第5章 计算机控制系统的离散状态空间设计

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kT
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（5－1－４）
作变量置换，令： t kT T
x(kT T ) e AT x(kT ) T e At Bdt u(kT ) 0
（5－1－５）
由此可得系统连续部分的离散化状态空间表达式
x(k 1) Fx(k) Gu(k)
y(k)
Cx(k )
（5－1－６）
根据状态方程的解，有
x(N ) F N x(0) F N1Gu(0) F N2Gu(0) FGu(N 2) Gu(N 1)
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写成矩阵形式
x(N ) F N x(0) F N1G
F N2G
u(0)
G
u(1)
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u(N 1)
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则 u(0) 、u(1) 、…、u(N 1)有解的充分必要条件， 也即系统的能控性判据为
即：
k 1
x(k) F k x(0) F k j1Gu( j)
j0
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离散时间系统的能控性
能控性定义：对于式
x(k 1) Fx(k) Gu(k)
y(k
)
Cx(k )
描述的系统，如果存在有限个控制信号 u(0)，u(1)
…、u(N 1)，能使系统从… 任意初始状态 x(0) 转移 到终态 x(N ) ，则系统是状态完全能控的。
~x(k 1) Fx(k) Gu(k) Fxˆ(k) Gu(k) KCx(k) Cxˆ(k) (F KC)~x(k)
预报观测器的特征方程： zI F KC 0
状态重构误差的动态性能取决于特征方程根的分布。若 F KC
的特性是快速收敛的，则对于任何初始误差~x(0)，~x(k) 都将快
xˆ(k 1) Fxˆ(k) Gu(k) Ky(k) Cxˆ(k)
u(k) Lxˆ(k)
2）分离性原理
闭环系统的状态方程为
x(k 1) Fx(k) GLxˆ(k) xˆ(k 1) KCx(k) (F GL KC)xˆ(k)
矩阵形式：
x(k
xˆ (k
1) 1)
F KC
GL x(k)
C
模型 F , G
xˆ (k )
C
yˆ (k )
K
图5-4 状态观测器结构图
常用的状态观测器有三种。
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✓预报观测器
观测器方程 xˆ(k 1) Fxˆ(k) Gu(k) Ky(k) Cxˆ(k)
状态重构误差为： ~x(k 1) x(k 1) xˆ(k 1) 得状态重构误差方程为：
第5章 计算机控制系统的 离散状态空间设计
本章主要内容：
1 状态空间描述的基本概念 2 采用状态空间模型的极点配置设计 3 采用状态空间模型的最优化设计
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状态空间设计法是建立在矩阵理论基础上、采 用状态空间模型对多输入多输出系统进行描述、分 析和设计的方法。用状态空间模型能够分析和设计 多输入多输出系统、非线性、时变和随机系统等复 杂系统，可以了解到系统内部的变化情况。并且这 种分析方法便于计算机求解。
极点zi (i 1,2, , n) ，再根据极点的期望值 zi ，求得闭环
系统的特征方程为
c (z) (z z1 )( z z2 ) (z zn ) zn 1zn1 n 0
反馈控制规律应满足如下的方程
| zI F GL | c (z)
如果被控对象的状态为n 维，控制作用为 m 维，则反馈
K xa (k 1) Faa xa (k) Gau(k) Fab xˆb (k)
状态重构误差方程：
xˆ b (k 1) xb (k 1) xˆ b (k 1)
(Fbb KFab ) xb (k) xˆ b (k) 降阶观测器特征方程：
| zI Fbb KFab | 0
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5．1 状态空间描述的基本概念
1 . 离散时间系统的状态空间描述
设连续的被控对象的状态空间表达式
x(t) Ax(t) Bu(t) y(t) Cx(t)
x(t ) |tt0 x(t0 )
（5－1－1）
在 u(t) 作用下，系统的状态响应为
x(t) e A(tt0 ) x(t0 )
