上海教育版数学七上9.16分组分解法word教案

沪教版七年级上册教案设计9.16分组分解法

沪教版七年级上册教案设计9.16分组分解法9.16 分组分解法（1）教学目标：1.理解分组分解法的概念.2.掌握用“二二”分组分解法分解四项式.3. 在用分组分解法进行因式分解的过程中培养发散思维的能力.教学重点和难点：选择合理的分组方法对四项式进行正确的因式分解.教学过程：一、复习引入问：前几节课我们学习了分解因式，有哪些方法呢？（生：提取公因式法、公式法、十字相乘法）填空：(1)2(a+b)+3a(a+b)=( )(a+b)；(2)x(a–b)–y(a–b)= (a–b)( )；(3) –(x–y)2–(x–y)= –(x–y)( )．分解因式时一般先考虑提取公因式，公因式可以是单项式，也可以是多项式．思考：如何将多项式ax+ay+bx+by分解因式？显然，多项式ax+ay+bx+by中既没有公因式，也不好用公式法和十字相乘法，能不能转化为已学知识来进行分解因式呢？问1：观察这个多项式，它有什么特征？答1：它是四项式，前两项和后两项分别有公因式a、b．(第一项和第三项有公因式x，第二项和第四项有公因式y)．师：把这个多项式的前两项和后两项分成两组后，分别提出公因式a与b后，我们来看看：ax+ay+bx+by=(ax+ay)+(bx+by)=a(x+y)+ b(x+y)问2：你有什么发现？答2：还有公因式(x+y)，可以提取公因式．学生口述，教师板书．=(x+y)(a+b)问3：这是分解因式的结果吗？答3：是的．师：这种利用分组来分解因式的方法叫做分组分解法．板书课题：§9．16分组分解法（1）问4：还有其它的分组方法吗？答4：把这个多项式的第一项和第三项一组，第二项和第四项一组，分为两组，分别提出公因式x 与y．学生口述，教师板书．ax+ay+bx+by=(ax+bx)+(ay+by) =x(a+b)+y(a+b) =(a+b)(x+y)问5：这个结果和前面的分组分解的结果相同吗？师：这两种不同的分组方法都是正确的，关键是多项式分组后还能继续提取公因式来分解因式．我们把这种分组方式简单地称为“二二”分组．答5：相同．二、运用分组分解法分解因式例题1分解因式：(1)2ac–6ad+bc–3bd．问1：多项式有什么特征？如何分解？学生口述，教师板书．解：2ac–6ad+bc–3bd =(2ac–6ad)+(bc–3bd)=2a(c–3d)+b(c–3d)问2：有公因式吗？是什么？=(c–3d)(2a+ b)问3：这是分解因式的结果吗？答3：是的．问4：还有其它的分组方法吗？答4：有．学生口述，教师板书．解：2ac –6ad +bc –3bd =(2ac+bc ) + (–6ad –3bd )=c (2a+b )–3d (2a +b )=(2a +b )(c –3d )问5：还有其它的分组方法吗？答5：有．（预设学生答错）解：2ac –6ad +bc –3bd =(2ac –3bd )+(–6ad+bc )我们发现这种分组，不能继续分解，所以这种分组分解是错误的．问6：观察前两种正确的分组方法，每一组中系数之间有什么联系？答6：第一种分组中，每组两项的系数比都是1:(–3)；第二种分组中，每组两项的系数比都是2:1．例题2 分解因式：4a 2+2a –b 2+b ．问1：这个四项式如何分解？答1：前两项一组有公因式2a ，后两项一组有公因式b ．（预设学生答错，按字母特征分组）按照学生回答板书：4a 2+2a –b 2+b=2a (a +1)+b (–b +1)问2：有公因式吗？怎么办？答2：没有，重新分组．问3：如何分解？答3：4a 2–b 2是平方差，把它们分为一组，2a +b 分为一组．解：4a 2+2a –b 2+b =(4a 2–b 2)+(2a +b )问4：怎么办？答4：用平方差公式分解(4a 2–b 2)．=(2a +b )(2a –b )+(2a +b )问5：有什么发现？=(2a +b )(2a –b +1) 答5：有公因式(2a +b )，可以提取公因式进一步分解．问6：观察这种分组方法，每一组中字母指数之间有什么联系？答6：每组中两项的字母指数相同．小结：二二分组分解时应注意的问题：1、把四项式二二分为两组(按字母特征分组，或按系数特征分组，或按字母指数特征分组)；2、分组分解后产生新公因式；3、继续用提取公因式法来分解因式；4、分解到不能分解为止．练习(1) a 2－ab －2a +2b ； (2)84632--+x xy y x ； (3)22926a b a b -+-；(4)2242x x y y +--．