同济版大一高数下第七章第四节一阶线性微分方程

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dy 4 例2 求方程 − y = x 2 y 的通解. dx x 1 dy 4 2 解 两端除以 y，得 − y=x , y dx x
令
z = y,
dz 1 dy = dx 2 y dx
原式
1 dy 2 1 2 − y= x , 2 2 y dx x
z = x + C , 即 2
(3) ( y − x 3 ) dx − 2 x d y = 0 ( 4) 2 y d x + ( y 3 − x ) d y = 0
(5) ( y ln x − 2) y dx = x d y
伯努利(1654 – 1705)
设通解形式
y = u ( x )e
− P ( x ) dx
− ∫ P ( x ) dx
′ = u ′( x)e ∫ y
∫ + u ( x)[− P( x)]e
− P ( x ) dx
,
4
2. 解非齐次方程
dy + P( x) y = Q( x) dx
(1)
− ∫ P( x) d x
用常数变易法 设（1）的解为 y ( x) = u ( x) e 常数变易法: 常数变易法 , 则 −∫ P( x) d x − ∫ P( x) d x − ∫ P( x) d x = Q(x) + P(x) u e u′ e − P( x) u e 对应齐次方程通解 y = C e − ∫ P ( x )d x ∫ P( x) d x dx + C u = ∫ Q( x) e 两端积分得 即
例2 求微分方程 xdy + ( y − sin x)dx = 0 的通解。
1 sin x y′ + y = x≠0 解： 原式整理为 x x 1 sin x P= Q= 由公式得通解 x x
y=e
−
∫
1 dx x
sin x ∫ [∫ e x
1 dx x
d x + C]
=e
− ln x
sin x ln x [∫ e d x + C] x
y
1− n
=e
( n −1) P ( x ) d x
∫
[ (1 − n) ∫ Q( x) e
(1− n ) P ( x ) d x
∫
dx + C ]
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例1. 求方程
−2
的通解.
解: 原方程两边同时乘以 y 得: 1 −1 −2 y y′ + y = a ln x x dz −2 −1 = − y y′ 令 z = y , 两边同时对x 求导得： dx dz 1 − z = −a ln x 则方程变形为 dx x 1 1 ∫ x dx − ∫ x dx [ ∫ (−a ln x) e dx + C ] 其通解为 z = e a = x [ C − ( ln x) 2 ] 2 将 z = y −1 代入, 得原方程通解:
解
xdy 1 +y= dx sin 2 ( xy )
d ( xy ) 1 = , 2 dx sin ( xy )
令
z = xy,
dz 1 = , 2 dx sin z
分离变量法得 sin 2 zdz = dx , (1 − cos 2 z )dz = 2dx,
2 z − sin 2 z = 4 x + C ,
z = y1− n , 令
化为线性方程求解. ( n −1) ∫ P ( x ) d x (1− n ) ∫ P ( x ) d x 1− n y =e dx + C ] [ (1 − n) ∫ Q( x) e 21
思考与练习
判别下列方程类型: dy dy (1) x + y = x y dx dx dy (2) x = y (ln y − ln x) dx dx 提示: 提示 y −1 dx 可分离 dy = 变量方程 y x dy y y 齐次方程 = ln dx x x dy 1 x 2 线性方程 − y=− dx 2 x 2 dx 1 y 2 线性方程 − x=− dy 2 y 2 dy 2 ln x 2 伯努利 + y= y 方程 dx x x 22
解法1 解法 化为齐次方程, 原方程变形为
积分得
x 将 u = 代入 , 得通解 y
11
yd x − xd y = yd y
解法2 解法 化为线性方程. 原方程变形为
其通解为
即
y= e
− ∫ P ( x ) dx
[∫
∫ P ( x ) dx dx + C ] Q( x) e
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例7.设 f ( x) ∈ C[0,+∞) 且满足方程
f (t ) = e
4πt 2
+
2
求 f (t ). 解： ∫∫
x 2 + y 2 ≤4 t 2
∫∫
x + y 2 ≤4 t 2
1 2 f( x + y 2 )dxdy 2
2t 0
1 2 f( x + y 2 )dxdy 2
4π t 2 2t
= 2π ∫
1 rf ( r )dr 2
1 f (t ) = e + 2π ∫ rf ( r )dr 即 0 2 4πt 2 求导得： f ′ ( t ) = 8 π te + 4 π ⋅ 2 tf ( t )
ln y = − ∫ P ( x)d x + ln C
y = C e − ∫ P ( x )d x
3
常数变易法 把齐次方程通解中的常数变易为待定函数的方法. 把齐次方程通解中的常数变易为待定函数的方法. 实质: 未知函数的变量代换. 实质: 未知函数的变量代换.
