2016年高考山东理科数学试题及答案(word解析版)

2016年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）数学（理科）第Ⅰ卷（共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． （1）【2016年山东，理1，5分】若复数z 满足232i z z +=-，其中i 为虚数为单位，则z =（ ）（A ）12i + （B ）12i - （C ）12i -+ （D ）12i -- 【答案】B【解析】设(),,z a bi a b R =+∈，则2()i 23i 32i z z z z z a b a a b +=++=++=+=-，所以1,2a b ==-，故选B ． 【点评】本题考查复数的代数形式混合运算，考查计算能力． （2）【2016年山东，理2，5分】已知集合{}{}22,,10x A y y x R B x x ==∈=-<，则A B =（ ）（A ）()1,1- （B ）()0,1 （C ）()1,-+∞ （D ）()0,+∞【答案】C【解析】由题意()0,A =+∞，()1,1B =-，所以()1,AB =-+∞，故选C ．【点评】本题考查并集及其运算，考查了指数函数的值域，考查一元二次不等式的解法，是基础题． （3）【2016年山东，理3，5分】某高校调查了200名学生每周的自习时间（单位：小时），制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是[]17.5,30，样本数据分组为[)17.5,20，[)20,22.5，[)22.5,25，[)25,27.5，[]27.5,30．根据直方图，这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数是（ ）（A ）56 （B ）60 （C ）120 （D ）140 【答案】D【解析】由图可知组距为2.5，每周的自习时间少于22.5小时的频率为(0.020.1) 2.50.30+⨯=， 所以，每周自习时间不少于22.5小时的人数是()20010.30140⨯-=人，故选D ． 【点评】本题考查的知识点是频率分布直方图，难度不大，属于基础题目．（4）【2016年山东，理4，5分】若变量x ，y 满足22390x y x y x +≤⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩，则22x y +的最大值是（ ）（A ）4 （B ）9 （C ）10 （D ）12 【答案】C【解析】由22x y +是点(),x y 到原点距离的平方，故只需求出三直线的交点()()()0,2,0,3,3,1--，所以()3,1-是最优解，22x y +的最大值是10，故选C ．【点评】本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法和数学转化思想方法，是中档题． （5）【2016年山东，理5，5分】有一个半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如右图所示，则该几何体的体积为（ ）（A ）1233+π （B ）1233+π （C ）1236+π （D ）216+π【答案】C【解析】由三视图可知，半球的体积为26π，四棱锥的体积为13，所以该几何体的体积为1236+π，故选C ．【点评】本题考查的知识点是由三视图，求体积和表面积，根据已知的三视图，判断几何体的形状是解答的关键．（6）【2016年山东，理6，5分】已知直线,a b 分别在两个不同的平面α，β内，则“直线a 和直线b 相交”是“平面α和平面β相交”的（ ）（A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件 （C ）充要条件 （D ）既不充分也不必要条件【答案】A【解析】由直线a 和直线b 相交，可知平面αβ、有公共点，所以平面α和平面β相交．又如果平面α和平面β相交，直线a 和直线b 不一定相交，故选A ．【点评】本题考查的知识点是充要条件，空间直线与平面的位置关系，难度不大，属于基础题． （7）【2016年山东，理7，5分】函数()()()3sin cos 3cos sin f x x xx x =+-的最小正周期是（ ）（A ）2π（B ）π （C ）32π （D ）2π【答案】B【解析】由()2sin cos 3cos 22sin 23f x x x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，所以，最小正周期是π，故选B ．【点评】本题考查的知识点是和差角及二倍角公式，三角函数的周期，难度中档．（8）【2016年山东，理8，5分】已知非零向量,m n 满足143,cos ,3m n m n =<>= ，若()n tm n ⊥+则实数t 的值为（ ）（A ）4 （B ）4- （C ）94 （D ）94-【答案】B【解析】因为21cos ,4nm m n m n n =⋅<>=，由()n tm n ⊥+，有()20n tm n tmn n +=+=，即2104t n ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，4t =-，故选B ．