19讲 平面应力状态分析——图解法
合集下载
相关主题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
2
d (9.02,58.3)
30 30 2 ) 58.31MPa
2
) (
主应力单元体：
3
o
1
1 68.3MPa, 2 0, 3 48.3MPa
作业：刘鸿文，《材料力学》（第五版） 7-2 （c）；7-3(d)
点面相对应，首先找基准。 转向要相同，夹角两倍整。
平面应力状态下主平面、主应力及主方向
y
D
x
A
x
a o
B1
20
A1
y
c
d
主平面：τ = 0, 与应力圆上和横轴交点对应的面
平面应力状态下主平面、主应力及主方向
主应力的确定
y
D
a
2αo
x
A
x
A 1
y
oB
1
c
d
oA1 0c cA1
40
D
A
30MPa 60MPa
解： 用应力圆解法
40
3 48.3MPa
1 68.3MPa
a(40,30)
30MPa
(10,0)
60MPa
f
2 o
e
o c
60
b(60,30)
tg 2 p
2 xy
x y
0.6
p 15.48
R ( 60 (40) 2
x
o
yx
2
o
1
xy x
2
c
d
2o g 1
tg 2
x y
2
负号表示从主应力的正方向 到x轴的正方向为顺时转向
面内最大剪应力
对应应力圆上的最高点
的面上切应力最大，称 为“ 面内最大切应力”。
max a
oB
1
c
d
2o
A 1
例题1: 试用应力圆法计算图示单元体e--f截面上的应力。图中 应力的单位为MPa。
e
2.2
4.4
a
c
60
0
30
0
o
d
f
n
30 5.2MPa
0
30 0.8MPa
0
例题2 一点处平面应力状态如图所示。已知
x 60MPa,
30 ,
xy 30MPa.
y 40MPa,
试求（1）斜面上的应力；（2）主应力、主平面； （3）绘出主应力单元体。
oB1 0c cB1
x y
2
x y
2
(
x y
2
)
2
2 xy
(
x y
2
)
2
2 xy
主应力排序：
பைடு நூலகம்
a o 2 d
2 o
2p
1
c
3 o
1
3
1
y
D
xy
2
主方向的确定
A
a (x ,xy)
A
2×45º
45º x
D
d o
y'
a
c
2×45º
E
x
e
纯剪切
D
45
B
E
a (0, )
45o＝
A
e
2×45º
c o
2×45º
b
d (0,- )
平面应力状态下求任意截面上的应力（证明P215）
y
E( , )
y
n
x
E
2
( x, x )
x
( y, y )
(2)
对(1) (2)式两边平方，将两式相加，并利用
2 2 sin 2 cos 2 1 消去 sin 2 和 cos 2 ，得
(
x y
2
) (
2 2
x y
2
) x
2
2
(3)
比照解析几何的曲线方程
半径为R的圆，则
y
(
(x a) y
y
a (
x
y
a
, a )
A
c
x
转向对应——半径旋转方向与方向面法线旋转方向一致；
二倍角对应——半径转过的角度是方向面旋转角度的两倍。
y
y
n
x x
d
2
a
D
x
c
A
y
y
B A
x
x
O
c
b(y ,y)
a(x ,x)
二.应力圆的应用
单向拉伸
x
b
B
x' y
2
2 2
2
R
2
2
是一个圆心在(a.0),
2
x y
2
) (
x y
2
) x
是个应力圆的方程
R
(
x y
2
)
2
2 xy
R
(a,0)
x
(
R
x y
2 ,0)
应力圆是个信息源(从力学观点分析）
（1）若已知一个应力单元体两个互相垂直面上的 应力就一定可以作一个圆，圆周上的各点坐标值， 就是该单元体任意斜截面 上的应力。 （2）平面应力状态下任意斜截面 上的应力相
互制约在圆周上变化。
应力圆的画法
R
(
x y
2
)
2
2 x
y
y
D A
x
a (x ,x)
x
c
d
x y
2
(y ,y)
在σ-τ坐标系中，标定与微元A、D面上 应力对应 的点a和d 连ad交 σ轴于c点，c即为圆心，cd为应力圆半径。
几种对应关系 点面对应——应力圆上某一点的坐标值对应着微元某 一方向面上的正应力和切应力
第十八讲 平面应力状态分析——图解法
湖南理工学院——曾纪杰
一 应力圆
(
x y
2
x y
2
cos 2 x sin 2
x y
2
)
