2019版高考数学(浙江版)一轮配套讲义：§22 函数的基本性质.docx

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2019版数学高考大一轮复习备考浙江专用讲义之第二章函数概念与基本初等函数Ⅰ2.4

§2.4 幂函数与二次函数1.幂函数 (1)幂函数的定义一般地，形如y ＝x α的函数称为幂函数，其中x 是自变量，α是常数. (2)常见的5种幂函数的图象(3)常见的5种幂函数的性质2.二次函数(1)二次函数解析式的三种形式一般式：f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0).顶点式：f (x )＝a (x －m )2＋n (a ≠0)，顶点坐标为(m ，n ). 零点式：f (x )＝a (x －x 1)(x －x 2)(a ≠0)，x 1，x 2为f (x )的零点. (2)二次函数的图象和性质知识拓展1.幂函数的图象和性质(1)幂函数的图象一定会出现在第一象限内，一定不会出现在第四象限，至于是否出现在第二、三象限内，要看函数的奇偶性.(2)幂函数的图象过定点(1,1)，如果幂函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是原点. (3)当α＞0时，y ＝x α在[0，＋∞)上为增函数；当α＜0时，y ＝x α在(0，＋∞)上为减函数.2.若f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，则当⎩⎪⎨⎪⎧ a >0，Δ<0时恒有f (x )>0，当⎩⎪⎨⎪⎧a <0，Δ<0时，恒有f (x )<0.题组一思考辨析1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c ，x ∈[a ，b ]的最值一定是4ac －b 24a.( × )(2)二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c ，x ∈R 不可能是偶函数.( × )(3)在y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)中，a 决定了图象的开口方向和在同一直角坐标系中的开口大小.( √ )(4)函数y ＝122x 是幂函数.( × )(5)如果幂函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是原点.( √ ) (6)当n <0时，幂函数y ＝x n 是定义域上的减函数.( × ) 题组二教材改编2.[P79T1]已知幂函数f (x )＝k ·x α的图象过点⎝⎛⎭⎫12，22，则k ＋α等于( )A.12B.1C.32 D.2 答案 C解析由幂函数的定义，知⎩⎪⎨⎪⎧k ＝1，22＝k ·⎝⎛⎭⎫12α. ∴k ＝1，α＝12.∴k ＋α＝32.3.[P44A 组T9]已知函数f (x )＝x 2＋4ax 在区间(－∞，6)内单调递减，则a 的取值范围是( ) A.a ≥3 B.a ≤3 C.a ＜－3 D.a ≤－3答案 D解析函数f (x )＝x 2＋4ax 的图象是开口向上的抛物线，其对称轴是x ＝－2a ，由函数在区间(－∞，6)内单调递减可知，区间(－∞，6)应在直线x ＝－2a 的左侧， ∴－2a ≥6，解得a ≤－3，故选D. 题组三易错自纠 4.幂函数21023()a a f x x-+＝(a ∈Z )为偶函数，且f (x )在区间(0，＋∞)上是减函数，则a 等于( )A.3B.4C.5D.6 答案 C解析因为a 2－10a ＋23＝(a －5)2－2， f (x )＝2(5)2a x--(a ∈Z )为偶函数，且在区间(0，＋∞)上是减函数，所以(a －5)2－2<0，从而a ＝4,5,6，又(a －5)2－2为偶数，所以只能是a ＝5，故选C.5.已知函数y ＝ax 2＋bx ＋c ，如果a >b >c 且a ＋b ＋c ＝0，则它的图象可能是( )答案 D解析由a ＋b ＋c ＝0和a >b >c 知，a >0，c <0，由c <0，排除A ，B ，又a >0，排除C.6.已知函数y ＝x 2－2x ＋3在闭区间[0，m ]上有最大值3，最小值2，则m 的取值范围为________. 答案 [1,2]解析如图，由图象可知m 的取值范围是[1,2].题型一幂函数的图象和性质1.已知幂函数f (x )的图象经过点⎝⎛⎭⎫2，22，则f (4)等于( ) A.16 B.116 C.2 D.12答案 D2.若四个幂函数y ＝x a ，y ＝x b ，y ＝x c ，y ＝x d 在同一坐标系中的图象如图所示，则a ，b ，c ，d 的大小关系是( )A.d ＞c ＞b ＞aB.a ＞b ＞c ＞dC.d ＞c ＞a ＞bD.a ＞b ＞d ＞c答案 B解析由幂函数的图象可知，在(0,1)上幂函数的指数越大，函数图象越接近x 轴，由题图知a ＞b ＞c ＞d ，故选B.3.若a <0，则0.5a ,5a ,5－a的大小关系是( )A.5－a <5a <0.5aB.5a <0.5a <5－aC.0.5a <5－a <5aD.5a <5－a <0.5a答案 B解析 5－a ＝⎝⎛⎭⎫15a ，因为a <0时，函数y ＝x a 在(0，＋∞)上单调递减，且15<0.5<5，所以5a <0.5a <5－a. 思维升华 (1)幂函数的形式是y ＝x α(α∈R )，其中只有一个参数α，因此只需一个条件即可确定其解析式.(2)在区间(0,1)上，幂函数中指数越大，函数图象越靠近x 轴(简记为“指大图低”)，在区间(1，＋∞)上，幂函数中指数越大，函数图象越远离x 轴.(3)在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较，准确掌握各个幂函数的图象和性质是解题的关键. 题型二求二次函数的解析式典例 (1)已知二次函数f (x )＝x 2－bx ＋c 满足f (0)＝3，对任意x ∈R ，都有f (1＋x )＝f (1－x )成立，则f (x )的解析式为________________. 答案 f (x )＝x 2－2x ＋3 解析由f (0)＝3，得c ＝3，又f (1＋x )＝f (1－x )，∴函数f (x )的图象关于直线x ＝1对称， ∴b2＝1，∴b ＝2， ∴f (x )＝x 2－2x ＋3.(2)已知二次函数f (x )与x 轴的两个交点坐标为(0,0)和(－2,0)且有最小值－1，则f (x )＝________. 答案 x 2＋2x解析设函数的解析式为f (x )＝ax (x ＋2)，所以f (x )＝ax 2＋2ax ，由4a ×0－4a 24a＝－1，得a ＝1，所以f (x )＝x 2＋2x . 思维升华求二次函数解析式的方法跟踪训练 (1)已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋1(a ，b ∈R ，a ≠0)，x ∈R ，若函数f (x )的最小值为f (－1)＝0，则f (x )＝________. 答案 x 2＋2x ＋1解析设函数f (x )的解析式为f (x )＝a (x ＋1)2＝ax 2＋2ax ＋a ，由已知f (x )＝ax 2＋bx ＋1，∴a ＝1，故f (x )＝x 2＋2x ＋1.(2)若函数f (x )＝(x ＋a )(bx ＋2a )(a ，b ∈R )是偶函数，且它的值域为(－∞，4]，则该函数的解析式f (x )＝________. 答案－2x 2＋4解析由f (x )是偶函数知f (x )图象关于y 轴对称，∴－a ＝－⎝⎛⎭⎫－2ab ，即b ＝－2，∴f (x )＝－2x 2＋2a 2，又f (x )的值域为(－∞，4]，∴2a 2＝4，故f (x )＝－2x 2＋4.题型三二次函数的图象和性质命题点1 二次函数的图象典例对数函数y ＝log a x (a ＞0且a ≠1)与二次函数y ＝(a －1)x 2－x 在同一坐标系内的图象可能是( )答案 A解析当0＜a ＜1时，y ＝log a x 为减函数，y ＝(a －1)x 2－x 开口向下，其对称轴为x ＝12(a －1)＜0，排除C ，D ；当a ＞1时，y ＝log a x 为增函数，y ＝(a －1)x 2－x 开口向上，其对称轴为x ＝12(a －1)＞0，排除B.故选A.命题点2 二次函数的单调性典例函数f (x )＝ax 2＋(a －3)x ＋1在区间[－1，＋∞)上是递减的，则实数a 的取值范围是( ) A.[－3,0)B.(－∞，－3]C.[－2,0]D.[－3,0]答案 D解析当a ＝0时，f (x )＝－3x ＋1在[－1，＋∞)上递减，满足题意.当a ≠0时，f (x )的对称轴为x ＝3－a 2a，由f (x )在[－1，＋∞)上递减知⎩⎪⎨⎪⎧a <0，3－a 2a ≤－1，解得－3≤a ＜0.综上，a 的取值范围为[－3,0]. 引申探究若函数f (x )＝ax 2＋(a －3)x ＋1的单调减区间是[－1，＋∞)，则a ＝________. 答案－3解析由题意知f (x )必为二次函数且a <0，又3－a2a＝－1，∴a ＝－3. 命题点3 二次函数的最值典例已知函数f (x )＝ax 2＋2ax ＋1在区间[－1,2]上有最大值4，求实数a 的值. 解 f (x )＝a (x ＋1)2＋1－a .(1)当a ＝0时，函数f (x )在区间[－1,2]上的值为常数1，不符合题意，舍去；(2)当a ＞0时，函数f (x )在区间[－1,2]上是增函数，最大值为f (2)＝8a ＋1＝4，解得a ＝38；(3)当a ＜0时，函数f (x )在区间[－1,2]上是减函数，最大值为f (－1)＝1－a ＝4，解得a ＝－3. 综上可知，a 的值为38或－3.引申探究本题改为：求函数f (x )＝x 2＋2ax ＋1在区间[－1,2]上的最大值. 解 ∵f (x )＝(x ＋a )2＋1－a 2，∴f (x )的图象是开口向上的抛物线，对称轴为x ＝－a . (1)当－a ＜12即a ＞－12时，f (x )max ＝f (2)＝4a ＋5，(2)当－a ≥12即a ≤－12时，f (x )max ＝f (－1)＝2－2a ，综上，f (x )max＝⎩⎨⎧4a ＋5，a ＞－12，2－2a ，a ≤－12.命题点4 二次函数中的恒成立问题典例 (1)已知函数f (x )＝x 2－x ＋1，在区间[－1,1]上，不等式f (x )>2x ＋m 恒成立，则实数m 的取值范围是________________. 答案 (－∞，－1)解析 f (x )>2x ＋m 等价于x 2－x ＋1>2x ＋m ，即x 2－3x ＋1－m >0，令g (x )＝x 2－3x ＋1－m ，要使g (x )＝x 2－3x ＋1－m >0在[－1,1]上恒成立，只需使函数g (x )＝x 2－3x ＋1－m 在[－1,1]上的最小值大于0即可. ∵g (x )＝x 2－3x ＋1－m 在[－1,1]上单调递减， ∴g (x )min ＝g (1)＝－m －1.由－m －1>0，得m <－1. 因此实数m 的取值范围是(－∞，－1).(2)已知a 是实数，函数f (x )＝2ax 2＋2x －3在x ∈[－1,1]上恒小于零，则实数a 的取值范围为________. 答案 ⎝⎛⎭⎫－∞，12 解析 2ax 2＋2x －3<0在[－1,1]上恒成立. 当x ＝0时，－3<0，成立；当x ≠0时，a <32⎝⎛⎭⎫1x －132－16，因为1x ∈(－∞，－1]∪[1，＋∞)，当x ＝1时，右边取最小值12，所以a <12.综上，实数a 的取值范围是 ⎝⎛⎭⎫－∞，12. 思维升华解决二次函数图象与性质问题时要注意(1)抛物线的开口，对称轴位置，定义区间三者相互制约，常见的题型中这三者有两定一不定，要注意分类讨论.(2)要注意数形结合思想的应用，尤其是给定区间上的二次函数最值问题，先“定性”(作草图)，再“定量”(看图求解)，事半功倍. (3)由不等式恒成立求参数取值范围的思路及关键①一般有两个解题思路：一是分离参数；二是不分离参数； ②两种思路都是将问题归结为求函数的最值或值域.跟踪训练 (1)设abc ＞0，二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 的图象可能是( )答案 D解析由A ，C ，D 知，f (0)＝c ＜0，从而由abc ＞0，所以ab ＜0，所以对称轴x ＝－b2a ＞0，知A ，C 错误，D 满足要求；由B 知f (0)＝c ＞0，所以ab ＞0，所以x ＝－b2a＜0，B 错误.(2)(2018·浙江名校协作体联考)y ＝2ax 2＋4x ＋a －1的值域为[0，＋∞)，则a 的取值范围是( ) A.(2，＋∞) B.(－∞，－1)∪(2，＋∞) C.[－1,2] D.[0,2]答案 D解析由已知，t ＝2ax 2＋4x ＋a －1取遍[0，＋∞)上的所有实数，当a ＝0时，t ＝4x －1能取遍[0，＋∞)上的所有实数，只需定义域满足⎣⎡⎭⎫14，＋∞. 当a ≠0时，只需⎩⎪⎨⎪⎧2a >0，Δ＝16－8a (a －1)≥0，解得0＜a ≤2.综上，0≤a ≤2.(3)设函数f (x )＝ax 2－2x ＋2，对于满足1<x <4的一切x 值都有f (x )>0，则实数a 的取值范围为________. 答案 ⎝⎛⎭⎫12，＋∞解析由题意得a ＞2x －2x 2对1＜x ＜4恒成立，又2x －2x 2＝－2⎝⎛⎭⎫1x －122＋12，14＜1x ＜1， ∴⎝⎛⎭⎫2x －2x 2max ＝12， ∴a ＞12.数形结合思想和分类讨论思想在二次函数中的应用典例 (14分)设函数f (x )＝x 2－2x ＋2，x ∈[t ，t ＋1]，t ∈R ，求函数f (x )的最小值.思想方法指导研究二次函数的性质，可以结合图象进行；对于含参数的二次函数问题，要明确参数对图象的影响，进行分类讨论. 规范解答解 f (x )＝x 2－2x ＋2＝(x －1)2＋1，x ∈[t ，t ＋1]，t ∈R ，函数图象的对称轴为x ＝1. [2分] 当t ＋1＜1，即t ＜0时，函数图象如图(1)所示，函数f (x )在区间[t ，t ＋1]上为减函数，所以最小值为f (t ＋1)＝t 2＋1；[6分]当t ≤1≤t ＋1，即0≤t ≤1时，函数图象如图(2)所示，在对称轴x ＝1处取得最小值，最小值为f (1)＝1；[9分]当t ＞1时，函数图象如图(3)所示，函数f (x )在区间[t ，t ＋1]上为增函数，所以最小值为f (t )＝t 2－2t ＋2.[12分] 综上可知，f (x )min ＝⎩⎪⎨⎪⎧t 2＋1，t ＜0，1，0≤t ≤1，t 2－2t ＋2，t ＞1.[14分]1.若函数f (x )＝(m －1)x 2＋2mx ＋3为偶函数，则f (x )在区间(－5，－3)上( ) A.先减后增 B.先增后减 C.单调递减 D.单调递增答案 D2.若幂函数f (x )＝(m 2－4m ＋4)·268m m x -+在(0，＋∞)上为增函数，则m 的值为( )A.1或3B.1C.3D.2答案 B解析由题意得m 2－4m ＋4＝1，m 2－6m ＋8＞0，解得m ＝1.3.已知a ，b ，c ∈R ，函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，若f (1)＝f (3)＞f (4)，则( ) A.a >0,4a ＋b ＝0 B.a ＜0,4a ＋b ＝0C.a ＞0,2a ＋b ＝0D.a ＜0,2a ＋b ＝0答案 B解析由f (1)＝f (3)，得二次函数f (x )的对称轴为x ＝－b 2a＝2， 4a ＋b ＝0，又f (3)＞f (4)，故函数在(2，＋∞)上单调递减，故a ＜0.4.已知二次函数f (x )满足f (2＋x )＝f (2－x )，且f (x )在[0,2]上是增函数，若f (a )≥f (0)，则实数a 的取值范围是( )A.[0，＋∞)B.(－∞，0]C.[0,4]D.(－∞，0]∪[4，＋∞)答案 C解析由题意可知函数f (x )的图象开口向下，对称轴为x ＝2(如图)，若f (a )≥f (0)，从图象观察可知0≤a ≤4.5.已知二次函数f (x )＝2ax 2－ax ＋1(a <0)，若x 1<x 2，x 1＋x 2＝0，则f (x 1)与f (x 2)的大小关系为( )A.f (x 1)＝f (x 2)B.f (x 1)>f (x 2)C.f (x 1)<f (x 2)D.与a 值有关答案 C解析该二次函数图象的开口向下，对称轴为直线x ＝14，又依题意，得x 1<0，x 2>0，又x 1＋x 2＝0，∴当x 1，x 2在对称轴的两侧时，14－x 1>x 2－14，故f (x 1)<f (x 2). 当x 1，x 2都在对称轴的左侧时，由单调性知f (x 1)<f (x 2).综上，f (x 1)<f (x 2).6.若关于x 的不等式x 2－4x －2－a ＞0在区间(1,4)内有解，则实数a 的取值范围是( )A.(－∞，－2)B.(－2，＋∞)C.(－6，＋∞)D.(－∞，－6)答案 A解析不等式x 2－4x －2－a ＞0在区间(1,4)内有解等价于a ＜(x 2－4x －2)max ，令f (x )＝x 2－4x －2，x ∈(1,4)，所以f (x )＜f (4)＝－2，所以a ＜－2.7.已知P ＝322-，Q ＝⎝⎛⎭⎫253，R ＝⎝⎛⎭⎫123，则P ，Q ，R 的大小关系是________. 答案 P ＞R ＞Q解析 P ＝322-＝⎝⎛⎭⎫223，根据函数y ＝x 3是R 上的增函数，且22＞12＞25，得⎝⎛⎭⎫223＞⎝⎛⎭⎫123＞⎝⎛⎭⎫253，即P ＞R ＞Q .8.(2018届台州路桥中学检测)已知幂函数y ＝f (x )的图象过点(2，2)，则f (9)＝________. 答案 3解析设f (x )＝x α，因为它过点(2，2)，所以2＝2α，所以α＝12，所以f (x )＝12x ，所以f (9)＝129＝3.9.对于任意实数x ，函数f (x )＝(5－a )x 2－6x ＋a ＋5恒为正值，则a 的取值范围是__________. 答案 (－4,4)解析由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧5－a >0，Δ＝36－4(5－a )(a ＋5)<0，解得－4<a <4.10.(2008·浙江)已知t 为常数，函数y ＝|x 2－2x －t |在区间[0,3]上的最大值为2，则t ＝________. 答案 1解析可分三种情况讨论，①⎩⎪⎨⎪⎧ 4＋4t ≤0，|9－6－t |＝2或②⎩⎪⎨⎪⎧ 4＋4t >0，t ≥1，|1－2－t |＝2或③⎩⎪⎨⎪⎧ 4＋4t >0，t <1，|9－6－t |＝2，解①得∅，解②得t ＝1，解③得∅，综上，t ＝1.11.已知y ＝f (x )是偶函数，当x >0时，f (x )＝(x －1)2，若当x ∈⎣⎡⎦⎤－2，－12时，n ≤f (x )≤m 恒成立，则m －n 的最小值为________.答案 1解析 ∵f (x )为偶函数，∴当x <0时，－x ＞0，f (x )＝f (－x )＝(－x －1)2＝(x ＋1)2，当x ∈⎣⎡⎦⎤－2，－12时，f (x )max ＝1，f (x )min ＝0， ∴0≤f (x )≤1，∴m ≥1，n ≤0，∴(m －n )min ＝1.12.已知函数f (x )＝x 2＋(2a －1)x －3.(1)当a ＝2，x ∈[－2,3]时，求函数f (x )的值域；(2)若函数f (x )在[－1,3]上的最大值为1，求实数a 的值.解 (1)当a ＝2时，f (x )＝x 2＋3x －3，x ∈[－2,3]，对称轴x ＝－32∈[－2,3]， ∴f (x )min ＝f ⎝⎛⎭⎫－32＝94－92－3＝－214， f (x )max ＝f (3)＝15，∴函数f (x )的值域为⎣⎡⎦⎤－214，15. (2)对称轴为x ＝－2a －12. ①当－2a －12≤1，即a ≥－12时， f (x )max ＝f (3)＝6a ＋3，∴6a ＋3＝1，即a ＝－13满足题意； ②当－2a －12＞1，即a ＜－12时， f (x )max ＝f (－1)＝－2a －1，∴－2a －1＝1，即a ＝－1满足题意.综上可知，a ＝－13或－1.13.(2017·浙江“超级全能生”联考)已知在(－∞，1]上递减的函数f (x )＝x 2－2tx ＋1，且对任意的x 1，x 2∈[0，t ＋1]，总有|f (x 1)－f (x 2)|≤2，则实数t 的取值范围为( )A.[－2，2]B.[1，2]C.[2,3]D.[1,2]答案 B 解析由于函数f (x )＝x 2－2tx ＋1的图象的对称轴为x ＝t ，函数f (x )＝x 2－2tx ＋1在区间(－∞，1]上递减，∴t ≥1.∴当x ∈[0，t ＋1]时，f (x )max ＝f (0)＝1，f (x )min ＝f (t )＝t 2－2t 2＋1＝－t 2＋1，要使对任意的x 1，x 2∈[0，t ＋1]，都有|f (x 1)－f (x 2)|≤2，只需1－(－t 2＋1)≤2，解得－2≤t ≤ 2.又t ≥1，∴1≤t ≤ 2.故选B.14.当x ∈(1,2)时，不等式x 2＋mx ＋4<0恒成立，则m 的取值范围是________.答案 (－∞，－5]解析方法一 ∵不等式x 2＋mx ＋4<0对x ∈(1,2)恒成立，∴mx <－x 2－4对x ∈(1,2)恒成立，即m <－⎝⎛⎭⎫x ＋4x 对x ∈(1,2)恒成立，令y ＝x ＋4x ，则函数y ＝x ＋4x在x ∈(1,2)上是减函数.∴4<y <5，∴－5<－⎝⎛⎭⎫x ＋4x <－4，∴m ≤－5. 方法二设f (x )＝x 2＋mx ＋4，当x ∈(1,2)时，由f (x )<0恒成立，得⎩⎪⎨⎪⎧ f (1)≤0，f (2)≤0，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ≤－5，m ≤－4，即m ≤－5.15.若函数f (x )＝x 2－a |x －1|在[0，＋∞)上单调递增，则实数a 的取值范围是________. 答案 [0,2]解析 f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－ax ＋a ，x ∈[1，＋∞)，x 2＋ax －a ，x ∈(－∞，1)，当x ∈[1，＋∞)时，f (x )＝x 2－ax ＋a ＝⎝⎛⎭⎫x －a 22＋a －a 24，当x ∈(－∞，1)时，f (x )＝x 2＋ax －a ＝⎝⎛⎭⎫x ＋a 22－a －a 24. ①当a 2>1，即a >2时，f (x )在⎣⎡⎭⎫1，a 2上单调递减，在⎝⎛⎭⎫a 2，＋∞上单调递增，不合题意；②当0≤a 2≤1，即0≤a ≤2时，符合题意； ③当a 2<0，即a <0时，不符合题意. 综上，a 的取值范围是[0,2].16.设函数f (x )＝x 2＋px ＋q (p ，q ∈R ).(1)若p ＝2，当x ∈[－4，－2]时，f (x )≥0恒成立，求q 的取值范围；(2)若不等式|f (x )|>2在区间[1,5]上无解，试求所有的实数对(p ，q ). 解 (1)当p ＝2时，f (x )＝x 2＋2x ＋q ≥0恒成立，只需f (x )min ≥0.因为f (x )＝x 2＋2x ＋q 在[－4，－2]上单调递减，所以f (x )min ＝f (－2)＝q ≥0.即q 的取值范围为[0，＋∞).(2)要使|f (x )|>2在区间[1,5]上无解，必须满足⎩⎪⎨⎪⎧ －2≤f (1)≤2，－2≤f (5)≤2，所以⎩⎪⎨⎪⎧－2≤p ＋q ＋1≤2，－2≤5p ＋q ＋25≤2，所以－3≤p ＋q ≤1，即－1≤－p －q ≤3，又－27≤5p ＋q ≤－23，两式相加可以得到－7≤p ≤－5.因为f (x )的对称轴为x ＝－p 2，所以－p 2∈⎣⎡⎦⎤52，72，则f (x )的对称轴在区间[1,5]内，要使|f (x )|>2在区间[1,5]上无解，还要满足f ⎝⎛⎭⎫－p 2≥－2，即4q －p 24≥－2，可以得到q ≥p 24－2. 解不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ －3≤p ＋q ≤1，－27≤5p ＋q ≤－23，q ≥p 24－2，可得p ＝－6，代入不等式组，得q ＝7.所以满足题意的实数对(p ，q )只有一对(－6,7).。

