插值法与最小二乘拟合
带插值条件的移动最小二乘曲线拟合
带插值条件的移动最小二乘曲线拟合在数据拟合中，最小二乘法是一种广泛使用的方法。
它通过最小化误差的平方和来确定模型的参数。
但是，在许多实际场景中，数据可能包含噪声或坏点，最小二乘法无法准确地拟合这些数据。
在这种情况下，可以使用带插值条件的移动最小二乘曲线拟合。
移动最小二乘法是一种在数据上实现局部拟合的方法。
通过选择一个移动窗口大小来限制拟合曲线的局部性质，移动最小二乘法可以在每个位置上生成一个近似曲线。
然而，在某些情况下，通过简单的移动最小二乘法拟合曲线可能会过于平滑或过于不光滑，因此不适合应用于某些情况下。
在这种情况下，可以使用带插值条件的移动最小二乘曲线拟合。
这种方法引入了插值条件，以控制拟合曲线的平滑程度。
所谓插值条件，是指在拟合的每个位置上，将拟合曲线与原始数据的值相匹配。
这使得生成的曲线不会跳跃或突变，从而实现更顺滑的过渡。
根据带插值条件的移动最小二乘曲线拟合的过程，可以将其划分为以下步骤：1. 定义拟合窗口大小和拟合阶数在整个数据集中选择一个拟合窗口，将其定义为每个位置需要拟合的数据点的数量。
这个窗口大小可以随着数据间隔的大小而变化，并且可以根据拟合任务的特殊性质进行自定义。
另外，需要选择一个拟合阶数，该阶数定义了用于生成拟合曲线的多项式的次数。
2. 计算每个位置上的拟合参数对于每个移动窗口，可以使用最小二乘法计算多项式系数（即拟合参数），以生成一组拟合曲线。
这些拟合参数是通过求解以下矩阵方程组来获得的：$ \sum_{i=0}^{n} \sum_{j=0}^{m} w_i(x_j-x)^2a_{i+j}=\sum_{i=0}^{n}w_iy_i(x_i-x)^k$在这个方程组中，为了控制拟合的局部性质，只需要考虑在窗口内的数据。
同时，通过加权最小二乘法可以保证使用拟合参数产生的拟合数据与原始数据契合得更好。
在上述方程组中，$x$ 是当前拟合位置，$x_i$ 是在拟合窗口范围内的数据点的位置, $y_i$ 是数据点的值,$w_i$ 是加权系数, $m$ 是拟合阶数， $n$ 是窗口大小。
多项式插值和最小二乘法拟合在原理上的差别
多项式插值和最小二乘法拟合在原理上的
差别
多项式插值和最小二乘法拟合是两种常见的数据拟合方法，它们在原理上有着一些差别。
多项式插值是一种通过已知数据点来构造一个多项式函数的方法，使得该函数在这些数据点上的函数值与给定的数据点相同。
多项式插值的基本思想是通过已知数据点构造一个多项式函数，使得该函数在这些数据点上的函数值与给定的数据点相同。
多项式插值的优点是可以精确地拟合数据，但是当数据点数量较多时，多项式插值的计算量会变得非常大，同时过度拟合的风险也会增加。
最小二乘法拟合是一种通过最小化误差平方和来拟合数据的方法。
最小二乘法拟合的基本思想是通过已知数据点构造一个函数，使得该函数在这些数据点上的误差平方和最小。
最小二乘法拟合的优点是可以在一定程度上避免过度拟合的问题，同时计算量也相对较小。
但是最小二乘法拟合的缺点是无法精确地拟合数据，因为它只是通过最小化误差平方和来寻找一个最优解，而不是通过精确地拟合每个数据点来得到一个解。
因此，多项式插值和最小二乘法拟合在原理上的差别主要在于它们的目标不同。
多项式插值的目标是精确地拟合每个数据点，而最小二乘法拟合的目标是通过最小化误差平方和来得到一个最优解。
在实际应用中，我们需要根据具体的数据特点和需求来选择合适的拟
合方法。
如果数据点数量较少且需要精确地拟合每个数据点，那么多项式插值可能是更好的选择；如果数据点数量较多或需要避免过度拟合的问题，那么最小二乘法拟合可能更适合。
最小二乘曲面拟合插值法
最小二乘曲面拟合插值法1. 引言1.1 背景介绍最小二乘曲面拟合插值法是一种重要的数学建模方法，它在实际工程和科学问题中具有广泛的应用。
背景介绍将从最小二乘法和曲面拟合的基本概念入手，引出最小二乘曲面拟合插值法的重要性和必要性。
在数学建模中，最小二乘法是一种用于拟合数学模型与实际数据之间关系的经典方法。
通过最小化误差的平方和，最小二乘法能够找到最佳的拟合曲线或曲面，从而准确描述数据的分布规律。
曲面拟合则是在二维或三维空间中，用曲面来逼近一组离散数据点的方法，它在地理信息系统、图像处理、计算机辅助设计等领域有着广泛的应用。
最小二乘曲面拟合插值法结合了最小二乘法和曲面拟合的优势，能够更加灵活地适应不规则数据的拟合需求。
通过在曲面上插值数据点，可以得到更加平滑和连续的曲面模型，提高了数据的分析和预测精度。
在接下来的将详细介绍最小二乘曲面拟合插值法的原理、算法流程、应用领域以及优缺点，以便更好地理解和运用这一重要的数学建模方法。
1.2 研究目的研究目的是通过最小二乘曲面拟合插值法，实现对给定数据集的曲面拟合，从而可以更准确地预测未知数据点的值。
目前，曲面拟合在许多领域都有着广泛的应用，比如地理信息系统中的地形建模、工程领域中的曲面设计等。
我们的研究目的是探讨最小二乘曲面拟合插值法的原理和方法，分析其在实际应用中的优缺点，为实际工程和科学研究提供一种更精确的曲面拟合方法。
我们希望通过本研究，能够为相关领域的研究者和实践者提供一个有效的工具，帮助他们更好地解决曲面拟合问题，提高数据预测的准确性和可靠性。
最终的目的是推动科学技术的发展，促进社会的进步和发展。
2. 正文2.1 最小二乘曲面拟合方法最小二乘曲面拟合方法是一种在数学建模和数据分析中常用的技术，它可以通过拟合数据点来找到最佳的曲面模型。
最小二乘曲面拟合方法的核心思想是通过最小化误差的平方和来求解最优的曲面参数，从而使得拟合曲面与实际数据点尽可能接近。
插值法与最小二乘拟合
5
证 由于Rn(xi) = (xi)-Pn(xi) =0 (i=0,1,…,n), 所以设
Rn(x)=K(x)n+1(x)
