高考数学易错题精选

高考数学易错题精选： 集合与简易逻辑、极限与复数1．已知集合12{|,}10M x x Z N x=∈∈-且，则M 的非空真子集的个数是（ ）A ．30个B ．32个C ．62个D ．64个 2．不等式1ax a x->的解集为M ，且2M ∉，则a 的取值范围是（ ） A ．1(,)4+∞ B ．1[,)4+∞ C ．1(0,)2 D ．1(0,]23．已知2{|40},{|10}P m m M m mx mx x =-<<=--<对一切实数都成立，则下列关系式中成立的是（ ）A ．P MB ．MP C ．M P = D ．M P =∅4．已知p 和q 是两个不相等的正整数，且2q ≥，则1(1)1lim 1(1)1p n qn n→∞+-+-=（ ） A ．0 B ．1 C ．p qD ．11p q --5．设S 为复数集C 的非空子集．若对任意,x y S ∈，都有,,x y x y xy S +-∈， 则称S 为封闭集．下列命题：①集合{|,}S a bi a b i =+为整数，为虚数单位为封闭集；②若S 为封闭集，则一定有0S ∈； ③封闭集一定是无限集； ④若S 为封闭集，则满足S T C ⊆⊆的任意集合T 也是封闭集． 其中的真命题是________．(写出所有真命题的序号)6．已知集合}023|{2=+-=x ax x A 至多有一个元素，则a 的取值范围 ；若至少有一个元素，则a 的取值范围 ．7．对任意两个集合M N 、，定义：{|}M N x x M x N -=∈∉且，MN M N N M =--（）（），设2{|,}M y y x x R ==∈，{|3sin ,}N y y x x R ==∈，则MN ＝ ．8．已知数列{}n a 的前n 项和11(1)n n nS ba b =-+-+，其中b 是与n 无关的常数，且01b <<，若limn n S →∞存在，则lim n n S →∞= ．9．limx →-∞= ．10．如果(,R,0)z a bi a b a =+∈≠且是虚数，则222,,,||,||,,,||,||z z z z z z z z z z 中是虚数的有个，是实数的有 个，相等的有 组．11．设{}22|190A x x ax a =-+-=，{}2|560B x x x =-+=，{}2|280C x x x =+-= (1)A B A B =，求a 的值；(2)A B ∅，且A C =∅，求a 的值； (3)A B A C =≠∅，求a 的值．12．已知集合10{|1},{|1}6E x x mF x R x =-≥=∈>+． （1）若3m =，求E F ；（2）若E F R =,求实数m 的取值范围．13．设R 为全集，集合2{|10,}A x x ax x R =++=∈，{|1,}B y y x x R ==-∈,若R A C B A =,求实数a 的取值范围．14．设集合22{(,)|10},{(,)|42250}A x y ay x B x y x x y =--==+-+=，{(,)|}C x y y kx b ==+． （1）当0a =时，求A B ；（2）当1a =时，问是否存在正整数k 和b ，使得()()A C B C =∅，若存在，求出k 、b 的值；若不存在,说明理由．15．已知不等式2435x x a x -++-≤的解集中的最大解为3，求实数a 的值．16．设2x a -<时，不等式241x -<成立，求正数a 的取值范围．17．设:p 方程2210x mx ++=有两个不相等的正根；:q 方程22(2)3100x m x m +--+=无实根，求使p 或q 为真，p 且q 为假的实数m 的取值范围．18．试判断3a ≥是关于x 的方程210x ax ++=在区间[1,1]-上有解的什么条件并给出判断理由．19．已知不等式①32x x +>；②22132x x x +≥-+；③2210x mx +-<． （1）若同时满足①、②的x 也满足③，求实数m 的取值范围； （2）若满足③的x 至少满足①、②中的一个，求实数m 的取值范围．20．已知数列{}n a 的各项都是正数，且满足：0111,(4)2n n n a a a a +==-，N n ∈，证明：12n n a a +<<，N n ∈．21．试证明：不论正数a 、b 、c 是等差数列还是等比数列，当1,N n n >∈*且a 、b 、c 互不相等时，均有：2n n n a c b +>．