高考数学微专题---外接球(含答案)

微专题 几何体的外接球
一 选择题
1．棱长分别为2、3、5的长方体的外接球的表面积为（ ）
A ．4π
B ．12π
C ．24π
D ．48π
2．设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱的长都为23，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为（ ） A ．12π
B ．28π
C ．44π
D ．60π
3．把边长为3的正方形ABCD 沿对角线AC 对折，使得平面ABC ⊥平面ADC ，则三棱锥
D ABC -的外接球的表面积为（ ）
A ．32π
B ．27π
C ．18π
D ．9π
4．某几何体是由两个同底面的三棱锥组成，其三视图如下图所示，则该几何体外接球的面
积为（ ）
A ．2πa
B ．22πa
C ．23πa
D ．24πa
5．三棱锥A BCD -的所有顶点都在球O 的表面上，AB ⊥平面BCD ，2BC BD ==，
243AB CD ==O 的表面积为（ ）
A ．16π
B ．32π
C ．60π
D ．64π
6．如图1111ABCD A B C D -是边长为1的正方体，S ABCD -是高为1的正四棱锥，若点S ，
1A ，1B ，1C ，1D 在同一个球面上，则该球的表面积为（ ）
A ．
9π16
B ．
25π16
C ．
49π16
D ．
81π16
7．已知球O 的半径为R ，A ，B ，
C 三点在球O 的球面上，球心O 到平面ABC 的距离为1
2
R ，2AB AC ==，120BAC ∠=︒，则球O 的表面积为（ ）
A ．
16π9
B ．
16π
3 C ．64
π9
D ．
64
π3
8．已知正四棱锥P ABCD -(底面四边形ABCD 是正方形，顶点在底面的射影是底面的中心)的各顶点都在同一球面上，底面正方形的边长为10，若该正四棱锥的体积为50
3
，则此球的体积为（ ） A ．18π
B ．86
C ．36π
D ．323π
9．如图，在ABC △中，6AB BC ==，90ABC ∠=︒，点D 为AC 的中点，将ABD △沿BD 折起到PBD △的位置，使PC PD =，连接PC ，得到三棱锥P BCD -．若该三棱锥的所有顶点都在同一球面上， 则该球的表面积是（ ）
A ．7π
B ．5π
C ．3π
D ．π
10．四面体A BCD -中，60ABC ABD CBD ∠=∠=∠=︒，3AB =，2CB DB ==，则此四面体外接球的表面积为（ ） A ．
19π2
B 1938π
C ．17π
D 1717π
11．将边长为2的正ABC △沿着高AD 折起，使120BDC ∠=︒，若折起后A B C D 、、、四点
都在球O 的表面上，则球O 的表面积为（ ）
A ．7π2
B ．7π
C ．
13π2
D ．
13π3
12．在三棱锥A BCD -中，6AB CD ==，5AC BD AD BC ====，则该三棱锥的外接球
的表面积为（ ） A ．
4343π
24
B ．
4343π
6
C ．
43π
2
D ．43π
二、填空题
13．棱长均为6的直三棱柱的外接球的表面积是_________．
14．已知棱长都相等正四棱锥的侧面积为163，则该正四棱锥内切球的表面积为________． 15．已知三棱柱111ABC A B C -的侧棱垂直于底面，各顶点都在同一球面上，若该棱柱的体积
为3，2AB =，1AC =，60BAC ∠=︒，则此球的表面积等于______．
16. 已知三棱锥P ABC -的四个顶点均在同一个球面上，底面ABC △满足6BA BC ==，
π
2
ABC ∠=
，若该三棱锥体积的最大值为3，则其外接球的体积为________ 17. 已知各顶点都在同一球面上的正四棱柱的高为4，体积为16，则这个球的表面积____ 18．在三棱锥A BCD -中，AB AC =，DB DC =，4AB DB +=，AB BD ⊥，
则三棱锥A BCD -外接球的体积的最小值为______________． 三 解答题
已知三棱锥A-BCD 中，AB=AC=BC =2，2==CD BD ，点E 是BC 的中点，点A 在平面BCD 的射影恰好为DE 的中点，求该三棱锥外接球的表面积.