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写成矩阵形式
y(0) C
y(1)
CF
x(0)
y(N
1)
CF
N 1
则 x(0)有解的充分必要条件，即系统的能观性判据为
C
rank
CF
n
CF
N
1
式中n为系统状态向量的维数 。
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5．2 采用状态空间模型的极点配置设计
u(k )
y(k)
被控对象
是按极点配置设计观测器。
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1 按极点配置设计控制规律
设被控对象的离散状态空间表达式为
x(k 1) Fx(k) Gu(k)
y(k)
Cx(k)
控制规律为线性状态反馈 u(k) Lx(k)
假设反馈的是被控对象实际的全部状态x(k)
得闭环系统的状态方程为 u(k)
x(k)
对象F , G
比较
y(k)
Cx(k)
x(k) xb (k)
得：
F
Fbb
Gu(k) Fba xa (k) Gbu(k)
y(k) xa (k 1) Faa xa(k) Gau(k)
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C
Fab
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观测器方程:
xˆ b (k 1) Fbb xˆ b (k) Fba xa (k) Gbu(k)
描述的系统，如果能根据有限个采样信号Y (0)，Y (1)
…、Y (N )，确定出系统的初始状态 x(0) ，则系统 是状态完全能观的 。
根据状态方程的解，从0到 (N 1)T时刻，各采样
瞬时的观测值为： y(0) Cx(0)
y(1) Cx(1) CFx0)
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y(N 1) Cx(N 1) CF N1 x(0)
状态重构误差方程：
~x(k 1) x(k 1) xˆ(k 1)
Fx(k) Gu(k) x(k 1) Ky(k 1) Cx(k 1)
F KFCx(k) xˆ(k)
F KCF ~x(k)
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现时观测器特征方程：
| zI F KCF | 0
为使现时观测器具有期望的极点配置，应有
同理，使 | zI Fbb KFab | b(z) ，通过比较两边
z的同次幂的系数，可求得K 中的n个未知数。
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3 按极点配置设计控制器
1）控制器组成 设被控对象的离散状态空间描述为
x(k 1) Fx(k) Gu(k)
y(k
)
Cx(k
)
控制器由预报观测器和状态反馈控制律组成，即
控制规律为 m n 维，即 L中包含 m n 个元素。
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例5-1 对于单输入系统，给定二阶系统的状态方程
x1 x2
(k (k
1) 1)
0 0
0.1
1
x1 (t ) x2 (t )
0.005
0.1
u(t
)
设计状态反馈控制规律L ，使闭环极点为
z1,2 0.8 j0.25 解 根据能控性判据，因
rankG
FG
0.005
rank
0.1
0.015
0.1
2
所以系统是能控的。期望的闭环特征方程为
c (z) (z z1 )( z z2) z2 1.6z 0.7 0
设状态反馈控制规律L l1 l2
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闭环系统的特征方程为
(z) | zI F GL |
1 z 0
t e A(t )Bu( )d
t0
（5－1－２）
其中 e A(tt0 ) 为系统的状态转移矩阵。
取 t0 kT ， t (k 1)T，考虑到零阶保持器的作用，有
x(t) u(kT )
kT t (k 1)T
（5－1－3）
则 x(kT T ) e AT x(kT ) (k1)T e A(kT T )Bd u(kT )
通过比较两边z的同次幂的系数，可求得 K 中的n
个未知数。 对于任意的极点配置， K具有唯一解的充分必要条
件是对象是完全能观的。
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✓现时观测器
观测器方程
x(k 1) Fxˆ(k) Gu(k)
xˆ (k
1)
x(k
1)
Ky(k
1)
Cx(k
1)
状态重构误差为 ~x(k 1) x(k 1) xˆ(k 1)