2019版高考数学：§2.2 函数的基本性质

大小关系为 ( )
A.a<b<c B.b<a<c
C.பைடு நூலகம்<b<a D.c<a<b
答案 C 本题考查函数的奇偶性、单调性及对数函数的性质. ∵f(x)为奇函数,∴f(-x)=-f(x), ∴a=-f(-log25)=f(log25), 而log25>log24.1>2>20.8,且y=f(x)在R上为增函数, ∴f(log25)>f(log24.1)>f(20.8),即a>b>c,故选C.
答案 C 依题意得对任意x∈R,都有f(-x)=-f(x),g(-x)=g(x),因此, f(-x)g(-x)=-f(x)g(x)=-[f(x)·g(x)], f(x)g(x)是奇函数,A错;|f(-x)|g(-x)=|-f(x)|·g(x)=|f(x)|g(x),|f(x)|g(x)是偶函数,B错; f(-x)·|g(-x)|=-f(x)|g (x)|=-[f(x)|g(x)|], f(x)|g(x)|是奇函数,C正确;|f(-x)·g(-x)|=|-f(x)g(x)|=|f(x)g(x)|,|f(x)g(x)|是偶函数,D 错.故选C.
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3.(2015福建,3,5分)下列函数为奇函数的是 ( ) A.y= x B.y=ex C.y=cos x D.y=ex-e-x
答案 D A、B项中的函数为非奇非偶函数;C项中的函数为偶函数;D项中的函数为奇函数, 故选D.
2019年4月28日
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19
4.(2014重庆,4,5分)下列函数为偶函数的是 ( ) A.f(x)=x-1 B.f(x)=x2+x C.f(x)=2x-2-x D.f(x)=2x+2-x

浙江专版19版高考数学一轮复习函数2.7函数与方程课件180403323

2.利用零点存在性定理并结合函数图象与性质(如单调性、奇偶性等)
确定函数有多少个零点. 3.构造两个函数,把函数零点问题转化为两函数图象的交点问题,画出两
函数的图象,看其交点的个数,有几个交点就有几个零点.
例1 (2017浙江台州质量评估,9)已知函数f(x)=|ln x|,g(x)=
0,0 x 1, 则方程|f(x)-g(x)|=2的实根个数为 ( 2 | x 4 | 2, x 1,
高考数学
§2.7 函数与方程
知识清单
考点
1.函数零点的定义
(1)对于函数y=f(x)(x∈D),我们把使① f(x)=0 成立的实数x叫做函数y =f(x)(x∈D)的零点. (2)方程f(x)=0有实根⇔函数y=f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y=f(x)有 ② 零点 . 2.函数零点的判定如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线,并且有 ③ f(a)· f(b)<0 ,那么函数y=f(x)在区间④ (a,b) 内有零点,即存在c∈ (a,b),使得⑤ f(c)=0 ,这个⑥ c 也就是f(x)=0的根.我们把这一结论称为零点存在性定理.
+4)=f(x),且当0≤x≤2时, f(x)=min{-x2+2x,2-x},若方程f(x)-mx=0恰有两个
实根,则m的取值范围是 ( C )
1 ∪ 1 A. , , 3 3 1 1 2, C. ,2 ∪ 3 3
内部文件，请勿外传
解析当0≤x≤1时,-x2+2x≤2-x,当1<x≤2时,-x2+2x≥2-x,所以f(x)=
x 2 2 x,0 x 1, 又因为f(x)是偶函数,且是以4为周期的周期函数,作出 2 x,1 x 2,

(浙江专版)2019年高考数学一轮复习专题2.2 函数的单调性与值域(讲)

