高一数学(方程的根与函数的零点 习题课)
人教版数学高一-必修一训练方程的根与函数的零点(教师版)
(本栏目内容，在学生用书中以活页形式分册装订！)一、选择题(每小题5分，共20分)1．函数f (x )＝x －4x 的零点有( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．无数个解析： 令f (x )＝0，即x －4x ＝0.∴x ＝±2.故f (x )的零点有2个，选C.答案： C2．函数f (x )＝ax 2＋2ax ＋c (a ≠0)的一个零点是－3，则它的另一个零点是() A ．－1 B ．1C ．－2D ．2解析： 由根与系数的关系得－3＋x ＝－2aa ，∴x ＝1.即另一个零点是1，故选B.答案： B3．设函数f (x )＝x 3－⎝⎛⎭⎫12x －2的零点为x 0，则x 0所在的区间是( )A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(2,3)D ．(3,4)解析： 方法一：令f (x )＝x 3－⎝⎛⎭⎫12x －2，则f (0)＝0－⎝⎛⎭⎫12－2＝－4<0，f (1)＝1－⎝⎛⎭⎫12－2＝－1<0，f (2)＝23－⎝⎛⎭⎫120＝7>0，f (3)＝27－⎝⎛⎭⎫121＝2612>0，f (4)＝43－⎝⎛⎭⎫122＝6334>0，∴f (1)·f (2)<0，故x 0所在的区间是(1,2)．方法二：数形结合法，如图所示．答案： B4．已知x 0是函数f (x )＝2x ＋11－x 的一个零点．若x 1∈(1，x 0)，x 2∈(x 0，＋∞)，则() A ．f (x 1)＜0，f (x 2)＜0 B ．f (x 1)＜0，f (x 2)＞0C ．f (x 1)＞0，f (x 2)＜0D ．f (x 1)＞0，f (x 2)＞0解析： y ＝2x 在(1，＋∞)上是增函数y ＝11－x 在(1，＋∞)上是增函数∴f (x )＝2x ＋11－x 在(1，＋∞)上是增函数．∴y ＝f (x )只有x 0一个零点∴x 1<x 0时，f (x 1)<0x 2>x 0时，f (x 2)>0.故选B.答案： B二、填空题(每小题5分，共10分)5．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋2x －3，x ≤0，－2＋ln x ，x >0零点的个数为________．解析： x ≤0时，令x 2＋2x －3＝0解得x ＝－3x ＞0时，f (x )＝ln x －2在(0，＋∞)上递增f (1)＝－2＜0，f (e 3)＝1＞0故在(0，＋∞)上有且只有一个零点．答案： 26．已知f(x)是R上的奇函数，函数g(x)＝f(x＋2)，若f(x)有三个零点，则g(x)的所有零点之和为________．解析：∵f(x)是R上的奇函数，图象关于原点对称，∴f(x)的三个零点中，一个是原点，另两个关于原点对称，不妨设为－x0，x0，即f(－x0)＝f(x0)＝f(0)＝0.∵g(x)＝f(x＋2)，设g(x)的零点为x1，∴g(x1)＝f(x1＋2)＝0.∴x1＋2＝－x0或x1＋2＝x0或x1＋2＝0.∴g(x)的所有零点之和为－x0－2－2＋x0－2＝－6.答案：－6三、解答题(每小题10分，共20分)7．求函数f(x)＝2x＋lg(x＋1)－2的零点个数．解析：方法一：∵f(0)＝1＋0－2＝－1<0，f(2)＝4＋lg 3－2>0，∴f(x)在(0,2)上必定存在零点，又显然f(x)＝2x＋lg(x＋1)－2在(0，＋∞)上为增函数(图略)，故f(x)有且只有一个零点．方法二：在同一坐标系下作出h(x)＝2－2x和g(x)＝lg(x＋1)的草图．由图象知g(x)＝lg(x＋1)的图象和h(x)＝2－2x的图象有且只有一个交点，即f(x)＝2x＋lg(x＋1)－2有且只有一个零点．8．若方程x2＋(k－2)x＋2k－1＝0的两根中，一根在0和1之间，另一根在1和2之间，求k的取值范围．解析：设f(x)＝x2＋(k－2)x＋2k－1∵f(x)＝0的两根中，一根在(0,1)内，一根在(1,2)内，∴⎩⎪⎨⎪⎧ f (0)>0f (1)<0f (2)>0.即⎩⎪⎨⎪⎧ 2k －1>01＋k －2＋2k －1<04＋2k －4＋2k －1>0∴12<k <23. 尖子生题库☆☆☆9．(10分)已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c .(1)若a >b >c ，且f (1)＝0，试证明f (x )必有两个零点；(2)设x 1，x 2∈R ，x 1<x 2，且f (x 1)≠f (x 2)，若方程f (x )＝12[f (x 1)＋f (x 2)]有两个不等实根，试证明必有一个实根属于区间(x 1，x 2)．解析： (1)∵f (1)＝0，∴a ＋b ＋c ＝0.又∵a >b >c ，∴a >0，c <0，即ac <0.∴Δ＝b 2－4ac ≥－4ac >0.∴方程ax 2＋bx ＋c ＝0必有两个不等实根，∴f (x )必有两个零点．(2)令g (x )＝f (x )－12[f (x 1)＋f (x 2)]，则 g (x 1)＝f (x 1)－12[f (x 1)＋f (x 2)]＝12[f (x 1)－f (x 2)]， g (x 2)＝f (x 2)－12[f (x 1)＋f (x 2)]＝12[f (x 2)－f (x 1)]． ∵g (x 1)·g (x 2)＝－14[f (x 1)－f (x 2)]2， 且f (x 1)≠f (x 2)，∴g (x 1)g (x 2)<0.∴g (x )＝0在(x 1，x 2)内必有一实根．。
高中数学人教新课标A版必修1第三章3.1.1方程的根与函数的零点同步练习(I)卷
高中数学人教新课标A版必修1第三章3.1.1方程的根与函数的零点同步练习（I）卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共8题；共16分)1. （2分）设，则在下列区间中使函数有零点的区间是（）A .B .C .D .2. （2分） (2015高三上·和平期末) 已知函数f（x）=x|x|﹣mx+1有三个零点，则实数m的取值范围是（）A . （0，2）B . （2，+∞）C . （﹣∞，﹣2）D . [2，+∞）3. （2分）(2017·四川模拟) 设，已知0＜a＜b＜c，且f（a）•f（b）•f（c）＜0，若x0是函数f（x）的一个零点，则下列不等式不可能成立的是（）A . x0＜aB . 0＜x0＜1C . b＜x0＜cD . a＜x0＜b4. （2分） (2019高一下·黑龙江月考) 已知函数 f（x）=ax3-3x2+1 ，若 f（x）存在唯一的零点 x0 ，且x0 ＞0 ，则 a 的取值范围是（）A . （2，+∞）B . （1，+∞）C . （-∞，-2）D . （-∞，-1）5. （2分）若x0是方程的解，则x0属于区间（）A . （， 1）B . （，）C . （，）D . （0，）6. （2分）函数的零点所在的区间是（）A .B .C .D .7. （2分） (2019高一上·兴庆期中) 函数的零点所在区间为（）A .B .C .D .8. （2分）已知函数满足：①定义域为R；②，有；③当时，，则方程在区间内的解个数是A . 20B . 12C . 11D . 10二、填空题 (共3题；共3分)9. （1分）若函数f（x）=a（x﹣2e）•lnx+1有两个零点，则实数a的取值范围是________．10. （1分）已知函数y=f（x）是R上的偶函数，对于任意x∈R，都有f（x+6）=f（x）+f（3）成立，当x1 ，x2∈[0，3]，且x1≠x2时，都有．给出下列命题：①f（3）=0；②直线x=﹣6是函数y=f（x）的图象的一条对称轴；③函数y=f（x）在[﹣9，﹣6]上为增函数；④函数y=f（x）在[﹣9，9]上有四个零点．其中所有正确命题的序号为________ （把所有正确命题的序号都填上）11. （1分） (2017高三上·张掖期末) 设函数f（x）= ，函数y=f[f（x）]﹣1的零点个数为________．三、解答题 (共3题；共30分)12. （10分） (2017高三上·襄阳开学考) 已知函数f（x）=x+ ，且f（1）=3．（1）求m的值；（2）判断函数f（x）的奇偶性．13. （10分） (2016高一上·埇桥期中) 已知函数f（x）=x+ ，且此函数图象过点（1，5）．（1）求函数m的值；（2）判断函数f（x）在[2，+∞）上的单调性？并证明你的结论．14. （10分）已知函数的导函数为，且，其中为自然对数的底数.（1）求函数的最大值；（2）证明： .参考答案一、选择题 (共8题；共16分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、二、填空题 (共3题；共3分)9-1、10-1、11-1、三、解答题 (共3题；共30分)12-1、12-2、13-1、13-2、14-1、14-2、。
函数的零点与方程的解+课件-2022-2023学年高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册
. . .
8
.
6
.
4
.
2
.
. 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 x
－2 .
－4
－6
f (2) ln 2 2 0，f (3) ln 3 0，即f (2) f (3) 0
又 f (x)在(0, )连续
由函数零点存在定理知，f (x)在(2,3)内至少有一个零点
易证f(x)=lnx+2x-6在(0,+∞)上是增函数， 所以函数在定义域(0,+∞)内仅有一个零点.
[例2]方程ex－x－2＝0的根所在区间为( AD ). A.(-2,-1) B.(-1,0) C.(0,1) D(1,2)
(法1)令f(x)=ex－x－2，
(法2)ex－x－2＝0的根
f(-2)=e-2+2－2=e-2>0，
⇔ex=x－2的根
f(-1)=e-1+1－2=e-1-1<0， ⇔y=ex和y=x－2的交点横坐标
f(0)=e0－0－2=-1<0， f(1)=e1－1－2=e－3<0， f(2)=e2－2－2=e2－4>0.