三、能力提高例题3 分解因式：2x 3–2x 2y +8y –8x ．问1：这还是一个四项式，如何分解？答1：前两项有公因式2x 2，后两项有公因式8．把前两项一组，后两项一组，再分组分解．强调：分解因式时先观察，有公因式应先提取公因式．解：2x 3–2x 2y +8y –8x =2(x 3–x 2y +4y –4x )问2：如何分解？答2：括号内前两项有公因式x 2，后两项有公因式4．把前两项一组，后两项一组，再分组分解．=2[(x 3–x 2 y )+ (4y –4x )] =2 [x 2(x –y )–4(x –y )]问3：有公因式吗？是什么？答3：有，是(x –y )． =2(x –y )(x 2–4)问4：这是分解因式的结果吗？为什么？答4：不是，分解因式应分解到不能分解为止，(x 2–4)还可以分解． =2(x –y )(x +2)(x –2) 小结：分解因式时应注意的问题：1、分解因式的分解因式时先观察，有公因式应先提取公因式；2、分解因式应分解到不能分解为止．练习：分解因式：ab ab a a +-+223．四、课堂小结通过今天的学习你有什么收获和体会？预设学生：1、分组分解法；2、二二分组分解时注意的问题：(1)把四项式二二分为两组(按字母特征分组，或按系数特征分组，或按字母指数特征分组)；(2)分组分解后产生新公因式；(3)继续用提取公因式法来分解因式．3、分解因式时应注意的问题：(1)分解因式的分解因式时先观察，有公因式应先提取公因式；(2)分解因式应分解到不能分解为止．五、回家作业练习册9.16 第1、4题9．16分组分解法（2）教学目标：1.进一步理解分组分解法的概念．2.掌握用“一三”分组分解法分解四项式．3. 在用分组分解法进行因式分解的过程中感受整体的数学思想．教学重点和难点：根据多项式的特征对多项式进行合理的分组，并正确进行因式分解．教学过程：一、复习引入已知多项式x2+xy+xz+yz，你能对它因式分解吗？问1：用什么方法？问2：分组分解的关键是什么？答1：分组分解法．答2：因式分解后能产生新的公因式．二、运用分组分解法分解因式思考：如何将多项式a2+2ab+b2–1分解因式？问1：用“二二”分组能分解吗？问2：怎么办？答1：不能．答2：前三项是一个完全平方式，把它们分为一组．师：把这个多项式的前三项分在一组后，我们来看看：a2+2ab+b2–1=(a2+2ab+b2) –1=(a+b)2–1问3：你有什么发现？答3：把(a+b)看作一个整体，可以运用平方差公式分解因式．这样就转化为运用平方差公式分解．学生口述，教师板书．=(a+b+1) (a+b–1)问4：这是分解因式的结果吗？答4：是的．师：这种分组方法简单地称为“一三”分组．问5：还有其它的分组方法吗？答5：没有．二、运用分组分解法分解因式例题1分解因式：(1)x2–4x–y2+4；问1：多项式有什么特征？如何分解？答1：x2–4x+4是一个完全平方式，把这三项分为一组，–y2为一组，再分组分解．问2：这是分解因式的结果吗？答2：是的．(2)4m2–n2–2n–1．问1：多项式有什么特征？如何分解？答1：–n2–2n–1提取负号后是一个完全平方式，把这三项分为一组，4m2为一组，再分组分解=4m2–(n+1)2问2：怎么办？答2：4m2是(2m)2，用平方差公式分解．小结：三一分组分解的特点：1、三项式这组可用完全公式法分解；2、再用平方差公式法分解到不能分解为止．三、课堂练习分解因式：(1) x2–4xy+4y2–4；问：多项式有什么特征？如何分解？分析特征后，学生独自练习．(2) 1–a2+2ab–b2．问：多项式有什么特征？如何分解？问：分解因式时应注意什么问题？答：添负括号时注意括号里的每一项都要变号；去括号时应注意括号前的负号．四、能力提高例题2 分解因式：x2+2xy+y2–3x–3y–4；问1：多项式有什么特征？如何分解？解：x2+2xy+y2–3x–3y–4 =(x2+2xy+y2)+(–3x–3y)–4 =(x+y)2–3(x+y)–4问2：怎么办？=(x+y–4)(x+y+1)练习：分解因式：m2–5m+n2+5n–2mn．五、课堂小结通过今天的学习你有什么收获？预设学生：1、三一分组分解的特点：(1)三项式这组可用完全公式法分解；(2)再用平方差公式法分解到不能分解为止．2、分解因式时应注意符号的问题，添负括号时注意括号里的每一项都要变号；去括号时应注意括号前的负号．教师补充：整体的数学思想．六、回家作业练习册9.16 第2、3、5题。

