将原直角三角形分为两个小直角三角形，这两个小直角三角形都和原直角三角形相似。
4、射影定理的数学表达：在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD是斜边BC上的高，则有 （1）AD2=BD×DC， （2）AB2=BD×BC ， （3）AC2=DC× BC 。
此外在该直角三角形中还有一个等积式 （４）AB×BC=BD×AC 。
5、定理证明：直角三角形中的射影定理证法很多，这里列举两种提供参考。
证法①：(利用勾股定理证明)
证明：在Rt△ABC、Rt△ABD、Rt△BCD中，
∵AD2=AB2-BD2=AC2-CD2
∴2AD2=AB2+BC2-(BD2+CD2)
=BC2-(BD2+CD2)
=(BD+DC)2-(BD2+CD2)
=2BD×DC
∴AD2=BD×DC
AB2=BD2+AD2=BD2+BD×DC=BD×(BD+DC)=BD× BC
同理可得AC2=DC× BC
证毕。
证法② ：(利用相似三角形的性质证明)
证明：由母子相似定理可知，△ABC、△ABD、△ACD两两相似
在 △BAD与△BCD中有 AD/BD＝BD/CD，即BD2=AD·DC。
同理可得射影定理的其他结论。
6、关于该定理的三个思考
思考1、能否把直角三角形中的射影定理一般化？
答：若△ABC不为直角三角形，当点D满足一定条件时，
类似地仍有部分结论成立。
如图2，在△ABC中，D为AB上一点，若∠CDB=∠ACB,
或∠DCB=∠A，则有△CDB∽△ABC，可得BC2=BD× AB；
反之，若△ABC中，D为AB上一点，且有BC2=BD× AB，则有△CDB∽△ABC，可得到∠DCB=∠A或∠CDB=∠ACB。
这样一来，我们就把直角三角形中的射影定理扩充到了相似三角形中的射影定理。
思考2、射影定理与勾股定理的等价性思考。
从证法①中可以看出，射影定理是在默认成立了勾股定理的基础上证明的，那么反过来我们也可以从射影定理来证明勾股定理，且成立。想要更好的掌握数学这一学科，就要学会融会贯通，作该思考有助于学生感受、体会数学证明的逻辑严密性、完

整性。
思考3、射影定理与切割线定理的等价思考。
观察定理表达式，是否能发现直角三角形中的射影定理与圆的切割线定理有相似之处呢？。
切割线定理：是指从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是割线和这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。
如图所示，以AB的中心为圆心，AB的一半为半径做圆，AC为 圆的切线，A为切点，AB⊥AC，BC为圆的割线，此处有个著名 的切割线定理：AC2=CD× BC。以此不难看出，直角三角形中的 射影定理其实就是去掉圆以后的切割线定理。
同理，可得切割线定理也是“去掉”圆之后的相似三角形中的射影定理。
7、定理使用方法：在数学解题中，只需写出“由射影定理得”，即可使用该定理的结论，无需再次证明定理的成立性。
8定理应用：直角三角形的射影定理在中学数学中出现的地方分别是初中九年级上册和高中选修4-1。下面将列举几个实例来解决数学问题。
例1、
任意三角形射影定理
1、定理简介：定理由欧几里得提出，在解三角形，探究三角形边角关系作用很大，并且该定理可以与正弦定理、余弦定理相媲美。
2、定理内容：三角形的边长等于另外两边与所求边成夹角余弦值的乘积之和。
3、定理数学表达：△ABC的三边是a、b、c，它们所对的角分别是A、B、C，则有
a＝b·cosC＋c·cosB，
b＝c·cosA＋a·cosC，
c＝a·cosB＋b·cosA。
注：以“a＝b·cosC＋c·cosB”为例，b、c在a上的射影分别为b·cosC、c·cosB，故名射影定理。
4、定理证明
证法①：设点A在直线BC上的射影为点D，
则AB、AC在直线BC上的射影分别为
BD、CD，且 BD=c·cosB，CD=b·cosC，
∴a=BD+CD=b·cosC＋c·cosB.
同理可证其余。

证明②：由正弦定理可得：b=asinB/sinA，c=asinC/sinA
c=asin(A+B)/sinA=a(sinAcosB+cosAsinB)/sinA
=acosB+(asinB/sinA)cosA=a·cosB＋b·cosA.
同理可证其它的。
定理思考：一般三角形中的射影定理与正弦定理、余弦定理的等价性思考。