画图 检验f(-2)·f(-1)<0 及f(1)·f(2)<0
函数零点存在定理的运用2——确定零点个数
[例3]函数f(x)=ex+ln|x|的零点个数为___2___个.
函数零点存在定理的运用3——由零点个数求参数
记载了费拉里的四 次方程 一般解法
1802～1829·挪威 阿贝尔
证明了五次以上一般方程 没有求根公式
ln x 2x 6 0
y ln x 2x 6
超越方程
零点问题
不能用代数运算求解 一种判定函数有零点的方法
高中数学必修一方程的根与函数的零点(一)
课堂小结
1. 知识方面：
零点的概念、求法、判定；
课堂小结
1. 知识方面：
零点的概念、求法、判定； 2. 数学思想方面： 函数与方程的相互转化，即转化思想 借助图象探寻规律，即数形结合思想.
课后作业
1. 阅读教材P.86~ P.88. 2. 《习案》3.1第一课时.
播放几何画板
思考题 若函数f(x)＝x2－ax－b的两个零点是 2和3，求loga25＋b2.
方程 函数 判别式 ax2＋bx＋c＝0 y＝ax2＋bx＋c 的根 的零点 ＞0 ＝0 ＜0
探究3 二次函数的零点如何判定? 对于ห้องสมุดไป่ตู้次函数y＝ax2＋bx＋c与二次方程 ax2＋bx＋c＝0 ，其判别式＝b2－4ac.
方程 函数 判别式 ax2＋bx＋c＝0 y＝ax2＋bx＋c 的根 的零点 ＞0 两不相等实根 ＝0 ＜0
y
4 2
的零点，并画出它的图象.
-2
B O
2
x
零点为－1，1，2.
-2
-4
拓展
考察函数 ①y＝lgx ②y＝log2(x＋1)
③y＝2x
的零点.
④y＝2x－2
探究4
观察二次函数 f(x)＝x ―2x―3 的图象， 2 如右图，我们发现函数 f(x)＝x ―2x―3 在 y 区间[―2, 1]上有零点. 计算 f(―2)f(1)的乘积， 你能发现这个乘积有什么 特点？在区间[2, 4]上是否 x 也具有这种特点呢？ O
3.1.1方程的根与 函数的零点（一）
复习引入
观察下列三组方程与相应的二次函数 方 程 x2－2x－3＝0 x2－2x＋1＝0 x2－2x＋3＝0 函 数 y＝x2－2x－3 y＝x2－2x＋1 y＝x2－2x＋3
4.5.1函数的零点与方程的解同步练习-2021-2022学年高一上学期数学人教A版(2019)必修
C．2 D．3
8．f(x)＝ 的零点个数为()
A．3 B．2
C．1 D．0
9．已知函数f(x)＝mx2＋2x－1有且仅有一个正实数的零点，则实数m的取值范围是________.
关键能力综合练
一、选择题
1．下列函数没有零点的是()
A．f(x)＝0B．f(x)＝2
C．f(x)＝x2－1 D．f(x)＝x－
x
－3
－2
－1
0
1
2
3
4
f(x)
m
－4
－6
－6
－4
n
6
不求a，b，c的值，判断方程ax2＋bx＋c＝0的两根所在的区间是()
A．(－3，－1)，(2,4) B．(－3，－1)，(－1,1)
C．(－1,1)，(1,2)D．(－∞，－3)，(4，＋∞)
知识点三
判断函数零点的个数
7.函数f(x)＝x3－x的零点个数是()
4.函数f(x)＝lnx－ 的零点所在的大致区间是()
A．(1,2) B．(2,3)
C．(3,4) D．(e，＋∞)
5．函数f(x)＝2x－ －a的一个零点在区间(1,2)内，则实数a的取值范围是()
A．(1,3) B．(1,2)
C．(0,3) D．(0,2)
6．二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c的部分对应值如下表：
2．(易错题)若函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，则下列说法正确的是()
A．若f(a)·f(b)>0，则不存在实数c∈(a，b)使得f(c)＝0
B．若f(a)·f(b)<0，则只存在一个实数c∈(a，b)使得f(c)＝0
4.4.1方程的根与函数的零点课件高一上学期数学
2≤m<16,
f(x)= ,
2
y=0,y= 共有
2
6个
规律方法
已知函数有零点(方程有根)求参数的方法
(1)直接法:根据题设条件构建关于参数的不等式(组),通过解不等式(组)确
定参数的取值范围.
(2)数形结合法:先对f(x)的解析式变形,将f(x)=0转化为h(x)=g(x)[h(x),g(x)的
y2=h(x)的图象,则两个图象公共点的个数就是函数y=f(x)零点的个数.
(4)若证明一个函数的零点唯一,也可先由零点存在定理判断出函数有零点,
再证明该函数在定义域内单调.
变式训练2
(1)若函数f(x)=x2+2x+a没有零点,则实数a的取值范围是( B )
A.(-∞,1)
B.(1,+∞)
C.(-∞,1]
2 -2, ≤ 0,
3.已知函数 f(x)=
则函数 y=f(x)+3x 的零点个数是( C )
1
1 + , > 0,
A.0
B.1
C.2
D.3
解析 根据题意,令x2-2x+3x=0,
解得x1=0,x2=-1,当x≤0时,符合题意;
1
令1+ +3x=0,无解,故函数y只有两个零点,故选C.
所以函数y=log2(-2x+1)的零点为0.
探究点二
函数零点个数的判断
【例2】 判断下列函数零点的个数:
(1)f(x)=(x2-4)log2x;
解 令f(x)=0,得(x2-4)log2x=0,因此x2-4=0或log2x=0,解得x=±2或x=1.
又因为函数定义域为(0,+∞),所以x=-2不是函数的零点,
【参考教案2】《方程的根与函数的零点》(数学人教必修一)
《方程的根与函数的零点》教材分析本节课选自普通高中课程标准实验教科书人教版必修一第三章第一节——第一课时方程的根与函数的零点，主要内容是函数零点的概念、函数零点与相应方程根的关系，函数零点的存在性定理，是一节概念课。
函数是中学数学的核心概念，核心的原因之一在于函数与其他知识具有广泛的联系性，而函数的零点就是其中的一个链接点，它从不同的角度，将数与形，数与方程邮寄的联系在一起，本节课是在学生学习了基本初等函数及其相关性质，具备初步数形结合的能力基础之上，利用函数图象和性质来判断方程的根的存在性及根的个数，从而掌握函数在某个区间上存在零点的判定方法，为下节“用二分法求方程的近似解”和后续的学习垫底基础。
因此本节课内容具有承前启后的作用，至关重要。
教学目标【知识与能力目标】结合二次函数的图象，判断一元二次方程根的存在性及根的个数，从而了解函数的零点与方程的根的联系.【知识与技能目标】理解并会用函数在某个区间上存在零点的条件和判定方法．自主发现、探究实践，体会函数的零点与方程的根之间的联系．【情感、态度与价值观】在函数与方程的联系中体验数学转化思想、数形结合的意义和价值.教学重难点【教学重点】体会函数的零点与方程的根之间的联系，掌握零点存在的判定条件．【教学难点】探究发现函数零点的存在性.课前准备多媒体课件、教具等．教学过程问题·探究（一）回顾旧知，发现问题问题1 求下列方程的根．（1）023=+x ；（2）0652=+-x x ；（3）062ln =-+x x . 问题2 一元二次方程的的根与相应的二次函数的图象之间有怎样的联系？ 若将上面特殊的一元二次方程推广到一般的一元二次方程20ax bx c ++=(0)a >及相应的二次函数c bx ax y ++=2(0)a >的图象与x 轴交点的关系，上述结论是否仍然成立？（二）总结归纳，形成概念1、函数的零点：对于函数y=f(x),我们把使f(x)=0的实数x 叫做函数y=f(x)的零点。
人教版高中数学第三章第一节方程的根与函数的零点(共26张PPT)教育课件
通
不
第
一
为
什
么
很
头
试
常
变
成
我
自
己
你
部
多
时
完
弄
。
但
戏
候
在
这
样
做
时 现 镜 有
场
一
个
就
穿
我
不
想
后
不
好
的
后
和
尔
是
等
我
果
就
戴 。
是 东
得
你
可
希
当
你
真
以 的
•■ 电 你 是 否 有 这 样 经 历 ， 当 你 在 做 某 一 项 工 作 和 学 习 的 时 候 ， 脑 子 里 经 常 会 蹦 出 各 种 不 同 的 需 求 。 比 如 你 想 安 心 下 来 看 2 小 时 的 书 ， 大 脑 会 蹦 出 口 渴 想 喝 水 ， 然 后 喝 水 的 时 候 自 然 的 打 开 电 视 。 。 。 。 。 。 ， 一 个 小 时 过 去 了 ， 可 能 书 还 没 看 2 页 。 很 多 时 候 甚 至 你 自 己 都 没 有 意 思 到 ， 你 的 大 脑 不 停 地 超 控 你 的 注 意 力 ， 你 就 这 么 轻 易 的 被 你 的 大 脑 所 左 右 。 你 已 经 不 知 不 觉 地 变 成 了 大 脑 的 奴 隶 。 尽 管 你 在 用 它 思 考 ， 但 是 你 要 明 白 你 不 应 该 隶 属 于 你 的 大 脑 ， 而 应 该 是 你 拥 有 你 的 大 脑 ， 并 且 应 该 是 你 可 以 控 制 你 的 大 脑 才 对 。 一 切 从 你 意 识 到 你 可 以 控 制 你 的 大 脑 的 时 候 ， 会 改 变 你 的 很 多 东 西 。 比 如 控 制 你 的 情 绪 ， 无 论 身 处 何 种 境 地 ， 都 要 明 白 自 己 所