22．已知函数21()22f x x x =-+，数列{}n a 满足递推关系式：1()(N )n n a f a n +=∈*，且11a =．（1）求2a 、3a 、4a 的值；（2）用数学归纳法证明：当5n ≥时，121n a n <--； （3）证明：当5n ≥时，有111n k kn a =<-∑．23．已知数列{}n a 为等差数列，公差0d ≠，由{}n a 中的部分项组成的数列12,,,nb b b a a a ，…，为等比数列，其中11b =，25b =，317b =．（1）求数列{}n b 的通项公式；（2）记123123nn n n n n n T C b C b C b C b =++++，求lim4nn n nT b →∞+．24．已知公比为(0)q q <<1的无穷等比数列{}n a 各项的和为9，无穷等比数列2{}n a 各项的和为815．（1）求数列{}n a 的首项1a 和公比q ； （2）对给定的(1,2,,)k k n =，设()k T 是首项为k a ，公差为21k a -的等差数列，求数列(2)T 的前10项之和；（3）设i b 为数列()i T 的第i 项，12n n S b b b =++，求n S ，并求正整数(1)m m >，使得lim nmn S n→∞存在且不等于零．25．当x →∞时，函数()(,N )nm x f x m n x b=∈*+的极限是否存在若存在，求出其极限．26．设z 是虚数，1z zω=+是实数，且1ω-<<2．（1）求||z 的值及z 的实部的取值范围； （2）设11z u z-=+，求证：u 为纯虚数；（3）求2u ω-的最小值．集合与简易逻辑、极限与复数易错题（参考答案）1．C 解：因为121122634=⨯=⨯=⨯，又x Z ∈且1210N x∈-，所以 101,2,3,4,6,12x -=，故{9,8,7,6,4,2}M =-，所以它的非空真子集有62262-=个．故选C ．2．B 解：当0a ≤时，不等式的解集为{|0}x x R x ∈≠且，不符合题意，所以0a >，由不等式1ax a x ->得：1ax a x ->或1ax a x -<-，即10x->或210ax x -<，则有0x <或102x a <<，又2M ∉，所以122a ≤，即有14a ≥，故选B ．3．A 解：当0m =时，10-<，对一切实数x ，不等式210mx mx --<恒成立；当0m ≠时，要使不等式恒成立，则0m <且240m m ∆=+<，即40m -<<，所以{|40}M m m =-<≤，故选A ． 4．C 解：特殊值法由题意取1,2p q ==，则211(1)1lim lim lim11212(1)1p n n n q n n n n n nn →∞→∞→∞+-==++-+12p q ==，可见选C ．5．①②解：∵集合S 为复数集，而复数集一定为封闭集，∴①是真命题． ②由封闭集定义知②为真命题．③是假命题．如{0}S =符合定义，但是S 为有限集．④是假命题．如S Z =，T 为整数和虚数构成集合，满足S T C ⊆⊆，但T 不是封闭集，22i i 都在T 中，但2)2)i i T +=，所以正确的是①②．6．9|,08a a a ⎧⎫≥=⎨⎬⎩⎭或，9|8a a ⎧⎫≤⎨⎬⎩⎭解：当A 中仅有一个元素时，0a =，或980a ∆=-=；当A 中有0个元素时，980a ∆=-<；当A 中有两个元素时，980a ∆=->；所以9|,08a a a ⎧⎫≥=⎨⎬⎩⎭或，9|8a a ⎧⎫≤⎨⎬⎩⎭．7．[3,0)(3,)-+∞解：依题意有[0,)M =+∞，[3,3]N =-，所以(3,)M N -=+∞，[3,0)N M -=-， 故[3,0)(3,)M N M N N M =--=-+∞（）（）． 8．1 解：因为1111()1(01)(1)(1)n n n n nnS ba b S S b b b -=-+-=--+-<<++， 所以11lim (lim lim )1lim(1)n n n nn n n n S b S S b -→∞→∞→∞→∞=--+-+，得1lim 1lim (1)n nn n S b →∞→∞=-+，则01b <<，故112b <+<，所以lim 1n n S →∞=． 9．52-解：lim x →-∞=lim xlimx =52=-． 