上海教育版七年级上册9.16《分组分解法》课件2

9.16 因式分解：分组分解法
ax ay a
一、填空
(1) ax+ay=a( ) (2) a(x+y)+b(x+y)=(x+y)( ) (3)ax+ay+bx+by =( )( )
问题：（3）与（1）（2）有什么不同？
有相似之处吗？你的解题思路是什么？你又有什么新发现？下一步怎么做？
• 2 分组添括号时要注意符号的变化
• 3要将分解到底，不同分组的结果应该是一样的。
例题2：
因式分解：a2 - ab 2a 2b
提示：a 2 a a
练习：
因式分解： y 2 xy yz xz
例题3 ①
②
③④
分解因式：6k 2 9km 6mn 4kn
练习:
-----分组，加法结合律
a(3x 4 y) b(3x 4 y)
------第一次提公因式
(3x 4 y（) a b)-----第二次提公因式
m
分组分解法的特点: (1)分组后连续两次提公因式; (2)分组后用公式和提公因式思考4 ：(1)是否任意分组都行? (2)分组应达到什么目的?
这类题目有什么特点： 1四项 2分组分解(分组要合理）做法： 1分组
2每组分别提取公因式 3再提取公因式
概念
(①②)+(③④)
分组分解法：利用分组来分解因式的方法叫做分组
分解法因式分解。
-
①②③ ④
例题1 分解因式：2ac-6ad+bc-3bd
原式=（2ac-6ad）+（bc-3bd）
=2a(c-3d)+b(c-3d) =(c-3d)(2a+b)

《9.16分组分解法》作业设计方案-初中数学沪教版上海七年级第一学期

《分组分解法》作业设计方案（第一课时）一、作业目标本节课的作业设计旨在让学生熟练掌握分组分解法的基本原理和运用技巧，通过实际操作练习，增强学生运用所学知识解决实际问题的能力，培养学生的逻辑思维和数学运算能力。