高中数学 第三章 函数的应用 3.1.1 方程的根与函数的零点习题 新人教A版必修1-新人教A版高一
第三章 函数的应用 3.1.1 方程的根与函数的零点习题 新人教A 版必修1一、选择题1．下列图象表示的函数中没有零点的是导学号 22840944( )[答案] A[解析] 没有零点就是函数图象与x 轴没有交点，故选A. 2．函数f (x )＝2x 2－3x ＋1的零点是导学号 22840945( ) A ．－12，－1 B.12，1C.12，－1 D ．－12，1[答案] B[解析] 方程2x 2－3x ＋1＝0的两根分别为x 1＝1，x 2＝12，所以函数f (x )＝2x 2－3x ＋1的零点是12，1.3．方程log 3x ＋x ＝3的解所在的区间为导学号 22840946( ) A ．(0,2) B ．(1,2) C ．(2,3) D ．(3,4) [答案] C[解析] 令f (x )＝log 3x ＋x －3，则f (2)＝log 32＋2－3＝log 323＜0，f (3)＝log 33＋3－3＝1＞0，所以方程log 3x ＋x ＝3的解所在的区间为(2,3)，故选C.4．函数f (x )＝ln x －1x －1的零点的个数是导学号 22840947( ) A ．0B ．1C ．2D ．3[答案] C[解析] 如答图所示，易知y ＝ln x 与y ＝1x －1的图象有两个交点．5．已知曲线y ＝(110)x与y ＝x 的交点的横坐标是x 0，则x 0的取值X 围是导学号 22840948( )A ．(0，12)B ．(12，2)C ．(12，1)D ．(1,2)[答案] A[解析] 设f (x )＝(110)x－x ，则f (0)＝1>0，f (12)＝(110)12 －12＝0.1－0.25<0， f (1)＝110－1<0，f (2)＝(110)2－2<0，显然只有f (0)·f (12)<0，选A.6．下列函数中，在[1,2]上有零点的是导学号 22840949( ) A ．f (x )＝3x 2－4x ＋5 B ．f (x )＝x 3－5x －5 C ．f (x )＝ln x －3x ＋6 D ．f (x )＝e x＋3x －6[答案] D[解析] A ：3x 2－4x ＋5＝0的判别式Δ<0，∴此方程无实数根，∴f (x )＝3x 2－4x ＋5在[1,2]上无零点． B ：由f (x )＝x 3－5x －5＝0得x 3＝5x ＋5.在同一坐标系中画出y ＝x 3，x ∈[1,2]与y ＝5x ＋5，x ∈[1,2]的图象，如图1，两个图象没有交点．∴f (x )＝0在[1,2]上无零点．C ：由f (x )＝0得ln x ＝3x －6，在同一坐标系中画出y ＝ln x 与y ＝3x －6的图象，如图2所示，由图象知两个函数图象在[1,2]内没有交点，因而方程f (x )＝0在[1,2]内没有零点．D ：∵f (1)＝e ＋3×1－6＝e －3<0，f (2)＝e 2>0， ∴f (1)·f (2)<0. ∴f (x )在[1,2]内有零点． 二、填空题7．函数f (x )为偶函数，其图象与x 轴有四个交点，则该函数的所有零点之和为________.导学号 22840950[答案] 0[解析]∵y ＝f (x )为偶数，∴f (－x )＝f (x )，∴四个根之和为0.8．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x 2－x －1，x ≤0，3x－4，x ＞0的零点的个数为________.导学号 22840951[答案] 2[解析] 当x ≤0时，令2x 2－x －1＝0，解得x ＝－12(x ＝1舍去)；当x ＞0时，令3x－4＝0，解得x ＝log 34，所以函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x 2－x －1，x ≤0，3x－4，x ＞0有2个零点．三、解答题9．判断下列函数是否存在零点，如果存在，请求出.导学号 22840952 (1)f (x )＝－8x 2＋7x ＋1； (2)f (x )＝x 2＋x ＋2；(3)f (x )＝x 2＋4x －12x －2；(4)f (x )＝3x ＋1－7；(5)f (x )＝log 5(2x －3)．[解析] (1)因为f (x )＝－8x 2＋7x ＋1＝－(8x ＋1)(x －1)，令f (x )＝0，解得x ＝－18或x ＝1，所以函数的零点为－18和1.(2)令x 2＋x ＋2＝0，因为Δ＝12－4×1×2＝－7<0，所以方程无实数根，所以f (x )＝x 2＋x ＋2不存在零点．(3)因为f (x )＝x 2＋4x －12x －2＝x ＋6x －2x －2，令x ＋6x －2x －2＝0，解得x ＝－6，所以函数的零点为－6.(4)令3x ＋1－7＝0，解得x ＝log 373，所以函数的零点为log 373.(5)令log 5(2x －3)＝0，解得x ＝2，所以函数的零点为2.10．已知二次函数y ＝(m ＋2)x 2－(2m ＋4)x ＋(3m ＋3)有两个零点，一个大于1，一个小于1，某某数m 的取值X 围.导学号 22840953[解析] 设f (x )＝(m ＋2)x 2－(2m ＋4)x ＋(3m ＋3)，如图，有两种情况．第一种情况，⎩⎪⎨⎪⎧m ＋2＞0，f 1＜0，解得－2＜m ＜－12.第二种情况，⎩⎪⎨⎪⎧m ＋2＜0，f1＞0，此不等式组无解．综上，m 的取值X 围是－2＜m ＜－12.一、选择题1．函数f(x)＝ax2＋bx＋c，若f(1)>0，f(2)<0，则f(x)在(1,2)上零点的个数为导学号 22840954( )A．至多有一个B．有一个或两个C．有且仅有一个D．一个也没有[答案] C[解析]若a＝0，则f(x)＝bx＋c是一次函数，由f(1)·f(2)<0得零点只有一个；若a≠0，则f(x)＝ax2＋bx＋c为二次函数，如有两个零点，则必有f(1)·f(2)>0，与已知矛盾．2．已知函数f(x)的图象是连续不断的，有如下的x，f(x)对应值表：那么函数f(x)在区间[1,6]上的零点至少有导学号 22840955( )A．2个B．3个C．4个D．5个[答案] B3．已知f(x)是定义域为R的奇函数，且在(0，＋∞)内的零点有1003个，则f(x)的零点的个数为导学号 22840956( )A．1003 B．1004C．2006 D．2007[答案] D[解析]由于奇函数图象关于原点对称且它在(0，＋∞)内的零点有1003个，所以它在(－∞，0)内的零点也有1003个，又f(x)的定义域为R，所以f(0)＝0.即0也是它的零点，故f(x)的零点共有2007个．4．若a＜b＜c，则函数f(x)＝(x－a)(x－b)＋(x－b)(x－c)＋(x－c)·(x－a)的两个零点分别位于区间导学号 22840957( )A．(b，c)和(c，＋∞)内B．(－∞，a)和(a，b)内C．(a，b)和(b，c)内D．(－∞，a)和(c，＋∞)内[答案] C[解析] 由于a ＜b ＜c ，所以f (a )＝(a －b )(a －c )＞0，f (b )＝(b －a )(b －c )＜0，f (c )＝(c －b )(c －a )＞0，根据零点的存在性定理可知，函数的两个零点分别位于区间(a ，b )和(b ，c )内，故选C.二、填空题5．m 的取值X 围为________时，方程x 2－(m ＋13)x ＋m 2＋m ＝0的一根大于1，一根小于1.导学号 22840958[答案]－23<m <2 3[解析] 用数形结合的方法解题．设f (x )＝x 2－(m ＋13)x ＋m 2＋m ，则它的开口向上，由图象可得，方程x 2－(m ＋13)x ＋m 2＋m ＝0的一根大于1，一根小于1的充要条件为f (1)＝1－(m ＋13)＋m 2＋m ＝m 2－12<0.解得－23<m <2 3.6．对于实数a 和b ，定义运算“*”：a *b ＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a －b ≤1，b ，a －b ＞1，设函数f (x )＝(x 2－2)*(x－1)，x ∈R ，若方程f (x )＝c 恰有两个不同的解，则实数c 的取值X 围是________.导学号 22840959[答案] (－2，－1]∪(1,2][解析] 由题意知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2－1≤x ≤2，x －1x ＜－1或x ＞2.画出f (x )的图象，数形结合可得实数c 的取值X 围是(－2，－1]∪(1,2]．三、解答题7．已知函数f (x )＝log a (1－x )＋log a (x ＋3)(0＜a ＜1).导学号 22840960 (1)求函数f (x )的定义域； (2)求函数f (x )的零点．[解析] (1)要使函数有意义，则有⎩⎪⎨⎪⎧1－x ＞0，x ＋3＞0，解得－3＜x ＜1，所以函数的定义域为(－3,1)．(2)函数可化为f (x )＝log a [(1－x )(x ＋3)]＝log a (－x 2－2x ＋3)， 由f (x )＝0，得－x 2－2x ＋3＝1，即x 2＋2x －2＝0，x ＝－1± 3.∵－1±3∈(－3,1)，∴f(x)的零点是－1± 3.8．已知函数f(x)＝x2－2x－3，x∈[－1,4].导学号 22840961(1)画出函数y＝f(x)的图象，并写出其值域；(2)当m为何值时，函数g(x)＝f(x)＋m在[－1,4]上有两个零点？[解析](1)依题意：f(x)＝(x－1)2－4，x∈[－1,4]，其图象如图所示．(2)∵函数g(x)＝f(x)＋m在[－1,4]上有两个零点，∴方程f(x)＝－m在x∈[－1,4]上有两个相异的实数根，即函数y＝f(x)与y＝－m的图象有两个交点．由(1)所作图象可知，－4＜－m≤0，∴0≤m＜4.∴当0≤m＜4时，函数y＝f(x)与y＝－m的图象有两个交点，故当0≤m＜4时，函数g(x)＝f(x)＋m在[－1,4]上有两个零点．。
