特征值与特征向量定义与计算

特征值与特征向量

特征值与特征向量的概念及其计算

定义1. 设A是数域P上的一个n阶矩阵，λ是一个未知量，

称为A的特征多项式，记ƒ(λ)=| λE-A|，是一个P上的关于λ

的n次多项式，E是单位矩阵。

ƒ(λ)=| λE-A|=λn+α1λn-1+…+αn= 0是一个n次代数方程，称为A 的特征方程。特征方程ƒ(λ)=| λE-A|=0的根 (如：λ0) 称为A的特征根(或特征值)。 n次代数方程在复数域内有且仅有n 个根，而在实数域内不一定有根，因此特征根的多少和有无，不仅与A有关，与数域P也有关。

以A的特征值λ0代入 (λE-A)X=θ，得方程组 (λ0E-A)X=θ，是一个齐次方程组，称为A的关于λ0的特征方程组。因为 |λ0E-A|=0，(λ0E-A)X=θ必存在非零解X(0)，X(0) 称为A的属于λ0的特征向量。所有λ0的特征向量全体构成了λ0的特征向量空间。

一.特征值与特征向量的求法

对于矩阵A，由AX=λ0X，λ0EX=AX，得：

[λ0E-A]X=θ即齐次线性方程组

有非零解的充分必要条件是：

即说明特征根是特征多项式 |λ0E-A| =0的根，由代数基本定理

有n个复根λ1, λ2,…, λn，为A的n个特征根。