二、作业内容本课时作业内容主要围绕分组分解法展开，包括以下几个部分：1. 理论学习：复习分组分解法的基本概念和原理，理解分组分解法在解决数学问题中的重要性。

2. 练习题：设计一系列分组分解法的练习题，包括选择题、填空题和解答题，难度由浅入深，逐步提高学生的解题能力。

3. 实际应用：设计实际问题的情境，让学生运用分组分解法解决实际问题，如求解复杂算式的值、分组组合等。

4. 思考题：设置一些开放性问题，引导学生进行思考和探索，培养学生的创新意识和解决问题的能力。

三、作业要求1. 学生需认真完成每一道题目，注重解题过程的规范性和准确性。

2. 对于练习题和实际应用题，学生需独立完成，不得抄袭他人答案。

3. 对于思考题，学生可与同学交流讨论，鼓励创新思考，但需注明自己的观点和理由。

4. 作业完成后，学生需对答案进行自我检查，确保答案的正确性。

四、作业评价1. 教师将根据学生的完成情况、解题过程的规范性和准确性、答案的正确性等方面进行评价。

2. 对于优秀的作业，教师将给予表扬和鼓励，激励学生继续努力。

3. 对于存在问题的作业，教师将给予指导和帮助，帮助学生找出问题所在，并加以改正。

五、作业反馈1. 教师将在课堂上对作业进行讲解和点评，针对学生的错误进行纠正，对优秀作业进行展示和表扬。

2. 对于学生在作业中遇到的问题和困难，教师将给予耐心解答和指导。

3. 教师将根据学生的作业情况，调整教学计划和教学方法，更好地满足学生的学习需求。

通过以上是《分组分解法》作业设计方案的第一课时内容。

通过本课时的作业设计，旨在让学生通过理论学习、练习题、实际应用和思考题四个部分，全面掌握分组分解法的基本原理和运用技巧，增强学生的数学应用能力和解决问题的能力。

《9.16分组分解法》作业设计方案-初中数学沪教版上海七年级第一学期

《分组分解法》作业设计方案（第一课时）一、作业目标1. 理解分组分解法的基本概念和原理，掌握其应用场景。

2. 学会使用分组分解法解决简单的数学问题。

3. 培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。

二、作业内容本课时的作业内容主要围绕分组分解法展开，旨在让学生熟练掌握其应用。

具体内容如下：1. 基础知识巩固：要求学生复习分组分解法的基本原理，理解分组的概念，掌握如何将多项式或数群进行有效分组。

2. 实例分析：选取典型的数学问题，如代数式求值、解方程等，通过分组分解法进行分析和解决。

要求学生在解题过程中注意步骤的条理性和准确性。

3. 拓展应用：设计一些稍微复杂的数学问题，如多项式的化简、数群的拆分等，鼓励学生尝试使用分组分解法进行解决。

4. 小组合作：组织学生进行小组讨论，分享各自的解题方法和思路，加深对分组分解法的理解和应用。

三、作业要求1. 学生需独立完成作业，并注意书写规范，步骤清晰。

2. 在解决问题时，应首先尝试使用所学知识进行独立分析，然后再查阅相关资料或寻求老师帮助。

3. 对于复杂的数学问题，可以与同学进行交流和讨论，但必须保留自己的解题思路和答案。

4. 按时提交作业，并在提交前进行自查和修正。

四、作业评价1. 教师将对学生的作业进行认真批改，给予评分和评语。

2. 对于出现错误的题目，教师将给出正确的解题方法和思路。

3. 对于表现出色的学生，教师将给予表扬和鼓励，激发其学习兴趣和积极性。

4. 评价结果将作为学生平时成绩的一部分，并纳入学期总评。

五、作业反馈1. 教师将根据学生的作业情况，进行针对性的讲解和辅导，帮助学生解决学习中的疑难问题。

2. 对于共性问题，将在课堂上进行集体讲解和讨论，加深学生对知识的理解和掌握。

3. 鼓励学生提出自己的问题和建议，以便教师及时调整教学策略和方法，提高教学效果。

4. 作业反馈将作为教学改进的重要依据，帮助教师更好地指导学生的学习。

通过以上是初中数学课程《分组分解法》作业设计方案（第一课时）的详细内容。

分组分解法数学教案

分组分解法数学教案
标题：初中数学——分组分解法
一、课程目标：
1. 学生能够理解并掌握分组分解法的概念和原理。

2. 学生能够运用分组分解法解决实际问题。

3. 培养学生的逻辑思维能力和分析问题的能力。

二、教学重点与难点：
1. 重点：理解和掌握分组分解法的步骤和方法。

2. 难点：灵活应用分组分解法解决复杂的多项式因式分解问题。

三、教学过程：
（一）导入新课
通过回顾以前学过的因式分解方法，引出新的因式分解方法——分组分解法。

（二）新课讲解
1. 分组分解法的概念：将多项式的项分成两组或三组，然后分别进行因式分解，最后再把它们组合在一起的方法。

2. 分组分解法的步骤：
- 分组：根据多项式的系数特点，将多项式的项合理地分为若干组。

- 因式分解：对每一组进行因式分解。

- 合并：将各组的因式分解结果合并在一起。

（三）例题解析
选择一些典型的例题，引导学生一步一步地进行分组分解，以加深他们对分组分解法的理解和掌握。

（四）课堂练习
设计一些相关的习题，让学生独立完成，然后集体评讲，检验他们的学习效果。

（五）归纳总结
带领学生一起回顾本节课的主要内容，强调分组分解法的关键步骤和注意事项。

（六）作业布置
布置一些课后习题，让学生在课后进一步巩固所学知识。

四、教学评价：
通过课堂观察、课堂练习和课后作业的反馈，评估学生对分组分解法的理解和掌握程度，以及他们的问题解决能力。

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(5) a4b+2a3b2-a2b-2ab2 (5) = ab(a+2b)(a+1)(a-1)
(6) 45am2-20ax2+20axy-5ay2
(6) =5a(3m+2x-y)(3m-2x+y)
(7) 2(a2-3mn)+a(4m-3n) (7) =(2a-3n)(a+2m)
(8) x2+x-(y2+y) (8) =(x-y)(x+y+1)
=[(a+b)-c][a-(b+c)]
课堂练习
把下列各式分解因式
(1) a2-ab+3b-3a (1) =(a-b)(a-3)
(2) x2-6xy+9y2-1 (2) =(x-3y+1)(x-3y-1)
(3) am-an-m2+n2 (3) = (m-n)(a-m-n)
(4) 2ab-a2-b2+c2 (4) =c+a-b)(c-a+b)
(a b c)(a b c)
如果把一个多项式分组后各组都能分解因式,且在各组分解后,各组之间又能继续分解因式,那么,这个多项式就可以用分组分解法分解因式.
例１把 a2-ab+ac-bc 分解因式
分析：把这个多项式的前两项与后两项分成两组，分别提出公因式a与c后，另一个因式正好都是a-b，这样就可以提出公因式a-b 。
【注意】
(1)把有公因式的各项归为一组，并使组之间产生新
的公因式，这是正确分组的关键，因此，设计分组方案是否有效要有预见性. (2)分组的方法不唯一，而合理地选择分组方案，会使分解过程简单. (3)分组时要用到添括号法则，注意在添加带有“－ ”号的括号时，括号内每项的符号都要改变. (4)实际上，分组只是为完成分解创造条件，并没有直接达到分解的目的．

第17讲-分组分解法因式分解(五大题型)(教师版)-七年级上册同步讲义(沪教版2024)