新未知函数 u ( x) ⇒ 原未知函数 y ( x),
− cot y d y
5 C= 8
8
cos y 例4 求微分方程 y′ = 的通解. cos y sin 2 y − x sin y
解
dx cos y sin 2 y − x sin y = sin 2 y − x tan y , = dy cos y
dx ∴ + tan y ⋅ x = sin 2 y, dy
高等数学
第二十九讲
1
第四节 一阶线性微分方程
一、一阶线性微分方程 二、伯努利方程
第七章
2
一、一阶线性微分方程
dy + P( x) y = Q( x) (1) 一阶线性微分方程标准形式: dx 其中P(x), Q(x)是x 的已知函数 ， 称P(x)为变系数；
Q(x)为自由项。 Q(x) ≡ 0, 若 称为齐次方程 ; 齐次方程 若 Q(x) ≡ 0, 称为非齐次方程 . 非齐次方程 dy + P( x) y = 0 (2 ) 1. 解齐次方程 dx 分离变量 两边积分得 故通解为
2 x
dz 2 1 2 − z= x , dx x 2
4 x 2
解得
y = x +C . 2
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例3：求 (x ：
3
− 2cos y )d y + 3x d x = 0 的通解。
2
1 2 x′ + x = cos y ⋅ x − 2 解 原方程整理得： 3 3 1 3 2 2 2 x x′ + x = cos y 方程两边同乘以 x : 3 3 dz 3 = 3x 2 x′ Z=x 令 dy
x=e
ln cos y
[∫ sin 2 y ⋅ e
−ln cos y
dy + C
]
9
2 sin y cos y = cos y ∫ dy + C = cos y[C − 2 cos y ]. cos y
例5 求一连续可导函数
使其满足下列方程:
解:
令 u = x−t
t = ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ−u
伯努利方程的标准形式:
除方程两边 , 得 −n d y y + P ( x) y1− n = Q ( x) dx dx dz 1− n −n d y 令 z = y , 则 = (1 − n) y dx dx dz + (1 − n) P ( x) z = (1 − n) Q ( x) (线性方程) dx 求出此方程通解后, 换回原变量即得伯努利方程的通解. 解法: 解法
( 4 π t 2 + 1)
例10 如图所示，平行与 y 轴的动直线被曲线 y = f (x ) 3 与 y = x ( x ≥ 0) 截下的线段PQ之长数值上等于阴影 部分的面积, 求曲线 y = f (x). 解
y
Q
y = x3
∫
y=e
−x
x
0
ydx = x 3 − y,
两边求导得
− ∫ dx
2 − x2
;
− x2
解
( y )′ + 2 xy = xe
2 2
,
y =e ∫
2
− 2 xdx
( ∫ xe
2
− x2
∫ 2 xdx dx + C ) e
−x
2
所求通解为
y =e
x2 ( + C ). 2
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例4 用适当的变量代换解下列微分方程: dy 1 y 2. = − ; 2 dx x sin ( xy ) x
代入原方程整理得：
′ + x 3 = 2 cos y 3x x
2
dz + z = 2cos y, dy
z = e −∫ d y [2 ∫ cos ye ∫ d y d y + c]
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原方程的通解： x 3 = sin y + cos y + ce − y
例4 用适当的变量代换解下列微分方程:
1. 2 yy′ + 2 xy = xe
通解： 通解： x = e ∫
满足
y | x =1 =
π
的特解。
∫ cot y d y d y + C ] [ ∫ cos y e π 1 y | x =1 = , = C − cos 2 y ⋅ csc y 6 4 5 1 特解： x = − cos 2 y ⋅ csc y 特解： 8 4
即
f ′( t ) − 8π tf ( t ) = 8π te
8π ∫ tdt
4πt 2
4π t 2 −8π ∫ tdt
从而求得通解 f (t ) = e
(8π ∫ te
e
dt + c)
13
=e
4πt 2
( 4π t + c )
2
又 f (0 ) = 1 + 0 故
4πt 2
c=1
所以
f (t ) = e
将
z = xy
代回,
所求通解为 2 xy − sin( 2 xy ) = 4 x + C .
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内容小结
1. 一阶线性方程 方法1 先解齐次方程 , 再用常数变易法. 方法2 用通解公式 − ∫ P ( x )d x ∫ P ( x ) d x dx + C ] [ ∫ Q ( x) e y=e 2. 伯努利方程
y′ + y = 3 x ,
2
P
y = f ( x)
[C + ∫
2
2 ∫ dx 3 x e dx
]
o
x
x
= Ce + 3x − 6 x + 6,
所求曲线为
由 y | x =0 = 0,
−x 2
得 C = −6,
y = 3(−2e
+ x − 2 x ).
14
二、伯努利 ( Bernoulli )方程 方程
x 0
d t = −d u
f ( x) = sin x − ∫ f (u )d u
方程两边求导，整理得 f ′( x) + f ( x) = cos x
f ( 0) = 0
利用公式可求出
1 f ( x) = (cos x + sin x − e − x ) 2
10
例6：求下列微分方程的通解.
yd x − xd y = yd y
例1. 解方程 直接应用一阶微分方程通解公式 5 2 Q P( x ) = − Q( x ) = ( x + 1)2 x +1 −∫ P( x) d x ∫ P( x) d x dx + C y=e ∫ Q( x) e 2 2 5 −∫ dx dx ∫ x +1 x +1 =e dx + C ∫ ( x + 1)2 e 5 2 ln ( x +1) − 2 ln ( x +1) e ln ϕ ( x ) = ϕ ( x ) 2e =e ( x + 1) dx + C ∫ 1 2 2 d x+c = ( x + 1) ∫ ( x + 1) 6 故原方程通解为 解
1 1 = [ ∫ sin xd x + C ] = [C − cos x] x x
7
例3： 求微分方程 ( x − sin y )d y + tan yd x = 0
6 解： 上式不是一阶线性方程的形式， 若将 x 看成 y 的 dx 函数，方程可写为： + cot y ⋅ x = cos y dy 此方程为一阶线性微分方程。 用通解公式有：
∫ P( x) d x dx + C 故原方程的通解 y = e ∫ Q( x) e y = Ce − ∫ P ( x ) d x + e − ∫ P ( x ) d x ∫ Q( x) e ∫ P ( x ) d x d x 即
齐次方程通解 非齐次方程特解
5
−∫ P( x) d x