对于任一x[a,b],x xi(i=0,1,2,…,n),构造函数 (t)=f(t)-Pn(t)-K(x)n+1(t)
则有
(xi)=0 (i=0,1,2,…,n), (x)=0
4.1.2 插值多项式的截断误差
定理 设(n)(x)在[a,b]连续, (n+1)(x)在(a,b)内存在,在节点a x0<x1<…<xn b上, 满足插值条件(4.2)的插值多项式Pn(x),对 任一x[a,b],插值余项为
Rn (x)
f ( x) Pn ( x)
f (n (n
1) ( )
1)!
ln11.25L2(11.25)
(11.25 11)(11.25 12) 2.302585 (10 11)(10 12)
(11.25 10)(11.25 12) (11 10)(11 12)
2.397895
(11.25 10)(11.25 11) (12 10)(12 11)
xk+1 x
9
待定系数
求 lk-1(x):
令lk 1( x) A ( x xk ) ( x xk 1) ,
由
ll
k k
1( xk ( xk )
1) 1,
1,
lk1( xk ) lk1( xk1 ) 0; l k(xk 1) l k( xk 1) 0;
l
k
1( xk 1)
L2( x j ) = y j
(i, k 0,1,, n)
可知 lk ( x) Ak ( x x0 )( x xk 1 )( x xk 1 )( x xn ),
第11章 函数插值与最小二乘拟合
第11章 函数插值与最小二乘拟合一、 插值的基本概念设函数y=f(x)在区间[a,b]上连续，已知它在[a,b]上n+1 个互不相同的点x 0、x 1、x 2、…、x n 处的函数值为y 0、y 1、y 2、…、y n 。
如果多项式P(x)在点x k 上满足P(x k )=y k (k=0,1,2,…,n)，则称P(x)是函数y=f(x)的插值多项式，x k 称为插值点，包含插值节点的区间[a,b]叫插值区间，函数y=f(x)叫做被插值函数。
在区间[a,b]上用多项式P(x)逼近函数y=f(x)，在插值点x k 上有f(x k )= P(x k )，此外在其它点上都可能有误差，记误差项为R(x),R(x)=f(x)－P(x)，R(x)是插值多项式的余项，表示用P(x)近似f(x)的截断误差大小。
一般地，|R(x)|越小，近似程度就越好。
P(x)＝A 0+A 1x+A 2x 2+……。
二、拉格朗日插值多项式 1．线性插值已知函数f(x)在区间[x 0，x 1]两端点上对应的函数值分别为y 0=f(x 0)，y 1=f(x 1)即已知点(x 0，y 0) 与(x 1，y 1)，试求x 对应的函数y 值。
用图示的直线来作近似，其直线方程为：)()(0019101x x x x y y y x P y ---+== 上式可变形为：101001011)(y x x x x y x x x x x P y --+--==线性插值多项式P 1(x)是由两个关于x 的线性函数 1010)(x x x x x l --=、101)(x x x x x l --=的线性组合，其中)(0x l 、)(1x l 称为线性插值基函数，其系数分别是函数值y 0和y 1,即线性插值函数可写为：1100)()(y x l y x l y +=,其中)(0x l 、)(1x l 在节点上的函数值为：)(00x l =1，)(10x l =0；)(01x l =0，)(11x x l =1例1：求lg12的近似值 解：已知y=lgx 的值为（10,1），（20,1.3010）即x 0=10,y 0=1,x 1=20,y 1=1.3010201020)(0--=x x l 102010)(1--=x x l则有：1100)()(y x l y x l y +==1×201020--x +1.3010×102010--x=0.0301x+0.6990当x=12时,有y(12)=0.0301×12+0.6990=1.0602 2.二次插值已知三点(x 0, y 0)，(x 1, y 1)， (x 2, y 2)，试求x 对应的函数y 值，即二次插值多项式（用一条抛物线逼近函数y=f(x)）：y=P 2(x)＝A 0+A 1x+A 2x 2y=P 2(x)=y 0l 0(x)+y 1l 1 (x)+y 2l 2(x) 其中基函数为：))(())(()(2010210x x x x x x x x x l ----=))(())(()(2101201x x x x x x x x x l ----=))(())(()(1202102x x x x x x x x x l ----=满足：（1）它们都是二次函数；（2）)(00x l =1, )(10x l =0, )(20x l =0；)(01x l =0，)(11x l =1，)(21x l =0；)(02x l =0，)(12x l =0，)(22x l =1。
2 多项式插值与最小二乘拟合
n 1 ( x) 尽可能小！
(3) 对于不超过n次的多项式，其n阶插值多项式就是其本身！
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2 拉格朗日(Lagrange)插值 定义： 设n次多项式lj(x) ( 满足 j 0 , 1 , 2 , , n )
7
则 ( t ) 以 x , x , x , x 为零点， 0 1 n
由罗尔定理可知， (n1) (t)在(a,b)内至少有一个零点，记作 即
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，
( ) f ( ) K ( x )( n 1 ) ! 0
( n 1 ) ( n 1 )
f (n1)( ) K (x ) (n1 )!
