第07讲 函数的奇偶性的判断和证明高中数学常见题型解法归纳反馈训练及详细解析 (1)

【知识要点】
一、函数的奇偶性的定义
对于函数()f x ，其定义域D 关于原点对称，如果,x D ∀∈恒有()()f x f x -=-，那么函数()f x 为奇
函数；如果,x D ∀∈恒有()()f x f x -=，那么函数()f x 为偶函数.
二、奇偶函数的性质
1、奇偶函数的定义域关于原点对称；
2、 偶函数的图像关于y 轴对称，奇函数的图像关于原点对称；
3、偶函数在对称区间的增减性相同，奇函数在对称区间的增减性相反；
4、 奇函数在原点有定义时，必有
(0)0f =.
三、判断函数的奇偶性的方法
判断函数的奇偶性的方法，一般有三种：定义法、和差判别法、作商判别法.
1、定义法
首先必须考虑函数的定义域，如果函数的定义域不关于原点对称，则函数一定是非奇非偶函数；如果
函数的定义域关于原点对称，则继续求()f x -；最后比较()f x -和()f x 的关系，如果有()f x -=()f x ，
则函数是偶函数，如果有()f x -=-()f x ，则函数是奇函数，否则是非奇非偶函数.
2、和差判别法
对于函数定义域内的任意一个x ，若()()0f x f x -+=，则()f x 是奇函数；若()()0f x f x --=，
则()f x 是偶函数.
3、 作商判别法
对于函数定义域内任意一个x ，设()0f x -≠，若
()1()f x f x =--，则()f x 是奇函数，()1()f x f x =-，则()f x 是偶函数.
【方法讲评】 方法一
定义法 使用情景 具体函数和抽象函数都适用.
解题步骤
首先必须考虑函数的定义域，如果函数的定义域不关于原点对称，则函数一定是非奇非
偶函数；如果函数的定义域关于原点对称，则继续求()f x -；最后比较()f x -和()f x 的关
系，如果有()f x -=()f x ，则函数是偶函数，如果有()f x -=-()f x ，则函数是奇函数，否
则是非奇非偶函数.
【例1】判断下列函数的奇偶性.
（1）x x x x f -+-=11)1()( （2）2lg(1)()22
x f x x -=-- 【点评】（1）判断函数的奇偶性首先必须考虑函数的定义域，如果函数的定义域不关于原点对称，则
函数是非奇非偶函数. (2)函数的定义域关于原点对称，是函数为奇偶函数的必要非充分条件.（3）函数的
定义域求出来之后，还要注意在解题中应用，不是走一个过场和形式.第2小题就是利用求出的定义域对函
数进行了化简.
【例2】 定义在实数集上的函数()f x ，对任意x y R ∈、，有()()f x y f x y ++-2()()f x f y =⋅
且(0)0f ≠
①求证：(0)1f = ②求证：()y f x =是偶函数
【解析】证明：①令0x y ==，则2
(0)(0)2[(0)]f f f += ∵(0)0f ≠ ∴(0)1f =
②令0x =，则()()2(0)()f y f y f f y +-=⋅ ∴()()f y f y -=
∴()y f x =是偶函数
【点评】对于抽象函数的奇偶性的判断，和具体函数的判断方法一样，不同的是，由于它是抽象函数，
所以在判断过程中，多要利用赋值法，常赋一些特殊值，如0-11、、等. 学科*网 【例3】判断函数⎩⎨⎧>+-<+=)
0()0()(22x x x x x x x f 的奇偶性 【点评】（1）对于分段函数奇偶性的判断，也是要先看函数的定义域，再考虑定义，由于它是分段函
数，所以要分类讨论. （2）注意，当0x <时，求()f x -要代入下面的解析式，因为0x ->,不是还代入上
面一段的解析式.
【反馈检测1】已知1
212)(+-=x x x f （1）判断)(x f 的奇偶性； （2）求)(x f 的值域．
【反馈检测2】已知函数()f x 定义域为[1,1]-，若对于任意的,[1,1]x y ∈-，都有
()()()f x y f x f y +=+，且0x >时，有()0f x >.
