(完整版)苏教版初二数学反比例函数讲义
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初二数学反比例函数讲义 上课时间:2014年__月___日
一、本节课知识点梳理
1、反比例函数的概念
2、反比例函数的图像及其性质
3、反比例系数k 的意义及其实际应用
二、重难点点拨
教学重点:反比例函数图像及其性质 教学难点:反比例函数k 的几何意义
三、典型例题与分析
知识点一:反比例函数概念
一般地,如果两个变量x 、y 之间关系可以表示成y=
x
k ,(k 为常数,k ≠0)的形式,那么称y 是x 的反比例函数。反比例函数形式还可以写成:xy=k ,y=kx -1
(k ≠0的常数) 1、在下列函数中,反比例函数是( )
A 11+=
x y B xy=0 C x
k y = D x y 21-= 2、如果函数1
2-=m x y 为反比例函数,则m 的值是 ( )
A 、1-
B 、0
C 、2
1
D 、1 知识点二:反比例函数的图象与性质
注意1:双曲线的两个分支是断开的,研究函数的增减性时,要将两个分支分别讨论,不能一概而论。
(1)已知y=
x
k
(k <0)的图象上有两点A (x 1,y 1)、B(x 2,y 2) ①若x 1<x 2<0,则y 1 与y 2大小关系是y 1 y 2 ;若0<x 1<x 2,则y 1 与y 2大小关系是y 1 y 2 ②若x 1<0<x 2,则y 1 与y 2大小关系是y 1 y 2
③若x 1<x 2,则y 1 与y 2大小关系是 。 (2)已知y=
x
k
(k > 0)的图象上有两点A (x 1,y 1)、B(x 2,y 2) ①若x 1<x 2<0,则y 1 与y 2大小关系是y 1 y 2 ;若0<x 1<x 2,则y 1 与y 2大小关系是y 1 y 2 ②若x 1<0<x 2,则y 1 与y 2大小关系是y 1 y 2 ③若x 1<x 2,则y 1 与y 2大小关系是 。
注意2:反比例函数图象是以原点为对称中心的中心对称图形,是以直线y=x 和y=x -为对称轴的轴对称图形。
【例1】在反比例函数x
y 1
-=的图像上有三点(1x ,)1y ,(2x ,)2y ,(3x ,)3y 。若3210x x x >>>则
下列各式正确的是( )
A .213y y y >>
B .123y y y >>
C .321y y y >>
D .231y y y >> 练习:
1.下列函数中,y 随x 增大而增大的是_______
A y=-x+1
B y=x
43- C y=x 21 D y=2x-1
2.反比例函数y=
x
k
图象在第二四象限,则一次函数y=kx-5的图象不经过_____象限。 3.在同直角坐标系中,函数y=kx-k 与y=x
k
(k ≠0)的图象大致是___________。
4.已知反比例函数3
y x
=
, ①若x <-3,则y 的取值范围 ②若y >-1,则x 的取值范围
知识点三:反比例函数y=
x
k
比例系数k 的意义 1. 如图过双曲线上任一点p (x 、y )作x 轴、y 轴垂线段PM 、PN 所得矩形PMON 的面积S=PM ·PN=|y|·|x|=|xy|
∵y=
x
k
∴xy=k ∴s=|k|,即反比例函数y=
x
k
(k ≠0)中的比例系数k 的绝对值表示过双曲线上任意一点,作X 轴,Y 轴的垂线所得的矩形的面积。
2. 如图过双曲线上一点Q 向X 轴或Y 轴引垂线, 则S △AOQ =k 2
1
【例2】如图,Rt ΔABO 的顶点A 是双曲线k
y x =
与直线y x m =-+ •在第二象限的交点,AB 垂直x 轴于B ,且S △ABO =3
2
,
则反比例函数的解析式 .
【例3】如图,正比例函数(0)y kx k =>与反比例函数2
y x
=
的图象相交于A 、C 两点, 过点A 作AB ⊥x 轴于点B ,连结BC .则ΔABC 的面积等于( ) A .1 B .2 C .4 D .随k 的取值改变而改变. 练习:
1、老师在同一个直角坐标系中画了一个反比例函数(0)k
y k x
=
≠的图象以及正比例函数2y x =-的图象,请同学观察有什么特点。甲同学说:双曲线与直线2y x =-有两个交点;乙同学说:双曲线上任意一点到两坐标轴的距离的积都是5.请你根据甲、乙两位同学的说法,写出这个反比例函数的解析式 .
y
x
O
A
C
B
2、 如图A ,B 是函数x
y 1
=
的图象上关于原点O 对称的任意两点, AC 平行与y 轴,BC 平行于x 轴,△ABC 的面积为S 。则( )
A 、S=1
B 、1<S <2
C 、S=2
D 、S >2
3、如图,在平面直角坐标系中,直线2
k y x =+
与双曲线k
y x =在第一象限交于点A ,
与x 轴交于点C ,AB ⊥x 轴,垂足为B ,且AOB S Λ=1.求: (1)求两个函数解析式; (2)求△ABC 的面积.
知识点四:待定系数法
【例4】已知正比例函数kx y =与反比例函数3
y x
=的图象都过A (m ,1),正比例函数的解析式为_________________. 练习:
1.已知y=
x
k
(k ≠0)的图象经过(3,2)则k= 。 2.若y 与x 成反比例,x 与z 成正比例,则y 是z 的( )
A 、正比例函数
B 、反比例函数
C 、一次函数
D 、不能确定
3、已知21y y y -=,1y 与x 成反比例,2y 与2-x 成正比例,且x =1时,y =-1;x =3时,
y =5,求x =5时y 的值。
知识点五:反比例函数与正比例函数的交点问题
直线x k y 1=与双曲线x
k y 2
=
的交点情况: ①当1k 与2k 满足:______________,直线x k y 1=与双曲线x
k y 2
=
无交点 O
A B