得证！ #
(a ,b )且依赖于 其中
x ，
注： M n 1 (1) 若 M max f ( x ) , 则 R ( x ) ( x ) ; n n 1
a x b
( n 1 )!
(2) 在实际计算时插值节点应尽量选在插值点x的附近，以使
则称 { 为[a,b]上的线性无关函数系。 ( x ) | k 0 , 1 , 2 , } k
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代数(多项式)插值问题
最小二乘拟合问题
4
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代数(多项式)插值问题
1、概述； 2、拉格朗日插值；
3、分段插值
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1 代数插值概述 取函数空间为不超过n阶的多项式集合 Φ n ，这样的插值问题称 x ) Φ 为代数(多项式)插值问题，即求 p n( n ，
则相应的问题称为插值问题，上述条件称为插值条件， p(x) —— 插值函数， x —— 插值节点； i 0 , 1 , , n ) i( 若要求
最小二乘法拟合插值法精品PPT课件
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1
Xi
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i 1 i 1
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7XiXi 27Xi 3i 1 i 1
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Xi 2
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Xi 3
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步骤5：根据该求导公式，在Excel 中利用SUM与SUMPRODUCT命令分别求 出：
7 Yi
i 1
7 YiXi
i 1
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YiXi
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i 1
步骤6：将求得的数列进行逆矩阵 计算，如图：
最小二乘法拟合插值法
步骤1：根据X与Y对应的值，插入散点 图并做出趋势图，如图：
步骤2：从该图可以看出最接近 这7个点的趋势线为抛物线，所以 设该抛物线方程为：
Y=(A0+A1*X+A2*X2)
步骤3：分别对方程中的A0,A1,A2 进行求导，可得：
步骤4：根据该求导公式，在Excel 中利用SUM与SUMPRODUCT命令分别求 出：
步骤7：将求得的逆矩阵与矩阵B相 乘，求得根，如图：
写在最后
成功的基础在于好的学习习惯
The foundation of success lies in good habits
9
谢谢聆听
·学习就是为了达到一定目的而努力去干, 是为一个目标去 战胜各种困难的过程,这个过程会充满压力、痛苦和挫折
Learning Is To Achieve A Certain Goal And Work Hard, Is A Process To Overcome Various Difficulties For A Goal
第3章插值法与最小二乘法1_
2 n P ( x ) a a x a x a x --------(2) n 0 1 2 n
且满足
P ( x ) y i 0 , 1 , 2 , , n --------(3) n i i
8
即多项式 P ( x ) 的系数 a , a , a , , a 满足线性 n 0 1 2 n
§ 3.7 数据拟合
1
本章要点 用简单的函数(如多项式函数)作为一个 复杂函数的近似,最简单实用的方法就是 插值,而数据拟合则是另外一类的函数近 似问题. 本章主要介绍有关插值法的一些基本概念, 及多项式插值的基础理论和几个常用的插 值方法:Lagrange插值、分段线性插值、 Newton插值、Hermite插值和三次样条插值 在本章的最后介绍了拟合的最小二乘法
本章作业
P122.
2. 5. 19, 20 ,
10. 11. 16. 25. 27.
2
为了计算函数值或分析函数的性态, 必须首先产 生函数可计算的近似式. 函数的插值与数据拟合的
最小二乘法就是研究如何用简单函数为各种离散数
据建立连续模型,为各种非有理函数提供好的逼近,
使它们既能达到精度要求, 又使计算量尽可能小. 插
并 且 用 P () x 近 似 代 替 fx () .