培优点十四 外接球
1．正棱柱，长方体的外接球球心是其中心
例1：已知各顶点都在同一球面上的正四棱柱的高为4，体积为16，则这个球的表面积是
（ ） A ．16π B ．20π
C ．24π
D ．32π
【答案】C
【解析】162==h a V ，2=a ，24164442222=++=++=h a a R ，24πS =，故选C ．
2．补形法（补成长方体）
图2
图3
例2：若三棱锥的三个侧面两两垂直，且侧棱长均为3，则其外接球的表面积是 ．
【答案】9π
【解析】933342=++=R ，24π9πS R ==．
3．依据垂直关系找球心
例3：已知三棱锥P ABC -的四个顶点均在同一个球面上，底面ABC △满足
BA BC ==π
2
ABC ∠=
，若该三棱锥体积的最大值为3，
则其外接球的体积为（ ） A ．8π B ．16π C ．16π3 D ．32
π3
【答案】D
【解析】因为
ABC △是等腰直角三角形，所以外接球的半径是1
2r ==的半径是R ，球心O 到该底面的距离d ，如图，则1
632ABC S =⨯=△，BD =11
6336
ABC V S h h ==⨯=△，
最大体积对应的高为3SD h ==，故223R d =+，即()2
233R R =-+，解之得2R =，
所以外接球的体积是3432ππ33
R =，故答案为D ．
一、单选题
1．棱长分别为235的长方体的外接球的表面积为（ ） A ．4π B ．12π C ．24π D ．48π
【答案】B
【解析】设长方体的外接球半径为R ，由题意可知：()(22
2
2223
5
R =+
+
，则：23R =，
该长方体的外接球的表面积为24π4π312πS R ==⨯=．本题选择B 选项．
2．设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱的长都为23面积为（ ） A ．12π B ．28π C ．44π D ．60π
【答案】B
【解析】设底面三角形的外接圆半径为r ，由正弦定理可得：23
2r =2r =， 设外接球半径为R ，结合三棱柱的特征可知外接球半径2
223
27R =+=，
外接球的表面积24π28πS R ==．本题选择B 选项．
3．把边长为3的正方形ABCD 沿对角线AC 对折，使得平面ABC ⊥平面ADC ，则三棱锥
D ABC -的外接
对点增分集训
球的表面积为（ ） A ．32π B ．27π
C ．18π
D ．9π
【答案】C
【解析】把边长为3的正方形ABCD 沿对角线AC 对折，使得平面ABC ⊥平面ADC ， 则三棱锥D ABC -的外接球直径为32AC =，外接球的表面积为24π18πR =，故选C ． 4．某几何体是由两个同底面的三棱锥组成，其三视图如下图所示，则该几何体外接球的面积为（ ）
A ．2πa
B ．22πa
C ．23πa
D ．24πa
【答案】C
【解析】由题可知，该几何体是由同底面不同棱的两个三棱锥构成，其中底面是棱长为2a 的正三角形，一个是三条侧棱两两垂直，且侧棱长为a 的正三棱锥，另一个是棱长为2a 的正四面体，如图所示：
该几何体的外接球与棱长为的正方体的外接球相同，因此外接球的直径即为正方体的体对角线，所以2223
23R a a a a R =++⇒=，所以该几何体外接球面积2
22
34π4π3πS R a ⎫==⨯=⎪⎪
⎝⎭
，故选C ． 5．三棱锥A BCD -的所有顶点都在球O 的表面上，AB ⊥平面BCD ，2BC BD ==，
243AB CD ==，则球O 的表面积为（ ）
A ．16π
B ．32π
C ．60π
D ．64π
【答案】D
【解析】因为2BC BD ==，23CD =，所以()
2
222223
1cos 222
2
CBD +-∠==-⨯⨯，
2π3
CBD ∴∠=
， 因此三角形BCD 外接圆半径为
122sin CD
CBD
=∠，
设外接球半径为R ，则2
2
2