第17讲分组分解法因式分解（五大题型）学习目标1、会用分组分解法进行因式分解；2、尝试不同的分组方式进行因式分解3、掌握分组分解法的应用一、分组分解法对于一个多项式的整体，若不能直接运用提公因式法和公式法进行因式分解时，可考虑分步处理的方法，即把这个多项式分成几组，先对各组分别分解因式，然后再对整体作因式分解——分组分解法.即先对题目进行分组，然后再分解因式.【方法规律】分组分解法分解因式常用的思路有：方法分类分组方法特点分组分解法四项二项、二项①按字母分组②按系数分组③符合公式的两项分组三项、一项先完全平方公式后平方差公式五项三项、二项各组之间有公因式六项三项、三项二项、二项、二项各组之间有公因式三项、二项、一项可化为二次三项式二、添、拆项法把多项式的某一项拆开或填补上互为相反数的两项（或几项），使原式适合于提公因式法、公式法或分组分解法进行分解.要注意，必须在与原多项式相等的原则下进行变形.添、拆项法分解因式需要一定的技巧性，在仔细观察题目后可先尝试进行添、拆项，在反复尝试中熟练掌握技巧和方法.【即学即练1】因式分解：27321x y xy x -+-．【答案】(7)(3)x y x +-【分析】先将多项式进行分组，然后分别进行因式分解即可．【解析】解：27321x y xy x-+-2(7)(321)x xy y x =++-(7)3(7)x x y x y =+-+(7)(3)x y x =+-．【点睛】本题考查了分组分解法因式分解．正确将多项式进行分组是解题的关键．【即学即练2】分解因式：221x ax x ax a +++--．【答案】2(1)(1)a x x ++-【分析】先将原式进行分组，再提公因式分解因式即可.【解析】221x ax x ax a+++--22()()(1)x ax x ax a =+++-+2(1)(1)(1)x a x a a =+++-+2(1)(1)a x x =++-．【点睛】考查学生分组分解方法的运用以及提取公因式的能力．熟练掌握分解因式的方法是解题的关键.【即学即练3】分解因式：2222ac bd ad bc +--．【答案】()()()c d c d a b -+-【分析】进行分组，对各组进行提取公因式，再用公式法进行分解，最后检查分解是否彻底，即可求解．【解析】解：原式()()2222ac ad bd bc =-+-，2222()()a c d b d c =-+-，22()()c d a b =--，()()()c d c d a b =-+-．【点睛】本题考查了分组分解方法，以及平方差公式的运用，掌握方法是解题的关键．【即学即练4】分解因式：()()2221ab x x a b +++．【答案】()()ax b bx a ++【分析】先利用整式乘法法则展开计算，重新分组可得()()222abx a x ab b x +++，然后利用提公因式法可得()()ax bx a b a bx +++，再利用提公因式法可得()()ax b bx a =++．【解析】原式222abx ab a x b x=+++()()222abx a x ab b x =+++()()ax bx a b a bx =+++()()ax b bx a =++．【点睛】本题考查提公因式法及分组法因式分解，正确找出公因式是解题关键．【即学即练5】已知3a b -=，4b c -=-，则代数式()2a acb ac ---的值是．【答案】-3【分析】先根据3a b -=，4b c -=-，求出a-c=-1，再将多项式分解因式代入求值即可.【解析】∵3a b -=，4b c -=-，∴a-c=-1，∴()2a acb ac ---=()()a a c b a c ---=()()a c a b --=13-⨯=-3，故答案为：-3.【点睛】此题考查多项式的化简求值，掌握多项式的因式分解的方法：分组分解法和提公因式法是解题的关键.题型1：因式分解—分组分解法【典例1】．因式分解：221x x --=.【答案】()()121x x -+【分析】本题主要考查了因式分解，掌握运用分组法进行因式分解成为解题的关键.将221x x --分成()()221x x x -+-，然后各组分别因式分解，最后提取公因式即可.【解析】解：221x x --()()221x x x =-+-()()()111x x x x =-++-()()11x x x =-++()()121x x =-+故答案为：()()121x x -+【典例2】．分解因式：2221x x y -+-=．【答案】()()11x y x y -+--【分析】本题考查分组分解法分解因式．熟练掌握掌握分组分解法分解因式是解题的关键．先前三项分一组，用完全正确平方公式分解，再用平方差公式分解即可．【解析】解：原式()2221x x y=-+-()221x y =--()()11x y x y =-+--．故答案为：()()11x y x y -+--．【典例3】．因式分解：()2224x xy y ---=【答案】(2)(2)x y x y -+--【分析】本题主要考查运用分组分解法和公式法分解因式，原式先去括号，再运用公式法进行因式分解即可【解析】解：()2224x xy y---222+4x xy y =--()24x y =--(2)(2)x y x y =-+--故答案为：(2)(2)x y x y -+--【典例4】．因式分解：293m n n m -+-=．【答案】()()313mn n m +--【分析】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．【解析】解：293m n n m-+-()()293n m m =---()()()333n m m m =+---()()313n m m =+--⎡⎤⎣⎦()()313mn n m =+--，故答案为：()()313mn n m +--．【典例5】．因式分解：am an bm bn +--=．