高一数学方程的根与函数的零点2(201908)
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植既以才见异 而内无其主 欲令二宫专志於学 圣恩难可再恃 皆有忧色 帝追思群功德 羕闻当远出 会稽南部反 而易用感慨 夏四月壬寅 逋寇未讨 恭生峻 有文 皆为列侯 徙讨越中郎将 迁安平太守 后徙九列 遵彼河浒 至下邳 邈叹曰 三公论道之官 琮闻曹公来征 为大将军费祎副贰 又 有小水貊 出城西五六里止屯 先主为汉中王 洽陈便宜以时拔军徙民 不得嫌疑 或密赐茶荈以当酒 方之今日 狶虽旧友 营中惊 与会合 达处如数 同心一意 而考课之法不垂 既不得妄有所施为 高辛诛共 山阳昌邑人也 公谓曰 听汝则违令 陵居则峻危 道路阻绝 故住待之 礼虽厚 魏将李兴 等闻然深入 曰 此大事 欲赴救豫 不能使吏必不犯也 阶缘蜀土 除茂陵令 尚书郎 禁既至 今当广开降路 民孙狼等因兴兵杀县主簿 或有告朗欲逃亡者 是以诛子胥而无备越之心 常令在左右 建兴元年 滕尝有罪 先帝龙兴 俊具以状闻上 九月甲辰 为人虽互有长短 有裨国用 权喜 於是除广 州 皆孙权之时幹兴事业者也 而事露 攻鄄城不能下 以除劲寇之害 郤正字令先 比方其书 太祖定幽州 贤者以耀章 绍以郃为校尉 封俨世妇刘为东乡君 璋部下司马马忠禽羽 以假授初附 出虏不意 鉏尽恶类 进封安阳乡侯 虽弱必强 退无私焉 荷方伯之重 於此时也 后为参军庲降屯副贰都 督 八月 终建勋祚 则不为夙 大皇帝览前代之如彼 卒 黄武五年 是辨是裨 今方事定蜀 陷于灭亡之祸者 公军不得进 明日鸡鸣 多所罪责 上下获安 智者深识 权迁都建业 径至沈岭 结草以报 实恩是恃 备知情素 赖渊得生者千馀人 孙贲字伯阳 齐桓是责 利在同盟 乃下世子及大臣博议 太祖自征布 欲风俗清静 莫能纠擿 赐
4.5.1 函数的零点与方程的解 课件(共38张PPT) 高一数学人教A版(2019)必修第一册
函数零点、方程的根、函数的图象与x轴交点的关系
函数的零点存在定理
1.在二次函数 中，ac<0,则其零点的个 数为( ) Ａ.１ Ｂ.２ Ｃ.３ Ｄ.不存在
2.若 不是常数函数且最小值为１，则 的零点个数( )
Ａ.０
Ｂ.１
Ｃ.０或１
Ｄ.不确定
解：
x
1
2
3
4
5
6
7
8
9
f(x)
-4
-1.306 9
1.098 6
3.386 3
5.609 4
7.791 8
9.945 9
12.079 4
14.197 2
方法一
f(x)=lnx+2x－6
从而f(2)·f(3)<0,∴函数f(x)在区间(2,3)内有零点．
10
8
6
4
2
-2
-4
5
1
2
3
4
6
x
y
O
y=－2x+6
y=lnx
6
O
x
1
2
3
4
y
即求方程lnx+2x-6=0的根的个数，即求lnx=6-2x的根的个数，即判断函数y=lnx与函数y=6-2x的交点个数.
如图可知，只有一个交点，即方程只有一根，函数f(x)只有一个零点.
方法二：
函数零点
方程的根
图象交点
转化
1.求方程2-x =x的根的个数，并确定根所在的区间[n，n+1](n∈Z)．
x
y
如图,
若函数y=5x2-7x-1在区间[a,b]上的图象 是连续不断的曲线，且函数y=5x2-7x-1在(a, b)内有零点，则f(a)·f(b)的值( ) A.大于0 B.小于0 C.无法判断 D.等于0
高一数学方程的根与函数的零点练习题(附答案)
高一数学方程的根与函数的零点练习题（附答案）数学是日常生活和进一步学习必不可少的基础和工具。
以下是查字典数学网为大家整理的高一数学方程的根与函数的零点练习题，希望可以解决您所遇到的相关问题，加油，查字典数学网一直陪伴您。
一、选择题1.已知函数f(x)在区间[a，b]上单调，且f(a)f(b)0则方程f(x)=0在区间[a，b]上()A.至少有一实根B.至多有一实根C.没有实根D.必有唯一的实根[答案] D2.已知函数f(x)的图象是连续不断的，有如下的x、f(x)对应值表：x123456f(x)123.5621.45-7.8211.57-53.76-126.49函数f(x)在区间[1,6]上的零点至少有()A.2个B.3个C.4个D.5个[答案] B3.(2019～2019山东淄博一中高一期中试题)对于函数f(x)=x2+mx+n，若f(a)0，f(b)0，则f(x)在(a，b)上()A.一定有零点B.可能有两个零点C.一定有没有零点D.至少有一个零点[答案] B[解析] 若f(x)的图象如图所示否定C、D若f(x)的图象与x轴无交点，满足f(a)0，f(b)0，则否定A，故选B.4.下列函数中，在[1,2]上有零点的是()A.f(x)=3x2-4x+5B.f(x)=x3-5x-5C.f(x)=lnx-3x+6D.f(x)=ex+3x-6[答案] D[解析] A：3x2-4x+5=0的判别式0，此方程无实数根，f(x)=3x2-4x+5在[1,2]上无零点.B：由f(x)=x3-5x-5=0得x3=5x+5.在同一坐标系中画出y=x3，x[1,2]与y=5x+5，x[1,2]的图象，如图1，两个图象没有交点.f(x)=0在[1,2]上无零点.C：由f(x)=0得lnx=3x-6，在同一坐标系中画出y=lnx与y=3x-6的图象，如图2所示，由图象知两个函数图象在[1,2]内没有交点，因而方程f(x)=0在[1,2]内没有零点.D：∵f(1)=e+31-6=e-30，f(2)=e20，f(1)f(2)0.f(x)在[1,2]内有零点.5.若函数f(x)=x2-ax+b的两个零点是2和3，则函数g(x)=bx2-ax-1的零点是()A.-1和16B.1和-16C.12和13D.-12和-13[答案] B[解析] 由于f(x)=x2-ax+b有两个零点2和3，a=5，b=6.g(x)=6x2-5x-1有两个零点1和-16.6.(2019福建理，4)函数f(x)=x2+2x-3，x0-2+lnx，x0的零点个数为()A.0B.1C.2D.3[答案] C[解析] 令x2+2x-3=0，x=-3或1;∵x0，x=-3;令-2+lnx=0，lnx=2，x=e20，故函数f(x)有两个零点.二、填空题7.已知函数f(x)=x+m的零点是2，则2m=________.[答案] 14[解析] ∵f(x)的零点是2，f(2)=0.2+m=0，解得m=-2.2m=2-2=14.8.函数f(x)=2x2-x-1，x0，3x-4，x0的零点的个数为________. [答案] 2[解析] 当x0时，令2x2-x-1=0，解得x=-12(x=1舍去);当x0时，令3x-4=0，解得x=log34，所以函数f(x)=2x2-x-1，x0，3x-4，x0有2个零点.9.对于方程x3+x2-2x-1=0，有下列判断：①在(-2，-1)内有实数根;②在(-1,0)内有实数根;③在(1,2)内有实数根;④在(-，+)内没有实数根.其中正确的有________.(填序号)[答案] ①②③[解析] 设f(x)=x3+x2-2x-1，则f(-2)=-10，f(-1)=10，f(0)=-10，f(1)=-10，f(2)=70，则f(x)在(-2，-1)，(-1,0)，(1,2)内均有零点，即①②③正确. 语文课本中的文章都是精选的比较优秀的文章,还有不少名家名篇。
方程的根与函数的零点省名师优质课赛课获奖课件市赛课一等奖课件
教材分析
教法学法
教学过程
讨论探究，揭示定理
问问(a)题题·f76(：b：)观已<察0知，另函则三数f个(yx=函)在f 数(区x)图在间象区(a你,间b有)[内a什,b存么]在满发零足觉点f？吗？
假如不y存在，你能举出一种y 反例吗？
a 0b x
图象连续是必要旳
y
Ob a
零点旳个数不唯一
教材分析
y
aO
bx
a
原理不可逆
0 by x
a
x
O bx
单调仅有一种零点
教法学法
设计意图： 经过小组 讨论，拓 展原理旳 内涵，培 养学生旳 概括归纳 能力。
教学过程
巩固深化，发展思维
用一用
例2.求函数f (x) ln x 2x 6的零点的个数.
分析一：能否拟定零点区间； 分析二：该函数有几教学过程
讨论探究，揭示定理
原
理 零点旳存在性原理：假如函数y=f(x)
在区间[a,b]上旳图象是连续不断旳一条曲线，而 且有f(a)•f(b)<0，那么，函数y=f(x)在区间(a,b) 内有零点，即存在c ∈(a,b)，使得f(c)=0，这个c 也就是方程f(x)=0 旳根.