这就是插值问题, (1)式为插值条件,
称函数 P ( x ) 为函数 f( x ) 的插值函数
点 x 0 , 1 , 2 , ,n ,称为插值节点 i ,i
区间 [a, b]称为插值区间
如函数 y sin x , 若给定 [ 0 , ] 上 5 个等分点
插值与拟合（最小二乘法）
二者区别：插值必须精确的经过所给定的点 x,f(x); 但是拟合不需要，拟合允许f(x) , p(x) 之间有误差的存在，但是误差不能太大，要尽可能的 小， 到底怎么来最小化误差，可以： error = |f(x) - p(x)|, min(error), 或者 min(error^2)........ 因为最小化误差的平方和， 所以叫 least square method, 其实翻译的不好，应该叫 最小平方和法。。。。。。
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插值与拟合（最小二乘法）
插值与拟合都是给பைடு நூலகம்一组y = f(x)数据的前提下，用函数 p(x) 近似表示 f(x)的方法；
插值用很多种方法，比如多项式插值，三角函数插值等，意思就是选取哪种函数作为插值的函数； 拟合方法很多，其中包括最小二乘法等；
插值与拟合算法分析
插值与拟合算法分析在数学与计算机科学领域，插值与拟合算法是两种常用的数据处理技术。
插值算法通过已知数据点之间的内插来估算未知数据点的值，而拟合算法则通过求取最佳拟合曲线或函数来逼近已知数据点。
本文将对插值与拟合算法进行详细分析，并比较它们在不同应用中的优缺点。
一、插值算法插值算法主要用于通过已知数据点之间的内插来估算未知数据点的值。
常用的插值算法包括拉格朗日插值、牛顿插值、样条插值等。
这些算法根据插值函数的不同特点，适用于不同类型的数据处理。
1. 拉格朗日插值拉格朗日插值是一种基于代数多项式的插值方法。
它通过构造一个全局多项式函数来拟合已知数据点，并推导出未知数据点的估算值。
拉格朗日插值算法具有简单易懂、计算效率高等优点，但在处理大量数据点时可能会出现龙格现象，导致插值结果有一定误差。
2. 牛顿插值牛顿插值是一种基于差商的插值方法。
它通过计算差商的递推关系，构造一个分段多项式函数来拟合已知数据点。
相比于拉格朗日插值，牛顿插值算法具有更高的数值稳定性和精度，并且可以方便地进行动态插值。
3. 样条插值样条插值是一种基于分段函数的插值方法。
它将整个数据区间划分为若干小段，并使用不同的插值函数对每一段进行插值。
样条插值算法通过要求插值函数的高阶导数连续，能够更好地逼近原始数据的曲线特征，因此在光滑性较强的数据处理中常被使用。
二、拟合算法拟合算法主要用于通过最佳拟合曲线或函数来逼近已知数据点。
常用的拟合算法包括最小二乘拟合、多项式拟合、非线性拟合等。
这些算法可以使拟合曲线与已知数据点尽可能地接近，从而进行更精确的数据分析和预测。
1. 最小二乘拟合最小二乘拟合是一种通过最小化残差平方和来求取最佳拟合曲线的方法。
它利用数据点与拟合曲线的差异来评估拟合效果，并通过求取最小残差平方和的参数值来确定拟合曲线的形状。
最小二乘拟合算法广泛应用于线性回归和曲线拟合等领域。
2. 多项式拟合多项式拟合是一种通过多项式函数来逼近已知数据点的方法。
数据拟合方法范文
数据拟合方法范文数据拟合是指利用已知的观测数据，通过建立数学模型，找到最能描述这些数据的函数关系。
数据拟合方法在科学研究、工程设计、统计分析等领域都有广泛的应用。
下面将介绍几种常用的数据拟合方法。
1.最小二乘法：最小二乘法是一种常用且经典的数据拟合方法。
它的基本思路是求解使观测数据与拟合函数之间的残差平方和最小的参数估计值。
通过最小化残差平方和，可以使拟合函数最佳地拟合已知数据。
最小二乘法可以应用于线性拟合、非线性拟合以及多项式拟合等多种情况。
2.插值法：插值法是一种通过已知数据点之间的连续函数来估计其他位置上的数值的方法。
插值法通过构造一个合适的插值函数，将已知的数据点连接起来，使得在插值函数上的数值与已知数据点的数值一致。
常用的插值方法包括拉格朗日插值法、牛顿插值法、分段线性插值法等。
3.曲线拟合：曲线拟合是一种利用已知的散点数据来拟合一个曲线的方法。
曲线拟合可以应用于各种类型的数据，包括二维曲线、三维曲面以及任意高维的数据拟合。
曲线拟合方法包括多项式拟合、指数拟合、对数拟合、幂函数拟合等。
4.非参数拟合：非参数拟合是一种在拟合过程中不对模型形式作任何限制的方法。
非参数拟合不依赖于已知模型的形式，而是利用数据自身的特征来对数据进行拟合。
常用的非参数拟合方法包括核密度估计、最近邻估计、局部回归估计等。
5.贝叶斯拟合：贝叶斯拟合是一种利用贝叶斯统计方法进行数据拟合的方法。
贝叶斯拟合通过将已知的先验信息与观测数据结合起来，得到拟合参数的后验分布。
贝叶斯拟合可以有效地利用先验信息来改善参数估计的准确性，并且可以对参数的不确定性进行量化。
在实际应用中，选取适合的数据拟合方法需要考虑多个因素，包括数据类型、数据规模、拟合模型的复杂度等。
不同的拟合方法有不同的假设和限制条件，因此需要根据具体情况选择最适合的方法。
在使用数据拟合方法进行拟合时，也需要进行模型验证和评估，以确定拟合模型的有效性和可靠性。
数值分析—第4章 插值法与最小二乘拟合法
n a0 a1 x0 a n x0 y0 , n a0 a1 x1 a n x1 y1 , a a x a x n y , 1 n n n n 0
x
y
x0
其中 l0(x)和l1(x)满足： l0(x)+ l1(x)≡1.