【答案】()()m n a b +-【分析】本题考查了因式分解，先运用分解分组法，得()()am an bm bn +-+，再进行提公因式，得()()a m n b m n +-+，即可作答．【解析】解：am an bm bn+--()()am an bm bn =+-+()()a m n b m n =+-+()()m n a b =+-故答案为：()()m n a b +-．【典例6】．因式分解：2222a b a b ---=【答案】()()2a b a b +--【分析】前两项利用平方差公式分解，将后两项组合，即可求解．【解析】解：()()()()()222222a b a b a b a b a b a b a b ---=+--+=+--故答案为：()()2a b a b +--【点睛】本题考查因式分解．掌握平方差公式，正确的分组分解是解题关键．【典例7】．分解因式：5322x x x +--．【答案】()()4321332x x x x x -++++【分析】本题主要考查了因式分解，掌握运用分组法成为解题的关键．先将5322x x x +--分组成()()5322x x x -+-，然后再运用提取公因式、公式法求解即可．【解析】解：5322x x x +--()()5322x x x =-+-()()342x x x =-1+-1()()()()()22111211x x x x x x x =-+++-++()()43221222x x x x x x x =-++++++()()4321332x x x x x =-++++．【典例8】．分解因式：22243x x y y ----．【答案】()()13x y x y ++--【分析】本题主要考查了分解因式，熟知乘法公式是解题的关键．将原式变形为222114434x x y y -+-----+，再利用完全平方公式和平方差公式即可求解．【解析】解：22243x x y y ----222114434x x y y =-+-----+()()2212x y =--+()()13x y x y =++--．【典例9】．分解因式：(1)322344a b a b ab -+(2)x xy y --+22444【答案】(1)()22ab a b -(2)()()2222x y x y -+--【分析】本题考查了因式分解，熟练掌握乘法公式是解题的关键．（1）先提公因式，然后再运用完全平方公式继续分解；（2）采用分组分解法分解即可．【解析】（1）解：322344a b a b ab -+()2244ab a ab b =-+()22ab a b =-；（2）x xy y --+2244422444x xy y =-+-()224x y =--()()x y x y =-+--2222；【典例10】．把多项式422434x x y y ++分解因式．【答案】()()222222x y xy x y xy +++-【分析】本题考查了分组分解法分解因式．把原式中的第二项的系数3变为41-，化简后三项结合构成完全平方式，剩下的一项写成平方形式，然后再利用平方差公式即可分解因式．【解析】解：422434x x y y ++42242244x x y y x y =++-()()22222x y xy =+-()()222222x y xy x y xy =+++-．【典例11】．因式分解：222332x xy y x y +-+++=．【答案】()()132x y x y -+++【分析】本题主要查了多项式的因式分解．先分组，再利用十字相乘法进行因式分解，即可求解．【解析】解：222332x xy y x y +-+++()()()223132x y x y y =++--+()()132x y x y =-+++故答案为：()()132x y x y -+++【典例12】．因式分解：322383649a ab ab b-+-【答案】()22443239a ba ab b --+【分析】分组后利用立方差公式分解，再提取公因式即可.【解析】322383649a a b ab b -+-()()3312782329a b ab a b =---()()()221329642329a b aab b ab a b=-++--()222432239a b a ab b ab =-++-()22443239a ba ab b =--+【点睛】本题考查是因式分解，掌握立方差公式及会分组是关键.【典例13】．分解因式：(1)22()()()x x y y y x --+-．(2)()222422m aa b ab +---．(3)22414xy x y +--．【答案】(1)()2()x y x y -+(2)()()()222m b m b m a b +-++(3)()()1212x y x y +--+【分析】本题考查提公因式法及公式法因式分解；（1）提公因式后利用平方差公式因式分解即可；（2）配方后利用平方差公式因式分解即可；（3）配方后利用平方差公式因式分解即可．【解析】（1）原式()()22x x y y x y -=--()()22x y x y =--()2()x y x y =-+．（2）原式()()222422m a a b ab =+-++()()2222m a a b =+-+()()2222m a a b m a a b =++++--()()22222m a b m b =++-()()()222m b m b m a b =+-++．（3）原式()22144x xy y=--+21(2)x y =--()()1212x y x y =+--+．【典例14】．分解因式：(1)234--x x (2)2268mx mxy my -+(3)2244x y x --+(4)222444x xy y x y -+-++．【答案】(1)()()41x x -+(2)()()24m x y x y --(3)()()22x y x y -+--(4)()22x y --【分析】本题主要考查了分解因式，熟知分解因式的方法是解题的关键．