光学参量振荡器

§3.3 光参量振荡器在在非线性二阶相互作用参量放大过程中，由于泵浦光与信号光在非线性介质中的相互作用，使信号光得以放大，同时空闲光也被产生和放大。

如果将非线性介质放在谐振中，并使这个谐振腔对信号光和闲频光共振，在参量放大的增益超过损耗时，信号光和闲频光同时产生振荡。

信号光和闲频光同时在谐振腔内共振的振荡器称双共振光参量振荡器(DRO)，仅对信号光或闲频光共振的光参量振荡器称单共振光参量振荡器(SRO)。

3.3.1 双共振OPO 产生的两个光场解相位匹配条件下0k ∆=，泵浦光场损耗很小条件下的耦合波方程为：*12()()dA z ig A z dz = (3.3.1-1) *21()()dA z igA z dz= (3.3.1-2) ()30g A κ= (3.3.1-3)在非线性介质的入射端处两个光电场为()100A ≠和()200A ≠。

简化成二阶其次微分方程：()22112()0d A z g A z dz-= (3.3.1-4) ()1A z 的通解为：()()()112cosh sinh A z D gz D gz =+ (3.3.1-5)由边界条件()()110,0z A z A ==，得()110D A = (3.3.1-6)由()()()*12*122()()0sinh cosh ()0dA z ig A z dzA g gz D g gz igA z z =+== ()*220D iA = (3.3.1-7)因此得：()()()()()*1120cosh 0sinh A z A gz iA gz =+ (3.3.1-8)同理可求得：()()()()()*2210cosh 0sinh A z A gz iA gz =+ (3.3.1-9)()2A z 的共轭形式为：()()()()()**2210cosh 0sinh A z A g z iA g z =- (3.3.1-10)3.3.2 光参量振荡器的自洽条件为清楚起见，将角频率为1ω信号光场和角频率为2ω的闲频光场在谐振腔内z 处用矩阵形式描述：()()()121*2ik z ik zA z e A z A z e-=(3.3.2-1)为简化公式推倒，我们将谐振腔处理成充满非线性介质，由在b 处的矩阵为 ()()()()1122cosh sinh sinh cosh ik L ik L b ik Lik Le gL ie gL A iegL e gL --=- (3.3.2-2)输出耦合镜M2对信号光和闲频光的复数反射率系数为1r 和2r ，矩阵为1*20c b r A A r =(3.3.2-3) 返程光束沿着z -方向信号光和闲频光没有增益1200ik L d c ik Le A A e -=(3.3.2-4)如果左侧高反镜M1的反射率与右侧输出耦合镜的反射率相等，则Reference planez=0M1图 1 信号光和闲频光在腔内往返传输图1*20e d r A A r =(3.3.2-5) e d c b a A A A A A ==e a A MA()()()()11122211**2200cosh sinh 000sinh cosh 0ik Lik L ik Lik L ik Lik L r r e gL ie gz e r r ie gz e gz e ---⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦M()()()()()()()()()()111222112211**222222112222**22cosh sinh 0sinh cosh 0cosh sinh sinh cosh ik L ik L ik Lik L ik L ik L ik L ik L ik L ik Le gL ie gz r re ie gz e gz r r e r e gL ir e gz i r e gz r e gz -----⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎡⎤⎢⎥=⎢⎥-⎣⎦M(3.3.2-6)由自洽条件要求=e a A A (3.3.2-7)或 =a a A MA (3.3.2-8)即 ()0=a M -I A ， (3.3.2-9)式中I 为单位矩阵。

上式有非零解的条件是： ()det 0=M -I (3.3.2-10)即()()()()()()12212222*12222*212cosh 1cosh 1sinh ik L ik L i k k Lr e gL r e gz r r egL ---⎡⎤⎡⎤--⎣⎦⎢⎥⎣⎦= (3.3.2-11)上式即是我们要求的光参量振荡器的振荡条件。

