定态微扰论

ˆ E H n n n
当H’ = 0 时， ψn= ψn (0), En = E n (0) ；
当 H’ ≠ 0 时，引入微扰，使体系能级发生移动，由 E (0) → E ，状态由 ψ (0) →ψ 。 n n n n 微扰使能级发生移动，波函数发生变化。我们的目的 是，由原来的 (0) 求出微扰后的 n 的各阶近似表达式， n 和由 (0) 近似求出 n 的各阶近似表达式。 n
(0) ˆ (0) n H nn H ' n d
其中能量的一级修正等于 微扰Hamilton 量在 0 级 态中的平均值
（2）波函数的一级修正 ψn(1)
(1) (1) (0) n ak k k 1
(0) (1) (0) n n ak k
其中E n (0), λE n (1), λ2 E n (1), ... 分别是能量的 0 级近似， 能量的一级修正和二级修正等；
而ψn (0), λψn (1), λ2 ψn (2), ... 分别是状态的 0 级近似，一级修正和二级修正等。 代入Schrodinger方程得：
ˆ (0) H ˆ (1) )( (0) (1) 2 (2) ) (H n n n
E
(1) n
(1) (0) (2) (0) ] ak k En n k 1
左乘ψm(0)* 并积分

k 1

(0) (0) (0) (0) ˆ (1) (0) [ Ek(0) En ]ak(2) m k d ak(1) m H k d k 1 (0) (0) (0) (0) En(1) ak(1) m k d En(2) m k d k 1
ˆ (0) E (0) ] a (2) (0) [ H ˆ (1) E (1) ] a (1) (0) E (2) (0) [H n k k n k k n n
k 1
(0) n


k 1


k 1

[E
(0) k
E
]a
(2) k
(0) k
ˆ [ H
(1)

正交归一性

k 1

(0) (2) [ Ek(0) En ]ak mk
a
k 1
(1) k

(0) m
ˆ d E H
(1) (0) k
(1) n

k 1

(1) ak mk En(2) mn
(0) (0) (2) (1) (1) (1) (1) (2) [ Em En ]am ak H mk En am En mn k 1

整理后得：
ˆ (0) E (0) ] (0) 0 [ H n n (0) ˆ E (0) ] (1) [ H ˆ (1) E (1) ] (0) [ H n n n n (0) ˆ E (0) ] (2) [ H ˆ (1) E (1) ] (1) E (2) (0) [ H n n n n n n

