选修4-4第一讲-3简单曲线的极坐标方程圆的极坐标方程

选修4 选修4－4坐标系与参数方程
第一讲
坐标系
三. 简单曲线的极坐标方程
问题提出
1.在极坐标系中， 1.在极坐标系中，点M的极坐标是怎样构成的？ 在极坐标系中 的极坐标是怎样构成的？
M ρ
θ
O x
点M的极坐标是极径ρ和极角θ组成的有序数对 的极坐标是极径ρ和极角θ (ρ， (ρ，θ).
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2.以直角坐标系原点O为极点，x轴正半轴为极 2.以直角坐标系原点O为极点， 以直角坐标系原点 轴建立极坐标系，则点M的直角坐标(x y)与极坐 (x， 轴建立极坐标系，则点M的直角坐标(x，y)与极坐 的互化公式是什么？ (ρ， 标(ρ，θ)的互化公式是什么？
建立极坐标系 下结论 设点（ θ 设点（ρ,θ） 找ρ,θ的关系 θ
化简 F(ρ,θ)=0 ρθ
练习：说明下列极坐标方程表示什么曲线 （１） ρ＝２cos(θ -
π
) 4
(2) (3)
ρ＝cos( -θ )
3
π
ρ＝3 sin θ (4) ρ＝６
练 习
求下列圆的极坐标方程 中心在极点，半径为2 (１)中心在极点，半径为2； (２)中心在Ｃ(a,0)，半径为a； 中心在Ｃ ,0)， (３)中心在(a,π/2)，半径为a； 中心在(a,π 2)，
2
ρ
ρ＝r ＝
θ θ
ρ + a − 2aρ cos(θ −α) = r
2 2
O
x
思考：一般地， 思考：一般地，求曲线的极坐标方程的基本步骤
是什么？ 是什么？ 建立极坐标系，设动点坐标； （1）建立极坐标系，设动点坐标； （2）找出曲线上的点满足的几何条件； 找出曲线上的点满足的几何条件； （3）将几何条件用极坐标表示； 将几何条件用极坐标表示； 化简小结. （4）化简小结.
探究:圆的极坐标方程
思考：在极坐标系中， 思考：在极坐标系中，若半径为a的圆的圆心坐标 0)， 为C(a，0)(a＞0)，则该圆与极坐标系的相对位置 关系怎样？试画图表示. 关系怎样？试画图表示.
O C x
思考：设该圆与极轴的另一个交点为A 思考：设该圆与极轴的另一个交点为A，点M(ρ， M(ρ， θ)为圆上除点O，A以外的任意一点，那么极径ρ 为圆上除点O 以外的任意一点，那么极径ρ 之间满足什么关系？ 和极角θ之间满足什么关系？ M ρ
ρ＝－2acosθ ＝－2 cos
ρ＝2asinθ sin
思考：一般地，在极坐标系中，圆心坐标为C( 思考：一般地，在极坐标系中，圆心坐标为C(a， 0)， 的圆的极坐标方程是什么？ α)(a＞0)，半径为r的圆的极坐标方程是什么？ 特别地，以极点为圆心， 特别地，以极点为圆心，半径为r的圆的极坐标方 程是什么？ 程是什么？ M M C ρ O x
(ρ， 中至少有一个满足等式ρ (ρ，θ)中至少有一个满足等式ρ＝2acosθ； 反之，极坐标适合该等式的点都在这个圆上吗？ 反之，极坐标适合该等式的点都在这个圆上吗？ M ρ
θ
O C A x
都在这个圆上 都在这个圆上
思考：等式ρ 叫做圆C的极坐标方程. 思考：等式ρ＝2acosθ叫做圆C的极坐标方程.一 般地，在极坐标系中，对于平面曲线C (ρ， 般地，在极坐标系中，对于平面曲线C和方程f(ρ， θ)＝0，在什么条件下，方程f(ρ，θ)＝0是曲 在什么条件下， (ρ， 的极坐标方程？ 线C的极坐标方程？ （1）曲线C上任意一点的极坐标中至少有一个满 曲线C (ρ， 足方程f(ρ，θ)＝0； (ρ， 的点都在曲线C （2）坐标适合方程f(ρ，θ)＝0的点都在曲线C 上.