第02节函数的单调性与值域【考纲解读】【知识清单】1．函数的单调性（1）.增函数：若对于定义域内的某个区间上的任意两个自变量、，当时，都有，那么就说函数在区间上是增函数；（2）减函数：若对于定义域内的某个区间上的任意两个自变量、，当时，都有，那么就说函数在区间上是减函数.2.函数的最值1.最大值：一般地，设函数的定义域为，如果存在实数满足：（1）对于任意的，都有；（2）存在，使得.那么，我们称是函数的最大值.2.最小值：一般地，设函数的定义域为，如果存在实数满足：（1）对于任意的，都有；（2）存在，使得.那么，我们称是函数的最小值.【重点难点突破】考点1 单调性的判定和证明【1-1】【2018届辽宁省大连市二模】下列函数中，既是偶函数，又在上单调递增的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：利用函数奇偶性的判断方法判断函数的奇偶性，利用复合函数的单调性原理和图像判断函数的单调性得解.【1-2】【2018届河南省南阳市第一中学高三实验班第一次考试】已知，那么( )A. 在区间上单调递增B. 在上单调递增C. 在上单调递增D. 在上单调递增【答案】D【解析】，在记，则当时，单调递增，且而在不具有单调性，故A错误；当时，不具有单调性，故B错误；当时，单调递增，且而在不具有单调性，故C错误；当时，单调递减，且而在单调递减，根据“同增异减”知，D正确.故选：D【领悟技法】1.利用基本初等函数的单调性与图像：只需作出函数的图象便可判断函数在相应区间上的单调性；2.性质法：（1）增函数增函数增函数，减函数减函数减函数，增函数减函数增函数，减函数增函数减函数；（2）函数与函数的单调性相反；（3）时，函数与的单调性相反（）；时，函数与的单调性相同（）.2.导数法：在区间D上恒成立，则函数在区间D上单调递增；在区间D上恒成立，则函数在区间D上单调递减.4.定义法：作差法与作商法（常用来函数单调性的证明，一般使用作差法）.【注】分段函数的单调性要求每段函数都满足原函数的整体单调性，还需注意断点处两边函数值的大小比较.【触类旁通】【变式一】【2017北京西城八中上期中】下列函数中，在区间上为增函数的是（）．A. B. C. D.【答案】A【变式二】【2017山西孝义二模】函数，当时是增函数，当时是减函数，则等于（）A．-3 B．13 C. 7 D． 5【答案】B【解析】由题意知函数的对称轴，所以，所以，故选B．考点2 函数的单调区间【2-1】【2019届四川省成都市第七中学零诊】函数的单调递增区间是（）A. B. C. D. 【答案】D【解析】分析：利用二次函数的单调性，结合函数的定义域，根据复合函数的单调性求解即可. 详解：得或，令，则为增函数，在上的增区间便是原函数的单调递增区间，原函数的单调递增区间为，故选D. 【2-2】的递增区间是（）A. B. C. D. 【答案】 A【领悟技法】1.基本初等函数的单调区间：函数图象参数范围单调区间或单调性一次函数k<0k>0Oyx单调递增区间单调递减区间二次函数a<0x=-b 2ay=ax 2+bx+cOyx单调递减区间为；单调递增区间为.2.图象法：对于基本初等函数及其函数的变形函数，可以作出函数图象求出函数的单调区间.3.复合函数法：对于函数，可设内层函数为，外层函数为，可以利用复合函数法来进行求解，遵循“同增异减”，即内层函数与外层函数在区间D上的单调性相同，则函数在区间D上单调递增；内层函数与外层函数在区间D上的单调性相反，则函数在区间D上单调递减.4.导数法：不等式的解集与函数的定义域的交集即为函数的单调递增区间，不等式的解集与函数的定义域的交集即为函数的单调递减区间.【触类旁通】【变式一】【2017届北京西城35中高三上期中】函数的单调区间是A. B. C. D.【答案】C【解析】设，，，函数定义域为，所以先排除A，B；在上函数m先增后减，故D不对；由图像可知，该复合函数单调区间为，故选．【变式二】函数的单调递增区间为 . 【答案】和.【解析】作出函数的图象如下图所示，xyO 3-11由图象可知，函数的单调递增区间为和. 考点3 利用单调性确定参数取值范围【3-1】【2018届云南省昆明市5月检测】已知函数，若，则实数的取值范围是（） A. B. C. D. 【答案】A详解：函数在上为减函数，函数的图像开口向下，对称轴为，所以函数在区间上为减函数，且.所以函数在上为减函数. 由得.解得. 故选A.【3-2】【2018年天津卷文】已知a ∈R ，函数若对任意x ∈［–3，+），f (x )≤恒成立，则a 的取值范围是__________．【答案】［，2］【解析】分析：由题意分类讨论和两种情况，结合恒成立的条件整理计算即可求得最终结果. 详解：分类讨论：①当时，即：，整理可得：，由恒成立的条件可知：，结合二次函数的性质可知：当时，，则；②当时，即：，整理可得：，由恒成立的条件可知：，结合二次函数的性质可知：当或时，，则；综合①②可得的取值范围是.点睛：对于恒成立问题，常用到以下两个结论：(1)a ≥f (x )恒成立⇔a ≥f (x )max ；(2)a ≤f (x )恒成立⇔a ≤f (x )min .有关二次函数的问题，数形结合，密切联系图象是探求解题思路的有效方法．一般从：①开口方向；②对称轴位置；③判别式；④端点函数值符号四个方面分析．【3-3】已知函数在区间上为增函数，则实数的取值范围 . 【答案】【解析】函数：，由复合函数的增减性可知，若在（-2，+∞）为增函数，∴1-2a ＜0，【领悟技法】1.解决抽象不等式时，切勿将自变量代入函数解析式进行求解，首先应该注意考查函数的单调性.若函数为增函数，则；若函数为减函数，则.2.在比较、、、的大小时，首先应该根据函数的奇偶性与周期性将、、、通过等值变形将自变量置于同一个单调区间，然后根据单调性比较大小. 【触类旁通】【变式一】【2018届内蒙古巴彦淖尔市第一中学9月月考】已知函数是奇函数，若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是_________. 【答案】【解析】设，则为奇函数， 2202f x f x x x x m ∴=--=+∴=（）（）（＜），在上单调递减，在上单调递增∵若函数在区间上单调递增，故答案为．【变式二】【2017浙江金华十校联考】已知函数f(x)为(0，＋∞)上的增函数，若f(a2－a)>f(a ＋3)，则实数a的取值范围为________．考点4 函数的单调性和最值（值域）及其综合应用【4-1】【2018届浙江省绍兴市3月模拟】已知，函数在区间上的最大值是2，则__________．【答案】3或【解析】当时，=函数，对称轴为，观察函数的图像可知函数的最大值是.令，经检验，a=3满足题意.令，经检验a=5或a=1都不满足题意.令，经检验不满足题意.当时，,函数，对称轴为，观察函数的图像得函数的最大值是.当时，,函数，对称轴为，观察函数的图像可知函数的最大值是.令，令,所以.综上所述，故填3或.点睛：本题的难点在于通过函数的图像分析函数的性质. 本题绝对值里面是一个闭区间上的二次函数，要求它的最大值，所以要先画出二次函数的图像，再结合二次函数的图像分析出最大值的可能情况.【4-2】【2017浙江，17】已知αR，函数在区间[1，4]上的最大值是5，则的取值范围是___________．【答案】【解析】【领悟技法】函数最值（值域）的求解方法：1.单调性法：利用函数的单调性:若是上的单调增(减)函数,则,分别是在区间上取得最小(大)值,最大(小)值.2.图象法：对于由基本初等函数图象变化而来的函数，通过观察函数图象的最高点或最低点确定函数的最值.3. 利用配方法:形如型,用此种方法,注意自变量x的范围.4.利用三角函数的有界性,如.5.利用“分离常数”法:形如y= 或 (至少有一个不为零)的函数,求其值域可用此法.6.利用换元法:形如型,可用此法求其值域.7.利用基本不等式法:8.导数法:利用导数与函数的连续性求图复杂函数的极值和最值,然后求出值域9.求分段函数的最值时，应根据所给自变量值的大小选择相应的解析式求解，有时每段交替使用求值．若给出函数值或函数值的范围求自变量值或自变量的取值范围，应根据每一段的解析式分别求解，但要注意检验所求自变量值域范围是否符合相应段的自变量的取值范围．10.由判别式法来判断函数的值域时，若原函数的定义域不是实数集时，应综合函数的定义域，将扩大的部分剔除.【触类旁通】【变式一】【2018届陕西省西安市长安区大联考（一）】已知函数的值域是，则实数的取值范围是A. B. C. D.【答案】C【变式二】【2018届浙江省杭州市高三上期末】设函数，记为函数在上的最大值，为的最大值.（）A. 若，则B. 若，则C. 若，则D. 若，则【答案】C【解析】由题意得，则()(){}{}1111M max f f max a b a b =-=++-+，，()()()11111112222M a b a b a b a b a a ≥+++-+≥++--+≥= 若，则，此时任意有则，，，在时与题意相符，故选【易错试题常警惕】易错典例：函数的单调递减区间为 .易错分析：求单调区间时，只顾及到内层二次函数的单调区间，而忽视了函数定义域的重要性.正确解析：自变量满足，解得或，令，，则内层函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，而外层函数在上是减函数，由复合函数单调性可知，函数的单调递减区间为.【规范解答】因为f (xy )＝f (x )＋f (y )，且f (3)＝1，所以2＝2f (3)＝f (3)＋f (3)＝f (9). 2分又f (a )>f (a －1)＋2，所以f (a )>f (a －1)＋f (9)，再由f (xy )＝f (x )＋f (y )，可知f (a )>f (9(a －1)). 4分从而有⎩⎪⎨⎪⎧ a >0，9a －1>0，a >9a －1，8分解得1<a <98.11分故所求实数a 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，98. 12分【学科素养提升之思想方法篇】数形结合百般好，隔裂分家万事休——数形结合思想我国著名数学家华罗庚曾说过:"数形结合百般好，隔裂分家万事休.""数"与"形"反映了事物两个方面的属性.我们认为，数形结合，主要指的是数与形之间的一一对应关系.数形结合就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来，通过"以形助数"或"以数解形"即通过抽象思维与形象思维的结合，可以使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而起到优化解题途径的目的.向量的几何表示，三角形、平行四边形法则，使向量具备形的特征，而向量的坐标表示和坐标运算又具备数的特征，因此，向量融数与形于一身，具备了几何形式与代数形式的“双重身份”.因此，在应用向量解决问题或解答向量问题时，要注意恰当地运用数形结合思想，将复杂问题简单化、将抽象问题具体化，达到事半功倍的效果.【典例】求函数的单调区间【答案】单调递增区间为和；单调递减区间为和.【解析】∵其图象如图1所示，所以函数的单调递增区间为和；单调递减区间为和.。