10．4，5，3．解：2,,,z z z z 四个为虚数；22||,||,,||,||z z z z z z 五个为实数；2,||||,||z z z z z z z ===三组相等．11．解：(1)因为A B A B =，所以A B =，又由对应系数相等可得5a =和2196a -=同时成立，即5a =； (2)由于{2,3}B =，{4,2}C =- ，且A B ∅，A C =∅，故只可能3A ∈.此时23100a a --=，即5a =或2a =-，由(1)可知，当5a =时，{2,3}A B ==，此时A C ≠∅，与已知矛盾，所以5a =舍去，故2a =-；(3)由于{2,3}B =，{4,2}C =-，且A B A C =≠∅，此时只可能2A ∈，即22150a a --=，也即5a =，或3a =-，由(2)可知5a =不合题意，故3a =-．12．解：（1）当3m =时，{|13}{|24}E x x x x x =-≥=≤-≥或，10{|1}{|64}6F x x x x =>=-<<+， {|24}{|64}{|62}EF x x x x x x x =≤-≥-<<=-<≤-或；（2）因为{|1}E x x m =-≥，当0m ≤时，,E R E F R ==,满足条件；当0m >时，{|11}E x x m x m =≤-≥+或，由E F R =，{|64}F x x =-<<，得：16140m m m -≥-⎧⎪+≤⎨⎪>⎩解得03m <≤.综上，实数m 的取值范围为(,3]-∞． 13．解：因为R A C B A =，所以R A C B ⊆．又[0,)B =+∞，所以(,0)A ⊆-∞．所以方程210x ax ++=或者无实根，或者只有负实数根．所以，0∆<或00a ∆≥⎧⎨-<⎩，即240a -<或2400a a ⎧-≥⎨>⎩，得2a >-．故实数a 的取值范围为(2,)-+∞．14．解：（1）0a =，则{(,)|1,}A x y x y R ==-∈，由方程组2142250x x x y =-⎧⎨+-+=⎩解得：172x y =-⎧⎪⎨=⎪⎩，即7{(1,)}2A B =-． （2）1a =，则A 中的方程为210y x --=.因为A B C 、、都是非空集合，由已知必有A C =∅且B C =∅，此即方程组21y x y kx b⎧=+⎨=+⎩和方程组242250x x y y kx b⎧+-+=⎨=+⎩均无解，消去y 整理得222(21)10k x bk x b +-+-=(0)k ≠和242(1)250x k x b +--+=，所以22221(21)4(1)4410bk k b k kb ∆=---=-+<，2224(1)16(52)4(2819)0}k b k k b ∆=---=-+-<，将其看做关于k 的二元一次不等式，从而2316160b ∆=->，444(819)0b ∆=-->，所以21b >且52b <成立.又b N *∈，所以2b =,此时24810k k -+<，且2230k k --<，由此得k <<k N *∈,得1k =，即所求2b =，1k =． 15．解：将3x =代入2435x x a x -++-=，得35a -+=，即8a =． 当8a =时，原不等式可化为2343x x x -≤-+-，解得0323x x ≤≤⎧⎨≤≤⎩，即23x ≤≤，所以8a =满足要求．16．解：因为0a >，所以由2x a -<得22a x a -<<+，由241x -<，得：x <x <<22a a ⎧-≥⎪⎨+≤⎪⎩2a ≤，又0a >，所以02a <≤-，又220a a a ⎧-≥⎪⎪+≤⎨⎪>⎪⎩综上，正数a的取值范围是{|02}a a <≤-． 17．解：令2()21f x x mx =++，则由(0)0f >，且02ba->， 且0∆> ，求得1m <-，∴:(,1)p m ∈-∞-，2:4(2)4(310)023q m m m ∆=---+<⇒-<<，由p 或q 为真，p 且q 为假知，p 、q 一真一假． ①当p 真q 假时，123m m m <-⎧⎨≤-≥⎩或，即2m ≤-；②当p 假q 真时，123m m ≥-⎧⎨-<<⎩即13m -≤<．∴m 的取值范围是2m ≤-或13m -≤<． 答案：(,2][1,3)-∞--18．