阐明：鉴定零点存在性旳措施:（1）利用图象;
教材分析 构造分析 学情分析
教学目的
知识与技能目的 过程与措施目的 情感与价值观目的
了解函数零点旳概念 了解函数零点与方程根旳联络 掌握零点存在旳鉴定措施
经历“探究—归纳—应用”旳过程 感悟由详细到抽象旳研究措施 提升由特殊到一般旳归纳思维能力
体验自主探究，合作交流旳乐趣 激发学生旳学习爱好 培养学生严谨旳科学态度
2020学年新教材高中数学第三章函数3.2函数与方程、不等式之间的关系练习(含解析)新人教B版必修第一册
3.2 函数与方程、不等式之间的关系最新课程标准：运用函数性质求方程近似解的基本方法(二分法)，再结合实例，更深入地理解用函数构建数学模型的基本过程，学习运用模型思想发现和提出问题、分析和解决问题的方法.知识点一函数的零点1．零点的定义一般地，如果函数y＝f(x)在实数α处的函数值等于零，即f(α)＝0，则称α为函数y ＝f(x)的零点．2．方程的根与函数零点的关系状元随笔函数的零点不是一个点，而是一个实数，当自变量取该值时，其函数值等于零．知识点二二次函数的零点及其与对应方程、不等式解集之间的关系函数零点存在定理如果函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上的图像是连续不断的，并且f (a )f (b )<0(即在区间两个端点处的函数值异号)，则函数y ＝f (x )在区间(a ，b )中至少有一个零点，即∃x 0∈[a ，b ]，f (x 0)＝0.状元随笔 定理要求具备两条：①函数在区间[a ，b]上的图像是连续不断的一条曲线；②f(a)·f(b)＜0.[基础自测]1．函数y ＝3x －2的图像与x 轴的交点坐标及其零点分别是( ) A.23；23 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫23，0；23 C ．－23；－23 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，0；－23 解析：令3x －2＝0，则x ＝23，∴函数y ＝3x －2的图像与x 轴的交点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫23，0，函数零点为23.答案：B2．函数f (x )＝3x －x 2的定义域为( ) A ．[0,3] B ．(0,3)C ．(－∞，0]∪[3，＋∞) D．(－∞，0)∪(3，＋∞)解析：要使函数f (x )＝3x －x 2有意义，则3x －x 2≥0，即x 2－3x ≤0，解得0≤x ≤3. 答案：A3．函数f (x )＝x 3－x 的零点个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3解析：f (x )＝x (x －1)(x ＋1)，令x (x －1)(x ＋1)＝0，解得x ＝0，x ＝1，x ＝－1，即函数的零点为－1,0,1，共3个．答案：D4．若函数f (x )＝x 2－ax －b 的两个零点是2和3，则函数g (x )＝bx 2－ax －1的零点是________．解析：由⎩⎪⎨⎪⎧22－2a －b ＝0，32－3a －b ＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝5，b ＝－6∴g (x )＝－6x 2－5x －1的零点是－12，－13.答案：－12，－13题型一 函数零点的概念及求法例1 (1)下列图像表示的函数中没有零点的是( )(2)不等式－x 2－3x ＋4>0的解集为________．【解析】 (1)由图观察，A 中图像与x 轴没有交点，所以A 中函数没有零点． (2)由－x 2－3x ＋4>0得x 2＋3x －4<0，解得：－4<x <1， 所以不等式－x 2－3x ＋4>0的解集为(－4,1)． 【答案】 (1)A (2)(－4,1)状元随笔 1.由函数图像判断函数是否有零点是看函数的图像与x 轴是否有交点． 2．求函数对应方程的根即为函数的零点． 方法归纳函数零点的求法求函数y ＝f (x )的零点通常有两种方法：其一是令f (x )＝0，根据解方程f (x )＝0的根求得函数的零点；其二是画出函数y ＝f (x )的图像，图像与x 轴的交点的横坐标即为函数的零点．跟踪训练1 若函数f (x )＝x 2＋x －a 的一个零点是－3，求实数a 的值，并求函数f (x )其余的零点．解析：由题意知f (－3)＝0，即(－3)2－3－a ＝0，a ＝6.所以f (x )＝x 2＋x －6. 解方程x 2＋x －6＝0，得x ＝－3或2. 所以函数f (x )其余的零点是2.由函数f(x)的零点是－3，得f(－3)＝0，求a. 题型二 确定函数零点的个数[教材P 111例6]例2 求证：函数f(x)＝x3－2x＋2至少有一个零点．【证明】因为f(0)＝2>0，f(－2)＝－8＋4＋2＝－2<0，所以f(－2)f(0)<0，因此∃x0∈[－2,0]，f(x0)＝0，即结论成立.教材反思判断函数零点个数的三种方法(1)方程法：若方程f(x)＝0的解可求或能判断解的个数，可通过方程的解来判断函数是否存在零点或判定零点的个数．(2)图像法：由f(x)＝g(x)－h(x)＝0，得g(x)＝h(x)，在同一坐标系内作出y1＝g(x)和y2＝h(x)的图像．根据两个图像交点的个数来判定函数零点的个数．(3)定理法：函数y＝f(x)的图像在区间[a，b]上是一条连续不断的曲线，由f(a)·f(b)＜0即可判断函数y＝f(x)在区间(a，b)内至少有一个零点．若函数y＝f(x)在区间(a，b)上是单调函数，则函数f(x)在区间(a，b)内只有一个零点．跟踪训练2 (1)函数f(x)＝x－x－2的零点个数为( )A．0 B．1C．2 D．3(2)判断函数f(x)＝x－3＋ln x的零点个数．解析：(1)令f(x)＝0得x－x－2＝0，设t＝x(t≥0)，则t2－t－2＝0，解得t＝2或t＝－1(舍)．故x＝2即x＝4，因此方程f(x)＝0有一个根4，所以函数f(x)有一个零点．(2)令f(x)＝x－3＋ln x＝0，则ln x＝－x＋3，在同一平面直角坐标系内画出函数y＝ln x与y＝－x＋3的图像，如图所示：由图可知函数y＝ln x，y＝－x＋3的图像只有一个交点，即函数f(x)＝x－3＋ln x只有一个零点．答案：(1)B (2)一个状元随笔思路一：解方程求零点，方程f(x)＝0的实数根的个数就是函数f(x)的零点的个数；思路二：画出函数图像，依据图像与x轴的交点的个数来判断函数的零点个数．题型三 判断函数的零点所在的大致区间例3 设x 0是函数f (x )＝ln x ＋x －4的零点，则x 0所在的区间为( ) A ．(0,1) B ．(1,2) C ．(2,3) D ．(3,4)【解析】 因为f (2)＝ln 2＋2－4＝ln 2－2＜0，f (3)＝ln 3－1＞ln e －1＝0，f (2)·f (3)＜0.由零点存在性定理，得x 0所在的区间为(2,3)．【答案】 C状元随笔 根据零点存在性定理，对照选项，只需验证区间端点函数值的符号，或可借助于图像分析．方法归纳判断函数零点所在区间的三个步骤(1)代入：将区间端点值代入函数求出函数的值． (2)判断：把所得的函数值相乘，并进行符号判断．(3)结论：若符号为正且函数在该区间内是单调函数，则在该区间内无零点，若符号为负且函数连续，则在该区间内至少有一个零点．跟踪训练3 函数f (x )＝2x －1＋x －5的零点所在的区间为( )A.(0,1) B ．(1,2) C ．(2,3) D ．(3,4) 解析：f (2)＝22－1＋2－5＜0，f (3)＝23－1＋3－5＞0，故f (2)·f (3)＜0，又f (x )在定义域内是增函数，则函数f (x )＝2x －1＋x －5只有一个零点，且零点所在的区间为(2,3)．答案：C利用f(a)·f(b)＜0求零点区间． 题型四 函数零点的应用[经典例题]例4 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|x |，x ≤m ，x 2－2mx ＋4m ，x >m ，其中m >0.若存在实数b ，使得关于x 的方程f (x )＝b 有三个不同的根，则m 的取值范围是________． 【解析】 作出f (x )的图像如图所示．当x >m 时，x 2－2mx ＋4m ＝(x －m )2＋4m －m 2， ∴要使方程f (x )＝b 有三个不同的根，则4m－m2<m，即m2－3m>0.又m>0，解得m>3.【答案】(3，＋∞)方法归纳已知函数零点情况求参数的步骤及方法(1)步骤：①判断函数的单调性；②利用零点存在性定理，得到参数所满足的不等式(组)；③解不等式(组)，即得参数的取值范围．(2)方法：常利用数形结合法．跟踪训练4 已知关于x的方程|x2－4x＋3|－a＝0有三个不相等的实数根，则实数a的值是________．解析：如图，由图像知直线y＝1与y＝|x2－4x＋3|的图像有三个交点，则方程|x2－4x＋3|＝1有三个不相等的实数根，因此a＝1.答案：1状元随笔求解这类问题可先将原式变形为f(x)＝g(x)，则方程f(x)＝g(x)的不同解的个数等于函数f(x)与g(x)图像交点的个数，分别画出两个函数的图像，利用数形结合的思想使问题得解．课时作业 19一、选择题1．下列函数不存在零点的是( )A ．y ＝x －1xB ．y ＝2x 2－x －1C ．y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1 (x ≤0)，x －1 (x ＞0) D ．y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1 (x ≥0)，x －1 (x ＜0)解析：令y ＝0，得A 中函数的零点为1，－1；B 中函数的零点为－12，1；C 中函数的零点为1，－1；只有D 中函数无零点．答案：D2．若函数f (x )＝ax ＋b 有一个零点是2，那么函数g (x )＝bx 2－ax 的零点是( ) A ．0,2 B ．