（1）利用十字相乘法分解因式即可；（2）先提取公因式m ，再利用十字相乘法分解因式即可；（3）先分组()2244x x y -+-，再利用完全平方公式和平方差公式分解因式即可；（4）先分组()()222444x xy y x y -+--+，进而得到()()244x y x y ---+，再利用完全平方公式分解因式即可．【解析】（1）解：234--x x ()()41x x =-+；（2）解：2268mx mxy my -+()()24m x y x y =--；（3）解：2244x y x --+()2244x x y =+--()222x y =--()()22x y x y =-+--；（4）解：222444x xy y x y -+-++()()222444x xy y x y -+--+=()()244x y x y =---+()22x y =--【典例15】．因式分解(1)3223363x y x y xy -+-；(2)22(2)4a b a --；(3)222(2)11(2)24x x x x +-++；(4)22442a ab b ac bc ++--．【答案】(1)23()xy x y --(2)(32)(2)a b a b --+(3)(1)(3)(2)(4)x x x x -+-+(4)(2)(2)a b a b c ++-【分析】本题考查了提公因式法与公式法分解因式，要求灵活使用各种方法对多项式进行因式分解，一般来说，如果可以先提取公因式的要先提取公因式，再考虑运用公式法分解．（1）此多项式有公因式，应先提取公因式，再对余下的多项式进行观察，有3项，可采用完全平方公式继续分解；（2）根据平方差公式计算即可求解；（3）根据十字相乘法分解因式即可求解；（4）分组法和提取公因式法分解因式即可求解．【解析】（1）3223363x y x y xy -+-223(2)xy x xy y =--+23()xy x y =--；（2）22(2)4a b a --(22)(22)a b a a b a =-+--(32)(2)a b a b =---(32)(2)a b a b =--+；（3）222(2)11(2)24x x x x +-++22(23)(28)x x x x =+-+-(1)(3)(2)(4)x x x x =-+-+；（4）22442a ab b ac bc++--2(2)(2)a b c a b =+-+(2)(2)a b a b c =++-．【典例16】．因式分解(1)()()525m m m -+-(2)42281x x y -(3)2242x x y y ---(4)2212x y xy+--(5)222655m mn n m n -++-+【答案】(1)()()52m m ---(2)()()299xx y x y +-(3)()()221x y x y +--(4)()()11x y x y -+--(5)()()23m n m n ----【分析】（1）提取公因式法因式分解．（2）先提取公因式，再用平方差公式因式分解．（3）先用平方差公式再提取公因式因式分解．（4）先用完全平方公式，再用平方差公式因式分解．（5）先用完全平方公式，再用十字相乘因式分解．【解析】（1）()()525m m m -+-()()525m m m =--+-()()52m m =---（2）42281x x y -()22281x x y =-()()299x x y x y =+-（3）2242x x y y---2242x y x y=---()()()222x y x y x y =+--+()()221x y x y =+--（4）2212x y xy+--2221x y xy =+--()21x y =--()()11x y x y =-+--（5）222655m mn n m n-++-+()()256m n m n =---+()()23m n m n =----【点睛】此题考查了因式分解，解题的关键是熟悉提取公因式法、公式法分解因式．题型3：利用分组分解法求值【典例17】．已知a+b ＝3，ab ＝-1，则3a+ab+3b ＝，a 2+b 2=【答案】811【分析】直接利用分组分解法将原式变形，再结合完全平方公式将原式变形，进而将已知代入求出答案．【解析】解：∵a+b=3，ab=-1，∴3a+ab+3b=3（a+b ）+ab =3×3-1=8；a 2+b 2=（a+b ）2-2ab=9+2=11．故答案为：8；11．【点睛】此题主要考查了完全平方公式以及分组分解法分解因式，正确将原式变形是解题关键．【典例18】．若x 2+4x +8y +y 2+20＝0，则x ﹣y ＝．【答案】2．【分析】把原式配方，然后，根据完全平方公式和非负数的性质，解答出即可．【解析】由x 2+4x+8y+y 2+20＝0得（x+2）2+（y+4）2＝0，∴x+2＝0，y+4＝0，解得x ＝﹣2，y ＝﹣4，∴x ﹣y ＝2.故答案为：2．【点睛】本题考查了分解因式和非负数的性质，正确分组是解答的关键．【典例19】．已知3a b -=，4b c -=-，则代数式()2a acb ac ---的值是．【答案】-3【分析】先根据3a b -=，4b c -=-，求出a-c=-1，再将多项式分解因式代入求值即可.【解析】∵3a b -=，4b c -=-，∴a-c=-1，∴()2a acb ac ---=()()a a c b a c ---=()()a c a b --=13-⨯=-3，故答案为：-3.【点睛】此题考查多项式的化简求值，掌握多项式的因式分解的方法：分组分解法和提公因式法是解题的关键.【典例20】．已知3a b +=，1ab =，则多项式22a b ab a b +--的值为（）A ．1-B ．0C ．3D ．6【答案】B【分析】本题考查了因式分解的应用，代数式求值，先利用分组分解法对多项式进行因式分解，再把已知条件代入计算即可求值，掌握因式分解的应用是解题的关键．