刚体动力学.ppt

J 2
1 0.083 632 J 2
1.7 102J
8
例2 计算质量为m，长为l 的细棒绕一端的转动惯量。
解： J r2dm
z
dm dx m dx
l
Oo
dm
r2 x2
x dx
x
J l x2 m dx 1 m x3 l
0l
3l 0
J 1 ml2 3
对质量均匀分布的门对门轴的转动惯量也相同。 9
mr2
65 6
mr2
16
三、力矩的功
力矩的功：当刚体在外力矩作用下绕定轴转
动而发生角位移时，就称力矩对刚体作功。
力F
对P 点作功：
O
d A F dr
Байду номын сангаас
F d s cosπ 2
F
d
r
dr
F d s sin
O′
P
d s r d
17
因 Fr sin M
故 d A M d
力矩作功：
O
3
回转半径
一个实际刚体的转动惯量，可用一个等效刚 体的转动惯量来表示。这个刚体可看成是所有
的质量集中在距转轴为 r的G 地方， rG 称为该刚体的回转半径（图5－11）。回
转半径可用来形象了解一个刚体的转动惯量。 根据转动惯量的定义，回转半径为：
rG J / m
式中 m m为i 刚体的总质量。
4
几 种 常 见 形 状 的 刚 体 的 转 动 惯 量
5
6
例 1：一根质量为m = 1.0 kg 、长为l = 1.0 m 的 均匀细棒, 绕通过棒的中心并与棒相垂直的转轴以
角速度 = 63 rads-1 旋转, 求转动动能。
解：先求细棒对转轴的 转动惯量J, 然后求转动动
y
dx
能Ek。
将棒的中点取为坐标原 l 2
J 1 ml 2 12
求对通过棒端并与棒垂直的轴的J。
解：两平行轴的距离
d
1 l
, 代入平行轴定理，
得
2
J J C md 2
1 ml 2 m( l )2 1 ml 2
12
23
13
例 6：求质量为m、半径为R 的均质薄圆盘对通 过盘心并处于盘面内的轴的转动惯量。
解：盘的质量分布均匀, 盘的质量面密度为
m
R2
y
R
dr
取半径为r、宽为 dr的圆环 如图所示，其质量为
·r
o
x
dm 2 rdr
圆盘对Oz轴(过O点垂直于纸面)的转动惯量为
14
J z
Rr2 dm
0
R 2πr 3 d r
0
2π R r 3 d r 1 mR 2
0
2
根据垂直轴定理
Jz Jx Jy
由于对称性, J x J y , 所以
式中JC 为刚体对通过质心的轴的转动惯量, m是刚 体的质量，d是两平行轴之间的距离 。
2. 垂直轴定理 若z 轴垂直于厚度为无限小的刚体薄板板面, xy 平 面与板面重合, 则此刚体薄板对三个坐标轴的转动惯 量有如下关系
Jz Jx Jy 12
例5：在上一例题中, 对于均匀细棒, 我们已求得 对通过棒心并与棒垂直的轴的转动惯量为
cos2
)d
1 mR2 2 10
例4 一质量为m，半径为R的均匀圆盘，求对通过盘 中心并与盘面垂直的轴的转动惯量。
解： dm 2π rdr
J r2dm 2π r3dr J 2π R r3dr
0
π R4 1 mR2
22
o r dr R
11
两个定理
Jz
R
1. 平行轴定理
m
J JC md 2
例5-3 如图半圆形匀质细杆，半径为 R,
质量为 m, OO过' 圆心和圆弧中点，试求细杆对轴
OO' 的转动惯量。
解 在细杆上选一质量微元：
dm m Rd R
质量微元到转轴的转动半径：
整个刚体的转动惯量：
r Rsin
J
r2dm
2 2
(R
sin
)2
m
R
Rd
2 2
R2
m
1 2
(1
§5-2 刚体动力学
一、刚体的转动动能 (Rotational kinetic energy )
设刚体绕固定轴Oz以角速度 转动,各体元的质量
分别为m1 , m2 , … , mn ,各体元到转轴Oz的距 离依次是r1 , r2 , … , rn。
n 个体元绕Oz轴作圆周运
x
动的动能的总和为：
Ek
从转动动能公式看到 , 刚体的转动惯量J与质点 的质量 m 相对应 。在质点运动中, 质点的质量是 质点惯性的量度 。在刚体转动中, 刚体的转动惯 量是刚体转动惯性的量度。
若刚体的质量连续分布 , 转动惯量中的求和号 用积分号代替
J r 2dm r 2 dV
与转动惯量有关的因素：
刚体的质量、 转轴的位置、 刚体的形状。
n i 1
1 2
Δmi
vi2
o ri vi
mi
1 2
n i1
Δmi ri 2
2
1
式中
n
mi
ri2
称为刚体对转轴的转动惯量
。
i 1
用J 表示：
n
J mi ri2
i 1
代入动能公式中, 得到刚体转动动能的一般表达式
Ek
1 2
J2
刚体转动动能与质点运动动能在表达形式上是
相似性的。
2
二、刚体的转动惯量 (Moment of inertia )
因为dsi = ri d, 并且cosi = sini , 所以
dAi Firi sini d Mzid
19
dAi Firi sini d Mzid
式中Mzi 是外力Fi 对转轴Oz的力矩。
在整个刚体转过d角的过程中，n个外力所作的
Jz
2J x
1 mR2 2
解得
Jx
1 mR 2 4
15
例7 计算钟摆的转动惯量。（已知：摆锤质量为m， 半径为r，摆杆质量也为m，长度为2r。）
解： 摆杆转动惯量：
O
J1
1 3
m2r 2
4 3
mr2
摆锤转动惯量：
r
J2
JC
md 2
1 2
mr2
m3r 2
19 2
mr2
J
J1
J2
4 3
mr2
19 2
点, 建立坐标系Oxy,取y 轴
ox
l x
2
为转轴, 如图所示。在距离转轴为x 处取棒元dx, 其
质量为
m
dm dx
l
7
根据式(5-4), 应有
J
l / 2 l / 2
x
2
m l
dx
1 3
m l
x3
l /2 l / 2
1 ml2 8.3 102 kg m2 12
棒的转动动能为
Ek
1 2
A
M
d
M
0
d
对于刚体定轴转动
情形，因质点间无相对 位移，任何一对内力作 O′
功为零。
F
d
r
dr
P
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力矩作的功
在刚体转动中, 如果力矩的作用使刚体发生了角位 移, 那么该力矩也作了功 。
假设作用于以z 轴为转轴的刚体上的多个外力分别 是 F1, F2 , , Fn 。
在刚dd体AA转ii 动中FF,i外id力rdi Fcrioi 所s作i的元F功i d为si cosi