傅里叶变换的基本性质ppt课件

= 1
24
j
逆向应用
对所求函数先微分再表示成积分形式
例1： （书例3-7）用时域积分性质求y(t)的频谱
y(t) Y ( j)
1
0 t0
求导
t
解： Q y(t) t dy( )d
d
dy(t) dt
y1 (t )
Y1 (
j)
1
t0
t0 t
而
dy( d
)
Y1 (
j)
Sa
t0
2
e
j t0
F[ j( 0 )]
17
调制性：f
(t)
cos
0t
1 2
F
(
0
)
F
(
0
),
f
(t) sin
0t
j 2
F (
0 )
F (
0 )
证明：
F[ f (t) cos0t]
1 F[ f (t)e j0t ] 1 F[ f (t)e-j0t ]
2
2
1 2
F[
j(
0 )]
1 2
F[
j(
0
)]
F[ f (t) sin 0t]
ò f (t) =
dτ
- ? dτ
ò f1(t) =
t df1(τ) dτ - ? dτ
注意：微积分关系式成立的条件
35
第一步：求F2 (w)及F2 (0)：
F2 (w) =
F[ f2 (t)] =
F{2E [d(t + t
t )+ 2
d(t -
t )2
2d(t)]}
=
2E
-
(e
jwt 2
+
jwt
d dt
f (t)]=F[2d(t)] =
2
代入上式得： F() F1() 272
j j
8.时域微分特性
若 f (t) F ()
则d dt
f (t) 玾 F1(
)=
jwF(w )
d dt n
f (t)玾 Fn (
) = (jw )n F(w )
证明：书P.134
应用：ìïïíïïî
正向应用 逆向应用
第七节 傅里叶变换的基本性质
1
主要内容：
1.对称性质 2.线性性质 3.奇偶虚实性 4.尺度变换性质 5.时移特性
时域卷积定理 频域卷积定理
6.频移特性 7.时域积分性质 8.时域微分性质 9.频域微分性质 10.帕塞瓦尔定理
2
1.对称性(互易对偶性) (时频对称性)
若 f (t) F ()
则 F (t) 2 f ()
0
(t )
2
(t )
2
f (t) E
0
2
t
2
34
解一：用时域积分性质
逆向应用
F (w) b
f (t)
F1 (w)
b
df (t) = dt
f1(t)
F2 (w) b
df1(t) = dt
f2 (t)
2E
E
求导
再求导
2E
2E
0
2
t
2
2
0
t
2
2E
0
2
t
2
4E
t df (τ)
t
0
0
( )
0
余弦信号及其频谱函数
注意：周期信号也存在傅里叶变换
22
7.时域积分特性
若 f (t) F ()
则 t
f
(
)d
F ( ) j
F (0)，
f (t) t f (0)
F ()d
¥
jt
F(0) = ò f (t)dt
-?
证明方法一：书P.135 证明方法二：利用卷积定理
时移加尺度变换：
10
书例3-2： 求下列所示三脉冲信号的频谱。
解：令f0(t)表示矩形单脉冲信号
f (t)
E
F0
(w)
E
Sa(
w
2
)
T
0
T
t
22
f (t) f0 (t) f0 (t T ) f0(t T )
由时移特性可得：
F (w)
F0 (w)(1 e jwT
e jwT
)
E
Sa( w
+
p F1 (0)d(w)
,
而F1(0) =
¥
- ? f1(t)dt = 0
\
F (w) =
F1(w) = jw
1 (jw)2 [-
8E sin2 (wt )] =
t
4
Et 2
Sa2 (wt ) 4
37
解法二：用时域微分性质
逆向应用
第一步：判断能否逆用
Q f (t)满足f () f () 0 可以逆向应用时域微分性质
,
ò 而F2(0) =
¥
- ? f2 (t)dt = 0
\
F1(w）=
F2 (w) = jw
1 [jw
8E sin2 (wt )]
t
4
36
第三步：利用F1(w)求F (w)
ò Q f (t) =
t -?