实质上l0(x)和 l1(x) 满足函数表
x
y
x0
x1
x1
1
0
0
1
l0(x0)=1, l0(x1)=0, l1(x0)=0, l1(x1)=1, 称l0(x)和l1(x)为以x0, x1为节点的基本插值多项式，也称为线
性插值的插值基函数 。
2013年12月21日10时39分 第5章 插值法与最小二乘拟合法 15
数值分析
例 造数学用表 ——平方根表
给定函数在100、121两点的平方根如下表，试用线性 插值求115的平方根。
x y 100 10 121 11
解 x0=100, x1=121, x=115
x x0 x x1 P ( x) y0 y 1 1 x0 x1 x x 1 0
115 121 115 101 115 P (115) 10 11 10.914 1 100 121 121 100
2013年12月21日10时39分
第5章 插值法与最小二乘拟合法
16
数值分析
n = 2 抛物线（二次）插值: (三点二次插值） 1. 定义 已知f(x)在三个互异点x0 ,x1 ,x2的函数值y0 ,y1 ,y2
数值计算方法CH插值法与最小二乘法数据拟合的最小二乘法
i0
(1,0 )
6
6
(1,1) i1(xi )1(xi ) xi2 3.64
i0
i0
6
6
( f ,0 ) i yi0 (xi ) yi 25.1
i0
i0
6
6
( f ,1) i yi1(xi ) yi xi 20.18
i0
i0
得法方程组：
7 4.2
34.6.24
a0 a1
2 2
m
i (S (xi ) yi )2
m
n
i (
a j j (xi ) yi )2
i0
i0
j0
为拟合系数 a j ( j 0,1的,函, n数) .因此,可设平方误差为:
m
n
(a0 , a1,, an ) i ( a j j (xi ) yi )2
i0
j0
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求最小二乘解 S *(的x) 问题
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一、最小二乘法的基本概念
根据上述实例图中测试点的分布情况,可以画出很多条靠 近这些点的直线,其方程都可表示为：
S(t) at b
(1)
其中: a, b 待定.要从形如(1)式的所有直线中,找出一条用某种 度量标准来衡量最靠近所有数据点 (ti , si ) (的i 直0,1线,...,.m)
9
8
7
6
5
4
3
2
1
1
2
3
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6
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8
9
10
可见:纤维强度随拉伸倍数增加而增加,并且24个点大致分 布在一条直线附近.
因此可以认为强度S 与拉伸倍数t 的关系近似满足线性关系
多项式插值和最小二乘法拟合在原理上的差别
多项式插值和最小二乘法拟合在原理上的差别
多项式插值和最小二乘法是统计学中常见的两种拟合方法，它们都可以通过数学模型来拟合样本数据，但它们的原理却有很大的差别。
首先，多项式插值是基于拉格朗日插值法或牛顿插值法的，在已知一些数据点的情况下，需要找到一条连接这些点的光滑曲线。
多项式插值的原理是使用一个多项式来拟合这些点，其中多项式的系数可以通过求解方程组得到。
多项式插值的优点是可以完美地通过给定的数据点，而且拟合的曲线不会超过这些点。
然而，多项式插值也有它的局限性。
首先，多项式插值只是在给定数据点之间进行插值，并不能在数据点范围之外拟合数据。
其次，高阶多项式插值在数据过于偏离给定点时会出现振荡情况，造成过拟合的问题。
相反，最小二乘法拟合是一种更加灵活的方法，可以通过参数来拟合任何形状的曲线，而不受数据点所限制。
基于最小二乘法的拟合，目标是通过最小化残差平方和来找到最适合的曲线，从而通过给定的数据点来建立一个数学模型。
最小二乘法拟合的优点是可以对任意函数进行拟合，并且对数据的无噪声和有噪声错误的处理有很好的鲁棒性和准确性。
另外，最小二乘法拟合也可以通过增加复杂度来解决多项式插值的局限性，如引入正则化项。
总的来说，多项式插值和最小二乘法拟合都是统计学中经典的拟合方法，它们拥有各自的优缺点，在实际应用中需根据具体的问题和数据进行选择。
插值法与最小二乘法
1.3 n = 1时. 设yi = f(xi) i = 0，1.
作直线方程：y
=
y0
+
y1 x1
− −
y0 x0
(x
−
x0 )
[ ] = 1
x1 − x0
y0 ( x1 − x0 ) + y1( x − x0 ) − y0 ( x − x0 )
[ ] = 1
Rn ( x)
≤
M n+1 (n + 1)!
ωn+1( x) .
