常用逻辑用语
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常用逻辑用语
一、知识概述
本周我们学习了常用的逻辑用语,体会逻辑用语在表述和论证中的作用,利用这些逻辑用语准确地表达数学内容。逻辑是研究思维规律的学科,而学习数学需要全面准确地理解概念,正确地进行表述、判断、和推理,这些都离不开对逻辑知识的掌握和运用。
在学习过程方面,首先在各节中介绍了命题、真命题、假命题、命题的条件和结论的基本概念,以及原命题、逆命题、否命题、逆否命题的概念,归纳了四种命题之间的关系,借助于互为逆否命题具有相同的真假性判断命题的真假. 除次之外,还介绍了充分条件,必要条件和充要条件. 对于简单的逻辑联结词“且”“或”“非”,规定了判断由他们联结得到的新命题真假的法则, 最后介绍了全称量词、存在量词以及含有一个量词的命题的否定.
二、重难点知识归纳
1、命题及其关系
(1)一般地,我们把用语言、符号或式子表达的,可以判断真假的陈述句叫做命题(proposition). 其中判断为真的语句叫做真命题(true proposition),判断为假的语句叫做假命题(false proposition).
强调:①注意命题与假命题的区别.如:“作直线AB”.这本身不是命题.也更不是假命题.
②命题是一个判断,判断的结果就有对错之分.因此就要引入真命题、假命题的的概念,强调真假命题的大前提,首先是命题。
(2)原命题、逆命题、否命题、逆否命题
交换原命题的条件和结论,所得的命题就是它的逆命题(inverse proposition);
同时否定原命题的条件和结论,所得的命题就是它的否命题(negative proposition);
交换原命题的条件和结论,并且同时否定,所得的命题就是它的逆否命题(inverse and negative proposition)
①若p q ,但q p,则p是q的充分但不必要条件;
②若q p,但p q,则p是q的必要但不充分条件;
③若p q,且q p,则p是q的充要条件;
④若p q,且q p,则p是q的既不充分也不必要条件
3、简单的逻辑联结词
(1)理解“且”“
理解“且”“或”定义的同时我们还要注意:
“p或q”,“p且q”,命题中的“p”、“q”是两个命题,而原命题,逆命题,否命题,逆否命题中的“p”,“q”是一个命题的条件和结论两个部分.
(2)注意命题的否定与否命题的区别,并掌握下面真值表:
注意:
时进行否定.
4、全称量词与存在量词
“所有的”“任意一个” 这样的词语,这些词语一般在指定的范围内都表示整体或全
部,这样的词叫做全称量词(universal quantifier),用符号“ ”表示,含有全称量词的命
题,叫做全称命题,可用符号简记为:x∈M, p(x).
“存在一个”“至少有一个”这样的词语,这些词语都是表示整体的一部分的词叫做存在量词(existential quantifier)。并用符号“”表示。含有存在量词的命题叫做特称命题(或
存在命题),可以用符号简记为:.
在学习含有一个量词的命题的否定时,需要注意的是:
要正确地对含有一个量词的全称命题或特称命题进行否定,如全称命题“所有的矩形都是平行四边形”的否定是命题“并非所有的矩形都是平行四边形”,而不是命题“所有的矩形都不是平行四边形”,要注意它们的区别.
三、典型例题解析
例1、有下面四个命题:
(1)“若xy=1,则x、y互为倒数”的逆命题;
(2)“面积相等的三角形全等”的否命题;
(3)“若,则有实根”的逆否命题;
(4)“若,则”的逆否命题.其中真命题是()
A.(1)(2)B.(2)(3)
C.(1)(2)(3)D.(3)(4)
解析:
(1)的逆命题为:若x、y互为倒数,则xy=1.是真命题;
(2)的否命题为:面积不相等的三角形不全等.是真命题;
(3)的逆否命题为:若方程无实根,则.是真命题;
(4) 的逆否命题为:若,则.是假命题.
故选C.
例2、若命题“”是真命题,“”是真命题,则()
A.命题p可能是真命题
B.命题q可能是假命题
C.命题q一定是真命题
D.命题q 是真命题或者是假命题
解析:
本题主要考察几种联结词的定义及它们之间的关系.
由“”是真命题可得p一定是假命题
又因为“”是真命题,由真值表可查得q一定是真命题.
故选C.
例3、已知真命题“”和“”则“c≤d”是“e≤f”的()
A、充分不必要条件
B、充要条件
C、必要不充分条件
D、既不充分也不必要条件
解析:
首先要明白各种命题之间的关系.
因为命题“”为真;
那么它的逆否命题“”也一定为真;
所以有“”
而,故选A.
例4、写出下列命题的否定:
(1)
(2)
(3)
解析:
牢记全称命题与特称命题的含义是解答本题的关键,要记住下面这个结论: 全称命题P:
它的否定¬P:
特称命题P:
它的否定¬P:x∈M,¬P(x)
则上面三个命题的否定为:
(1)
(2)
(3)
例5、下列三个命题:
(1)“若A∩B=A,则A B”的逆否命题;
(2)“a=0”是“a2+b2=0”的充分条件;
(3)函数的递减区间为(-∞,0)∪(0,+∞).
其中正确的命题是_____________.
解析:
本题主要考查基本概念以及基本技能.
(1)因互为逆否命题等价,故只须判定“若A∩B=A,则A B”的真假,显然是真命题,所以(1)为真.
(2)“a=0”成立,不能推出“a2+b2=0”成立,故为假.而应该“a=0”是“a2+b2=0”的必要不充分条件.
(3)为假.
故正确的命题有(1).