浙江2019年高考数学一轮基础复习讲义2

浙江2019年高考数学一轮基础复习讲义2目录第16讲三角恒等变换 (3)第17讲正弦定理、余弦定理 (11)第18讲数列的概念、等差数列 (23)第19讲等比数列及数列的综合应用 (35)第20讲不等式的性质及一元二次不等式的解法 (43)第21讲二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题 (51)第22讲基本不等式与绝对值不等式 (62)第23讲命题及其关系、充要条件 (74)第24讲曲线与方程 (86)第25讲椭圆 (102)第26讲双曲线 (111)第27讲抛物线 (122)第28讲立体几何中的向量方法 (132)第29讲仿真模拟卷一（必修1） (144)第30讲仿真模拟卷二（必修2） (154)第31讲仿真模拟卷三（必修4） (132)第32讲仿真模拟卷四（必修5） (144)第33讲仿真模拟卷五（选修2-1） (154)知识点一两角和与差的余弦、正弦、正切公式cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β (C (α－β))cos(α＋β)＝________________________ (C (α＋β))sin(α－β)＝________________________ (S (α－β))sin(α＋β)＝________________________ (S (α＋β))tan(α－β)＝tan α－tan β1＋tan αtan β(T (α－β)) tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β(T (α＋β)) 知识点二二倍角公式sin 2α＝________________；(S 2α)cos 2α＝__________＝__________＝__________；(C 2α)tan 2α＝________________.(T 2α)知识点三公式的逆用、变形等(1)tan α±tan β＝tan(α±β)(________________)；(2)cos 2α＝______________，sin 2α＝______________；(3)1＋sin 2α＝(sin α＋cos α)2，1－sin 2α＝(sin α－cos α)2.知识点四辅助角公式(1)a sin α＋b cos α＝a 2＋b 2sin(α＋φ)(其中a >0，tan φ＝b a ，－π2<φ<π2)； (2)a cos α－b sin α＝a 2＋b 2cos(α＋φ)(其中a ，b >0，tan φ＝b a ，0<φ<π2)．特别提醒：常用的6个式子：①sin α±cos α＝2sin(α±π4)； ②3sin α±cos α＝2sin(α±π6)；③sin α±3cos α＝2sin(α±π3)； ④cos α－sin α＝2cos(α＋π4)； ⑤3cos α－sin α＝2cos(α＋π6)； ⑥cos α－3sin α＝2cos(α＋π3)．知识点五简单的三角恒等变换(1)变换对象：角、名称和形式，三角变换只变其形式，不变其性质．(2)变换目标：利用公式简化三角函数式，达到化简、计算或证明的目的．(3)变换依据：两角和与差的正弦、余弦、正切公式和二倍角的正弦、余弦、正切公式．(4)变换思路：明确变换目标，选择变换公式，设计变换途径．例1tan 20°＋tan 25°1－tan 20°tan 25°等于( ) A.33B. 3 C ．－1 D ．1 例2 函数f (x )＝1－2sin 22x 是( )A ．偶函数且最小正周期为π2B ．奇函数且最小正周期为π2C ．偶函数且最小正周期为πD ．奇函数且最小正周期为π例3 在△ABC 中，sin(A ＋B )＝23，cos B ＝－34，则cos A 的值为________．例4 已知α，β∈(0，π)，tan(α－β)＝12，tan β＝－17，求2α－β的值．例5 求下列各式的值： (1)(cos π12－sin π12)(cos π12＋sin π12)； (2)2cos 105°cos 15°；(3)tan 15°1－tan 215°； (4)12－cos 2π8.例6 已知cos(α－π6)＋sin α＝435，则sin(α＋76π)＝________.例7 已知函数f (x )＝2sin x cos x ，x ∈R . (1)求f (π4)的值；(2)求函数f (x )的最小正周期；(3)求函数g (x )＝f (x )＋f (π4＋x )的最大值．例8 已知函数f (x )＝sin 2x ＋2sin x cos x ＋3cos 2x ，求：(1)函数f (x )的最大值及取得最大值时自变量x 的集合；(2)函数f (x )的单调递增区间．一、选择题1．计算sin 47°cos 17°＋cos 47°cos 107°的结果等于( )A ．－12 B.32 C.22 D.122．已知α，β为锐角，且cos(α＋β)＝35，sin α＝513，则cos β的值为() A.5665 B.3365 C.1665 D.63653．在△ABC 中，若sin A sin B <cos A cos B ，则△ABC 的形状为( )A ．直角三角形B ．钝角三角形C ．锐角三角形D ．等腰三角形4．当－π2≤x ≤π2时，函数f (x )＝sin x ＋3cos x 的( )A ．最大值是1，最小值是－1B ．最大值是1，最小值是－12C ．最大值是2，最小值是－2D ．最大值是2，最小值是－15．在△ABC 中，tan B ＝－2，tan C ＝13，则A 等于( ) A.π4 B.3π4 C.π3 D.π66．已知sin(π4－x )＝35，则sin 2x 等于( ) A.725 B.1625 C.1425 D.19257．已知向量a ＝(cos θ，12)的模为22，则cos 2θ等于( ) A.2－32B ．－14C ．－12 D.128．函数f (x )＝cos 2x ＋sin x cos x 的周期为( ) A.π2B ．πC ．2πD ．4π 二、填空题9．已知sin(α＋β)＝14，sin(α－β)＝110，则tan αtan β＝________. 10．已知cos(x －π6)＝－33，则cos x ＋cos(x －π3)＝______. 11．若cos 2αsin (α－π4)＝－22，则sin α＋cos α＝________. 12．已知0<α<π2，－π2<β<0，cos(π4＋α)＝13，cos(π4－β2)＝33，则cos(α＋β2)的值为________． 13．设函数f (x )＝2cos x sin(x ＋π3)－3sin 2x ＋sin x cos x ，当x ∈[0，π2]时，f (x )的最大值和最小值的差为________．答案精析知识条目排查知识点一cos αcos β－sin αsin βsin αcos β－cos αsin βsin αcos β＋cos αsin β知识点二2sin αcos α cos 2α－sin 2α 2cos 2α－11－2sin 2α 2tan α1－tan 2α知识点三(1)1∓tan αtan β(2)1＋cos 2α2 1－cos 2α2题型分类示例例1 D [原式＝tan(20°＋25°)＝1.]例2 A例3 27＋3512解析在△ABC 中，∵cos B ＝－34<0， sin(A ＋B )＝23，∴π2<B <π，π2<A ＋B <π.∴sin B ＝1－cos 2B ＝ 1－(－34)2＝74，cos(A ＋B )＝－1－sin 2(A ＋B )＝－ 1－(23)2＝－53.∴cos A ＝cos[(A ＋B )－B ]＝cos(A ＋B )cos B ＋sin(A ＋B )sin B＝(－53)×(－34)＋23×74 ＝27＋3512.例4 解 ∵tan(α－β)＝12，tan β＝－17， ∴tan α＝tan [(α－β)＋β]＝tan (α－β)＋tan β1－tan (α－β)tan β＝12＋(－17)1－12×(－17) ＝13<1. ∵α∈(0，π)，∴0<α<π4，0<2α<π2. 又tan β＝－17<0，β∈(0，π)， ∴π2<β<π， ∴－π<－β<－π2，∴－π<2α－β<0. 又tan(2α－β)＝tan[(α－β)＋α]＝tan (α－β)＋tan α1－tan (α－β)tan α＝12＋131－12×13＝1， ∴2α－β＝－3π4. 例5 解 (1)(cosπ12－sin π12)(cos π12＋sin π12) ＝cos 2π12－sin 2π12＝cos π6＝32. (2)2cos 105°cos 15°＝2cos(90°＋15°)cos 15°＝2(－sin 15°)cos 15°＝－2sin 15°cos 15°＝－sin 30°＝－12. (3)tan 15°1－tan 215°＝12×2tan 15°1－tan 215°＝12×tan 30°＝36. (4)12－cos 2π8＝－12(2cos 2π8－1) ＝－12cos π4＝－24. 例6 －45解析 ∵cos(α－π6)＋sin α ＝32cos α＋12sin α＋sin α ＝32cos α＋32sin α ＝3(12cos α＋32sin α) ＝3sin(α＋π6)＝435， ∴sin(α＋π6)＝45. ∴sin(α＋76π)＝－sin(α＋π6)＝－45. 例7 解 (1)由题意得f (π4) ＝2sin π4cos π4＝1. (2)因为f (x )＝sin 2x ，所以函数f (x )的最小正周期为T ＝π.(3)因为g (x )＝sin 2x ＋sin(2x ＋π2) ＝sin 2x ＋cos 2x ＝2sin(2x ＋π4)．所以当x ＝k π＋π8，k ∈Z 时，函数g (x )的最大值为 2. 例8 解 (1)∵f (x )＝(sin 2x ＋cos 2x )＋2sin x cos x ＋2cos 2x＝2sin x cos x ＋1＋2cos 2x＝sin 2x ＋cos 2x ＋2＝2＋2sin(2x ＋π4)，∴当2x ＋π4＝2k π＋π2(k ∈Z )，即x ＝k π＋π8(k ∈Z )时，f (x )取得最大值2＋ 2. 此时函数f (x )取得最大值的自变量x 的集合为{x |x ＝k π＋π8，k ∈Z }．(2)由(1)得f (x )＝2＋2sin(2x ＋π4)，∴2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2(k ∈Z )，即k π－3π8≤x ≤k π＋π8(k ∈Z )，因此函数f (x )的单调递增区间为[k π－3π8，k π＋π8](k ∈Z )．考点专项训练1．D2．A [根据题意，α，β为锐角，若sin α＝513，则cos α＝1213，若cos(α＋β)＝35，则(α＋β)也为锐角，则sin(α＋β)＝45，则cos β＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α＝35×1213＋45×513＝5665.]3．B [由题意，cos A cos B －sin A sin B >0，即cos(A ＋B )>0，∴－cos C >0，得cos C <0，则C 为钝角，△ABC 为钝角三角形．]4．D [∵f (x )＝sin x ＋3cos x＝2(12sin x ＋32cos x )＝2sin(x ＋π3)，∵x ∈[－π2，π2]，∴x ＋π3∈[－π6，56π]，∴f (x )∈[－1,2]，故选D.] 5．A [∵在△ABC 中， tan B ＝－2，tan C ＝13，∴tan A ＝tan[π－(B ＋C )] ＝－tan(B ＋C ) ＝－tan B ＋tan C 1－tan B tan C＝－－2＋131－(－2)×13＝1，又A ∈(0，π)，∴A ＝π4.]6．A [由sin(π4－x )＝22(cos x －sin x )＝35，∴cos x －sin x ＝325，两边平方得1－2sin x cos x ＝1825，∴sin 2x ＝725.]7．C [|a |＝ cos 2θ＋14＝22，即cos 2θ＝14，cos 2θ＝2cos 2θ－1＝2×14－1＝－12.]8．B [f (x )＝1＋cos 2x 2＋12sin 2x＝22sin(2x ＋π4)＋12∴T ＝2π2＝π.]9.73 解析 ∵sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β＝14， sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β＝110，∴sin αcos β＝740，cos αsin β＝340.∴sin αcos βcos αsin β＝tan αtan β＝73.10．－1解析 ∵cos(x －π6)＝－33，∴cos x ＋cos(x －π3)＝cos x ＋12cos x ＋32sin x＝32cos x ＋32sin x ＝3(32cos x ＋12sin x ) ＝3cos(x －π6)＝－1.故答案为－1. 11.12解析 cos 2αsin (α－π4)＝－cos 2α－sin 2α22(cos α－sin α)＝－2(cos α＋sin α)＝－22. cos α＋sin α＝12.12.539解析 ∵0<α<π2，－π2<β<0，∴π4<π4＋α<34π， π4<π4－β2<π2， ∴sin(π4＋α)＝1－cos 2(π4＋α)＝223，sin(π4－β2)＝ 1－cos 2(π4－β2)＝63.∴cos(α＋β2)＝cos[(π4＋α)－(π4－β2)]＝cos(π4＋α)cos(π4－β2)＋sin(π4＋α)sin(π4－β2)＝13×33＋223×63＝539. 13．2＋ 3解析 f (x )＝2cos x (12sin x ＋32cos x )－3sin 2x ＋sin x cos x＝2sin x cos x ＋3(cos 2x －sin 2x ) ＝sin 2x ＋3cos 2x ＝2sin(2x ＋π3)．∵x ∈[0，π2]，∴2x ＋π3∈[π3，4π3]，∴－32≤sin(2x ＋π3)≤1，从而－3≤f (x )≤2.故当x ∈[0，π2]时，f (x )max ＝2，f (x )min ＝－3，∴f (x )max －f (x )min ＝2＋ 3.知识点一正弦定理在△ABC 中，若角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，R 为△ABC 外接圆半径，则特别关注：利用正弦定理可以解决的两类三角形问题：①已知两角和任一边，求其他两边和一角；②已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角，从而进一步求出其他的边和角．知识点二余弦定理特别关注：利用余弦定理可以解决的两类三角形问题：①已知三边，求三个角；②已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角．知识点三三角形面积公式S △ABC ＝________________＝________________＝________________. 知识点四实际问题中的常用角 (1)仰角和俯角与目标线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线________叫仰角，目标视线在水平视线________叫俯角(如图①)．(2)方向角：相对于某正方向的水平角，如南偏东30°，北偏西45°等． (3)方位角指从________方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B 点的方位角为α(如图②)．(4)坡度：坡面与水平面所成的二面角的正切值．例1 任给△ABC ，设角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，则下列等式成立的是( ) A ．c 2＝a 2＋b 2＋2ab cos C B ．c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C C ．c 2＝a 2＋b 2＋2ab sin C D ．c 2＝a 2＋b 2－2ab sin C例2 在△ABC 中，c ＝3，A ＝75°，B ＝60°，则b 等于( ) A.322 B.322 C.32 D.62例3 已知△ABC 的面积为32，AC ＝3，∠ABC ＝π3，则△ABC 的周长等于( ) A.332B ．3 3C ．2＋ 3D ．3＋ 3例4 在△ABC 中，已知A ＝30°，AB ＝3，BC ＝2，则△ABC 的形状是( ) A ．钝角三角形B ．锐角三角形C ．直角三角形D ．不能确定例5 已知△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，a sin A sin B ＋b cos 2A ＝2a ，则ba＝________. 例6 △ABC 的两边长分别为2,3，其夹角的余弦值为13，则其外接圆的半径为________．例7 一艘船自西向东匀速航行，上午10时到达一座灯塔P 的南偏西75°距塔68海里的M 处，下午2时到达这座灯塔的东南方向的N 处，则这艘船的航行速度为______海里/时．例8在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知sin 2C ＝3cos C ，C 为锐角． (1)求角C 的大小；(2)若a ＝1，b ＝4，求边c 的长．一、选择题1．在△ABC 中，a ＝15，b ＝10，A ＝60°，则sin B 等于( ) A.33 B.63 C.22 D.322．在△ABC 中，若a ＝10，b ＝24，c ＝26，则最大角的余弦值是( ) A.1213 B.513 C ．0 D.233．在△ABC 中，已知a 2＝b 2＋bc ＋c 2，则角A 为( ) A.π3 B.π6 C.2π3D.π3或2π34．△ABC 中，若A ＝60°，b ＝16，此三角形的面积S ＝2203，则a 的值为( ) A ．20 6 B ．25 C ．55 D ．495．如图所示，为测一树的高度，在地面选取A 、B 两点，从A 、B 两点分别测得树尖的仰角为30°，45°，且A 、B 两点之间的距离为60 m ，则树的高度为( )A ．(30＋303) mB ．(30＋153) mC ．(15＋303) mD ．(15＋153) m6．在△ABC 中，已知sin 2A 2＝c －b2c ，则△ABC 的形状为( )A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等边三角形7．在△ABC 中，若a cos A ＝b sin B ，则sin A cos A ＋cos 2B 等于( ) A ．－12 B ．12C ．－1D ．18．在△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，如果2b ＝a ＋c ，B ＝30°，△ABC 的面积为32，则b 等于( )A ．1＋ 3B ．1＋32C ．2＋32D ．2＋ 3二、填空题9．在△ABC 中，已知b ＝503，c ＝150，B ＝30°，则边长a ＝________.10．