② 对于指定x，当节点数m大于插值点数时，应选取
靠近x的节点构造插值多项式，以使ωn+1( x) 中诸因子
较小，从而 |Rn|较小。
作业 p116 1，3，4
§4 牛顿插值
Lagrange插值优点：对称，便
改写L1，L2 ：
于记忆和编程； 缺点：每增加一个节点，须全
L2 (x) =
f ( x0 ) +
f
(
x1 ) x1
− −
f( x0
x2
)
(
x
−
x0
)
+
x2 − x0
x1 − x0
(x2 − x1 )
(x − x0 )(x − x1 )
记
f [x, y] = f ( y) − f (x) , f [x, y, z] = f [x, z]− f [x, y]
y− x
− −
x0 )( x − x2 ) x0 )( x1 − x2 )
y1
+
(x ( x2
− −
x0 )( x − x1 ) x0 )( x2 − x1 )
了解测绘技术中的最小二乘法与样条插值方法
了解测绘技术中的最小二乘法与样条插值方法在测绘技术中，经常需要通过采集一系列离散的测量数据来建立可靠的地理信息系统。
然而，由于测量仪器的限制和实际测量过程中的误差，采集到的数据通常是不完整和不准确的。
为了解决这个问题，测绘学家们研究出了许多数据处理和分析的方法，其中最小二乘法和样条插值方法是最常用的两种。
最小二乘法是一种数学优化方法，通过最小化残差平方和来求解未知参数。
在测绘学中，最小二乘法被广泛应用于对测量数据进行拟合和调整。
通过最小二乘法可以得到最佳拟合曲线或曲面，从而提高测量数据的精度和可靠性。
最小二乘法的基本思想是，选择合适的函数形式，使得拟合曲线与测量数据之间的误差最小。
在实际应用中，常用的最小二乘拟合函数包括线性、多项式和指数函数等。
样条插值方法则是一种用于估计数据在未知位置上的值的数学技术。
在测绘学中，样条插值方法被广泛应用于地形表面重建和数字高程模型的生成。
样条插值通过在已知数据点之间构造连续的插值函数来估计未知点的值。
与最小二乘法不同的是，样条插值方法不仅关注拟合曲线与数据点的误差，还考虑了曲线的光滑性和变化性。
这使得样条插值方法能够更好地体现地形表面的连续性和变化特征。
最小二乘法和样条插值方法在测绘技术中的应用是非常广泛的。
以数字高程模型(Digital Elevation Model, DEM)的生成为例，通过采集地面测量数据和航空遥感数据，可以得到一系列离散的高程数值。
然而，由于地面地形的复杂性和数据采集的局限性，这些离散的数据通常不能直接反映地形的真实形态。
因此，需要通过最小二乘法或样条插值方法来建立高程模型，并进一步生成全面、连续和精确的地形表面。
在最小二乘法中，可以通过选择合适的拟合函数和调整参数来实现数据的拟合。
例如，在建立高程模型时，可以采用一阶多项式函数来拟合地形的线性变化特征。
另外，为了进一步提高拟合的精度，还可以采用高阶多项式函数或其他复杂的函数形式。
在调整参数时，最小二乘法可以通过迭代算法来求解，确保拟合的误差最小化。
数值分析中的插值与拟合
数值分析中的插值与拟合插值和拟合是数值分析中常用的技术，用于估计或预测数据集中缺失或未知部分的数值。
在本文中，我们将讨论插值和拟合的概念、方法和应用。
一、插值插值是通过已知数据点之间的连续函数来估计中间数据点的数值。
插值方法可以根据不同的数据和需求选择合适的插值函数，常用的插值方法包括拉格朗日插值、牛顿插值和埃尔米特插值。
1.1 拉格朗日插值拉格朗日插值是一种基于多项式的插值方法。
通过已知的n个数据点，可以构建一个n-1次的插值多项式。
这个多项式通过已知数据点上的函数值来准确地经过每一个点。
1.2 牛顿插值牛顿插值方法也是一种多项式插值方法，通过差商的概念来构建插值多项式。
差商是一个递归定义的系数，通过已知数据点的函数值计算得出。
牛顿插值可以通过递推的方式计算出插值多项式。
1.3 埃尔米特插值埃尔米特插值是一种插值方法，适用于已知数据点和导数值的情况。
它基于拉格朗日插值的思想，通过引入导数信息来逼近数据的真实分布。
埃尔米特插值可以更准确地估计数据点之间的值，并且可以保持导数的连续性。
二、拟合拟合是通过一个模型函数来逼近已知数据点的数值。
拟合方法旨在找到最适合数据集的函数形式，并通过最小化误差来确定函数的参数。
常见的拟合方法包括最小二乘法、多项式拟合和曲线拟合。
2.1 最小二乘法最小二乘法是一种常用的拟合方法，通过最小化数据点到拟合函数的误差平方和来确定最佳拟合曲线或曲面。
最小二乘法适用于线性和非线性拟合问题，可以用于拟合各种类型的非线性函数。
2.2 多项式拟合多项式拟合是一种基于多项式函数的拟合方法。
通过多项式的线性组合来近似已知数据集的数值。
多项式拟合可以通过最小二乘法或其他优化算法来确定拟合函数的系数。
2.3 曲线拟合曲线拟合是一种用曲线函数来逼近已知数据点的拟合方法。
曲线函数可以是非线性的，并且可以根据数据的特点进行选择。
曲线拟合可以通过优化算法来确定拟合函数的参数。
三、应用插值和拟合在数值分析中有广泛的应用。
插值法与最小二乘法
二次插值
总结词
二次插值通过构造二次多项式来逼近已知的数据点，以提高插值的精度。
详细描述
二次插值利用已知的多个数据点来拟合一个二次多项式，然后通过该多项式计算 新的x值对应的y值。这种方法在数据点分布较为复杂时能提供更准确的插值结果 。
立方插值
总结词
立方插值通过构造三次多项式来逼近已知的数据点，进一步 提高了插值的精度。
最小二乘法
适用于回归分析，即根据已知数据点 ，拟合一条最佳拟合线或曲线，预测 新数据点的趋势。例如，根据历史销 售数据预测未来销售额。
计算复杂度比较
插值法
计算复杂度相对较低，因为只需要计 算已知数据点之间的线性关系。
最小二乘法
计算复杂度较高，因为需要求解一个 线性方程组来找到最佳拟合线或曲线。
结果准确性比较
数据降维
最小二乘法可以用于主成分分析等降维方法，提取数 据的主要特征。
在工程计算中的应用
工程设计
插值法和最小二乘法在工程设计 中用于计算材料强度、应力分布 等参数，提高设计精度和可靠性。
系统仿真
在系统仿真中，插值法和最小二 乘法用于逼近系统响应函数，模 拟系统行为。
测量数据处理
在测量数据处理中，插值法和最 小二乘法用于处理离散测量数据， 提高测量精度和可靠性。
函数逼近
数值积分
插值法可以用于数值积分，通过插值 多项式来近似积分函数，提高积分精 度。
插值法可以用于逼近已知数据点的函 数，通过插值多项式来近似未知函数。
在数据分析中的应用
数据拟合
最小二乘法用于拟合数据，找到最佳拟合直线或曲线， 使得数据点与拟合线之间的误差平方和最小。
数据预测
通过最小二乘法拟合数据后，可以预测未来数据点的 值，为决策提供依据。
多项式插值与最小二乘拟合(12)
lk +1( x) =
插值多项式：
( x − xk −1)(x − xk ) ( xk +1 − xk −1)(xk +1 − xk )
p2 ( x) = yk −1lk −1 ( x) + yk lk ( x) + yk +1lk +1 ( x)