【点评】本题考查的知识点是平面向量数量积的运算，向量垂直的充要条件，难度不大，属于基础题． （9）【2016年山东，理9，5分】已知函数()f x 的定义域为R ，当0x <时，3()1f x x =-；当11x -≤≤时，()()f x f x -=-；当12x >时，1122f x f x ⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则()6f =（ ）（A ）2- （B ）1- （C ）0 （D ）2 【答案】D【解析】由1122f x f x ⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，知当12x >时，()f x 的周期为1，所以()()61f f =．又当11x -≤≤时，()()f x f x -=-，所以()()11f f =--．于是()()()()3611112f f f ⎡⎤==--=---=⎣⎦，故选D ．【点评】本题考查函数值的计算，考查函数的周期性，考查学生的计算能力，属于中档题． （10）【2016年山东，理10，5分】若函数()y f x =的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称()y f x =具有T 性质．下列函数具有T 性质的是（ ）（A ）sin y x = （B ）ln y x = （C ）x y e = （D ）3y x = 【答案】A【解析】因为函数ln y x =，x y e =的图象上任何一点的切线的斜率都是正数；函数3y x =的图象上任何一点的切线的斜率都是非负数．都不可能在这两点处的切线互相垂直，即不具有T 性质，故选A ．【点评】本题考查的知识点是利用导数研究曲线上某点切线方程，转化思想，难度中档．第II 卷（共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分 （11）【2016年山东，理11，5分】执行右边的程序框图，若输入的的值分别为0和9，则输出i 的值为 ． 【答案】3【解析】i 1=时，执行循环体后1,8a b ==，a b >不成立；i 2=时，执行循环体后3,6a b ==，a b >不成立；i 3=时，执行循环体后6,3a b ==，a b >成立；所以i 3=，故填 3.【点评】本题考查的知识点是程序框图，当循环次数不多，或有规律可循时，可采用模拟程序法进行解答．（12）【2016年山东，理12，5分】若52ax ⎛+ ⎝的展开式中5x 的系数是80-，则实数a = ．【答案】2-【解析】由()2322235555C C 80ax a x x ==-，得2a =-，所以应填2-．【点评】考查了利用二项式定理的性质求二项式展开式的系数，属常规题型．（13）【2016年山东，理13，5分】已知双曲线()2222:10,0x y E a b a b-=>>，若矩形ABCD 的四个顶点在E 上，,AB CD的中点为E 的两个焦点，且23AB BC =，则E 的离心率为 ．【答案】2【解析】由题意BC 2c =，所以2AB 3BC =，于是点3,2c c ⎛⎫⎪⎝⎭在双曲线E 上，代入方程，得2222914c c a b -=，在由222a b c +=得E 的离心率为2ce a==．【点评】本题考查双曲线的离心率的求法，注意运用方程的思想，正确设出A B C D ，，，的坐标是解题的关键，考查运算能力，属于中档题．（14）【2016年山东，理14，5分】在[]1,1-上随机的取一个数k ，则事件“直线y kx =与圆()2259x y -+=相交”发生的概率为 ．【答案】34【解析】首先k 的取值空间的长度为2，由直线y kx =与圆22(5)9x y -+=相交，得事件发生时k 的取值空间为33,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，其长度为32，所以所求概率为33224=． 【点评】本题主要考查了几何概型的概率，以及直线与圆相交的性质，解题的关键弄清概率类型，同时考查了计算能力，属于基础题．（15）【2016年山东，理15，5分】在已知函数()2,24,x x mf x x mx m x m ⎧≤⎪=⎨-+>⎪⎩，其中0m >，若存在实数b ，使得关于x 的方程()f x b =有三个不同的根，则m 的取值范围是 ．【答案】()3,+∞【解析】因为()224g x x mx m =-+的对称轴为x m =，所以x m >时()224f x x mx m =-+单调递增，只要b 大于()224g x x mx m =-+的最小值24m m -时，关于x 的方程()f x b =在x m >时有一根；又()h x x =在x m ≤，0m >时，存在实数b ，使方程()f x b =在x m ≤时有两个根，只需0b m <≤；故只需24m m m -<即可，解之，注意0m >，得3m >，故填()3+∞，． 【点评】本题考查根的存在性及根的个数判断，数形结合思想的运用是关键，分析得到24m m m -<是难点，属于中档题．三、解答题：本大题共6题，共75分．（16）【2016年山东，理16，12分】在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为a,b,c ，已知()tan tan 2tan tan cos cos A BA B B A+=+． （1）证明：2a b c +=； （2）求cos C 的最小值．解：（1）由()tan tan 2tan tan cos cos A B A B B A +=+得sin sin sin 2cos cos cos cos cos cos C A BA B A B A B⨯=+，2sin sin sin C B C =+， 由正弦定理，得2a b c +=．（2）由()222222cos 22a b ab ca b c C ab ab +--+-==222333111122222c c ab a b =-≥-=-=+⎛⎫⎪⎝⎭．所以cos C 的最小值为12．