=2+412162AB R ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭
，2
=4π64πS R ∴=，故选D ．
6．如图1111ABCD A B C D -是边长为1的正方体，S ABCD -是高为1的正四棱锥，若点S ，1A ，1B ，1C ，1D 在同一个球面上，则该球的表面积为（ ）
A ．
9π16
B ．
25π16
C ．
49π16
D ．
81π16
【答案】D
【解析】如图所示，连结11A C ，11B D ，交点为M ，连结SM ，
易知球心O 在直线SM 上，设球的半径R OS x ==，在1Rt OMB △中，由勾股定理有：
22211OM B M B O +=，即：()2
22
222x x ⎛⎫-+= ⎪ ⎪⎝⎭，解得：98x =，则该球的表面积2
2
9814π4ππ816
S R ⎛⎫
==⨯= ⎪⎝⎭．本题选择D 选项．
7．已知球O 的半径为R ，A ，B ，
C 三点在球O 的球面上，球心O 到平面ABC 的距离为1
2
R ，2AB AC ==，120BAC ∠=︒，则球O 的表面积为（ ） A ．
16π9
B ．
16π3
C ．
64π9
D ．
64π3
【答案】D
【解析】由余弦定理得：44222cos12023BC =+-⨯⨯︒=，
设三角ABC 外接圆半径为r ，由正弦定理可得：
23
2sin120r =︒
，则2r =，
又22144R R =+，解得：2163R =，则球的表面积264
4ππ3
S R ==．本题选择D 选项．
8．已知正四棱锥P ABCD -(底面四边形ABCD 是正方形，顶点在底面的射影是底面的中心)的各顶点都在同一球面上，底面正方形的边长为10，若该正四棱锥的体积为50
3
，则此球的体积为（ ） A ．18π B ．86
C ．36π
D ．323π
【答案】C 【解析】
如图，设正方形ABCD 的中点为E ，正四棱锥P ABCD -的外接球心为O ， 105EA ∴=
正四棱锥的体积为
503
，()
2
150
1033
P ABCD V PE -∴=⨯
⨯=
， 则5PE =，5OE R ∴=-，
在AOE △中由勾股定理可得：()2
255R R -+=，解得3R =，34π36π3
V R ∴==球，故选C ．
9．如图，在ABC △中，6AB BC ==，90ABC ∠=︒，点D 为AC 的中点，将ABD △沿BD 折起到PBD △的位置，使PC PD =，连接PC ，得到三棱锥P BCD -．若该三棱锥的所有顶点都在同一球面上，
则该球的表面积是（ ）
A ．7π
B ．5π
C ．3π
D ．π
【答案】A
【解析】由题意得该三棱锥的面PCD 3BD ⊥平面PCD ， 设三棱锥P BDC -外接球的球心为O ，
PCD △外接圆的圆心为1O ，则1OO ⊥面PCD ，∴四边形1OO DB 为直角梯形，
由3BD 11O D =，及OB OD =，得7OB =7R =
∴该球的表面积27
4π4π7π4
S R ==⨯
=．故选A ． 10．四面体A BCD -中，60ABC ABD CBD ∠=∠=∠=︒，3AB =，2CB DB ==，则此四面体外接球的表面积为（ ） A ．
19π2
B 1938π
C ．17π
D 1717π
【答案】A 【解析】
由题意，BCD △中，2CB DB ==，60CBD ∠=︒，可知BCD △是等边三角形，3BF =， ∴BCD △的外接圆半径23r BE =
=，3
FE ∵60ABC ABD ∠=∠=︒，可得7AD AC ==可得6AF =∴AF FB ⊥，∴AF BCD ⊥， ∴四面体A BCD -高为6AF =
设外接球R ，O 为球心，OE m =，可得：222r m R +=……①，
)
2
226π
EF R +=……②
由①②解得：19R =
219
4ππ2