10 North China Elec. P.U.
School of Math. & Phys.
通常， (1) |f(n+1)(x)|的值，常常随n的增加呈指数级增长，比(n+1)!快 得多！ (2)
f ( n +1) (ξ ) Rn ( x) = ( x − x0 )( x − x1 )L ( x − xn )， (n + 1)!
ωn+1(x) = (x − x0 )(x − x1)L(x − xn ) 的值，在 x0 , x1 ,L , xn 的均 x 值附近比较小，而在边界 x0、 n 的附近随n的增加而增加。
6 North China Elec. P.U.
School of Math. & Phys.
Numerical Analysis
2012-5-22
J. G. Liu
显然以 pn ( x )作为 f ( x )在插值点 插值点
x 处的近似值是有误差的，记
—— 插值余项 插值余项。
Rn ( x) = f ( x) − pn ( x)
x
y
x0
y0
x1
y1
L
L
xn
yn
Hale Waihona Puke 为了得到 y = f (x ) 的更多信息， 我们首先要确定一个函数 空间 Φ ，在该函数空间中寻找 y = f (x) 的近似函数 p (x ) 。 根据寻找策略的不同，我们有插值问题 最佳平方逼近问题 插值问题和最佳平方逼近问题 插值问题 最佳平方逼近问题。
插值法与最小二乘法
样条插值
样条插值是一种更复杂的插值方法，通过构造样条函数（如多项式样条、 立方样条等）来逼近数据点。
样条插值通过已知的多个点确定一个样条函数，然源自利用这个样条函数来 计算其他点的值。
样条插值的优点是精度高，适应性强，但计算速度较慢，且需要更多的数 据点。
05
最小二乘法的具体实现
普通最小二乘法
定义
插值法的优缺点
插值法简单易行，能够快速得到未知点的估计值。但是，插值法假设数据点之间存在线性关系，对于 非线性数据可能存在较大的误差。此外，插值法无法给出估计值的精度和不确定性。
最小二乘法案例分析
最小二乘法在回归分析中的应用
最小二乘法是一种常用的回归分析方法，通过最小化预测值与实际值之间的平方误差，来估计回归参数。例如， 在金融领域，可以使用最小二乘法对股票价格进行回归分析，预测未来的股票走势。
应用场景比较
插值法
插值法适用于已知数据点之间存在线性或非线性关系的情况，尤其适用于需要 快速估算未知数据点的情况。在科学计算、工程技术和金融领域都有广泛应用。
最小二乘法
最小二乘法适用于需要找到最佳函数匹配的情况，特别是当观测数据受到随机 误差影响时。在统计学、经济学、社会学等领域中，最小二乘法被广泛应用于 回归分析。
型的数据。
最小二乘法的缺点
最小二乘法对于存在多 重共线性的自变量较为 敏感，可能会导致模型 过拟合。此外，最小二 乘法假设误差项是随机 且相互独立的，这在某 些情况下可能不成立。
04
插值法的具体实现
线性插值
01
线性插值是最简单的插值方法，适用于数据点之间变化不大的 情况。
02
线性插值通过两点确定一条直线，然后利用这条直线的斜率和
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科学实验，统计分析，获得大量数据
xi x0 x1 x2 yi y0 y1 y2
xn
(n很大)
yn
确定y与x之间的近似表达式
方法一 插值。几何上，插值曲线经过所有点
方法二 曲线拟合。求一连续曲线y ( x), 使得
n
误差Q
[ ( xi )
i0
yi
]2达到最小或Q＝max 0 i n
y1
a0
a1 xn
a
2
x
2 n
an
x
n n
yn
x0 x0n
1
x1
x1n
x0
xn
x
n n
x
n 0
11
x1
xn
(x j
0i jn
xi ) 0
x1n
x
n n
4
结论 给定n+1个互异节点x0,x1,…,xn上的函数值y0,y1,…,yn,则满足插值条件(4.2)的n次插值多项式Pn(x)是存在且唯一的.
f (n (n
1) ( )
1)!
n
1
(
x
)
6
注意
Rn (x)
f ( x) Pn ( x)
f (
(n1) ( )
n 1) !
n
1
(
x),
• 余项表达式仅当 存在时才能应f (用n，1) (且x是) 唯一的。
• 在( a , b ) 内的具体位置通常不能给出。
• 若有
max
a xb
f,则(n截1断)(误x差) 限是Mn1
(4.2)
称y=(x)为被插值函数; 称P(x)为插值函数; 称x0,x1 ,…,xn为插值节点; 称式(4.2)为插值条件; 寻求插值函数P(x)的 方法称为插值方法.