df (τ) dτ
dτ 且
df (τ) dτ
玾Ｆ（１
）已求出。
ò \
F (w) =
F1(w) jw
df (t) dt
玾
F1(
)=
jwF(w )、
证明：F ( ) F1(w) [ f ( ) f ( )] ( )
jw
其中f (+ ? )、f ( ? )为有限值
特别：
当f (+ ? ) f (- ? ) 0时，
f (t) 玾 F (
)
= Fn (w) （jw）n
所有的时限信号都满足上述条件。
31
例3（补充）用时域微分性质求符号函数sgn(t)的频谱
t
,1t求, 求F[fF(t[)f](t)]
思路 ® 什么样的信号频谱含 1 w
Q FQ[sFg[sng(nt()t])]==
22 jjww
根根据据对对称称性性质质
\ \ FF[[j2jt2t]]== 22ppssggnn((-- ww)) == -- 22ppssggnn(w(w) )
\
\
F[F1t[]1t=] =-
R()偶对称，X()奇对称； （2）当f (t)为实偶函数时， F()为实偶函数； （3）当f (t)为实奇函时， F()为虚奇函数;
（4）当f (t)为纯虚函数时， F() 为偶函数，()为奇函数；
R()奇对称，X()偶对称7 ；
4.尺度变换特性 （展缩特性）
若 f (t) F ()
意义
则
f (at) F
)
1
求导
(2)
0
t
1
0
t
òt
Q
df (τ) dτ = f (t)- f (- ? )
- ? dτ
蝌 \ f (t) = t df (τ) dτ + f (- ? ) - ? dτ
t df (τ) dτ-1 ? dτ
\
F (w) =
F1 (w) jw
+
pF1(0)d(w) -
2p d(w)
而F1
(w)=F[
13
F 轾臌f0 (t)
=
F[ ωc π
Sa (ωct )]
= 1G2wc (w)
由时移特性得到
F0 ω
1
ωC o ωC
ω
(b)
F 轾臌f0 (t - 2τ) = e- j2wτ G2wc (w)
因此f (t)的频谱F(w)等于
.
F (ω)= F 轾 臌f0 (t) - F 轾 臌f0 (t - 2τ)
（有条件）
28
时域微分性质应用举例：
正向应用：
直接套用性质 即：
用原函数的傅氏变换来表示微分后的傅氏变换
例1：（补充）
已知F[u(t)] = 1 + pd(w),求 du(t)的傅里叶变换
jw
ห้องสมุดไป่ตู้dt
解： 直接套用性质
F[du(t)] = jwF[u(t)] dt
= jw[ 1 + pd(w)] = 1 jw
1 F[ f (t)e j0t ] 1 F[ f (t)e-j0t ]
2j
2j
j 2
F[
j(
0
)]
j 2
F[
j(
0
)]18
书例3-4 （书P133） 已知矩形调幅信号如图所示 f (t) G(t) cos(w0t)
其中G(t)为矩形脉冲，脉幅为E，脉宽为，试求其频谱。
解：G(t)矩形脉冲的频谱为： G(w) E Sa( w )
e2
-
2) = -
8E sin2 ( wt )
t
t
4
ò 且F2(0) =
¥
- ? f2 (t)dt = 0
第二步：利用F2 (w)求F1(w)：
ò Q f1(t) =
t df1(τ) dτ - ? dτ
且
df1(τ) dτ
玾Ｆ（２
）已求出。
\
F1(w) =
F2 (w) jw
+
pF2 (0)d(w)
f (t) « F(w)
E
0
2
t
2
df (t) f1(t) = dt ? F1(w)
d 2 f (t) f2 (t) = dt 2 ? F2 (w)
例1：
d(t) ? 1
1 ® 2pd(w)
3
例2：
f (t)
F(t) ESa( t )
2
f (t)
E
F
()
E
Sa
2
？ 2pf (w)
F
()
E
Sa
2
0
t
2
2
F (t) ESa( t )
2
2
0 2
t
2
0 2
w
2pf (- w) = 2pf (w)
2E
0
w4
2
2
例3
解：
已已知知f f(t()t=) =1
-
jp sgn(w)
jp sgn(w)
5
2.线性性
若 f1(t) F1(), f2 (t) F2 ()
则 a1f1(t) a2f2 (t) a1F1() a2F2 ()
其中，a1,a2为常数
6
3.奇偶虚实性
若 f (t) F () F() e j() R() jX()
则：
（1）当f (t)为实函数时: F()共轭对称 即：F() 偶对称，()奇对称；
2,
Y1(0) 1
Y
(