ρ ＝2
ρ＝2acos θ ρ＝2asin θ
(４)中心在Ｃ(ρ0,θ０)，半径为r。 中心在Ｃ
ρ2+ ρ0 2 -2 ρ ρ0 cos( θ- θ０)= r2
练 习
极坐标方程分别是ρ cosθ和 极坐标方程分别是ρ＝cosθ和ρ＝sinθ 的两个圆的圆心距是多少
2 2
练习3
以极坐标系中的点(1,1)为圆心，1为半径的圆 以极坐标系中的点(1,1)为圆心， (1,1)为圆心 的方程是
3.极坐标方程与直角坐标方程可以相互转化， 3.极坐标方程与直角坐标方程可以相互转化， 极坐标方程与直角坐标方程可以相互转化 当研究对象与角和距离有关时， 当研究对象与角和距离有关时，用极坐标方程解 决比较方便，这是一个重要的解题技巧. 决比较方便，这是一个重要的解题技巧.在极坐标 系中，当研究的问题用极坐标方程难以解决时， 系中，当研究的问题用极坐标方程难以解决时， 可转化为直角坐标方程求解. 可转化为直角坐标方程求解.
小
结
（１）曲线的极坐标方程概念 （２）怎样求曲线的极坐标方程 （ 3）圆的极坐标方程 a.在极坐标系中，点的极坐标是多值的， a.在极坐标系中，点的极坐标是多值的，若点 在极坐标系中 在曲线C 则点M M在曲线C上，则点M的有些极坐标可能不适合曲线 的方程. C的方程. 圆的极坐标方程有多种形式， b. 圆的极坐标方程有多种形式，极坐标方程 2 2 2 ρ + a − 2aρ cos(θ −α) = r 可认为是圆的 一般式方程. 一般式方程.
思考：在极坐标系中，圆心坐标为C( 思考：在极坐标系中，圆心坐标为C(a，π)(a＞ 的圆的极坐标方程是什么？ 0)， 0)，半径为a的圆的极坐标方程是什么？圆心坐标 π )(a＞0)，半径为a的圆的极坐标方程是 0)， 为C(a， 2 什么？ 什么？ A M M ρ ρ θ C A θ O x C O x
C
π A.ρ = 2cos θ − 4 C.ρ = 2cos (θ −1)
π B.ρ = 2sin θ − 4 D.ρ = 2sin (θ −1)
练习： 1、曲线的极坐标方程ρ＝4sin θ 化为直角坐标
x + ( y − 2) = 4 方程＿＿＿＿＿＿＿＿＿
2 2
x＝ρcosθ， y＝ρsinθ.
y ρ = x + y ,tanθ = (x ≠ 0) x
2 2
3.在平面直角坐标系中， 3.在平面直角坐标系中，方程f(x，y)＝0是曲 在平面直角坐标系中 的方程应具备的条件是什么？ 线C的方程应具备的条件是什么？ （1）曲线C上任意一点的坐标都是方程 f(x，y) 曲线C 的解； ＝0的解； （2）以方程f(x，y)＝0的解为坐标的点 都在曲线 C 上. 4.在极坐标系中 对一条曲线C 在极坐标系中， 4.在极坐标系中，对一条曲线C，它也有相应 的极坐标方程.因此，如何建立曲线的极坐标方程， 的极坐标方程.因此，如何建立曲线的极坐标方程， 如何根据曲线的极坐标方程分析曲线的有关性质， 如何根据曲线的极坐标方程分析曲线的有关性质， 也就成为一个需要研究的课题. 也就成为一个需要研究的课题.
ρ＝2acos ＝ cos cosθ
θ
O C A x
思考3 思考3：点O，A的极坐标可以分别是什么？它们都 的极坐标可以分别是什么？ 满足等式ρ＝2acosθ吗？ 满足等式ρ 点 O(0,
π
2
0)都满足等式 都满足等式. ) ，A(2a，0)都满足等式.
思考：由此可知， 思考：由此可知，圆上任意一点的极坐标
2.曲线极坐标方程ρcos(θ -
π
)=1化为直角坐 6
３ + y −2 = 0 x 标方程＿＿＿＿＿＿＿＿＿
π 表示的曲线是（ 3．极坐标方程 ρ = cos − θ 表示的曲线是（ ） 4
A．双曲线 4 ．圆 B．椭圆 C．抛物线 D ．圆
ρ = 2 (cos θ + sin θ ) 的圆心坐标是（ ） π 1 π B. π C. π D. A. , 1, 2, 2 , 4 2 4 4 4