在构造插值函数时, 函数类P的不同选取, 对应不同的插值方法, 这里主要讨论函数类P是代数多项式,即所谓的多项式插值.
2
x
y = f (x)
节点上的线性 插值基函数：
lk(x)
x xk1 xk xk1
,
l k1( x)
3
用Pn表示所有次数不超过n的多项式函数类,若Pn(x) Pn ,则 Pn(x)=a0+a1x+…+anxn
其系数行列式为
1 1 D 1
是由n+1个系数唯一确定的.若Pn(x)满足插值条件(4.2),
则有
a0
a1 x0
a
2
x
2 0
an
x
n 0
y0
a
0
a1 x1 a2 x12 an x1n
n
1
(
x)
(4.4)
其中(a,b)且与x有关.
n1 ( x) ( x x0 )( x x1 )( x xn )
分析：
要证 Rn (x)
f ( x) Pn ( x)
f (n1) ( )
(n 1) !
n1( x), 其中
(a, b).
因 为 (a, b)不 确 定 ，用Rolle定 理, 且 采 用 构 造 法 。
求线性插值
L1 ( xk ) yk , L1 ( xk1 ) yk1 .
L1( x )
yk
yk 1 yk xk 1 xk
( x xk )
或
L1( x)
x xk1 xk xk1
yk
x xk xk1 xk
yk 1
线性函数
lk(x)
x xk1 xk xk1
,
l k1( x)
x xk xk1 xk
若f(x)为次数不高于n次的多项式,
则f(n+1)(ξ) =0,
从而Rn(x)=0.
7
4.1.3 拉格朗日(Lagrange)插值
一、线性插值与抛物线插值
1、线性插值(n =1)
设已知区间[ xk , xk+1]端点处的函数 值yk= f (xk)，yk+1 = f (xk+1)，
多项式L1(x ) ，使其满足
x y = L1(x)
0
xk
xyk+1
点y(xk , Lyk)1的(与x几()x何k+意1, 义yk—+1)—的过直两线
L1(x)是两个线性函数的线性 组合
称为节点上线性插值基函数
L1( x) yk l k ( x) yk 1 lk 1( x) (4. 8)
8
L1( x) yk l k ( x) yk 1 lk 1( x) (4. 8)
4.1.2 插值多项式的截断误差
定理 设(n)(x)在[a,b]连续, (n+1)(x)在(a,b)内存在,在节点a x0<x1<…<xn b上, 满足插值条件(4.2)的插值多项式Pn(x),对 任一x[a,b],插值余项为
Rn (x)
f ( x) Pn ( x)
f (n (n
1) ( )
1)!
5
证 由于Rn(xi) = (xi)-Pn(xi) =0 (i=0,1,…,n), 所以设
Rn(x)=K(x)n+1(x)
对于任一x[a,b],x xi(i=0,1,2,…,n),构造函数 (t)=f(t)-Pn(t)-K(x)n+1(t)
则有
(xi)=0 (i=0,1,2,…,n), (x)=0
•
(xi, yi)
多项式插值,从几何上看就是要求过n+1个点(xk ,yk) (k=0,1,…,n)的 n次代数曲线y=Pn(x)作为(x)的近似.
0
a=x0 x1 x2 x3
y
xn=b
y = p(x)
曲线 P ( x) 近似 f ( x)
研究问题：
（1）满足插值条件的P ( x) 是否存在唯一？ （2）若满足插值条件的P(x) 存在，如何构造P ( x)？ （3）如何估计用P (x)近似替代 f ( x) 产生的误差？ （4）P (x)是否收敛于 f ( x) ？
即,(t)在[a,b]至少有由n+R2o个lle零定点理.可知(t)在[a,b]至少有n+1个零点,
反复应用Rolle定理知(n+1)(t)在[a,b]至少有1个零点,
于是
0=(n+1)()=(n+1)()
因而有
K ( x) f (n1) ( ) ,
(n 1)!
-K(x) (n+1)!
所以
Rn (x)
Rn( x)
Байду номын сангаас
M n1 (n 1)!
n 1(
x
)
.
n
n1(x) ( x xk ) k0
从而 | Rn ( x) | 的大小与 Mn1和 | n1( x) | 有关，因此在 n 和 x [a, b]
给定的情况下，n 1个插值节点的选择应使 |n1( x) | 尽可能小。
• n次插值多项式对次数不高于n次的多项式完全精确。
( xi )
yi
达最
小。
1
4.1 多项式插值
设函数y=(x)在区间[a,b]上连续，给定n+1个不同点 a x0 < x1 < … < xn b
已知f(xk)=yk(k=0,1,…,n),在函数类P中寻找一函数P(x)作为(x)的近似表达式,使满足
P(xk)=f(xk)=yk ,k=0,1,…,n