人教版九年级上册数学 讲义 二次函数的图像与性质

第三讲 二次函数的图像与性质

一、知识点梳理：

1、二次函数的图像及其性质：二次函数的图像是一条抛物线。是轴对称图形。

2、函数性质（函数增减性）：当a >0时，且x >h ，y 随x 的增大而增大（对称轴右边的图象从左自右上升），当x h ， y 随x 的增大而减小（对称轴右边的图象从左自右下降），当x

3、抛物线2

y ax bx c =++（0a ≠）的顶点坐标公式：（2b a -，244ac b a -）；对称轴是直线：2b x a

=-；

当2b

x a

=-时，函数有最值：244ac b y a -=。

4、二次函数图像的平移：只要抛物线解析式中的a 相同，它们之间可以相互平移得到，平移规律：左加

右减，上加下减。

二、典型例题：

考点一：二次函数的定义

【例1】下列函数中，关于x 的二次函数是（ ）。 A 、2

2

-+=x

x y B 、x x x y )1(2+-= C 、)1(23x x x y -+= D 、2

2)1(-=x y

【例2】已知函数x m x m y m m

)1()1(2

32

-++=--（m 为常数）

。 （1）m 为何值时，这个函数为二次函数？ （2）m 为何值时，这个函数为一次函数？

考点二：二次函数的顶点、对称轴、最值

x

O

y x

O

y

x

O

y

x

O

2

y ax =2y ax k

=+2

()y a x h =-2()y a x h k

=-+x h =y k

=最

【例1】写出下列抛物线的对称轴方程、顶点坐标及最大或最小值； （1）3212+-

=x y （2）4)3(2-+-=x y （3）132

1

2--=x x y

考点三：抛物线的平移（上加下减，左加右减）

【例1】把抛物线122

+-=x y 向左平移2个单位，再向下平移2个单位，则所得的抛物线的表达式是 ；

【例2】二次函数2)1(2

12

+-=x y 的图象可由

221x y =的图象（ ） A 、向左平移1个单位，再向下平移2个单位得到 B 、向左平移1个单位，再向上平移2个单位得到

C 、向右平移1个单位，再向下平移2个单位得到

D 、向右平移1个单位，再向上平移2个单位得到

考点四：二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 及图象的认识 【例1】与抛物线532

12

-+-

=x x y 的形状大小开口方向相同，只有位置不同的抛物线是（ ） A ．2523412-+-=x x y B ．87212

+--=x x y

C ．1062

12++=x x y D ．532

-+-=x x y 【例2】已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋1的大致图象如图所示，则函数y ＝ax ＋b 的图 象不经过 ( )

A ．第一象限

B ．第二象限

C ．第三象限

D ．第四象限

【例3】已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c(a ≠0)的图象如图所示，下列结论：①abc ＞0；

②2a ＋b ＜0；③a －b ＋c ＜0；④a ＋c ＞0，其中正确结论的个数为（ ）． A 、4个 B 、3个 C 、2个 D 、1个

考点五：直线与抛物线的位置关系

【例1】在平面直角坐标系中，函数y ＝－x ＋1与y ＝－

3

2

(x －1)2的图象大致是 ( )

【例2】在同一直角坐标系中，函数b ax y +=2

与)0(≠+=ab b ax y 的图象大致如图 （ ）

-1 O 1

x

y

x

y 0 1

考点六：二次函数与一元二次不等式

【

例1】若A

113,4y ⎛

⎫- ⎪⎝⎭，B 25,4y ⎛⎫

- ⎪⎝⎭，C 31,4y ⎛⎫ ⎪⎝⎭为二次函数

y ＝x 2＋4x ＋5的图象上的三点，则y 1，y 2，y 3

的大小关系是 ( )

A ．y 1＜y 2＜y 3

B ．y 2＜y 1＜y 3

C ．y 3＜y 1＜y 2

D ．y 1＜y 3＜y 2 【例2】已知二次函数2

15

7212+--

=x x y ，若自变量x 分别取1x ，2x ，3x ，且3210x x x <<<，则对应的函数值321,,y y y 的大小关系正确的是 （ ） A.321y y y >> B.321y y y << C.132y y y >> D.213y y y >>

三、强化训练： 【夯实基础】

1、二次函数c bx x y ++=2

的图象上有两点(3，－8)和(－5，－8)，则此拋物线的对称轴是（ ） A ．x ＝4 B. x ＝3 C. x ＝－5 D. x ＝－1。 2、抛物线12

2+--=m mx x y 的图象过原点，则m 为（ ） A ．0

B ．1

C ．－1

D ．±1

3、直角坐标平面上将二次函数y ＝-2(x －1)2

－2的图象向左平移１个单位，再向上平移１个单位，则其顶点为（ ）

A.(0，0)

B.(1，－2)

C.(0，－1)

D.(－2，1)

4、二次函数c bx ax y ++=2

的图象如图所示，则abc ，ac b 42

-，b a +2，c b a ++，c b a +-这五

个式子中，值为正数的有（ ） A ．4个 B ．3个 C ．2个 D ．1个

5、已知反比例函数x

k y =

的图象如右图所示，则二次函数2

22k x kx y +-=的图象大致为（ ）