【点评】考查切化弦公式，两角和的正弦公式，三角形的内角和为π，以及三角函数的诱导公式，正余弦定理，不等式222a b ab +≥的应用，不等式的性质．（17）【2016年山东，理17，12分】在如图所示的圆台中，AC 是下底面圆O 的直径，EF 是上底面圆O '的直径，FB 是圆台的一条母线．（1）已知,G H 分别为,EC FB 的中点，求证：//GH 平面ABC ；（2）已知123,2EF FB AC AB BC ====，求二面角F BC A --的余弦值．解：（1）连结FC ，取FC 的中点M ，连结,GM HM ，因为//GM EF ，EF 在上底面内，GM 不在上底面内，所以//GM 上底面，所以//GM 平面ABC ；又因为//MH BC ，BC ⊂平 面ABC ，MH ⊄平面ABC ，所以//MH 平面ABC ；所以平面//GHM 平面ABC ，由GH ⊂平面GHM ，所以//GH 平面ABC ．（2）连结OB ，AB BC =OA OB ∴⊥，以为O 原点，分别以,,OA OB OO '为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系．123,2EF FB AC AB BC ====，22()3OO BF BO FO '=--=，于是有()23,0,0A ，()23,0,0C -，()0,23,0B ，()0,3,3F ，可得平面FBC 中的向量()0,3,3BF =-， ()23,23,0CB =，于是得平面FBC 的一个法向量为()13,3,1n =-，又平面ABC 的 一个法向量为()20,0,1n =，设二面角F BC A --为θ， 则121217cos 77n n n n θ⋅===⋅．二面角F BC A --的余弦值为77． 【点评】本题考查线面平行的证明，考查二面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．（18）【2016年山东，理18，12分】已知数列{}n a 的前n 项和238n S n n =+，{}n b 是等差数列，且1n n n a b b +=+．（1）求数列{}n b 的通项公式；（2）令1(1)(2)n n n nn a c b ++=+．求数列{}n c 的前n 项和n T ．解：（1）因为数列{}n a 的前n 项和238n S n n =+，所以111a =，当2n ≥时，221383(1)8(1)65n n n a S S n n n n n -=-=+----=+，又65n a n =+对1n =也成立，所以65n a n =+．又因为{}n b 是等差数列，设公差为d ，则12n n n n a b b b d +=+=+．当1n =时，1211b d =-；当2n =时，2217b d =-，解得3d =，所以数列{}n b 的通项公式为312n n a db n -==+． （2）由111(1)(66)(33)2(2)(33)n n n n n n nn a n c n b n +++++===+⋅++，于是23416292122(33)2n n T n +=⋅+⋅+⋅+++⋅，两边同乘以２，得341226292(3)2(33)2n n n T n n ++=⋅+⋅++⋅++⋅，两式相减，得2341262323232(33)2n n n T n ++-=⋅+⋅+⋅++⋅-+⋅22232(12)32(33)212n n n +⋅-=⋅+-+⋅-2221232(12)(33)232n n n n T n n ++=-+⋅-++⋅=⋅．【点评】本题考查数列的通项与求和，着重考查等差数列的通项与错位相减法的运用，考查分析与运算能力，属于中档题．（19）【2016年山东，理19，12分】甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语，在一轮活动中，如果两人都猜对，则“星队”得3分；如果只有一人猜对，则“星队”得1分；如果两人都没猜对，则“星队”得0分．已知甲每轮猜对的概率是34，乙每轮猜对的概率是23；每轮活动中甲、乙猜对与否互不影响，各轮结果也互不影响．假设“星队”参加两轮活动，求： （1）“星队”至少猜对3个成语的概率；（2）“星队”两轮得分之和X 的分布列和数学期望EX ． 解：（1）“至少猜对3个成语”包括“恰好猜对3个成语”和“猜对4个成语”．设“至少猜对3个成语”为事件A ；“恰好猜对3个成语”和“猜对4个成语”分别为事件C B ,，则1122332131225()4433443312P B C C =⋅⋅⋅⋅+⋅⋅⋅⋅=；33221()44334P C =⋅⋅⋅=．所以512()()()1243P A P B P C =+=+=．（2）“星队”两轮得分之和X 的所有可能取值为0，1，2，3，4，6，于是11111(0)4343144P X ==⋅⋅⋅=；112212*********(1)4343434314472P X C C ==⋅⋅⋅+⋅⋅⋅==； 1211223311132125(2)443344334433144P X C ==⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅⋅=；123211121(3)434314412P X C ==⋅⋅⋅==； 12321231605(4)()43434314412P X C ==⋅⋅⋅+⋅==；3232361(6)43431444P X ==⋅⋅⋅==； XX 的数学期望01234614472144121241446EX =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯==． 