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若a ＝2，b ＝2，sin B ＋cos B ＝2，则角A 的大小为________．11．△ABC 为钝角三角形，a ＝3，b ＝4，c ＝x ，C 为钝角，则x 的取值范围是________． 12．如图，为了测量河的宽度，在一岸边选定两点A ，B ，望对岸的标记物C ，测得∠CAB ＝30°，∠CBA ＝75°，AB ＝120 m ，则河的宽度是________ m.答案精析知识条目排查知识点一b sin Bc sin C 2R sin B 2R sin C b 2R c 2R sin A ∶sin B ∶sin C 知识点二b 2＋c 2－2bc cos A c 2＋a 2－2ca cos B a 2＋b 2－2ab cos C b 2＋c 2－a 22bc c 2＋a 2－b 22aca 2＋b 2－c 22ab 知识点三12ab sin C 12bc sin A 12ac sin B 知识点四(1)上方下方 (3)正北题型分类示例例1 B [式子c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C 符合余弦定理，正确，故选B.] 例2 A [∵A ＝75°，B ＝60°，∴C ＝180°－75°－60°＝45°， ∵c ＝3，根据正弦定理b sin B ＝c sin C ，∴b ＝c sin B sin C＝3×3222＝322.]例3 D [由题意，可得12AB ·BC ·sin ∠ABC ＝32，即12AB ·BC ·32＝32，所以AB ·BC ＝2.再由余弦定理可得3＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC ·cos π3＝AB 2＋BC 2－2，即AB 2＋BC 2＝5，得(AB ＋BC )2＝AB 2＋BC 2＋2AB ·BC ＝5＋4＝9，所以AB ＋BC ＝3.所以△ABC 的周长等于AB ＋BC ＋AC ＝3＋3，故选D.]例4 A [由正弦定理BC sin A ＝ABsin C ，得sin C ＝AB ·sin A BC ＝3sin 30°2＝34，cos C ＝± 1－(34)2＝±74，当cos C ＝－74时，C 为钝角，则△ABC 为钝角三角形．当cos C ＝74时， cos B ＝cos [180°－(A ＋C )]＝－cos(A ＋C )＝－[cos A cos C －sin A sin C ] ＝－(32×74－12×34) ＝－21－38<0， ∴B 为钝角．故△ABC 为钝角三角形．] 例52解析 ∵a sin A sin B ＋b cos 2A ＝2a ， ∴sin A sin A sin B ＋sin B cos 2A ＝2sin A ，即(sin 2A ＋cos 2A )sin B ＝2sin A ， ∴sin B ＝2sin A, ∴b a ＝sin B sin A ＝ 2. 例6928解析设b ＝2，c ＝3，cos A ＝13，则a 2＝22＋32－2×2×3×13＝9，∴a ＝3，又sin A ＝1－cos 2A ＝1－(13)2＝223，∴外接圆的半径R ＝a 2sin A ＝3423＝928.例71762解析如图所示，在△PNM 中，PM sin 45°＝MNsin 120°，所以MN ＝68×3222＝346，速度v ＝MN 4＝1762(海里/时)．例8 解 (1)由sin 2C ＝3cos C ，得2sin C cos C ＝3cos C ，因为C 为锐角，所以cos C ≠0，从而sin C ＝32. 故角C 的大小是π3.(2)由a ＝1，b ＝4，根据余弦定理得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos π3＝13，所以边c 的长为13.考点专项训练 1．A 2.C3．C [由a 2＝b 2＋bc ＋c 2，得b 2＋c 2－a 2＝－bc ，由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc＝－12，∴A ＝2π3.]4．D5．A [由正弦定理可得60sin (45°－30°)＝PBsin 30°，PB ＝60×12sin 15°＝30sin 15°，h ＝PB ·sin 45°＝30sin 15°·sin 45°＝(30＋303)(m)．] 6．B [因为sin 2A 2＝c －b2c ，所以1－cos A 2＝c －b2c.利用正弦定理知1－cos A 2＝sin C －sin B2sin C ，化简得sin C －sin C cos A ＝sin C －sin B ，所以sin C cos A ＝sin B ＝sin(A ＋C ) ＝sin A cos C ＋cos A sin C ，所以sin A cos C ＝0.又因为sin A ≠0，所以cos C ＝0，又因为C ∈(0，π)，所以C ＝π2，所以△ABC 为直角三角形．] 7．D8．A [由12ac ·sin 30°＝32，得ac ＝6，由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos 30° ＝(a ＋c )2－2ac －3ac＝4b 2－12－63，∴b ＝3＋1.] 9．1003或50 3 解析由余弦定理得， a 2＋c 2－2ac cos 30°＝b 2， ∴a 2－1503a ＋15 000＝0，解得a ＝1003或50 3. 10.π6解析由sin B ＋cos B ＝2，B ∈(0，π)，可得sin(B ＋π4)＝1，B ＝π4，由正弦定理，得sin A ＝a sin B b ＝12.又∵a <b ，∴A <B ，∴A ＝π6.11．(5,7)解析由已知条件可知x <3＋4且32＋42<x 2， ∴5<x <7. 12．60解析如图，作CD ⊥AB 于点D ， tan 30°＝CD AD ，tan 75°＝CDDB，又 AD ＋DB ＝120，∴AD ·tan 30°＝(120－AD )·tan 75°， ∴AD ＝603，故CD ＝60.知识点一数列的相关概念1．数列的定义按照________排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的________．2．数列的分类知识点二数列的表示方法数列有三种表示法，它们分别是________、________和________．1．数列的通项公式如果数列{a n}的第n项与________之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式．2．数列的递推公式如果已知数列{a n}的第1项(或前几项)，且从第二项(或某一项)开始的任一项a n与它的前一项a n－1(或前几项)(n≥2，n∈N*)间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式．知识点三 S n 与a n 的关系已知数列{a n }的前n 项和S n ，则a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧(n ＝1)，(n ≥2).知识点四等差数列的定义一般地，如果一个数列________________________________，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的________，通常用字母________表示．知识点五等差数列的通项公式如果等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，那么它的通项公式是________________．知识点六等差中项由三个数a ，A ，b 组成的等差数列可以看成最简单的等差数列，这时，A 叫做a 与b 的等差中项．知识点七等差数列的常用性质(1)通项公式的推广：a n ＝a m ＋________，(n ，m ∈N *)．(2)若{a n }为等差数列，且k ＋l ＝m ＋n ，(k ，l ，m ，n ∈N *)，则________________． (3)若{a n }是等差数列，公差为d ，则{a 2n }也是等差数列，公差为________． (4)若{a n }，{b n }是等差数列，则{pa n ＋qb n }也是等差数列．(5)若{a n }是等差数列，公差为d ，则a k ，a k ＋m ，a k ＋2m ，…(k ，m ∈N *)是公差为________的等差数列．知识点八等差数列的前n 项和公式设等差数列{a n }的公差为d ，其前n 项和S n ＝________________或S n ＝________________. 知识点九等差数列的前n 项和公式与函数的关系 S n ＝d2n 2＋⎝⎛⎭⎫a 1－d 2n . 数列{a n }是等差数列⇔S n ＝An 2＋Bn ，(A 、B 为常数)．知识点十等差数列的前n 项和的最值在等差数列{a n }中，a 1>0，d <0，则S n 存在最________值；若a 1<0，d >0，则S n 存在最________值．例1 已知数列{a n }(n ∈N *)满足a n ＋1＝⎩⎪⎨⎪⎧2a n ，n 为奇数，a n ＋1，n 为偶数，设S n 是数列{a n }的前n 项和，若S 5＝－20，则a 1的值为( ) A ．2 B ．0 C ．1 D ．－2例2 已知{a n }(n ∈N *)是以1为首项，2为公差的等差数列，设S n 是{a n }的前n 项和，且S n＝25，则n 等于( ) A ．3 B ．4 C ．5 D ．6例3 设等差数列{a n }的前n 项和为S n (n ∈N *)，若a 4＝8，S 4＝20，则a 3等于( ) A ．2 B ．4 C ．6 D ．8例4 已知{a n }为等差数列，前10项的和为S 10＝100，前100项的和S 100＝10，则前110项的和S 110为________．例5 在数列{a n }(n ∈N *)中，设a 1＝a 2＝1，a 3＝2，若数列{a n ＋1a n }是等差数列，则a 6＝________.例6 已知等差数列{a n }满足：a 3＝7，a 5＋a 7＝26，{a n }的前n 项和为S n . (1)求a n 及S n ；(2)令b n ＝1a 2n －1(n ∈N *)，求数列{b n }的前n 项和T n .例7 已知数列{a n }的首项为a 1＝3，通项a n 与前n 项和S n 之间满足2a n ＝S n ·S n －1(n ≥2)． (1)求证：{1S n }是等差数列，并求公差；(2)求数列{a n }的通项公式．例8 已知数列{a n }满足a 1＝0，a n ＋1＝a n ＋2n ，求a n .例9 在等差数列{a n }中，若a 1＝25，且S 9＝S 17，求S n 的最大值．一、选择题1．设数列2，5，22，11，…，则25是这个数列的( ) A ．第6项 B ．第7项 C ．第8项 D ．第9项2．在数列{a n }中，a 1＝1，以后各项由公式a 1·a 2·a 3·…·a n ＝n 2给出，则a 3＋a 5等于( ) A.259 B.2516 C.6116 D.31153．已知{a n }为等差数列，a 1＋a 3＋a 5＝105，a 2＋a 4＋a 6＝99，则a 20等于( ) A ．－1 B ．1 C ．3 D ．74．在数列{a n }中，已知a 61＝2 000，且a n ＋1＝a n ＋n ，则a 1等于( ) A ．168 B ．169 C ．170 D ．1715．在等差数列{a n }中，a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 7＝450，则a 2＋a 8等于( ) A ．45 B ．75 C ．180 D ．3606．已知数列{a n }是通项a n 和公差都不为零的等差数列，设S n ＝1a 1a 2＋1a 2a 3＋…＋1a n a n ＋1，则S n 等于( )A.n a 1a n ＋1B.na 1a n C.n －1a 1a n D.n －1a 1a n ＋17．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 3＋a 17＝10，则S 19等于( ) A ．55 B ．95 C ．100 D ．1908．等差数列{a n }的前m 项和为30，前2m 项和100，则它的前3m 项和为( ) A ．130 B ．170 C ．210 D ．300 二、填空题9．已知数列{a n }中，a 3＝2，a 7＝1.若{1a n ＋1}为等差数列，则a 11为________．10．对于两个等差数列{a n }和{b n }，有a 1＋b 100＝100，b 1＋a 100＝100，则数列{a n ＋b n }的前100项之和S 100为________．11．若关于x 的方程x 2－x ＋m ＝0和x 2－x ＋n ＝0(m ，n ∈R 且m ≠n )的四个根组成首项为14的等差数列，则m ＋n 的值为________．12．设数列的通项公式为a n ＝2n －7，则|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 15|为________．13．已知等差数列{a n }中，a 1＝9，a 4＋a 7＝0，当n ＝______时，前n 项和取得最大值．答案精析知识条目排查知识点一 1．一定顺序项 2．有限无限 > < 知识点二列表法图象法解析法 1．序号n 知识点三 S 1 S n －S n －1 知识点四从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数公差 d 知识点五 a n ＝a 1＋(n －1)d 知识点七(1)(n －m )d (2)a k ＋a l ＝a m ＋a n (3)2d (5)md 知识点八n (a 1＋a n )2 na 1＋n (n －1)2d 知识点十大小题型分类示例例1 D [由题意知，a 2＝2a 1，a 3＝a 2＋1＝2a 1＋1， a 4＝2a 3＝2(2a 1＋1)＝4a 1＋2， a 5＝a 4＋1＝4a 1＋3，∴S 5＝a 1＋2a 1＋(2a 1＋1)＋(4a 1＋2)＋(4a 1＋3) ＝13a 1＋6＝－20， ∴a 1＝－2.]例2 C [由等差数列的前n 项和公式得 S n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝n ＋n (n －1)2×2＝n 2＝25，解得n ＝5，故选C.]例3 C 例4 －110解析方法一设{a n }的首项为a 1，公差为d ，⎩⎨⎧10a 1＋12×10×9d ＝100，100a 1＋12×100×99d ＝10，解得a 1＝10.99，d ＝－0.22.故S 110＝110a 1＋12×110×109d ＝－110.方法二设{a n }的前n 项和S n ＝An 2＋Bn ，则⎩⎪⎨⎪⎧100A ＋10B ＝100，10 000A ＋100B ＝10，解得A ＝－11100，B ＝11110.所以S 110＝12 100A ＋110B ＝110(110A ＋B )＝－110.方法三因S 100－S 10＝a 11＋a 12＋…＋a 100 ＝90(a 11＋a 100)2＝－90， ∴a 1＋a 110＝a 11＋a 100＝－2. 所以S 110＝110(a 1＋a 110)2＝110×(－2)2＝－110. 方法四数列S 10，S 20－S 10，S 30－S 20，…，S 100－S 90，S 110－S 100成等差数列，设其公差为D ，前10项和10S 10＋10×92·D ＝S 100＝10⇒D ＝－22，∴S 110－S 100＝S 10＋(11－1)D ＝100＋10×(－22)＝－120. ∴S 110＝－120＋S 100＝－110. 例5 120解析由题意得a 2a 1＝1，a 3a 2＝2，所以数列{a n ＋1a n }是首项为1，公差为1的等差数列，所以a n ＋1a n＝n ，所以a 6＝5a 5＝5×4a 4 ＝5×4×3a 3＝120.例6 解设等差数列{a n }的公差为d ，因为a 3＝7，a 5＋a 7＝26，所以有⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋2d ＝7，2a 1＋10d ＝26，解得a 1＝3，d ＝2.所以a n ＝3＋2(n －1)＝2n ＋1， S n ＝3n ＋n (n －1)2×2＝n 2＋2n .(2)由(1)知，a n ＝2n ＋1，所以b n ＝1a 2n －1＝1(2n ＋1)2－1＝14·1n (n ＋1) ＝14(1n －1n ＋1)．所以T n ＝14(1－12＋12－13＋…＋1n －1n ＋1)＝14(1－1n ＋1)＝n4(n ＋1). 即数列{b n }的前n 项和T n ＝n4(n ＋1).例7 (1)证明由2a n ＝2(S n －S n －1)＝S n ·S n －1(n ≥2)，得1S n －1S n －1＝－12(n ≥2)． ∴{1S n }是等差数列，且公差为－12. (2)解由1S n ＝13＋(n －1)(－12)，得S n ＝65－3n .当n ＝1时，a 1＝3；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝18(3n －5)(3n －8).∴a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧3(n ＝1)，18(3n －5)(3n －8)(n ≥2). 例8 解 ∵a 2－a 1＝2，a 3－a 2＝4，a 4－a 3＝6，…，a n －a n －1＝2(n －1)(n ≥2)，∴各式相加，得a n －a 1＝2n (n －1)2＝n (n －1)(n ≥2)．∵a 1＝0也满足a n ＝n (n －1)， ∴a n ＝n (n －1)．例9 解方法一 ∵S 9＝S 17，a 1＝25， ∴9×25＋9(9－1)2d ＝17×25＋17(17－1)2d ，解得d ＝－2.∴S n ＝25n ＋n (n －1)2×(－2)＝－n 2＋26n＝－(n －13)2＋169.∴当n ＝13时，S n 有最大值169. 方法二同方法一，求出公差d ＝－2. ∴a n ＝25＋(n －1)×(－2)＝－2n ＋27. ∵a 1＝25>0，由⎩⎪⎨⎪⎧a n ＝－2n ＋27≥0，a n ＋1＝－2(n ＋1)＋27≤0，得⎩⎨⎧n ≤1312，n ≥1212.又∵n ∈N *，∴当n ＝13时，S n 有最大值169. 方法三 ∵S 9＝S 17， ∴a 10＋a 11＋…＋a 17＝0.由等差数列的性质得a 13＋a 14＝0. ∵a 1>0，∴d <0.∴a 13>0，a 14<0. ∴当n ＝13时，S n 有最大值169. 方法四设S n ＝An 2＋Bn . ∵S 9＝S 17，∴二次函数对称轴为x ＝9＋172＝13，且开口方向向下，∴当n ＝13时，S n 取得最大值169. 考点专项训练1．B [数列可变为2，5，8，11，…，故通项公式a n ＝3n －1，令25＝3n －1，得n ＝7.]2．C [a 1·a 2＝4，∴a 2＝4，a 1·a 2·a 3＝32，∴a 3＝94， a 1·a 2·a 3·a 4·a 5＝52，∴42·a 5＝52，∴a 5＝2516， ∴a 3＋a 5＝94＋2516＝6116.] 