解：令2()10f x x ax =++=，则方程在区间[1,1]-上有解的充要条件是：240112(1)0(1)0a a f f ⎧-≥⎪⎪-≤-≤⎪⎨⎪-≥⎪≥⎪⎩或(1)(1)0f f -≤，由于第一个不等式的解集是{2,2}-，而第二个不等式的解集是{|22}a a a ≤-≥或，所以关于x 的方程210x ax ++=在区间[1,1]-上有解的充要条件是2a ≥，因为集合{|3}{|2}a a a a ≥≥，故而可得结论：3a ≥是关于x 的方程210x ax ++=在区间[1,1]-上有解的充分不必要条件．19．解：由题意知，解①得13x -<<；解②得01x ≤<或24x <≤． （1）设同时满足①、②的集合[0,1)(2,3)A =，满足③的集合为B ，因为A B ⊆，所以：(3)0(0)0f f ≤⎧⎨<⎩，所以173m ≤-为所求． （2）(1,3)[0,1)(2,4]B ⊆-，所以(1,4]B ⊆-，即方程2210x mx +-=的两根在[1,4]-内，所以：0(1)0(4)0144f f m ∆≥⎧⎪-≥⎪⎪⎨≥⎪⎪-<-<⎪⎩，所以3114m -≤≤为所求． 20．证明：用数学归纳法证明 ①当0n =时，01a =，10013(4)22a a a =-=，所以012a a <<，命题正确②假设当(N )n k k =∈*时，有12k k a a -<<，则当1n k =+时，11111(4)(4)22k k k k k k a a a a a a +---=--- 11112()()()2k k k k k k a a a a a a ---=---+ 111()(4)2k k k k a a a a --=---，而110,40k k k k a a a a ---<-->，所以10k k a a +-<．又2111(4)[4(2)]222k k k k a a a a +=-=--<，所以当1n k =+时，命题正确由①②知，对一切N n ∈，有12n n a a +<<．21．证明：（1）设a 、b 、c 为等比数列，,(01)b a c bq q q q==>≠且，所以1()2nnnn n n n n n n b a c b q b q b q q+=+=+>．（2）设a 、b 、c为等差数列，则2b a c =+，猜想()(2N )22n n na c a c n n ++>≥∈*且．下面用数学归纳法证明： ①当2n =时，由2222()()a c a c +>+，所以222()22a c a c ++>．②假设n k =时成立，即()22k k ka c a c ++>，则当1n k =+时，1111111()24k k k k k k a c a c a c +++++++=+++ 111()4k k k k a c a c c a ++>+++1()()4k k a c a c =++ ()()22k a c a c ++>1()2k a c ++= 22．解：（1）由11a =及21122n n n a a a +=-+计算得：232a =，3138a =，4217128a =．（2）证明：（Ⅰ）2512172172171217217391()22(1)22212812812821281282564a =-+=--⨯=-<-，即当5n =时，结论成立．（Ⅱ）假设结论对(5)n k k =≥成立，即121k a k <--． 因为21133(1)222n n a a +=-+≥，函数213()(1)22f x x =-+在(1,)+∞上递增， 则1()(2)1k f a f k <--，所以21113(21)212k a k +<--+-21112212(1)k k k =-+<---，即当1n k =+时结论也成立． 由（Ⅰ）（Ⅱ）知，不等式121n a n <--对一切5n ≥都成立． （3）因为当5n ≥时，121n a n <--，所以112n n a +<-．又由21122n n n a a a +=-+，即1(2)22n n n a a a +--=， 即111122n n na a a +=---，得111122n n n a a a +=---，且11a =． 所以111111()22nnk k kkk a a a==+=---∑∑11111111222n n n a a a ++=-=-<----．23．解：（1）由题意知25117a a a =，即221111(4)(16)2a d a a d a d d +=+⇒=． 