E
(0) n
(1) (0) (0) ˆ (1) E (1) ] ] ak k [ H n n k 1

k 1

(1) (0) (0) (0) (0) ˆ (1) E (1) ] ak [ Ek En ] k [ H n n
左乘ψm (0) *再积分

k 1
(0) n


可以证明an (1)= 0 （证明略）
(0) k
k 1

(0) n

k n
(0) (0) E E k n n k ˆ (1) (0) d (0) H
k n (0) En Ek(0)
(0) ˆ (1) (0) H n d k
根据力学量本征函数的完备性假定， H(0)的本征函数 ψn (0) 是完备的，任何波函数都可按其展开，ψn (1) 也 不例外。因此我们可以将波函数的一级修正展开为：
(1) (1) (0) n ak k k 1
代回上面的第二式并计及第一式得：
ˆ [H
(0)
ˆ (0) E (0) ] (0) 0 [ H n n (0) ˆ E (0) ] (1) [ H ˆ (1) E (1) ] (0) [ H n n n n (0) ˆ E (0) ] (2) [ H ˆ (1) E (1) ] (1) E (2) (0) [ H n n n n n n
ˆ H ˆ (0) H ˆ H
H(0) 所描写的体系是可以精确求解的，其本征值 E n (0) ，本征态ψn(0) 满足如下本征方程：
ˆ (0) (0) E (0) (0) H n n n
ˆ H ˆ (0) H ˆ H
另一部分 H’是很小的（很小的物理意义将在下面讨 论）可以看作加于 H(0) 上的微小扰动，即微扰。现 在的问题是如何求解微扰后 Hamilton 量 H 的本征 值和本征函数，即如何求解整个体系的 Schrodinger 方程：
第四章
定态微扰论
§1 引言
§2 非简并定态微扰理论
赣南师范学院物理系
§1
引
言
（一）近似方法的重要性
前几章介绍了量子力学的基本理论，使用这些 理论解决了一些简单问题。如： （1）一维无限深势阱问题； （2）线性谐振子问题； （3）氢原子问题。 这些问题都给出了问题的精确解析解。
然而，对于大量的实际物理问题，Schrodinger 方 程能有精确解的情况很少。通常体系的 Hamilton 量 是比较复杂的，往往不能精确求解。因此，在处理 复杂的实际问题时，量子力学求问题近似解的方法 （简称近似方法）就显得特别重要。
(1) (0) (0) ˆ (1) E (1) am [ Em En ] H mn n mn
ˆ (1) E (1) H mn n mn
(1) (0)* ˆ (1) (0) 其中 H mn m H n d
(1) (0) (0) (1) (1) am [ Em En ] H mn En mn
其中λ是很小的实数， 为了明显表示出微扰的微小程 表征微扰程度的参量。 ˆ H ˆ ( 1) 度，将其写为： H 因为 En 、 ψn 都与微扰有关，可以把它们看成是λ的 函数而将其展开成λ的幂级数：
(0) (1) (2) En En En 2 En
(0) (1) (2) n n n 2 n
上面的第一式就是H(0)的本征方程，第二、三式分别 是ψn (1) 和ψn (2)所满足的方程，由此可解得能量和波函 数的第一、二级修正。
（二）波函数和能量的一级修正
现在我们借助于未微扰体系的波函数ψn (0) 和本征能量 E n (0)来导出扰动后的波函数ψn和能量 En 的表达式。
(1)能量一级修正λE n (1)
(0) (1) (2) (0) (1) (2) ( En En 2 En )( n n 2 n )
乘开得：
(0) (0) ˆ (0) (0) H En n n (0) (1) (1) (0) (0) (1) (1) (0) ˆ ˆ [ H n H n ] [ En n En n ] 2 2 (0) (2) (1) (1) (0) (2) (1) (1) (2) (0) ˆ ˆ [ H n H n ] [ En n En n En n ] 3 3 [ ] [ ]
（二）近似方法的出发点
近似方法通常是从简单问题的精确解（解析解） 出发，来求较复杂问题的近似（解析）解。 常用的近似方法有微扰论、变分法等等
§2 非简并定态微扰理论
（一）微扰体系方程 （二）态矢和能量的一级修正 （三）能量的二阶修正
（四）微扰理论适用条件
（五）讨论
（六）实例
（一）微扰体系方程
微扰论利用已知的可精确求解的体系求待求解的体系。 可精确求解的体系叫做未微扰体系，待求解的体系 叫做微扰体系。假设体系 Hamilton 量不显含时间， 而且可分为两部分：
准确到一阶微扰的体系能量：
En E
(0) n
E
E
E
(0) n


(1) n
(0) n
(0) (0) ˆ (1) (0) En n H n d
(1) (0) ˆ H n d
(0) n
(0) n
(0) ˆ H ' n d
(0) En H nn

(1) (0) (0)* (0) ak [ Ek(0) En ] m k d (0)* m (1) (0) (1) (0)* (0) ˆ H n d En m n d

考虑到本征波函数的正交归一性：

k 1

(1) (0) ak [ Ek(0) En ] mk
考虑两 种情况
1. m = n
2. m ≠ n
(1) (1) (0) ˆ (1) (0) En H nn n H n d
(1) am
(1) H mn (0) (0) En Em
m n
(1) (0)* ˆ (1) (0) 其中 H mn m H n d 称为微扰矩阵元
根据等式两边λ同幂次的系数应该相等，可得到 如下一系列方程式:
0 : 1 : 2 :
ˆ (0) (0) E (0) (0) H n n n ˆ (0) (1) H ˆ (1) (0) E (0) (1) E (1) (0) H
n n n n n n
ˆ (0) (2) H ˆ (1) (1) E (0) (2) E (1) (1) E (2) (0) H n n n n n n n n
（三）能量的二阶修正
与求波函数的一阶修正一样，将ψn (2) 按 ψn (0) 展开：
(2) (2) (0) n ak k k 1
ˆ (0) E (0) ] (0) 0 [ H n n (0) ˆ E (0) ] (1) [ H ˆ (1) E (1) ] (0) [ H n n n n (0) ˆ E (0) ] (2) [ H ˆ (1) E (1) ] (1) E (2) (0) [ H n n n n n n 与ψn(1)展开式一起代入 关于 2 的第三式

1.
当 m = n 时
0 a H
k 1 (1) k

(1) nk
E a
(1) (1) n n
E
(2) n
E
(2) n
a H
k 1 (1) k

Baidu Nhomakorabea
(1) nk
H a
(1) (1) nn n

(1) H ak(1) (0) kn (0) En Ek
k(0)
(0) n k n

(0) ˆ (0) H ' n d k (0) En Ek(0)
k(0)
因此准确到一级修正，体系的能量和波函数为：
(0) En En H nn
n
(0) n

k n

H kn (0) k (0) (0) En Ek