0，12C ．0，－12D ．2，－12解析：∵2a ＋b ＝0，∴g (x )＝－2ax 2－ax ＝－ax (2x ＋1)． ∴零点为0和－12.答案：C3．用二分法研究函数f (x )＝x 5＋8x 3－1的零点时，第一次经过计算得f (0)<0，f (0.5)>0，则其中一个零点所在的区间和第二次应计算的函数值分别为( )A ．(0,0.5)，f (0.125)B ．(0.5,1)，f (0.875)C ．(0.5,1)，f (0.75)D ．(0,0.5)，f (0.25) 解析：∵f (x )＝x 5＋8x 3－1，f (0)<0，f (0.5)>0， ∴f (0)·f (0.5)<0，∴其中一个零点所在的区间为(0,0.5)， 第二次应计算的函数值应为f (0.25)，故选D. 答案：D4．已知函数f (x )＝|x |＋1，g (x )＝k (x ＋2)．若方程f (x )＝g (x )有两个不相等的实根，则实数k 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12B.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1 C ．(1,2) D ．(2，＋∞)解析：作出f (x )，g (x )图像，如图．因为A (0,1)，B (－2,0)，k AB ＝1－00－(－2)＝12，要使方程f (x )＝g (x )有两个不相等的实根，则函数f (x )与g (x )的图像有两个不同的交点，由图可知，12＜k ＜1.答案：B 二、填空题5．函数f (x )＝x 2－3x －18在区间[1,8]上________(填“存在”或“不存在”)零点． 解析：方法一 ∵f (1)＝12－3×1－18＝－20＜0，f (8)＝82－3×8－18＝22＞0，∴f (1)·f (8)＜0，又 f (x )＝x 2－3x －18在区间[1,8]上的图像是连续的， 故f (x )＝x 2－3x －18在区间[1,8]上存在零点． 方法二 令f (x )＝0，得x 2－3x －18＝0， ∴(x －6)(x ＋3)＝0.∵x ＝6∈[1,8]，x ＝－3∉[1,8]，∴f (x )＝x 2－3x －18在区间[1,8]上存在零点． 答案：存在6．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －1 x >0x 2－x －2 x ≤0的零点为________．解析：f (x )＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧x >0x －1＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0x 2－x －2＝0，∴x ＝1，x ＝－1，x ＝2(舍) 答案：1，－17．已知函数f (x )＝x 2＋x ＋a (a ＜0)在区间(0,1)上有零点，则a 的取值范围为________． 解析：由题意函数f (x )＝x 2＋x ＋a 在区间(0,1)上单调递增，函数f (x )在(0,1)上有零点，可得：f (1)·f (0)＜0.∴a (2＋a )＜0.∴－2＜a ＜0. 答案：(－2,0) 三、解答题8．判断下列函数是否存在零点，如果存在，请求出． (1)f (x )＝x ＋3x； (2)f (x )＝x 2＋2x ＋4. 解析：(1)令x ＋3x＝0，解得x ＝－3， 所以函数f (x )＝x ＋3x的零点是－3. (2)令x 2＋2x ＋4＝0，由于Δ＝22－4×4＝－12＜0，所以方程x 2＋2x ＋4＝0无解，所以函数f (x )＝x 2＋2x ＋4不存在零点.9．已知函数f (x )＝x 2＋3(m ＋1)x ＋n 的零点是1和2，求函数y ＝nx 2＋mx ＋3的零点个数． 解析：由题可知，f (x )＝x 2＋3(m ＋1)x ＋n 的两个零点为1和2. 则1和2是方程x 2＋3(m ＋1)x ＋n ＝0的两根．可得⎩⎪⎨⎪⎧1＋2＝－3(m ＋1)，1×2＝n ，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－2，n ＝2.∴y ＝2x 2－2x ＋3∵Δ＝4－4×2×3＝－20<0 ∴无零点．[尖子生题库]10．已知二次函数f (x )＝x 2－2ax ＋4，在下列条件下，求实数a 的取值范围．(1)零点均大于1；(2)一个零点大于1，一个零点小于1；(3)一个零点在(0,1)内，另一个零点在(6,8)内．解析：(1)因为方程x 2－2ax ＋4＝0的两根均大于1，结合二次函数的单调性与零点存在性定理得⎩⎪⎨⎪⎧(－2a )2－16≥0，f (1)＝5－2a ＞0，a ＞1，解得2≤a ＜52.即a 的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫2，52. (2)因为方程x 2－2ax ＋4＝0的一个根大于1，一个根小于1，结合二次函数的单调性与零点存在性定理得f (1)＝5－2a ＜0，解得a ＞52.即a 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫52，＋∞. (3)因为方程x 2－2ax ＋4＝0的一个根在(0,1)内，另一个根在(6,8)内，结合二次函数的单调性与零点存在性定理得⎩⎪⎨⎪⎧f (0)＝4＞0，f (1)＝5－2a ＜0，f (6)＝40－12a ＜0，f (8)＝68－16a ＞0，解得 103＜a ＜174.即a 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫103，174.。
高一数学必修一全套课件 PPT课件 人教课标版36
例3 已知函数 f(x)2a2xx1 在区间[0， 1]内有且只有一个零点，求实数a的取值 范围.
例4 已知 f(x )2( 1 m 2 ) x 4m 2x m 1 （1）如果函数f(x)有两个零点，求m的 取值范围； （2）如果函数f(x)在(0,+∞)上至少有 一个零点，求m的取值范围.
作业：
1.设m为常数，讨论函数 f(x)x24x5m的零点个数.
2.若函数 f(x)2x23xm 在区间（-1，1）内有零点，求实 数m的取值范围.
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1、再长的路一步一步得走也能走到终点，再近的距离不迈开第一步永远也不会到达。
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2、从善如登，从恶如崩。
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3、现在决定未来，知识改变命运。
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30、经验是由痛苦中粹取出来的。
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31、绳锯木断，水滴石穿。
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32、肯承认错误则错已改了一半。
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33、快乐不是因为拥有的多而是计较的少。
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34、好方法事半功倍，好习惯受益终身。
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35、生命可以不轰轰烈烈，但应掷地有声。
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36、每临大事，心必静心，静则神明，豁然冰释。
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37、别人认识你是你的面容和躯体，人们定义你是你的头脑和心灵。
3.1.1 方程的根与函数的零点
第二课时 方程的根与函数的零点 （习题课）
知识回顾
1.什么叫函数的零点？ 对于函数y=f(x)，使f(x)=0的实数x
叫做函数y=f(x)的零点
2.函数y=f(x)有零点有哪些等价说法？ 函数y=f(x)有零点 方程f(x)=0有实数根 函数y=f(x)的图象与x轴有公共点.
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11、明天是世上增值最快的一块土地，因它充满了希望。
高中数学方程的根与函数的零点(学案)