考虑到光波在镜面上反射时有相位变化，令()122112*22i i r R e r R e φφ-⎫=⎪⎬=⎪⎭ (3.3.2-12) 如果11R =、21R =，0g z =，即无增益条件下，得()()112222110i k L i k L e e φφ+-+⎡⎤⎡⎤--=⎣⎦⎣⎦(3.3.2-13) 11222222k L m k L n φπφπ+=+= (3.3.2-14)§3.4 光参量振荡器阈值、调谐、设计3.4.1 双共振OPO 阈值条件()()()()()()12212222*12222*212cosh 1cosh 1sinh ik L ik L i k k Lr e gL r e gL r r egL ---⎡⎤⎡⎤--⎣⎦⎢⎥⎣⎦= (3.4.1-1)上式整理后 ()()()21212cosh 1cosh 1sinh R gL R gL R R gL --=⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦ (3.4.1-2)并利用：22cosh sinh 1x x -=()1212()cosh 1R R gL R R +-= (3.4.1-3)当g L 很小，利用泰勒基数展开： ()()2cosh 12gL gL ≈+(3.4.1-4)()()[]()()2121221212121212()11221()211()()gL R R R R R R R R R R gL R R R R ⎡⎤++-=⎢⎥⎢⎥⎣⎦-++--==++ (3.4.1-5) 通常12,1R R ≈因此双谐振阈值增益关系为：()th DRO g L = (3.4.1-6)3.4.2 单共振OPO 阈值条件根据参量振荡器阈值条件，令20r =()1221cosh 1i k L r gL e = (3.4.2-1)这就是单共振光参量振荡器阈值条件。

将上式分解为相位条件1122k L m φπ+= (3.4.2-2)和振幅条件()1cosh 1R g L = (3.4.2-2)对于11R ≈的情况，阈值条件又可写成()th SRO g L =≈ (3.4.2-3) 双共振OPO 和单共振OPO 阈值比较：()()th DRO th SROg L g L == (3.4.2-4)下面估算一下双共振OPO 和单共振OPO 阈光强： (1) 双共振OPO 阈值光强()()()()()()()th DRO 32121233221230322212030123012312122002112281211eff th effeffth DRO g L d R R I c n n n c Ld d c n n n cn n n R R I L ωωωεωωωπκεελλκ==--===--=(3.4.2-5) (2) 单共振OPO 阈值光强()()1221th SRO R I Lκ-=(3.4.2-6)3.4.3 脉冲单共振OPO 阈值分析在慢变化幅度近似下，不考虑泵浦损耗，描述共线OPO 场的耦合波方程为：*i kz ss s s p i dE E i E E e dz ακ∆+= (3.4.3-1) *i kz ii i i p s dE E i E E e dz ακ∆+= (3.4.3-2) 式中s E 代表信号波的复振幅，i E 代表闲频波的复振幅，p E 代表泵浦波的复振幅，α为介质吸收系数（假设介质对信号波和闲频波吸收系数相同），p s i k k k k ∆=--,m effm m d m s i n cωκ== (3.4.3-3)eff d 为有效非线性系数，m n 为折射率，c 为光速。

在单共振条件下，信号谐振而闲频光不振荡，s i ααα==，0k ∆=()()()()222121cosh sinh 0,0s ss i p s z z s s d E dE k E E dz dzE z D z e D z e z D E ααακ--+==Γ+Γ==()()()()()()()()()()()()*12121212**12cosh sinh cosh sinh sinh s cosh cosh cosh sinh s cosh ss s p i z z s z z zz s p i s p i dE E ik E E dzE z D z e D z e e D z D z e D z D z e D z D z ik E E e D z D z ik E E z ααααααααα------+==Γ+Γ-Γ+Γ+⎡⎤⎣⎦⎡⎤ΓΓ+ΓΓ+Γ+Γ⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎡⎤=ΓΓ+ΓΓ=⎡⎤⎣⎦⎣⎦由边界条件0z =，()*00i E =，得20D = 因此()()()0cosh L s s E L E e L α-=Γ 其中p Γ==(3.4.3-4)单程信号光功率增益为()()()2222cosh 0s L s E L e L E α-=Γ (3.4.3-5)脉冲OPO 运行条件下，从建立到达到阈值的过程中，可以认为入射泵浦光强度的时间线形是高斯型，因此与时间相关的增益系数Γ为()2/0t eτ-Γ=Γ (3.4.3-6)式中τ为泵浦脉冲强度21/e 处的半宽度，0Γ峰值增益系数。

信号光在腔内往返放大，在此过程中泵浦光光强为常数，或等同于/p n L c τ对第m 次往返，(){}24210cosh exp /L m m m P P Re L t ατ--⎡⎤=Γ-⎣⎦(3.4.3-7)上式大括号内的因子是信号光的净增益，R 为输出耦合镜的反射率。

上面方程经过简单的数值重复运算，可计算出阈值。

一般是增加泵浦强度，直到达到一个定义的阈值。

这里定义为信号光能量达到100μJ ，此时信号光功率与噪声功率比为 ()n 0ln /33P P = (3.4.3-8) 模型简化过程如下：现在将矩形脉冲高度Γ与高斯型峰值i Γ相联系起来。

矩形脉冲增益幅度与脉冲宽度的乘积等于高斯型脉冲在τ时间段内的总增益。