x y
2
cos 2 x sin 2 (1)
x y
2
sin 2 x cos 2
d (9.02,58.3)
30 30 2 ) 58.31MPa
2
) (
主应力单元体：
3
o
1
1 68.3MPa, 2 0, 3 48.3MPa
作业：刘鸿文，《材料力学》（第五版） 7-2 （c）；7-3(d)
点面相对应，首先找基准。 转向要相同，夹角两倍整。
平面应力状态下主平面、主应力及主方向
y
D
x
A
x
a o
B1
20
A1
y
c
d
主平面：τ = 0, 与应力圆上和横轴交点对应的面
平面应力状态下主平面、主应力及主方向
主应力的确定
y
D
a
2αo
x
A
x
A 1
y
oB
1
c
d
oA1 0c cA1
40
D
A
30MPa 60MPa
解： 用应力圆解法
40
3 48.3MPa
1 68.3MPa
a(40,30)
30MPa
(10,0)
60MPa
f
2 o
e
o c
60
b(60,30)
tg 2 p
2 xy
x y
0.6
p 15.48
R ( 60 (40) 2
x
o
yx
2
o
1
xy x
2
c
d
2o g 1
tg 2
x y
2
负号表示从主应力的正方向 到x轴的正方向为顺时转向
面内最大剪应力
对应应力圆上的最高点
的面上切应力最大，称 为“ 面内最大切应力”。
max a
oB
1
c
d
2o
A 1
例题1: 试用应力圆法计算图示单元体e--f截面上的应力。图中 应力的单位为MPa。
e
2.2
4.4
a
c
60
0
30
0
o
d
f
n
30 5.2MPa
0
30 0.8MPa
0
例题2 一点处平面应力状态如图所示。已知
x 60MPa,
30 ,
xy 30MPa.
y 40MPa,
试求（1）斜面上的应力；（2）主应力、主平面； （3）绘出主应力单元体。
oB1 0c cB1
x y
2
x y
2
(
x y
2
)
2
2 xy
(
x y
2
)
2
2 xy
主应力排序：
பைடு நூலகம்
a o 2 d
2 o
2p
1
c
3 o
1
3
1
y
D
xy
2
主方向的确定
A
a (x ,xy)
A
2×45º
45º x
D
d o
y'
a
c
2×45º
E
x
e
纯剪切
D
45
B
E
a (0, )
45o＝
A
e
2×45º
c o
2×45º
b
d (0,- )
平面应力状态下求任意截面上的应力（证明P215）
y
E( , )
y
n
x
E
2
( x, x )
x
( y, y )
(2)
对(1) (2)式两边平方，将两式相加，并利用
2 2 sin 2 cos 2 1 消去 sin 2 和 cos 2 ，得
(
x y
2
) (
2 2
x y
2
) x
2
2
(3)
比照解析几何的曲线方程
半径为R的圆，则
y
(
(x a) y
y
a (
x
y
a
, a )
A
c
x
转向对应——半径旋转方向与方向面法线旋转方向一致；
二倍角对应——半径转过的角度是方向面旋转角度的两倍。
y
y
n
x x
d
2
a
D
x
c
A
y
y
B A
x
x
O
c
b(y ,y)
a(x ,x)
二.应力圆的应用
单向拉伸
x
b
B
x' y
2
2 2
2
R
2
2
是一个圆心在(a.0),
2
x y
2
) (
x y
2
) x
是个应力圆的方程
R
(
x y
2
)
2
2 xy
R
(a,0)
x
(
R
x y
2 ,0)
应力圆是个信息源(从力学观点分析）
（1）若已知一个应力单元体两个互相垂直面上的 应力就一定可以作一个圆，圆周上的各点坐标值， 就是该单元体任意斜截面 上的应力。 （2）平面应力状态下任意斜截面 上的应力相
互制约在圆周上变化。
应力圆的画法
R
(
x y
2
)
2
2 x
y
y
D A
x
a (x ,x)
x
c
d
x y
2
(y ,y)
在σ-τ坐标系中，标定与微元A、D面上 应力对应 的点a和d 连ad交 σ轴于c点，c即为圆心，cd为应力圆半径。
几种对应关系 点面对应——应力圆上某一点的坐标值对应着微元某 一方向面上的正应力和切应力
第十八讲 平面应力状态分析——图解法
湖南理工学院——曾纪杰
一 应力圆
(
x y
2
x y
2
cos 2 x sin 2
x y
2
)
x y
2
cos 2 x sin 2 (1)
x y
2
sin 2 x cos 2