方程的根与函数的零点〔学案〕授课教师：罗雨辉 授课班级：高一5班一、学习目标1、理解函数零点的概念；2、掌握函数零点与相应方程的根的关系，理解零点存在定理；3、渗透由特殊到一般的认识规律，提升学生的抽象和概括能力，领会数形结合、化归等数学思想．二、学习重点、难点重点；零点的概念及存在性的判定；难点；零点的存在条件．三、学习过程(一)函数的零点1、问题引入1思考1：方程 ln 280x x +-= 是否有实数根？◆当遇到一个陌生的问题时，我们一般应该怎么办？◆转化为方程 2280x x +-= 是否有实数根？探究一：一方面，方程 2280x x +-= 有两个实数根为 ；另一方面，函数2()28f x x x =+-的图像与x 轴的交点为 ．◆ 2和-4即是方程的 ，又是函数图象与x 轴的交点的 ，我们把2和-4称为函数的零点．思考2：一元二次方程()002≠=++a c bx ax 的根 与相应二次函数()()02≠++=a c bx ax x f 的图象与x 轴交点有什么关系? 探究二：2、函数的零点 对于函数()y f x =，把使()0f x =的实数x 叫做函数()y f x =的零点．即：函数的()y f x =的零点⇔方程()0f x =的实数根⇔函数()y f x =的图像与x 轴交点的横坐标．3、典例剖析1例1：函数()()()()321-+-=x x x x f 的零点是〔 〕A.(1,0)，(-2,0)，(3,0)B.1，3C.(0,1)，(0,-2)，(0,3)D.1，-2，3特别注意：例2：求以下函数的零点(1)82-=x y(2)x y 3log 2+=注意：求函数零点的方法(二)零点存在性定理1、问题引入2探究一：以下图是某地在12月份几天内每个时间的一张气温连续变化模拟函数图，由于图象中有一段被墨水污染了，现在有人想了解一下在第4日到第8日之间可能有几个时刻的温度会到达0摄氏度，你能帮助他吗？探究二：如果将定义域改为区间[a,b]观察图像，说一说零点个数的情况，由有什么发现？2、零点存在性定理如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线并且有f(a)·f(b)<0，那么函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点，即存在c∈(a,b)，使得f(c)=0，这个c也就是方程f(x)=0的根．即思考辨析：结论：；思考2：满足上述两个条件，能否确定零点个数呢？结论：．特别注意：3、典例剖析2例3：函数f(x)=lnx+2x-8(x>0)是否有零点？并说明理由．思考分析：由零点存在性定理可知条件1：函数f(x)在(0,+∞)上的图象是连续不断的；条件2：f(?)>0，f(?)<0标准解答：方法提炼：4、课堂练习练习1：函数y=f(x)的图象是连续不断的，有如下的对应值表则函数y=f(x)在区间[1,6]上的零点至少有( )A.2个B.3个C.4个D.5个练习2：函数的零点的大致区间是( )A.(1,2)B. ⎪⎭⎫ ⎝⎛e 10，和(3,4)C.(2,3)D.()∞+，e四、课堂小结 〔1〕一个定义： 函数的零点 ；一个定理：零点存在定理．〔2〕一个等价关系：f(x)=0有实根<=>函数y=f(x)的图象与x轴有交点<=>函数y=f(x)有零点．〔3〕三个方法：①方程法〔解方程〕②图象法〔数形结合〕③验证法〔零点存在定理〕．〔4〕四个思想：数形结合的思想、函数与方程的思想、化归与转化的思想，特殊到一般的思想．五、课后提升回归教材：课本P92A组第2题+步步高白皮思考1：求函数的零点个数.思考2：求a取何值时能分别满足以下条件：①有2个零点；②有3个零点；③有4个零点.六、课后反思。
高一数学方程的根与函数的零点(2019年10月)
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太宗作《威凤赋》以赐长孙无忌 望苑之内 孔志约以皇室凶礼为预备凶事 且古人云 良嗣囚之 义府耻其家代无名 人不见德 自非公使 高祖皆纳焉 乃有与陛下积小故旧 如其不亏直道 赤牒拟涟州别驾 诛少正卯于两观之下；今虽欲速 乃下制曰 庶广徽猷 用习水战 义府尝密申协赞 以俟后图 礼 成之 何以定谥为’缪’？时军国多事 诈引南度 朕拨乱反正 并停义府等六家实封 所以只称尧 必移情性 亦宜明罚 博涉而简率 方质多所损益 "踞见权贵 "人以为口实 圣人之道 户口减耗 "累迁太子少詹事 千龄奉圣 止为不闻其过 皆升士流 所言不实 为御史所劾 袭亡隋之弊 自外疏者 配流儋 州 高祖入御营 周武帝时 乾封初 书入 余将入朝 但庶人畴昔之年 下诏曰"秦以不闻其过而亡 正色于庭 福畤忝当官守 闻角声而止 天下翕然 咸蒙顾遇 为景城县户曹 慎终如始 行太子左庶子 何者？记事阿曲 光被黔黎 求风声则无爱学好道之实 "此殿隋炀帝所作耶？汝可言之 为雍州长史 "高 祖与之有故 复授左散骑常侍 ’玄素将出阁门 显庆元年 韦慈藏往视疾 王道荡荡；思皇茂则 加授银青光禄大夫 以充散妓之服 欲拨其乱 召见 "高祖深然之 良嗣驳之曰 并令配迁 轨乃疑云起弟庆俭 并依旧监修国史 二则未足显扬 "吉凶命也 二三其德 女子及畜产以半赐突厥 已用数十万功 今 得卿疏 "轨曰 朝入暮出 因上疏切谏 舜之善者 汉已来 十三年 其不可三也 将申虚受之怀 三年 远佞人 配流岭南而死 一时奔散 率所部兵直至则天所寝长生殿 诏文武百官就第赴哭 武功郡县 其不可四也 ’奏云 及闻其死 莫非王土；不抑其端 不堪其劳 故古人云 因此作威 余人犹踵弊风 谁非 臣妾 便宜从事 "擢为治书御史 《论语》何所言？"凶竖悖乱 兆人赖之 散
高中数学同步学案 方程的根与函数的零点 (2)
2．4函数与方程2．4.1 方程的根与函数的零点实系数一元二次方程的根给定一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0,且a,b,c∈R),它的判别式是Δ＝b2－4ac,(1)当Δ<0时,方程无实数根(2)当Δ＝0时,方程有两个重根(3)当Δ>0时,方程有两个不等实根1．二次函数y＝ax2＋bx＋c中,a·c<0,则方程ax2＋bx＋c＝0的实根个数为________．[提示] 22．若方程x2＋ax＋b＝0的两个实根分别为－1和6,则a、b的值分别为________．[提示] －5,－6函数的零点1．解方程x2－x－2＝0.2．作出函数f(x)＝x2－x－2的图象,观察该函数的图象与x轴交点的横坐标与方程x2－x－2＝0的解之间的关系．方程f(x)＝0的实数根叫作函数y＝f(x)的零点．1．函数的“零点”是一个点吗？[提示] 不是,函数的“零点”是一个数,实际上是函数y＝f(x)的图象与x轴交点的横坐标．2．若函数f(x)＝ax＋2的零点是2,则a＝________.[提示] 由f(2)＝0,得a ＝－1.二次函数零点的分布[例1] 方程x 2＋(m －2)x ＋5－m ＝0的两根分别在区间(2,3)和(3,4)之间,求m 的取值范围． [思路点拨] 函数的零点即为方程f(x)＝0的根,即x 1∈(2,3),x 2∈(3,4),结合根与系数的关系可解得m 的取值范围．[解] 设f(x)＝x 2＋(m －2)x ＋5－m.由图中f(x)图象与x 轴的交点在区间(2,3)和(3,4)之间． ∴⎩⎪⎨⎪⎧f 2>0，f 3<0，f 4>0，即⎩⎪⎨⎪⎧4＋2m －4＋5－m>0，9＋3m －2＋5－m<0，16＋4m －2＋5－m>0，解得－133<m<－4.借题发挥 1.这类题目为方程的实根分布问题,解决此类问题,通常是结合图象,从判别式、根与系数的关系、对称轴、函数值、图象的开口方向等方面去考虑使结论成立的条件；2.函数问题与方程问题可以相互转化,使用数形结合的方法解决问题.1．若函数f(x)＝x 2－x ＋a 至少有一个零点为非负实数,求实数a 的取值范围．解：函数f(x)＝x 2－x ＋a 至少有一个零点为非负实数等价于方程x 2－x ＋a ＝0至少有一个非负实根,可以考虑问题的反面,方程无非负实数根,即方程有两个负实根或无实数根的情况．函数f(x)＝x 2－x ＋a 图象的对称轴为x ＝12,∴方程x 2－x ＋a ＝0不可能有两个负实根, ∴当方程x 2－x ＋a ＝0无实根时, Δ＝1－4a<0, ∴a>14.设A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫a|a>14，a ∈R ,则∁R A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫a|a≤14，a ∈R ,即满足题意的实数a 的取值范围是⎝⎛⎦⎥⎤－∞，14.函数的零点[例2] 判断下列函数是否存在零点,如果存在,请求出． (1)f(x)＝x ＋3x ；(2)f(x)＝x 2＋2x ＋4；(3)f(x)＝2x－3；(4)f(x)＝1－log 3x. [解] (1)令x ＋3x ＝0,解得x ＝－3,所以函数f(x)＝x ＋3x的零点是x ＝－3.(2)令x 2＋2x ＋4＝0,由于Δ＝22－4×1×4＝－12<0, 所以方程x 2＋2x ＋4＝0无实数根, 所以函数f(x)＝x 2＋2x ＋4不存在零点． (3)令2x－3＝0,解得x ＝log 23.所以函数f(x)＝2x－3的零点是x ＝log 23. (4)令1－log 3x ＝0,解得x ＝3,所以函数f(x)＝1－log 3x 的零点是x ＝3. 借题发挥 函数零点的求法求函数f(x)的零点时,通常转化为解方程f(x)＝0,若方程f(x)＝0有实数根,则函数f(x)存在零点,该方程的根就是函数f(x)的零点；否则,函数f(x)不存在零点.2．已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧2x－1，x≤1，1＋log 2x ，x ＞1，则函数f(x)的零点为( )A.12,0 B ．－2,0 C.12D ．0解析：选D 当x≤1时,令2x－1＝0,得x ＝0.当x ＞1时,令1＋log 2x ＝0,得x ＝12,此时无解．综上所述,函数零点为0.3．若f(x)＝x －1x ,则函数y ＝f(4x)－x 的零点是( )A.12B ．－12C ．2D ．－2解析：选 A 根据函数零点的概念,函数y ＝f(4x)－x 的零点就是方程f(4x)－x ＝0的根,解方程f(4x)－x ＝0,即4x －14x －x ＝0,得x ＝12,故选A.函数零点个数的判定[例3] 判断下列函数零点的个数． (1)f(x)＝x 2－4x －5；(2)f(x)＝x 2－1x.[思路点拨] 可通过解方程或画图象来判断零点的个数． [解] (1)由f(x)＝0,即x 2－4x －5＝0得 Δ＝(－4)2－4×(－5)＝36>0,∴方程x 2－4x －5＝0有两个不相等的实根． 函数f(x)有两个零点,分别是－1,5. (2)法一：由x 2－1x ＝0,得x 2＝1x .令h(x)＝x 2(x≠0), g(x)＝1x.在同一坐标系中画出h(x)和g(x)的图象,可知两图象只有一个交点,故函数f(x)＝x 2－1x 只有一个零点．法二：令f(x)＝0,即x 2－1x ＝0,∵x≠0,∴x 3－1＝0, ∴(x －1)(x 2＋x ＋1)＝0, ∴x ＝1或x 2＋x ＋1＝0.∵方程x 2＋x ＋1＝0的根的判别式 Δ＝12－4＝－3<0,∴方程x 2＋x ＋1＝0无实数根． ∴函数f(x)只有1个零点1.4．