3．B [由条件得⎩⎪⎨⎪⎧ 3a 1＋6d ＝105，3a 1＋9d ＝99，即⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋2d ＝35，a 1＋3d ＝33，解得d ＝－2，a 1＝39，∴a 20＝39＋19×(－2)＝1.]4．C [∵a n ＋1－a n ＝n ，∴a 2－a 1＝1，a 3－a 2＝2，…，a 61－a 60＝60，∴a 61－a 1＝1＋2＋ (60)∴a 1＝170.]5．C [a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 7＝450⇒5a 5＝450⇒a 5＝90，∵a 2＋a 8＝2a 5，∴a 2＋a 8＝180.]6．A [∵{a n }是等差数列，公差d ≠0，∴1a n a n ＋1＝1d (1a n －1a n ＋1)． ∴S n ＝1d (1a 1－1a 2＋1a 2－1a 3＋…＋1a n －1a n ＋1) ＝1d (1a 1－1a n ＋1) ＝n a 1a n ＋1.] 7．B8．C [方法一设等差数列{a n }的公差为d ，则⎩⎨⎧S m ＝ma 1＋m (m －1)2d ＝30， ①S2m ＝2ma 1＋2m (2m －1)2d ＝100， ②②－①得ma 1＋3m 2－m 2d ＝70， ∴S 3m ＝3ma 1＋3m (3m －1)2d ＝3(ma 1＋3m 2－m 2)d ＝3×70＝210.方法二 ∵数列S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m 成等差数列，∴2(S 2m －S m )＝S m ＋S 3m －S 2m ，∴S 3m ＝3(S 2m －S m )＝3×(100－30)＝210.]9.12解析由1a 3＋1＝12＋1＝13，1a 7＋1＝11＋1＝12，设{1a n ＋1}的公差为d ，则4d ＝12－13＝16，1a 11＋1＝1a 7＋1＋4d ＝12＋16＝23，即a 11＝12.10．10 000解析 S 100＝100[(a 1＋b 1)＋(a 100＋b 100)]2＝100[(a 1＋b 100)＋(b 1＋a 100)]2＝100(100＋100)2＝10 000.11.3172解析设x 2－x ＋m ＝0的两根为x 1，x 2，x 2－x ＋n ＝0的两根为x 3，x 4，则x 1＋x 2＝x 3＋x 4＝1.不妨设数列的首项为x 1，则数列的第4项为x 2，所以x 1＝14，x 2＝34. 公差d ＝34－143＝16，所以中间两项分别是14＋16，14＋16×2，所以x 1x 2＝316，x 3x 4＝512×712，所以m ＋n ＝316＋512×712＝3172. 12．153解析由a n ＝2n －7>0，得n >72， ∴从第4项开始均为正项，∴|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋|a 4|＋…＋|a 15|＝－(a 1＋a 2＋a 3)＋a 4＋a 5＋…＋a 15＝S 15－2S 3＝15(－5＋23)2－2×3(－5－1)2＝153.13．5解析由a 1＝9，a 4＋a 7＝0，得9＋3d ＋9＋6d ＝0，得d ＝－2，∴a n ＝9－2(n －1)＝11－2n ，由⎩⎪⎨⎪⎧ a n ≥0，a n ＋1≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧11－2n ≥0，11－2(n ＋1)≤0，得92≤n ≤112，又n ∈N *， ∴n ＝5.即前5项和最大．知识点一等比数列的定义一般地，如果一个数列________________________________________________，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的________，通常用字母______表示．知识点二等比数列的通项公式设等比数列{a n }的首项为a 1，公比为q ，则它的通项a n ＝________________.知识点三等比中项如果在a 与b 之间插入一个数G ，使a ，G ，b 成等比数列，那么G 叫做a 与b 的________．知识点四等比数列的常用性质(1)通项公式的推广：a n ＝a m ·________(n ，m ∈N *)．(2)若{a n }为等比数列，且k ＋l ＝m ＋n (k ，l ，m ，n ∈N *)，则________________．(3)若{a n }，{b n }(项数相同)是等比数列，则{λa n }(λ≠0)，⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n ，{a 2n }，{a n ·b n }，⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n b n 仍是等比数列．知识点五等比数列的前n 项和公式等比数列{a n }的公比为q (q ≠0)，其前n 项和为S n ，当q ＝1时，S n ＝na 1；当q ≠1时，S n ＝a 1(1－q n )1－q ＝a 1－a n q 1－q. 知识点六等比数列前n 项和的性质公比不为－1的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，则S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 仍成等比数列，其公比为________．例1 (2015年10月学考)下列数列，能构成等比数列的是( )A ．2,3,4,5B ．1，－2，－4,8C ．0,1,2,4D ．16，－8,4，－2例2 已知等比数列{a n }满足a 1＋a 2＝3，a 2＋a 3＝6，则a 7等于( )A ．64B ．81C ．128D ．243例3 数列{a n }的前n 项和为S n (n ∈N *)．若a 1＝1，a n ＋1＝2S n ＋1，则S 5＝________. 例4 在等比数列{a n }中，各项均为正值，且a 6·a 10＋a 3·a 5＝41，a 4·a 8＝5，则a 4＋a 8＝________.例5 设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 6S 3＝3，则S 9S 6的值为________．例6 在数列{a n }中，若a 1＝1，a n ＋1＝2a n ＋3.(1)求证：{a n ＋3}是等比数列，并指明首项；(2)求{a n }的通项公式．例7 求数列112，214，318，…，(n ＋12n )的前n 项和S n .例8 设{a n }是等差数列，{b n }是各项都为正数的等比数列，且a 1＝b 1＝1，a 3＋b 5＝21，a 5＋b 3＝13.(1)求{a n }，{b n }的通项公式；(2)求数列{a n b n}的前n 项和S n .一、选择题1．等比数列{a n }中，a 1＝18，q ＝2，则a 4与a 8的等比中项是( ) A ．±4 B ．4 C ．±14 D.142．已知等比数列{a n }的公比为正数，且a 3·a 9＝2a 25，a 2＝2，则a 1等于( )A.12B.22C. 2 D ．23．已知S n 是等比数列{a n }的前n 项和，a 5＝－2，a 8＝16，则S 6等于( )A.218 B ．－218 C.178 D ．－1784．一个等比数列的前7 项和为48，前14项和为60，则前21项和为( )A ．180B ．108C ．75D ．635．等比数列{a n }的前n 项和S n ＝3n ＋1＋a ，则a 的值为( ) A ．3 B ．－3 C ．－1 D ．任意实数6．等比数列{a n }的各项均为正数，且a 2a 9＝9，数列{b n }满足b n ＝log 3a n ，则数列{b n }前10项和为( )A ．10B ．12C ．8D ．2＋log 357．已知等比数列{a n }的公比q <0，a 2＝1，a n ＋2＝a n ＋1＋2a n ，则数列{a n }的前2 016项的和为( )A ．2 015B ．1C ．0D ．－18．已知{a n }是首项为1的等比数列，S n 是{a n }的前n 项和，且9S 3＝S 6，则数列{1a n}的前5项和为( )A.158或5 B.3116或5 C ．5D.3116二、填空题9．在6和768之间插入6个数，使它们组成共8项的等比数列，则这个等比数列的第6项是________．10．等比数列{a n }中，a 2 009a 2 010a 2 011＝8，则a 2 010＝________.11．在等比数列{a n }中，若公比q ＝4，且前3项之和等于21，则该数列的通项公式a n ＝________.三、解答题12．已知等差数列{a n }满足a 2＝0，a 6＋a 8＝－10.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n 2n －1的前n 项和．答案精析知识条目排查知识点一从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数(不为零) 公比 q 知识点二a 1·q n －1 知识点三等比中项知识点四(1)q n －m (2)a k ·a l ＝a m ·a n 知识点六q n题型分类示例例1 D解析[ 由等比数列的定义以及性质可知，A ，B ，C 都不是等比数列，故选D.]例2 A [∵q ＝a 2＋a 3a 1＋a 2＝2，∴a 1＋a 1q ＝3，得a 1＝1，a 7＝1×27－1＝64. 所以选A.]例3 121例4 51解析 ∵a 6·a 10＝a 28，a 3·a 5＝a 24，∴a 28＋a 24＝41.又∵a 4·a 8＝5，a n >0，∴a 4＋a 8＝a 24＋2a 4·a 8＋a 28＝41＋10＝51.例5 73解析方法一若q ＝1，则S 6＝6a 1，S 3＝3a 1，∴S 6S 3＝2，这与已知矛盾，∴q ≠1. ∴由题设知a 1(1－q 6)1－q a 1(1－q 3)1－q＝3，即1＋q 3＝3，∴q 3＝2.∴S 9S 6＝a 1(1－q 9)1－q a 1(1－q 6)1－q＝1－231－22＝73. 方法二若q ＝－1，则S 6＝0，S 3＝a 1，∴S 6S 3＝0，这与已知矛盾，∴q ≠1. S 6＝3S 3.由等比数列的性质知S 3，S 6－S 3，S 9－S 6成等比数列．即S 3,2S 3，S 9－3S 3成等比数列，∴S 9－3S 3＝4S 3，∴S 9＝7S 3，∴S 9S 6＝73. 例6 (1)证明 ∵a n ＋1＝2a n ＋3，∴(a n ＋1＋3)＝2(a n ＋3)，∴a n ＋1＋3a n ＋3＝2， ∴数列{a n ＋3}是等比数列，且首项为a 1＋3＝1＋3＝4.(2)解由(1)可知数列{a n ＋3}的通项公式为a n ＋3＝(a 1＋3)·2n －1＝4·2n －1＝2n ＋1.∴a n ＝2n ＋1－3. 例7 解 S n ＝112＋214＋318＋…＋(n ＋12n ) ＝(1＋2＋3＋…＋n )＋(12＋14＋18＋…＋12n ) ＝12n (n ＋1)＋12(1－12n )1－12＝12n (n ＋1)＋1－12n . 例8 解 (1)设{a n }的公差为d ，{b n }的公比为q .由题意有q >0且⎩⎪⎨⎪⎧ 1＋2d ＋q 4＝21，1＋4d ＋q 2＝13，解得⎩⎪⎨⎪⎧d ＝2，q ＝2. ∴a n ＝1＋(n －1)×2＝2n －1，b n ＝2n －1. (2)由(1)知a n b n ＝2n －12n －1， S n ＝1＋321＋522＋…＋2n －32n －2＋2n －12n －1，①12S n ＝121＋322＋…＋2n －52n －2＋2n －32n －1＋2n －12n ，② ①－②得12S n ＝1＋22＋222＋…＋22n －2＋22n －1－2n －12n ＝1＋2(12＋122＋…＋12n －2＋12n －1)－2n －12n ＝1＋2×12[1－(12)n －1]1－12－2n －12n ＝3－2n ＋32n ， ∴S n ＝6－2n ＋32n －1. 考点专项训练1．A2．C [由等比数列的性质得a 3a 9＝a 26＝2a 25，∵q ＞0，∴a 6＝2a 5，q ＝a 6a 5＝2，a 1＝a 2q ＝2，故选C.] 3．A [∵a 8a 5＝q 3＝－8，∴q ＝－2，由a 5＝－2＝a 1×(－2)4得a 1＝－18. ∴S 6＝－18[1－(－2)6]1－(－2)＝218.] 4．D [由条件得q ≠1，且a 1(1－q 7)1－q＝48，① a 1(1－q 14)1－q＝60.② ②①得1＋q 7＝54， ∴q 7＝14，a 11－q＝64， ∴S 21＝a 1(1－q 21)1－q＝64[1－(14)3]＝63.] 5．B [∵S n ＝3n ＋1＋a ， ∴n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝3n ＋1－3n ＝2·3n .n ＝1时，a 1＝S 1＝a ＋9.∵{a n }为等比数列，∴a ＋9＝2×31，解得a ＝－3.]6．A [b 1＋b 2＋…＋b 10＝log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a 10＝log 3(a 1·a 2·…·a 10)＝log 3(a 2a 9)5＝5log 39＝10.]7．C [由a n ＋2＝a n ＋1＋2a n ，得a n q 2＝a n q ＋2a n .即q 2＝q ＋2，解得q ＝－1或q ＝2(舍去)．∴a 1＝－1，∴S 2 016＝0.]8．D [由题意可知q ≠1.∵9(a 1＋a 2＋a 3)＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＋a 6，∴8(a 1＋a 2＋a 3)＝a 4＋a 5＋a 6，8(a 1＋a 2＋a 3)＝(a 1＋a 2＋a 3)q 3，∴q ＝2，a n ＝2n －1， ∴1a 1＋1a 2＋…＋1a 5＝120＋121＋…＋124＝3116.] 9．192解析由条件得，768＝6×q 7，解得q ＝2.∴a 6＝6×25＝192.10．2解析等比数列{a n }中，a 2 009a 2 011＝a 22 010，∴a 32 010＝8，∴a 2 010＝2.11．4n －1 解析 ∵{a n }是等比数列，q ＝4，S 3＝a 1(1－q 3)1－q＝21， ∴a 1＝1，∴a n ＝4n －1. 12．解 (1)设等差数列{a n }的公差为d ，由已知条件可得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋d ＝0，2a 1＋12d ＝－10，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝－1. 故数列{a n }的通项公式为a n ＝2－n .(2)设数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n 2n －1的前n 项和为S n ，即S n ＝a 1＋a 22＋…＋a n 2n －1，① S n 2＝a 12＋a 24＋…＋a n 2n .② 所以当n ＞1时，①－②得S n2＝a 1＋a 2－a 12＋…＋a n －a n －12n －1－a n 2n ＝1－(12＋14＋…＋12n －1)－2－n 2n＝1－(1－12n －1)－2－n 2n ＝n 2n .所以S n ＝n2n －1(n >1)，当n ＝1时也成立．综上，数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n 2n －1的前n 项和S n ＝n2n －1.知识点一不等式的定义在客观世界中，量与量之间的不等关系是普遍存在的，我们用数学符号>、<、≥、≤、≠连接两个数或代数式以表示它们之间的不等关系，含有这些不等号的式子，叫做不等式．知识点二两个实数比较大小的方法 (1)作差法⎩⎪⎨⎪⎧a －b >0⇔a b a －b ＝0⇔a ba －b <0⇔a b(a ，b ∈R )；(2)作商法⎩⎪⎨⎪⎧ab>1⇔a b ab ＝1⇔a ba b<1⇔a b (a ∈R ，b >0)．知识点三不等式的性质 (1)对称性：a >b ⇔b <a ；(2)传递性：a >b ，b >c ⇒________； (3)可加性：a >b ⇔a ＋c ________b ＋c ， a >b ，c >d ⇒a ＋c ________b ＋d ； (4)可乘性：a >b ，c >0⇒ac ________bc ， a >b >0，c >d >0⇒ac ________bd ；(5)可乘方：a >b >0⇒a n ________b n (n ∈N ，n ≥1)； (6)可开方：a >b >0⇒n a ________nb (n ∈N ，n ≥2)．知识点四 “三个二次”的关系例1 下列命题中，一定正确的是( ) A ．若a >b ，且1a >1b ，则a >0，b <0B ．若a >b ，b ≠0，则ab >1C ．若a >b ，且a ＋c >b ＋d ，则c >dD ．若a >b ，且ac >bd ，则c >d例2 不等式3x 2－x －2>0的解集是( ) A ．(－23，1)B ．(1，＋∞)C ．(－∞，－23)∪(1，＋∞)D ．(－∞，2)∪(3，＋∞)例3 设a ，b ，c ∈R ，下列命题正确的是( ) A ．若|a |<|b |，则|a ＋c |<|b ＋c | B ．若|a |<|b |，则|a －c |<|b －c | C ．若|a |<|b －c |，则|a |<|b |－|c | D ．若|a |<|b －c |，则|a |－|c |<|b |例4 一个城市计划今后每年使工业废气排放量比前一年降低10%.按此计划，若经过n 年，工业废气排放量低于现在的一半，则n 应当满足的不等关系为________．例5 函数f (x )＝x ＋3＋1ax ＋2(a ∈R )，若其定义域内不存在实数x ，使得f (x )≤0，则a 的取值范围是________________．例6 解关于x 的不等式：ax 2＋(1－a )x －1>0.例7 某工厂生产商品M ，若每件定价80元，则每年可销售80万件，税务部门对市场销售的商品要征收附加税．为了既增加国家收入，又有利于市场活跃，必须合理确定征收的税率．据市场调查，若政府对商品M 征收的税率为P %(即每百元征收P 元)时，每年的销售量减少10P 万件，据此，问：(1)若税务部门对商品M 每年所收税金不少于96万元，求P 的范围；(2)在所收税金不少于96万元的前提下，要让厂家获得最大的销售金额，应如何确定P 值； (3)若仅考虑每年税收金额最高，又应如何确定P 值．一、选择题1．设M ＝x 2，N ＝－x －1，则M 与N 的大小关系是( ) A ．M >N B ．M ＝N C ．M <ND ．与x 有关2．若集合A ＝{x ||x －1|<2}，B ＝{x |x －2x >0}，则A ∩B 等于( )A ．{x |－1<x <3}B ．{x |x <0，或x >2}C ．{x |－1<x <0，或2<x <3}。