（1）证明函数()f x 是奇函数；（2）讨论函数()f x 在区间[1,1]-上的单调性；
（3）设(1)1f =，若2
()21f x m am <-+，对所有[1,1]x ∈-，[1,1]a ∈-恒成立，求实数m 的取值范
围. 方法二
和差判别法 使用情景 一般与对数函数指数函数有关.
解答步骤 对于函数定义域内的任意一个x ，若()()0f x f x -+=，则()f x 是奇函数；若
()()0f x f x --=，则()f x 是偶函数.
【例4】判断函数)1x x lg()x (f 2++=的奇偶性.
【点评】和差判别法实际上是奇偶函数定义的等价形式，但是利用定义判断，计算较为复杂，利用和差
判别法可以化繁为简，简捷高效. 【反馈检测3】已知函数)10(2
2log )(≠>+-=a a x x x f a 且. （1）求)(x f 的定义域； （2）判定)(x f 的奇偶性；
（3）是否存在实数a ，使得)(x f 的定义域为],[n m 时，值域为]1log ,1[log ++m n a a ？若存在，求出实
数a 的取值范围；若不存在，请说明理由.
【例5】判断函数2x 1
2x )x (g x +-=的奇偶性. 【解析】由题得0x ≠，因为12)12(x 2x 12x 2x 12x )x (g )x (g x x x x --=⎪⎭
⎫ ⎝⎛+--⎪⎭⎫ ⎝⎛---=---
0x x x =-=-，所以()()g x g x -=，所以)x (g 是偶函数.
【点评】和差判别法实际上是奇偶函数定义的等价形式，但是利用定义判断，计算较为复杂，利用和差
判别法可以化繁为简，简洁高效. 方法三
作商判别法 使用情景 一般含有指数函数运算.
解答步骤 对于函数定义域内任意一个x ，设()0f x -≠，若
()1()
f x f x =--，则()f x 是奇函数，()1()
f x f x =-，则()f x 是偶函数. 【例6】 证明函数)1a 0a (1
a 1a )x (f x x ≠>-+=，是奇函数. 【点评】作商判别法实际上是奇偶函数定义的等价形式，但是利用定义判断，计算较为复杂，利用作商
判别法可以化繁为简，简捷高效.
高中数学常见题型解法归纳及反馈检测第07讲：
函数的奇偶性的判断和证明参考答案
【反馈检测1答案】（1）奇函数；（2）}11|{<<-y y ．
【反馈检测2答案】（1）奇函数；（2）单调递增函数；（3）2m <-或2m >.
【反馈检测2详细解析】（1）因为有()()()f x y f x f y +=+，
令0x y ==，得(0)(0)(0)f f f =+，所以(0)0f =，
令y x =-可得：(0)()()0,f f x f x =+-= 所以()()f x f x -=-，所以()f x 为奇函数.
（2）)(x f 是定义在[1,1]-上的奇函数，由题意设1211x x -≤<≤，则
由题意0x >时，有()0f x >，21()()f x f x ∴>
()f x ∴是在[1,1]-上为单调递增函数；
（3）因为()f x 在[1,1]-上为单调递增函数，所以()f x 在[1,1]-上的最大值为1)1(=f ， 所以要使()f x <221m am -+，对所有[1,1],[1,1]x a ∈-∈-恒成立，
只要2211m am -+>，即220m am ->，
令22
()22g a m am am m =-=-+
由(1)0(1)0g g ->⎧⎨>⎩ 得222020m m m m ⎧+>⎪⎨-+>⎪⎩，2m ∴<-或2m >. 【反馈检测3答案】（1）定义域为),2()2,(+∞⋃--∞；（2）)(x f 在定义域上为奇函数；（3）)2
223,0(-∈a . 即m n 、是方程1log 2
2log +=+-x x x a a 的两个实根，于是问题转化成关于x 的方程 ),2(02)12(2+∞=+-+在x a ax 上有两个不同的实数解.
令 ,2)12()(2
+-+=x a ax x g 则有： 故存在这样的实数)2
223,0(-∈a 符合题意.。