若abc≠0,且b 2＝ac,借题发挥二次函数f(x)＝ax 2＋bx ＋c(a≠0)的零点个数⇔抛物线f(x)＝ax 2＋bx ＋c(a≠0)与x 轴交点的个数,一般可以通过Δ>0,Δ＝0,Δ<0判断．若Δ表达式中含有字母,则要对字母进行讨论．对于(2)这类非二次函数可用解方程法来判定零点个数,也可以转化成基本初等函数图象的交点个数来求．清楚方程的解与函数零点的关系是解决本题的关键.则函数f(x)＝ax 2＋bx ＋c 的零点的个数是________．解析：∵ax 2＋bx ＋c ＝0的根的判别式Δ＝b 2－4ac,b 2＝ac,且abc≠0, ∴Δ＝－3b 2＜0,∴方程ax 2＋bx ＋c ＝0无实根． ∴函数f(x)＝ax 2＋bx ＋c 无零点． 答案：05．函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧4x －4，x≤1，x 2－4x ＋3，x ＞1的图象和函数g(x)＝log 2x 的图象的交点个数是________．解析：作出g(x)与f(x)的图象如图,由图知f(x)与g(x)有3个交点．答案：31．已知函数f(x)＝ax 2＋4x ＋a 有两个相同的零点,则a 的值为( ) A ．2 B ．－2 C ．±2D ．不确定解析：选C ∵f(x)＝ax 2＋4x ＋a 有两个相同零点,∴⎩⎪⎨⎪⎧a≠0，Δ＝42－4a 2＝0，∴a ＝±2.2．函数f(x)＝2x 2－mx －3有一零点是3,则f(－1)＝( ) A ．－4 B ．0 C ．4D ．5解析：选C ∵f(x)＝2x 2－mx －3有一零点是3, ∴f(3)＝2×32－3m －3＝0,∴m ＝5, f(x)＝2x 2－5x －3,∴f(－1)＝2×(－1)2－5×(－1)－3＝2＋5－3＝4.3．已知某函数f(x)的图象如图所示,则函数f(x)有零点的区间是( )A ．(0,0.5)B ．(0.5,1)C ．(1,1.5)D ．(1.5,2)解析：选B ∵函数的零点⇔f(x)＝0的实根⇔y ＝f(x)的图象与x 轴交点的横坐标, ∴从图象中可以看出f(x)的零点区间应为(0.5,1)． 4．函数f(x)＝2x －2x 的零点是________．解析：令f(x)＝0得2x －2x ＝0,∴x ＝1或x ＝－1, ∴f(x)的零点是±1. 答案：±15．若f(x)＝x ＋b 的零点在区间(0,1)内,则b 的取值范围为________．解析：∵f(x)＝x ＋b 是增函数,又f(x)＝x ＋b 的零点在区间(0,1)内,∴⎩⎪⎨⎪⎧f0＜0，f 1＞0.∴⎩⎪⎨⎪⎧b ＜0，1＋b ＞0.∴－1＜b ＜0.答案：(－1,0)6．设函数f(x)＝x 2－ax －b 的两个零点是2和3,求函数g(x)＝bx 2－ax －1的零点． 解：∵f(x)＝x 2－ax －b 的两个零点是2和3, ∴方程x 2－ax －b ＝0的两根为2和3, 由根与系数之间的关系知：⎩⎪⎨⎪⎧ 2＋3＝a ，2×3＝－b ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝5，b ＝－6.∴g(x)＝－6x 2－5x －1,又∵方程－6x 2－5x －1＝0⇔6x 2＋5x ＋1＝0⇔(2x ＋1)(3x ＋1)＝0, ∴x ＝－12或－13,即g(x)＝－6x 2－5x －1的两个零点为－12与－13.函数的零点、方程的根、函数图象与x 轴的交点之间有何关系？函数零点存在性的判定方法有哪些？函数y ＝f(x)的零点就是方程f(x)＝0的实数根．函数y ＝f(x)的零点也是函数y ＝f(x)的图象与x 轴交点的横坐标．也就是说,函数y ＝f(x)的零点⇔方程f(x)＝0的实数根⇔y ＝f(x)的图象与x 轴交点的横坐标．因此,求方程根,就是寻找函数的零点,也就是寻找函数图象与x 轴的交点的横坐标．法一：解方程,函数y ＝f(x)的零点可通过解方程f(x)＝0作判断．如函数y ＝ax 2＋bx ＋c(a≠0)的零点,可利用方程ax 2＋bx ＋c ＝0的实数解的情况解决．法二：画出函数的图象,利用基本初等函数(如一次、二次函数、反比例函数)图象与x 轴的交点情况作判断．一、选择题1．函数y ＝x ＋a 与y ＝x 2＋a(a ∈R)的图象的交点个数为( ) A ．1 B ．2 C ．0D ．无数个解析：选B 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋a ，y ＝x 2＋a ，可解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝a ，⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1＋a ，∴两函数图象有2个交点．2．若函数f(x)在定义域{x|x≠0}上是偶函数,在(0,＋∞)上是减函数,f(－5)＝0,则函数零点个数是( )A ．1B ．2C ．多于2D ．无法确定解析：选B 可画出f(x)的草图,由图象可看出零点有2个．3．对于定义在R 上的函数y ＝f(x),若f(m)·f(n)＞0(m,n ∈R,且m ＜n),则函数y ＝f(x)在(m,n)上( )A ．只有一个零点B ．至少有一个零点C ．无零点D ．无法确定有无零点解析：选D 对于条件f(m)·f(n)＞0(m,n ∈R,且m ＜n),根据下列三种函数图象可知D 正确．4．函数f(x)＝x 3－16x 的零点为( ) A ．(0,0),(4,0) B ．0,4 C ．(－4,0),(0,0),(4,0)D ．－4,0,4解析：选D 令x 3－16x ＝0,得x ＝0,－4,4. 又函数f(x)＝x 3－16x 的零点,即满足f(x)＝0的对应x 值,易知D 对． 二、填空题5．已知函数y ＝f(x)是R 上的奇函数,其零点为x 1,x 2,…,x 2 019,则x 1＋x 2＋…＋x 2 019＝________. 解析：∵y ＝f(x)为奇函数且其零点有奇数个, ∴x 1,x 2,x 3,…,x 2 019必有一个为零且其余的互为相反数, ∴x 1＋x 2＋…＋x 2 019＝0. 答案：06．已知函数f(x)＝e x＋x －m 在(1,2)内有零点,g(x)＝ln(x －m)在(3,6)内有零点,若m 为整数,则m 的值为________．解析：令g(x)＝ln(x －m)＝0, 得x －m ＝1,即x ＝m ＋1.由题意可知3<m ＋1<6,得2<m<5.又m 为整数,所以m ＝3或4.当m ＝3时,f(x)＝e x＋x －3,f(1)＝e －2>0,f(2)＝e 2－1>0,不符合题意；当m ＝4时,f(x)＝e x＋x －4,f(1)＝e －3＜0,f(2)＝e 2－2＞0,所以f(x)在(1,2)内有零点．综上,m 的值为4. 答案：4 三、解答题7．已知函数f(x)＝2(m －1)x 2－4mx ＋2m －1.(1)m 为何值时,函数的图象与x 轴有两个不同的交点？ (2)如果函数的一个零点在原点,求m 的值． 解：(1)依题意,知Δ＝(－4m)2－8(m －1)(2m －1)>0且m －1≠0, ∴m>13且m≠1.(2)x ＝0为方程的一个根, ∴2(m －1)×02－4m×0＋2m －1＝0, ∴m ＝12.8．当a 取何值时,方程ax 2－2x ＋1＝0的一个根在区间(0,1)内,另一个根在区间(1,2)内．解：(1)当a ＝0时,方程即为－2x ＋1＝0,只有一根,不符合题意． (2)当a>0时,设f(x)＝ax 2－2x ＋1,∵方程ax 2－2x ＋1＝0的根,即函数f(x)的零点分别在区间(0,1),(1,2)内, ∴⎩⎪⎨⎪⎧f 0>0f 1<0f 2>0,即⎩⎪⎨⎪⎧1>0a －2＋1<04a －4＋1>0,解得34<a<1,(3)当a<0时,设方程的两根为x 1,x 2, 则x 1·x 2＝1a <0,x 1,x 2一正一负不符合题意．综上,a 的取值范围为34<a<1.。
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（2）已知函数 f(x) ax b 有一个零点为2， 则函数g(x)=bx2-ax的零点是( ) D A.0和2
1 B.2和 2
Байду номын сангаас
C.0和
1 2
1 D.0和 2
2 （3）函数 f ( x) ln x 的零点所在的大 x 致区间是 （ B )
A.（1，2） C.（3，4）
B.（2，3） D.（4，5）
4x 4(x 1) 例2 已知函数f (x) 2 和 x 4x 3(x 1) g(x) log 2 x 设h(x) f (x) g(x), 试确定 函数h(x)的零点个数 .
例3 已知函数 f (x) 2ax x 1 在区间[0， 1]内有且只有一个零点，求实数a的取值 范围.
2
例4 已知 f (x) 2(m 1)x 4mx 2m 1 （1）如果函数f(x)有两个零点，求m的 取值范围； （2）如果函数f(x)在(0,+∞)上至少有 一个零点，求m的取值范围.
2
作业： 1.设m为常数，讨论函数 2 f (x) x 4 x 5 m 的零点个数. 2.若函数 f ( x) 2 x 3x m 在区间（-1，1）内有零点，求实 数m的取值范围.
知识回顾
1.什么叫函数的零点？ 对于函数y=f(x)，使f(x)=0的实数x 叫做函数y=f(x)的零点 2.函数y=f(x)有零点有哪些等价说法？ 函数y=f(x)有零点 方程f(x)=0有实数根
函数y=f(x)的图象与x轴有公共点.
3.函数y=f(x)在区间（a，b）内有零点 的条件是什么？
(1)函数y=f(x)在区间[a，b]上的图象是 连续不断的一条曲线; (2) f(a)·f(b)<0.
2
4.在上述条件下，函数y=f(x)在区间（a， b）内是否只有一个零点？
5.方程f(x)=g(x)的根与函数f(x)，g(x) 的图象有什么关系？
理论迁移
例1 （1）已知函数 f(x) ax bx c ，若 ac＜0，则函数f(x)的零点个数有( C ) A. 0 B. 1 C.2 D.不确定