函数的基本性质ppt课件

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1
即函数f（x）＝x＋为奇函数．

函数的基本性质
例1 判断下列函数的奇偶性：
（3）f（x）＝0；
（2）f（x）＝；
解：（1）函数f（x）的定义域为R．
∀x∈R，都有－x∈R，且f（－x）＝0＝-f(x)＝f（x），
函数f（x）既是奇函数，又是偶函数．
1
（2）函数f（x）＝x＋的定义域I为[0，＋∞）．
(1)若函数f(x)在区间[a，b]上是增(减)函数，则f(x)在区间
[a，b]上的最小(大)值是f(a)，最大(小)值是f(b)．
(2)若函数f(x)在区间[a，b]上是增(减)函数，在区间[b，c]
上是减(增)函数，则f(x)在区间[a，c]上的最大(小)值是f(b)，
最小(大)值是f(a)与f(c)中较小(大)的一个．
当 > 0时,(1 ) − (2 )<0，即(1 ) < (2 )
所以函数() = + 在R上单调递增，即函数() = + 是增函数。
当 < 0时,(1 ) − (2 )>0，即(1 ) > (2 )
所以函数() = + 在R上单调递减，即函数() = + 是减函数。
1
（2）f（x）＝x＋

；
解：（1）函数f（x）＝x4的定义域为R．
∀x∈R，都有－x∈R，且f（－x）＝（－x）4＝x4＝f（x），
函数f（x）＝x4为偶函数．
1
（2）函数f（x）＝x＋的定义域I为（－∞，0）∪（0，＋∞）．

1
1
∀x∈I，都有－x∈I，且f（－x）＝－x＋＝－（x＋）＝－f（x），

(浙江版)2019年高考数学一轮复习专题2.1 函数及其表示(讲)

（浙江版）2019年高考数学一轮复习专题2.1 函数及其表示（讲）【考纲解读】【知识清单】1. 函数与映射的概念对点练习：设集合{}=,,A a b c ，{}=0,1B ，试问：从A 到B 的映射共有几个？【答案】2.函数的定义域、值域(1)在函数y ＝f (x )，x ∈A 中，x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做函数的定义域；与x 的值相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合{f (x )|x ∈A }叫做函数的值域.(2)如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，则这两个函数为相等函数. 对点练习：若函数y ＝f (x )的定义域为M ＝{x |－2≤x ≤2}，值域为N ＝{y |0≤y ≤2}，则函数y ＝f (x )的图象可能是()【答案】B【解析】 A 中函数定义域不是[－2，2]，C 中图象不表示函数，D 中函数值域不是[0，2]. 3.函数的表示法表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法. 对点练习：若函数满足关系式，则的值为（）A. 1B. -1C.D.【答案】A【解析】试题分析：因为函数满足关系式，所以，用代换，可得，联立方程组可得，故选A ． 4.分段函数(1)若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数.(2)分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集，分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数. 对点练习：【2017届湖南郴州监测】已知211,0()2(1),0x x f x x x ⎧+≤⎪=⎨⎪-->⎩，则使()1f a =-成立的值是____________.【答案】42-或【考点深度剖析】函数的概念，经常与函数的图象和性质结合考查，有时以小题的面目出现，有时渗透于解答题之中.分段函数表示一个函数，不是几个函数，从近几年高考命题看，考查力度有加大趋势，与之相关的题目，往往有一定的难度，关键是与基本初等函数结合，要求不但要理解分段函数的概念，更要掌握基本初等函数的图象和性质．【重点难点突破】考点1 映射与函数的概念【1-1】给出四个命题：①函数是其定义域到值域的映射；②()f x =③函数2(N)y x x ∈＝的图象是一条直线；④2()x f x x=与()g x x ＝是同一个函数．其中正确的有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】A【解析】(1)由函数的定义知①正确．②中满足()f x =的不存在，所以②不正确．③中2(N)y x x ∈＝的图象是一条直线上的一群孤立的点，所以③不正确．④中2()x f x x=与()g x x ＝的定义域不同，∴④也不正确．故选A .【1-2】设集合，则下列对应中不能构成到的映射的是（） A. B. C. D.【答案】B【解析】试题分析：当时，集合中任意元素，在中都有唯一的元素与之对应，所以对应到的映射；当时，集合中没有元素与之对应，所以对应不是到的映射；当时，集合中任意元素，在中都有唯一的元素与之对应，所以对应到的映射；当时，集合中任意元素，在中都有唯一的元素与之对应，所以对应到的映射，故选B ．【1-3】下列两个对应中是集合到集合的函数的有________________．（写出符合要求的选项序号）（1）设，，对应法则；（2）设，，对应法则；（3）设，对应法则除以所得的余数；（4），对应法则．【答案】（1）（3）【领悟技法】1.判断一个对应是否为映射，关键看是否满足“集合A 中元素的任意性，集合B 中元素的唯一性”．2. 判断一个对应f ：A →B 是否为函数，一看是否为映射；二看A ，B 是否为非空数集．若是函数，则A 是定义域，而值域是B 的子集．3. 函数的三要素中，若定义域和对应关系相同，则值域一定相同．因此判断两个函数是否相同，只需判断定义域、对应关系是否分别相同．【触类旁通】【变式一】下列函数中，与函数y =的定义域相同的函数为( ) A ．1sin y x = B ．ln x y x= C ．y ＝x e xD ．y ＝sin x x【答案】D【解析】函数y =的定义域是0(()0)∞∞－，，＋，而1sin y x =的定义域为{x |x ≠k π，k ∈Z }，ln x y x=的定义域为(0，＋∞)，y ＝x e x的定义域为R ，y ＝sin x x 的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)．故选D.【变式二】在下列图形中，表示y 是x 的函数关系的是________．【答案】①②【解析】由函数定义可知，自变量x 对应唯一的y 值，所以③④错误，①②正确．【变式三】已知函数()23,f x x x A =-∈的值域为{1,1,3}-，则定义域A 为 . 【答案】{1,2,3}考点2 求函数的解析式【2-1】已知f (x )是一次函数，且满足3f (x ＋1)－2f (x －1)＝2x ＋17，则f (x )＝________. 【答案】()27f x x =+ 【解析】设f (x )＝ax ＋b (a ≠0)，则3f (x ＋1)－2f (x －1)＝3ax ＋3a ＋3b －2ax ＋2a －2b ＝ax ＋5a ＋b ，即ax ＋5a ＋b ＝2x ＋17不论x 为何值都成立，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＋5a ＝17，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝7，∴f (x )＝2x ＋7. 【2-2】已知2(1)21f x x x -=-+，求()f x 【答案】2()232f x x x =-+【解析】(换元法)设1t x =-，则1x t =-， ∴22()2(1)(1)1232f t t t t t =---+=-+， ∴ 2()232f x x x =-+.【2-3】定义在(1,1)-内的函数()f x 满足2()()lg(1)f x f x x --=+，求()f x【答案】21()lg(1)lg(1)33f x x x =++-，x ∈(1,1)-【领悟技法】1.已知函数类型，用待定系数法求解析式．2.已知函数图象，用待定系数法求解析式，如果图象是分段的，要用分段函数表示．3.已知()f x 求[()]f g x ，或已知[()]f g x 求()f x ，用代入法、换元法或配凑法．4.若()f x 与1()f x或()f x -满足某个等式，可构造另一个等式，通过解方程组求解． 5.应用题求解析式可用待定系数法求解．6.求函数解析式一定要注意函数的定义域，否则极易出错．【触类旁通】【变式一】某学校要召开学生代表大会，规定各班每10人推选一名代表，当各班人数除以10的余数大于6时再增选一名代表．那么，各班可推选代表人数y 与该班人数x 之间的函数关系用取整函数y ＝[x ]([x ]表示不大于x 的最大整数)可以表示为( )A ．y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 10 B ．y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋310C ．y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋410D ．y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋510【答案】B【变式二】已知f ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋1x ＝x 2＋1x2，则f (x )＝________.【答案】()22(][22)f x x x ∈∞∞＝－，－，－，＋【解析】（配凑法） (1)f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x ＝x 2＋1x 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x 2－2，又x ＋1x∈(－∞，－2]∪[2，＋∞)，∴()22(][22)f x x x ∈∞∞＝－，－，－，＋考点3 分段函数及其应用【3-1】【2017东营模拟】设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，x ≤1，2x，x ＞1，则f (f (3))等于( )A.15 B ．3 C.23 D ．139【答案】D【解析】由题意知f (3)＝23≤1，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23＝⎝ ⎛⎭⎪⎫232＋1＝139，∴f (f (3))＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23＝139.【3-2】已知函数lg ,0()3,0f x x x x x >⎧=⎨+≤⎩，若()()10f a f ＋＝，则实数a 的值为( )A ．－3B ．－3或1C ．1D ．－1或3【答案】B【解析】∵()1 10f lg ＝＝，∴()0f a =，当a ＞0时，lg a ＝0，a ＝1.当a ≤0时，a ＋3＝0，a ＝－3.所以a ＝－3或1.【3-3】【2014浙江高考理第15题】设函数()⎪⎩⎪⎨⎧≥-<+=0,0,22x x x x x x f 若()()2≤a f f ，则实数a 的取值范围是______【答案】a ≤解得，0a <或a ≤，故a ≤【领悟技法】1.因为分段函数在其定义域内的不同子集上其对应法则不同，而分别用不同的式子来表示，因此在求函数值时，一定要注意自变量的值所在子集，再代入相应的解析式求值．2.“分段求解”是处理分段函数问题解的基本原则．【触类旁通】【变式一】【2017江西师范附属3月模拟】已知函数()()22log 3,2,{21,2x x x f x x ---<=-≥，若()21f a -=，则()f a =（）A. 2-B. 1-C. 1D. 2 【答案】A【解析】当22a -≥即0a ≤时, 22211a ---=,解得1a =-，则()()()21log 312f a f ⎡⎤=-=---=-⎣⎦；当22a -<即0a >时, ()2log 321a ⎡⎤---=⎣⎦，解得12a =-，舍去. ∴()2f a =-. 【变式二】【2017广州调研】定义在R 上的函数f (x )满足f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2－x ，x ≤0f x －，x ＞0，则f (3)的值为( )A ．－4B ．2C ．log 213D ．4【答案】D【解析】()()()()422(321016)02 4.f f f f log log ＝＝＝＝－＝＝【易错试题常警惕】易错典例：已知函数x x x f 2)(2+=12(≤≤-x且x Z ∈），则()f x 的值域是( )A ．[]0,3B ．[]1,3- C ．{}0,1,3 D ．{}1,0,3- 易错分析：本题易忽视定义域的重要作用，误选B .正确解析：由已知得函数()22f x x x =+的定义域为{}2,1,0,1--,则()20f -=,()11f -=-,()00f =,()13f =,所以函数的值域为{}1,0,3-.故正确答案为D .温馨提醒：函数三要素是指定义域、值域、对应法则.当函数的定义域、对应法则确定后，其值域也随之确定.【数学素养提升之思想方法篇】分段函数求值妙招——分类讨论思想分类讨论思想就是当问题所给的对象不能进行统一研究时，需要把研究对象按某个标准分类，然后对每一类分别研究得出结论，最后综合各类结果得到整个问题的解答．实质上，分类讨论是“化整为零，各个击破，再积零为整”的解题策略．分段函数体现了数学的分类讨论思想，求解分段函数求值问题时应注意以下三点： (1)明确分段函数的分段区间．(2)依据自变量的取值范围，选好讨论的切入点，并建立等量或不等量关系． (3)在通过上述方法求得结果后，应注意检验所求值(范围)是否落在相应分段区间内．【典例】已知实数0≠a ，函数⎩⎨⎧≥--<+=1,21,2)(x a x x a x x f ，若)1()1(a f a f +=-，则a 的值为________．【答案】34-符合题意.故34a =-.。

