九年级数学竞赛专题13 旋转变换_答案

专题13 旋转变换

例1 如图，连接OB 1，OB 2，B 1B 2，则OB 1＝OB 2，∠OB 1B 2＝∠OB 2B 1.又∠OB 1C ＝30°＝∠OB 2C ，∴∠CB 1B 2＝∠CB 2B 1，故CB 1＝CB 2.同理，B 2D ＝DC 1.设CB 1＝x ，则CB 2＝x ，CD

＝

x ，DC 1＝DB 2＝2x ，于是x ＋x ＋2x ＝1

x ⇒=

，故A B C D E F S 六边形＝

22223A B C B CD S

S －213324x x -⨯==.

例2 ∵N ，M 分别为线段AB ，CB 的中点，∴MN ＝

12AC .同理MQ ＝12BD ，PQ ＝1

2

AC ，PN ＝

1

2

BD .∵AC ＝BD ，∴MN ＝MQ ＝PQ ＝PN ，∴四边形NMQP 为菱形.∵MN ∥AC ，MQ ∥BD ，∴AC ⊥BD ，∴∠NMQ ＝90°，∴菱形NMQP 为正方形.

例3 APM AP C '≌，AP AP '＝，APB AP C '∠∠＝，P C PB '＝.连接PP '，由A

P A P '＝得APP AP P ''∠∠＝，而APB APC ∠∠

＜，即APC APC '∠∠＜，∴PP C P PC ''∠∠＜，于是P C PC '＞，即PB PC ＞.

例4 （1）60° 45° （2）90°－1

2α （3）∠AFB ＝90°－12α ∠AFB ＝90°＋12

α

对∠AFB ＝90°－1

2

α证明如下：∵AB ＝AC ，EC ＝ED ，∠BAC ＝∠CED ，∴△ABC ∽△EDC ，

得∠ACB ＝∠ECD ，

BC AC

DC EC

=，∠BCD ＝∠ACE ，∴△BCD ∽△ACE ，得∠CBD ＝∠CAE .∵∠AQF ＝∠BQC ，∠CBD ＝∠CAF ，∴∠AFB ＝∠ACB ＝

1801

9022

BAC α︒-∠=︒-.

例 5 ∵2EBE ABC DEB '∠∠∠＝＝，∴EBD E BD '∠∠＝.连接DE '.∵BD BD ＝，EBD E BD '∠∠＝，BE BE '＝，∴EBD E BD '≌，得E D ED C D C E ''＝

＝＝，∴CDE '为正三角形，DCE '∠＝60°，又BC ＝CD ＝CE ’，则1

2

E BD

DCE ''∠∠＝＝30°.∴

260ABC EBE E BD ''∠∠∠︒＝＝＝.

例6 将△ABE 绕B 点逆时针旋转60°，得△FBG ，连接GE ，FC ，则△BEG 为等边三角形，GE ＝BE ，∴FC ≤FG ＋GE ＋EC ，即FC ≤EA ＋EB ＋EC ，∵FC 为定长，∴当E 点落在FC 上时，FC ＝EA ＋EB ＋EC 为最小值.∵∠FBC ＝150°，FB ＝BC ，∴∠BCF ＝∠BFC ＝15°，而∠GEB ＝60°，∴∠EBC ＝45°，即E 在正方形ABCD 的对角线BD 上.作FH ⊥BC 交CB 延长线于H ，设BC ＝x ，则FB ＝x ，FH ＝

2x ，HB

＝2

x ，在Rt △FHC

中，由2

22)()()2x x x =+，得x ＝2或x ＝－2（舍去）

，即正方形的边长为2.

A 级

1.1或5

2.6 150°

3.1 4 . 80或120

提示:如图,过B'作MN//AD ，分别AB,CD 于M,N,点B’C’交CD 于K ，则B’M=AB’sin60°

,AM=1

2,Rt △AKB ≌Rt △AKD,∠KAB’=

∠KAD=15°,∠ADB’=75°,△ADK ∽△DN B’,'DK AD

NB DN

=

重叠部分面积=2S △AKD

= 1

21(222

⨯⨯⨯=

6. 过P 作PM 丄AC 于M,PN 丄DF 于N ，可证明四边形PMGN 为正方形,PM=

12

5

,S 重叠=S 正方形PMGN

=212144()525

=. 7.D 8.A 9.B 提示:将△CPA 绕点A 逆时针旋转60°到△C’AP’, 连结PP’, △APP’ 为等边三角形.PB+PP’+P’C=PA+PB+PC ＞AB+AC’=AB+AC.

10.(1)AE’=BF’.(2) 证法较多，如取OE’中点G,连结AG. 11.(1)AM=AN,∠MAN=α.(2) 第(1)问的结论仍成立，理由如下:由△ABE ≌△ACF 得BE=CF,∠ABM=∠CAN,进一步可以证明△ABM ≌△CAN. B 级

例6题图

1.2 提示:MN=BM+CN

2.B 提示: △ACM ≌△BCD.∠ACM=∠BCD,CM=CD,∠MCN=∠NCD=45°,又CN=CN,则△MNC ≌△DNC,MN=ND=x ,AM=BD=m ,又∠DBN=45°+45°=90°,故

m 2+n 2=x 2. 3.D 4.3 提示:将△ADF'绕点A 顺时针方向旋转90°,到△ABG.

的位置, 则△AEF ≌△AEG. ∠AEF=∠AEG=∠FEC=60°1,

1),S △AEF =S △ABG =

1

2

EG ·AB=3. 5. (1)提示:延长BC 至E,使CE=CD 连结DE,证明△ACD ≌△BED.(2)将△ABD 绕点A 旋转60°到△A CB’,连结B’D,B’P ,则四边形AB’DP 符合(1)的条件,于是B’P=PA+PD 连结AC,则△ABD ≌△A CB’.BD=B’C,B’C ≤PB’+PC=PA+PD+PC,从而BD ≤PA+PD+PC.

6. 直接解题有困难, △ABC 绕点A 逆时针旋转120°,240°拼成正△MBC(如图),则正△ADE 变为正△AD 1E 1和正△AD 2E 2易知,六边形DE D 1E 1 D 2E 2是正六边形, △DD 1D 2是正三角形, 其面积是△ADE 面积的3倍. .因此,设法由正△MBC 面积为150求出△DD 1D 2的面积, 问题就解决了.注意到BD:DC=CD 1:D 1M=MD 2:D 2B=2:3, 连结DM, 则S △ADE =1

3

S △ABD =36cm 2,而

122MD D DCD S

S

==36cm 2

. 同理,可得12DD D S =150-3×36=42cm 2

,故S △ADE =

13

12

DD D S =14cm 2.

7.如图,将BP ,BO,BC 绕点B 沿顺时针方向旋转60°，变为BP'，BO’,BC’ 连结OO’,PP’,则 △BOO’, △BPP’ 都是正三角形.因此OO’=OB,PP’=PB, 显然△BO’C’ ≌△BOC, △BP’C ≌△BPC, 由于∠BO’C=∠BOC=120°=180°-∠BO’O,∴A,O,O’,C’ 四点共线.故AP+PP’+P’C ≥AC’=AO+OO’+O’C, 即PA+PB+PC ≥OA+OB+OC.