【点评】本题考查离散型随机变量的分布列和数学期望，属中档题．（20）【2016年山东，理20，13分】已知221()(ln ),x f x a x x a R x-=-+∈．（1）讨论()f x 的单调性；（2）当1a =时，证明3()()2f x f x '>+对于任意的[1,2]x ∈成立． 解：（1）求导数3122()(1)x f x a x x'=－－－23(1)(2x ax x =－－)，当0a ≤时，x ∈(0,1)，()0f x '>，()f x单调递增， x +∞∈(1,)，()0f x '<，()f x 单调递减当0a >时，()()()233112()a x x x x ax f x x x ⎛-+ --⎝⎭⎝⎭'== ①当02a <<1>，x ∈(0,1)或x ⎫+∞⎪⎪⎭∈，()0f x '>，()f x单调递增，x ⎛ ⎝∈，()0f x '<，、()f x 单调递减；②当a =２1=， x ∈+∞(0,)，()0f x '≥，()f x 单调递增， ③当a >２时，01<，x ⎛∈ ⎝或()x ∈+∞1,，()0f x '>，()f x 单调递增，x ⎫∈⎪⎪⎭1，()0f x '<， ()f x 单调递减．（2）当1a =时，221()ln x f x x x x=+－－，2323(1)(212()1x x f x x x x x '==+－－)2－－， 于是2232112()()ln 1)x f x f x x x x x x x '=++－2－－－(－－23312ln 1x x x x x =--++-，[1,2]x ∈令()g ln x x x =-，2332h()x x x x=-++-11，[1,2]x ∈，于是()()g(()f x f x x h x '-=+）， 1g ()10x x x x-'=-=≥1，()g x 的最小值为()11g =；又22344326326()x x h x x x x x --+'=--+=， 设()2326x x x θ=--+，[1,2]x ∈，因为()11θ=，()210θ=-，所以必有0[1,2]x ∈，使得()00x θ=，且01x x <<时，()0x θ>，()h x 单调递增；02x x <<时，()0x θ<，()h x 单调递减；又()11h =，()122h =，所以()h x 的最小值为()122h =．所以13()()g(()g(1(2)122f x f x x h x h '=+>+=+=））－． 即3()()2f x f x '>+对于任意的[1,2]x ∈成立． 【点评】本题考查利用导数加以函数的单调性，考查了利用导数求函数的最值，考查了分类讨论的数学思想方法和数学转化思想方法，是压轴题．（21）【2016年山东，理21，14分】平面直角坐标系xOy 中，椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>，抛物线2:2E x y =的焦点F 是C 的一个顶点． （1）求椭圆C 的方程；（2）设P 是E 上的动点，且位于第一象限，E 在点P 处的切线l 与C 交于不同的两点,A B ，线段AB 的中点为D ，直线OD 与过P 且垂直于x 轴的直线交于点M ． （i ）求证：点M 在定直线上；（ii ）直线l 与y 轴交于点G ，记PFG ∆的面积为1S ，PDM ∆的面积为2S ，求12SS 的最大值及取得最大值时点P 的坐标．解：（1，有224a b =，又抛物线22x y =的焦点坐标为10,2F ⎛⎫⎪⎝⎭，所以12b =，于是1a =，所以椭圆C 的方程为2241x y +=．（2）（i ）设P 点坐标为()2,02m P m m ⎛⎫> ⎪⎝⎭，由22x y =得y x '=，所以E 在点P 处的切线l 的斜率为m ，因此切线l 的方程为22m y mx =-，设()()1122,,,A x y B x y ，()00,D x y ，将22m y mx =-代入2241x y +=，得()223214410m x m x m +-+-=．于是3122414m x x m +=+，312022214x x m x m +==+， 又()220022214m m y mx m -=-=+，于是直线OD 的方程为14y x m =-． 联立方程14y x m =-与x m =，得M 的坐标为1,4M m ⎛⎫- ⎪⎝⎭．所以点M 在定直线14y =-上．（ii ）在切线l 的方程为22m y mx =-中，令0x =，得22m y =-，即点G 的坐标为20,2m G ⎛⎫- ⎪⎝⎭，又2,2m P m ⎛⎫ ⎪⎝⎭，10,2F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以211(1)24m m S m GF +=⨯=；再由()32222,41241m m D m m ⎛⎫- ⎪ ⎪++⎝⎭，得 ()()22232222112122441841m m m m m S m m +++=⨯⨯=++于是有 ()()()221222241121m m S S m ++=+．令221t m =+， 得()12221211122t t S S t t t ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭==+-，当112t =时，即2t =时，12S S 取得最大值94．此时212m =，2m =，所以P点的坐标为14P ⎫⎪⎪⎝⎭．所以12S S 的最大值为94，取得最大值时点P的坐标为14P ⎫⎪⎪⎝⎭． 【点评】本题考查椭圆的方程的求法，注意运用椭圆的离心率和抛物线的焦点坐标，考查直线和抛物线斜的条件，以及直线方程的运用，考查三角形的面积的计算，以及化简整理的运算能力，属于难题．。