2019版数学高考大一轮复习备考浙江专用课件：第二章

1 (3)函数y＝的单调递减区间是(－∞，0)∪(0，＋∞). x (4)闭区间上的单调函数，其最值一定在区间端点取到.
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( × ) ( √ )
题组二教材改编 [1，＋ ∞)( 或(1 ，＋ )) 2.[P39B 组 T1] 函数 f(x) ＝ x2 － 2x 的单调递增区间∞ 是 2 ____________________. 2 x－1 3.[P31例4]函数y＝在[2,3]上的最大值是___. 4.[P44A组T9]若函数 f( x)2] ＝x2－2mx＋1在[2，＋∞)上是增函数，则实数 ( －∞ ， m 的取值范围是 __________. 解析由题意知， [2，＋∞)⊆[m，＋∞)，∴m≤2.
【知识拓展】
函数单调性的常用结论 fx1－fx2 (1)对任意 x1，x2∈D(x1≠x2)， >0⇔f(x)在 D 上是增函数， x1－x2 fx1－fx2 <0⇔f(x)在 D 上是减函数. x1－x2 a (2)对勾函数 y＝x＋ (a>0)的增区间为(－∞，－ a]和[ a，＋∞)，减区间 x 为[－ a，0)和(0， a].
x＝ 2时，取等号；
当x＜1时，f(x)＝lg(x2＋1)≥lg 1＝0，当且仅当x＝0时，取等号，
∴f(x)的最小值为 2 2－3.
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题型分类
深度剖析
题型一
确定函数的单调性(区间)
多维探究
命题点1 给出具体解析式的函数的单调性典例 (1)(2017· 全国Ⅱ)函数f(x)＝ln(x2－2x－8)的单调递增区间是 A.(－∞，－2) C.(1，＋∞) B.(－∞，1) D.(4，＋∞) √

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§2・2函数的基本性质考纲解读考点考纲内容要求浙江省五年高考统计201320142OJS2QZQ2017九函数的单调性理解函数的单调性，会讨论^证明函数的单调性. 理解8（文）0 分21（文），7,S分1SS分亦（2）,约4分2。

⑴（文）约5-分7幵分约4分约4分2.•函数的奇1•理解函数的奇偶性'会判断函班文）£分偶性与周期数的奇偶性. 理解4£分Xi,3 分性 2 •了解函数的周期性.分析解读丄•函数的单调性是函数的f重要性质丿是高考的常考内容，例如判断或证明函数的单调性，求单调区间'利用单调性求参数的取值范围'利用单调性解不等式考题既有选择题与填空题'又有解答题'既有容易题和中等难度题（例：2饵4浙江15题）, 也有难题（例：2O1S浙江18题）.2•函数的奇偶性在高考中也时有出现注要考查奇偶性的判定以及与周期性、单调性相结合的题目（例：20第浙江4题）.3•预计2" q年高考中'仍会对函数的性质进行重点考查，复习时应弓I起高度重视.五年高考考点一函数的单调性%（2OZ7课标全国【I文SS分）函数f（X）二b（x2_2X-g）的单调递增区间是（）A.（-00丿-2）13.（ - fl）+ D.（毛 48）答案P2.（2024北京2S分）下列函数中莊区间（6—）上为增函数的是（）A.y=Vx 4-1B.y=（x-i）2D.9=（ogo.s（x+1）答案A3.（2014陕西？S分）下列函数中満足“心勺）玳x）f©）”的单调递增函数是（）A.f（x）=x^B.f（x）=x5C・f（x）=（扩 D.f（小歹答案P4.（20辽安徽,40分）“gQ”是“函数f（X）=|@X J）x|在区间（。

严）内单调递增”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要剑牛D.既不充池不必要釧牛答案C5.（2O化天津，第占分）已知f（x）是定义在R上的偶函数，且在区间（N Q）上单调递增若实数a满足f（2卜呵）则。

的取值范围是 _______ .课标II 分)已知偶函数f(X)在上单调递减孑(2)9.若f(X®6则X的取值范围是_______________________答案(-1』)教师用书专用(7)7.(20辽福建hOS分)设S.T是R的两个非空子集’如果存在一个从S到丁的函数护f(X)满足：(。

丁二{f(X)|xUS};(")对任意5X泻S,当X心时，恒有偸丄)卯(切挪么称这两个集合“保序同构”以下集合对不是“保序同构”的是()A.AW 后NB.A={x -X^x^3}J/3={x|x= -8 或Q<xW：lO}C.A二{X <2<x<l},B=RD.A 二乙B 二Q答案D考点二函数的奇偶性与周期性Z.(2E7天津,ds分)已知奇函数f(x)在R上是增函数£(x)二xf(x)•若xg( JogzS.l)俟g(2")"g(»则abc的大小关系为()A.a<b<c 8.c<b<a C.b<a<c P.b<c<a答案c2.(20化山东凡S分)已知函数f(x)的定义域为R.当X9时/(x)X V;当-ZWxWl时/(-X)一偸);当X〉抿L f(x +訴蚣•亂则心片()A.-2B.-1C.OD.2答案P3(2ES广东3S分)下列函数中'既不是奇函数，也不是偶函数的是()A.c/=V1 +x2/3.c/=x+-C.g 二2* 兮D.g 二x“x答案P4.(2014课标I耳S分)设函数f(x),g(x)的定义域都为R,且f(x)是奇函数软x)是偶函数测下列结论中正确的是()A.f(x)g(x)是偶函数B.f(x)|g(x)是奇函数CF(x)|g(x)|是奇函数Df(x)g(x)|是奇函数答案C5.(2OZ4湖南3S分)已知f(X),g(X)分别是定义在R上的偶函数和奇函数启f(x) %仅)沃3収2亠4则f(Z)+g⑴二()A.-3B.-lC.l P.3答案CE.(2E7课标全国II文三毛S分)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数'当XE(N Q)时，f(x)=2x*x勺则f(2)二_________________ .答案127.(2017山东文三勺S分)已知f(X)是定义在R上的偶函数'且f(X+4)#(X-2).若当炸［七QJ时「(X)"巴则F(q】q)二______ .答案6x + a,-l < x < 0,8.(2010江苏,Z1S分)设f(X)是定义在R上且周期为2的函数'在区间［-41)上*X)二2 A.其中代R.若--X ,0 < x < 1,(I)_________________________ #◎则£(弘)的值是•皴室 --口杀57(20化四JIL14.S分)已知函数f(X)是定义在R上的周期为2的奇函数丿当0*2时*X)二竺则f (・|卜f⑴二辺.（2O1S 课标I分）若函数f （x ）二X 仏（好后戸）为偶函数，则妇 ____ ・答案Z ".（2GL4四川二2&分）设偸）是定义在R 上的周期为2的函数，当炸[-"）时/（X ）才节:+型＜ x ＜ °，则\AT|U X V 1,答案J教师用书专用（久2—化）12.（20第山东启0分）已知函数偸）为奇函数，且当QO 时,f （X ）=X^i 则f （J ）=（）A.-2B.OC.lD.2答案A23（2017课标全国I 理SS 分）函数偸）在（-"〃）单调递减启为奇函数若则满足VWf （X-2）Wl 的X 的取值范围是（）A.[-2,2j B •卜4Z]C.[OA] DJ4习答案PZ4.（2O1S 福建2S 分）下列函数为奇函数的是（）A.c/=VxB.y=|s 认 xC.tj-cos. xD.g=£x_e-x答案P1S.（2OZ4安徽6S 分）设函数心）（辰R ）满足讹x ）“认x.当OWX5时*x ）=。

则f （字）二（）A i B.字 CQ D.~答案A化.（2014湖北gS 分）已知函数f （X ）是定义在R 上的奇函数'当煜O 时，£（炉*卜"2出x-22卜北2）•若PxURf （x- QWf （x ）,则实数以的取值范围为（）三年模拟2。

化一2。

边年模拟•聲出题纟考点一函数的单调性1. （2017浙江绍兴教学质显调测Q 月"）记皿认｛X 如二£： | ；设偸片皿叫灼乂⑰则（）©[-諾P. V3 V3 T f T 答案B＞如（弋p.ms t>o,|f(i+t)- f(z -心-t)2.（2018浙江高考模拟训练;中刺卷T2）已知函数心）瓷g?：；；'乙若偸）是（_“+8）上的增函数'则实数a的取值范围是_______ ；若偸）的值域为（-8^0则实数幺的取值范围是 _________ .答案3.（20化浙江镇海中学测试卷二砒设函数衣）屮< 2,则您G）卜__________________ ，若f（E）Mf（2—“则实数Q的取值范围（x ,x 二2, \ ）是_______ .答案号;（虫刃考点二函数的奇偶性与周期性4.（2018浙江高考模拟训练冲刺卷一仏）已知仪X）二f（x）+炉+X是奇函数，且f（l）=2,若g（x）讹x）+4则虫-4二（）A.3 8.4 C.-3P.,-4答案C3（2017浙江镇海中学阶段测试（一）艸）设f（x）为定义在R上的奇函数'当xMo时/（x）Tog2（x+2）7x+a（朋◎则f（-2）=（）A.-X 13.-S C.l D.S答案PQ.（2E7浙江名校协作体期初艸）下列四个函数，以“为周期，在（0冷）上单调递减且为偶函数的是（）A.y=sm|x|B.^=cos|x|x| P.t/=-/ia|s（n x|答案P7.（2017浙江名校（镇海中学）交流卷二幼已知函数衣）彳:囂:器為'是偶函数测必的可能取值是（）A.a=Tc3=f 吉C.申三加三件乎答案c8.（20化浙江宁波二模艸）已知函数f（X）£「°）'则下列命题正确的是（）（1.•兀（兀 V \））,A.函数©二f（sia x）是奇函数,也是周期函数B.函数萨f（血x）是偶函数,不是周期函数C函数9二f（sin£）是偶函数/旦不是周期函数D.函数沪张吩）是偶函数迪是周期函数答案C彳（2。

亦浙江高考模拟卷二2）定义在R上的函数f（X）满足f（XY）#（X）.当XG [-,3）时/（X）二' x <〜则（%,-1 < % < 3,f（4）= ______ ;f（l）+f（2）+f（：5）+・・・+f（2O：LE）+f（2O17）= .B组20化一2OZ8年模拟•提升题组-s选择题1.(2017浙江模拟训练冲刺卷五,8)已知定义在R上的函数卩(X)满足f(x)+f(-X)二-2屈数g(x)二疋-心 14若函数9二f(x)与沪g(x)的图象相交于点Pl(s少)F2(X2S)mP』XnS)(讥则(X计少)+(X2492)+“・+(&+%)=()A・-2心2 8. -2讥C・ - Pr答案p2.(2017浙江宁波二模(S月)严)已知函数f(X)二弘XCOS 2X,则下列关于函数偸)的结论中，错误的是()A.最大值为1B•图象关于直线0冷对称C.既是奇函数又是周期函数D.图象关于点(乎,0)中心对称答案P3(2017浙江金华十校联考(彳月“)若定义在(6Z)上的函数心)满足f(X)〉Q且对任意的A.对任意的正数M,存在XW (01),使氏存在正数M,对任意的使f(x)WMC.对任意的5*2丘(62)且&<畑有f(x x)< f(X2)D.对任意的XhX2W(d)且X1〈X2,有f(Xi)> f(X2)答案A4.(20化浙江镇海中学测试左)已知定义在R上的函数心)满足f(x)玳-x)二灼且对任意的也乂匹［。

仔)(其中冷工冷)均有W刃>*3X2).若-2) -f(2m) -6m24- 8 m -2〉6贝!J m 的可能取值是( )A.-iB.OC.lD.2答案P5.(2O述浙江名校(诸暨中学)交流卷_〃)德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著,以其名字命名的函数衣)二£护9 R Q被称为狄利克雷函数丿其中R为实数集怎为有理数集，则关于函数f(X)有如下四个命题:①f(f(X))9；②函数偸)是偶函数;③任取f 不为零的有理数匚f(X+7>f(X)对任意的XWR恒成立;④存在三个点人(5偸久))£(畑欣2))/(心/区)),使得厶人30为等边三角形•其中真命题的个数是()A.XB.2 C3 P.4答案C二、填空题6.(2012浙江“七彩阳光”联盟期中人◎已知函数心)是定义在R上的奇函数'对任意的XER都有f(l+x)#(l-◎且当X丘［61］时*刈二2心4则当炸［-2阎时方程f(X)二€所有根之和为__________ •C组2.(916—^018年模拟•方法题组方法2函数单调性的解题策略2•已知9=(。