S R ==．故选A ． 11．将边长为2的正ABC △沿着高AD 折起，使120BDC ∠=︒，若折起后A B C D 、、、四点都在球O 的表面上，则球O 的表面积为（ ）
A ．7
π2
B ．7π
C ．
13π2
D ．
13π3
【答案】B
【解析】BCD △中，1BD =，1CD =，120BDC ∠=︒，
底面三角形的底面外接圆圆心为M ，半径为r ，由余弦定理得到3BC =3
21r r =⇒=，
见图示：
AD 是球的弦，3DA =，将底面的圆心M 平行于AD 竖直向上提起，提起到AD 的高度的一半，即为球心的位置O ，∴32
OM =，在直角三角形OMD 中，应用勾股定理得到OD ，OD 即为球的半径．
∴球的半径37142
OD =+=．该球的表面积为24π7πOD ⨯=；故选B ． 12．在三棱锥A BCD -中，6AB CD ==，5AC BD AD BC ====，则该三棱锥的外接球的表面积为（ ）
A ．4343π24
B ．4343π6
C ．43π2
D ．43π
【答案】D
【解析】分别取AB ，CD 的中点E ，F ，连接相应的线段CE ，ED ，EF ， 由条件，4AB CD ==，5BC AC AD BD ====，可知，ABC △与ADB △，都是等腰三角形，
AB ⊥平面ECD ，∴AB EF ⊥，同理CD EF ⊥，∴EF 是AB 与CD 的公垂线， 球心G 在EF 上，推导出AGB CGD △≌△，可以证明G 为EF 中点， 2594DE =-=，3DF =，1697EF =-=，
∴72
GF =，球半径743942DG =+=，∴外接球的表面积为24π43πS DG =⨯=． 故选D ．
二、填空题
13．棱长均为6的直三棱柱的外接球的表面积是_________．
【答案】84π
【解析】由正弦定理可知底面三角形的外接圆半径为1616232sin60232r =⨯=⨯=︒， 则外接球的半径()2232391221R =+=+=，
则外接球的表面积为24π4π2184πS R ==⨯=．
14．已知棱长都相等正四棱锥的侧面积为163，则该正四棱锥内切球的表面积为________． 【答案】()32163π-
【解析】设正四棱锥的棱长为a ，则2341634a ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，解得4a =．
于是该正四棱锥内切球的大圆是如图PMN △的内切圆，
其中4MN =，23PM PN ==22PE =．
设内切圆的半径为r ，由PFO PEN ≅△△，得FO PO EN PN =，即22223r r -=， 解得22
6231r ==+
∴内切球的表面积为(2
24π4π6232163πS r ===-． 15．已知三棱柱111ABC A B C -的侧棱垂直于底面，各顶点都在同一球面上，若该棱柱的体积32AB =，1AC =，60BAC ∠=︒，则此球的表面积等于______．
【答案】8π
【解析】∵三棱柱111ABC A B C -32AB =，1AC =，
60BAC ∠=︒，1121sin 6032AA ∴⨯⨯⨯︒⨯=，12AA ∴=， 2222cos60412BC AB AC AB AC =+-⋅︒=+-，3BC ∴=，
设ABC △外接圆的半径为R ，则2sin 60BC R ︒
＝，1R ∴=， ∴外接球的半径为112+=，∴球的表面积等于()24π28π⨯=．故答案为8π．
16．在三棱锥A BCD -中，AB AC =，DB DC =，4AB DB +=，AB BD ⊥，则三棱锥A BCD -外接球的体积的最小值为_____．
【答案】82π3
【解析】如图所示，三棱锥A BCD -的外接圆即为长方体的外接圆，外接圆的直径为长方体的体对角线AD ，
设AB AC x ==，那么4DB DC x ==-，AB BD ⊥，所以22AD AB DB =+积的最小值即为
AD 最小，()2
24AD x x =+-2x =时，AD 的最小值为222 故体积的最小值为
82π3．。