因为0d ≠，所以12a d =，数列{}nb a 的公比511143a a dq a a +===， 所以113nn ba a -=．① 又111(1)2n n b n b a a b d a +=+-=．② 由①②得111132n n b a a -+=．因为120a d =≠，所以1231n n b -=-．（2）1212n n n n n n T C b C b C b =+++10211(231)(231)(231)nn n n n C C C -=++-++-122122(333)()3n n nn n n n n n C C C C C C =+++-+++2[(13)1](21)3n n =+---214233n n =-+， 所以1214233lim lim 44231n n n n n n n n nT b -→∞→∞-+=++-12111()()23234lim13131()()244n nn n n →∞--+==+-． 24．解：（1）由题设可得1212918151a q a q⎧=⎪-⎪⎨⎪=⎪-⎩，解得1323a q =⎧⎪⎨=⎪⎩所以数列{}n a 的首项1a 为3，公比q 为23．（2）由（1）知，123()3n n a -=⨯，所以，(2)T 是首项为22a =，公差2213d a =-=的等差数列，它的前10项之和为10110210931552S =⨯+⨯⨯⨯=，即数列(2)T 的前10项之和为155．（3）因为i b 为数列()i T 的第i 项，()i T 是首项为i a ，公差为21i a -的等差数列，所以(1)(21)(21)(1)i i i i b a i a i a i =+--=---， 所以12n n S b b b =+++12335(21)[12(1)]n a a a n a n =++++--+++-．令12335(21)n S a a a n a =++++-．因为12112()(21)n n S qS a a a a n a +-=+++---，所以1112(21)(1)21(1)n n a n a a q S q q ++--=--- 245(1845)()3n n =-+，故(1)2(1)45(1845)()232n n n n n n S S n --=-=-+-．所以12(1)lim lim[45(1845)()]32n nmm n n S n n n n n →∞→∞-=-+- 因为1m >，且lim n m n S n→∞存在，所以当2m =时，1lim 2nmn S n →∞=-； 当2m >时，lim 0nmn S n→∞=，由题设，limn mn S n →∞不等于0．因此2m >不合题意，舍去，故满足题设的正整数m 的值为2．25．解：（1）当n m =时1lim ()lim111()x x mf x b x→∞→∞==+；（2）当n m <时1()lim ()lim 011()m nx x mx f x bx-→∞→∞==+；（3）当n m >时lim ()lim 11()n mx x mx f x bx-→∞→∞=+不存在． 所以0lim ()1x n m f x n m n m →∞<⎧⎪==⎨⎪>⎩（）（）不存在（）． 26．解：（1）设(R,0)z a bi a b b =+∈≠、且， 则221a bi z a bi za b ω-=+=+++2222()()a ba b i a b a b =++-++，因为ω是实数，所以220bb a b -=+． 由0b ≠，得221a b +=，即||1z =，因为||1z =，所以2||1z z z ==，所以12z z z a zω=+=+=． 由已知12ω-<<，即122a -<<，解得112a -<<． （2）证明：11z u z-=+ 1()(1)(1)1()[(1)][(1)]a bi a bi a bi a bi a bi a bi -+--+-==+++++-1bia-=+．所以u 是纯虚数．（3）22222()21(1)bi b u a a a a ω---=-=-++2211221(1)a a a a a a --=-=+++22(1)31a a=++-+， 因为112a -<<，所以1122a <+<，所以242(1)51a a≤++<+，所以2u ω-的最小值为1．。