其中： F e AT , G T e At Bdt 0
（5－1－７）
式中：x(k) 为n 维状态向量，u(k) 为 m 维控制向量，
y(k)为 r 维输出向量，F 为 n n 维状态转移矩阵，G
为 n m 维输入矩阵，C 为 r n 维输出矩阵。
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4
离散时间系统状态方程的解
0 1 1 0
0.1
1
0.005
1
l1
l2
z 2 (2 0.005l1 0.1l2 )z 1 0.005l1 0.1l2 0
取 (z) c(z) ，比较两边同次幂的系数，有
1200..000055ll11
0.1l2 0.1l2
1.6 0.7
可得： l1 10
l2 3.5
rank G FG F N 1G n
式中:n为系统状态向量的维数。
得到输出的能控性条件为
rank C G CFG CF N1G r
式中: r 为输出向量的维数。
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离散时间系统的能观性
能观性定义：对于式
x(k 1) Fx(k) Gu(k)
y(k
)
Cx(k )
xb
(
k
1) 1)
Faa
F
ba
Fab Fbb
xa (k)
xb
(k
)
Ga Gb
u(k )
即
x x
b a
(k (k
1) 1)
Fbbxb (k) Fba xa (k) G b u(k
Faaxa (k) Ga u(k) Fabxb (k)
)
x(k 1) Fx(k) Gu(k)
x(k 1) (F GL)x(k)
作Z变换 zX (z) (F GL)x(z)
显然，闭环系统的特征方程为
控制规律 L 图5-3 状态反馈系统结构图
zI F GL 0
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如何设计反馈控制规律， 以使闭环系统具有所期望的极点配置 ？
首先根据对系统的性能要求，找出所期望的闭环系统控制
F
GL
KC
xˆ (k
)
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闭环系统的特征方程为
(z)
F
zI
KC
GL
F
GL
KC
zI F
GL
(第二列加到第一列)
KC zI F GL KC
zI F GL
GL
(第二行减去第一行)
zI F GL zI F GL KC
状态空间模型按极点配置
设计的控制器由两部分组 控制规律
成：一部分是状态观测器， 控制器
xˆ (k) 观测器
它根据所量测到的输出
重构y(出k)状态
；另xˆ(k一) 部
图5－2 按极点配置设计的控制器
分是控制规律，它直接反
根据分离性原理，控制器的设
馈重构的状态 ，构成 状态xˆ (反k )馈控制。
计可以分为两个独立的部分： 一是假设全部状态可用于反馈， 按极点配置设计控制规律；二
| zI F KCF | b (z)
同理，通过比较两边z的同次幂的系数，可 求得K 中的n个未知数。
✓降阶观测器
将原状态向量分成两部分，一部分是可以直 接测量的 xa (k) ，一部分是需要重构的 xb (k) 。
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被控对象的离散状态方程可以分块表示为
x(k
1)
xa (k
速收敛到零。因此，只要适当地选择增益矩阵 K ，便可获得要
求20的20/5状/6 态重构性能。
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如果给出观测器的极点，可求得观测器的特征方程
b (z) (z z1 )( z z2 ) (z zn ) zn 1zn1 n 0
为了获得所需要的状态重构性能，应有
zI F KCF b(z)
即状态反馈控制规律为 L 10 3.5
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2 按极点配置设计状态观测器
在实际工程中，采用全状态反馈通常是不现实
的。常用的方法是设计状态观测器，由测量的输出
值 y(k)重构全部状态，实际反馈的只是重构状
态 xˆ(k) 。即 u(k) Lxˆ(k)
u(k)
x(k)
y(k)
对象 F , G
可用迭代法求得， 以k＝0，1，… 代入式（5－1－6）
x(1) Fx(0) Gu(0) x(2) Fx(1) Gu(1) F 2 x(0) FGu(0) Gu(1) x(3) Fx(2) Gu(2) F 3 x(0) F 2Gu(0) FGu(1) Gu(2)
x(k) Fx(k 1) Gu(k 1) F k x(0) F k1Gu(1) FGu(k 2) Gu(k 1)