j)
Y1
( j) j
Y1
(0)
()
1
Sa
t0
e
j t0 2
()
j 2
25
易出错处：微分后再积分不一定等于原函数！ 取决于f (- ? )是否为0
26
例2（：补充）用时域积分性质求符号函数sgn(t)的频谱
解：
f (t) sgn(t) F()
df (t) = dt
f1(t) 玾 F1(
解： 逆向应用
sgn(t)
1
非时限信号，但满足f (+ ? ) f (- ? ) 0
0
t
1
Q f (t)满足f () f () 0 可以逆向应用时域微分性质
f (t) sgn(t) F()
f1(t) =
df (t) dt
玾
F1 (
)
1 求导
0
t
1
F () F1() 2
j j
(2)
0
t
32
29
逆向应用：
即：用微分后的傅氏变换来表示原函数的傅氏变换
例： 已知F[ du(t)] = 1,求u(t)的傅里叶变换。
dt
Q F[du(t)] = jwF[u(t)] = 1 dt
\ F[u(t)] =？ 1
jw
思考： 为什么结果错误？
30
逆向应用条件:
例2（补充）：
设f (t)] 玾 F(
)，
解一：
cos0t
1 2
(e
j0t
e
j0t
)
[
(
0 )
(
0 )]
解二： Q F[1] = 2pd(w)
注意“1”的作 用
\ F[cos(w0t)] = p[d(w+ w0 ) + d(w- w0 )]
21
cos0t
1 2
(e
j0t
e
j0t
)
[
(
0 )
(
0 )]
cos0t
1
F ()
( )
15
f t
ωC π
F ω
2
τ
o
2τ
t
ωC o ωC
ω
(d)
(e)
16
6.频移特性 （调制定理）
若 f (t) F ()
e 则 f (t) j0t F( m0 ) 0为是实常数
证明： 由傅立叶变换定义有
F[ f (t) e j0t ]
f (t)e j0te- jt dt f (t )e- j( -0 )t dt
应用：ìïïíïïî
正向应用 逆向应用
更常用
23
时域积分性质应用举例：
正向应用
直接套用性质 即：
用被积函数的傅氏变换来表示积分后的傅氏变换
t
ò 例1：(补充) 已知F[d(t)] = 1,求F[ d(τ)dτ] -?
解： 设F()=F[ (t)] 1,
则F[ t
f
( )d ]
F () j
F(0)
思考: 能否用时域微分性质求y(t)的频谱 Y( j)?
y(t)
1
0
t
t0
易出错处：逆向应用时域微分性质是有条件的
只有当f (+ ? ) f (- ? ) 0时，
f (t) 玾 F(
)
= Fn (w) （jw）n
33
例4（书例3-6）
已知三角脉冲信号 求其频谱 F(w)
f
(t)
E (1
2
t
)
=
(1-
e-
)G j2wτ 2wc
(w)
14
从中可以得到幅度谱为
F
(ω)
=
ìïïíïïî
2 0
sin (wτ)
( ω < ωc ) ( ω < ωc )
在实际中往往取τ = π ,此时上式变成 ωc
F
ω
2
sin
πω ωc
0
( ω ωc ) ( ω ωc )
双Sa信号的波形和频谱如图（d） （e）所示。
2
)1 2cos(wT )
11
其频谱如下：
F (w) 3E
2
0 2 4
TT
w
实偶信号的频谱为实偶
12
（书P133） 已知双Sa信号
f
t
ωc π
Saωct
Saωc
t
2τ
试求其频谱。
解： 令
f0t
ωc π
Saωc t
则 f (t)= f0 (t)- f0 (t - 2τ)
F[ f (t)] = F 轾 臌f0 (t) - F 轾 臌f0 (t - 2τ)
2 根据频移特性：f(t)的频谱F(w)为
F
(w)
1 2
G(w
w0 )
1 2
G(w
w0 )
E
2
Sa
(w
w0
)
2
E
2
Sa
(w
w0
)
2
19
f (t)
A
/2 0
/2
t
F ( j)
Eτ
0
f (t) cos0t
A
/2
/2
t
E
2
F ( j)
0
0
0
20
书例3-5 ： （书P134）
已知f (t) = cos(w0t) 利用频移定理求余弦信号的频谱。
1 a
F
a
,
a0
(a) 0<a<1 时域扩展，频带压缩。
(b) a>1 时域压缩，频域扩展a倍。
8
例：
结论：
时域压缩，则频域展宽；时域展宽，则频域压缩。
信号的持续时间与信号占有频带成反比
9
5.时移特性
式中t0为任意实数
注意： 信号在时域中的时移，对应频谱函数在频域
中产生的附加相移，而幅度频谱保持不变。