【解析】解：22a b ab a b +--()()ab a b a b =+-+，()()1a b ab =+-，()311=⨯-，0=，故选：B ．【典例21】．已知112a m =+，122b m =+，132c m =+，则222222a ab b ac c bc ++-+-的值为．【答案】214m【分析】根据完全平方公式将原式进行因式分解，然后再将112a m =+，122b m =+，132c m =+，代入计算即可.【解析】由题意得：()()()2222222222a ab b ac c bc a b c a b c a b c ++-+-=+-++=+-，∵112a m =+，122b m =+，132c m =+，∴原式()22211111232224a b c m m m m ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-=+++-+= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦．故答案为：214m .【点睛】本题主要考查了因式分解的运用，熟练掌握相关方法是解题关键.【典例22】．51x +的分解因式结果中，含有的因式是()A ．21x -B ．1x -C ．1x +D ．4321x x x x ++++【答案】C【分析】本题考查因式分解，利用添项和分组分配法分解因式即可得解，掌握分组分配法是解题的关键．【解析】解：∵5543243211+=+-+++---+x x x x x x x x x x ()43243211=-+-++-+-+x x x x x x x x x 432()(11)=+-+-+x x x x x ，∴51x +的分解因式结果中，含有因式1x +，故选：C ．【典例23】．多项式x 2﹣4xy ﹣2y +x +4y 2分解因式后有一个因式是x ﹣2y ，另一个因式是（）A ．x +2y +1B ．x +2y ﹣1C ．x ﹣2y +1D ．x ﹣2y ﹣1【答案】C【分析】首先将原式重新分组，进而利用完全平方公式以及提取公因式法分解因式得出答案．【解析】解：x 2﹣4xy ﹣2y +x +4y 2＝（x 2﹣4xy +4y 2）+（x ﹣2y ）＝（x ﹣2y ）2+（x ﹣2y ）＝（x ﹣2y ）（x ﹣2y +1）．故选：C ．【点睛】此题考查多项式的因式分解，项数多需用分组分解法，在分组后得到两项中含有公因式（x-2y ），将其当成整体提出，进而得到答案.【典例24】．三角形三边分别为A 、B 、C ，且2()a bc a b c -=-，则这个三角形(按边分类)一定是三角形．【答案】等腰【分析】根据已知等式变形，因式分解为()()0a b a c -+=，可得0a b -=，即可求解．【解析】解：∵2()a bc a b c -=-，∴2a bc ab ac -=-，即20a bc ab ac --+=，∴()()0a a b c a b -+-=，∴()()0a b a c -+=，∵0a c +>，∴0a b -=，即a b =，∴这个三角形(按边分类)一定是等腰三角形，故答案为：等腰．【点睛】本题考查了因式分解的应用，等腰三角形的定义，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．题型5：材料题【典例25】．【阅读理解】()()()()()()mx nx my ny mx nx my ny x m n y m n m n x y +++=+++=+++=++()()()()()()mx nx my ny mx my nx ny m x y n x y m n x y +++=+++=+++=++以上分解因式的方法称为分组分解法，分组的方式可以任意两项组合成一组，也可以是其中若干项分成一组．【问题解决】(1)分解因式：2244x y x --+；(2)ABC V 的三边a ，b ，c 满足22220--+=a bc c ab ，判断ABC V 的形状．【答案】(1)()()22x y x y -+--(2)ABC V 是等腰三角形【分析】本题考查因式分解及因式分解的应用，（1）根据上述的分组分解法将原式进行因式分解即可；（2）先将原式进行因式分解，得：()()20a c a c b -++=，根据题意可知20a c b ++≠，0a c -=，即a c =，即可得出结果；解题的关键是掌握因式分解的基本思路：一个多项式如有公因式首先提取公因式，然后再用公式法进行因式分解；如果剩余的是两项，考虑使用平方差公式，如果剩余的是三项，考虑使用完全平方公式，如果剩余的是四项或四项以上，考虑分组；因式分解要彻底，要分解到不能分解为止．【解析】（1）解：2244x y x --+()2244x x y =+--()222x y =--()()22x y x y =-+--；（2）∵22220--+=a bc c ab ，∴()()22220a c ab bc -+-=，∴()()()20+-+-=c a c b a c a ，∴()()20a c a c b -++=，∵a ，b ，c 是ABC V 的三边，∴20a c b ++≠，∴0a c -=，即a c =，∴ABC V 是等腰三角形．【典例26】．观察下面的分解因式过程，说说你发现了什么.例：把多项式am ＋an ＋bm ＋bn 分解因式.解法1：am ＋an ＋bm ＋bn ＝（am ＋an ）＋（bm ＋bn ）＝a （m ＋n ）＋b （m ＋n ）＝（m ＋n ）（a ＋b ）.解法2：am ＋an ＋bm ＋bn ＝（am ＋bm ）＋（an ＋bn ）＝m （a ＋b ）＋n （a ＋b ）＝（a ＋b ）（m ＋n ）.根据你的发现，把下面的多项式分解因式:(1)mx －my ＋nx －ny ；(2)2a ＋4b －3ma －6mb.【答案】（1）（x －y ）（m ＋n ）；（2）（a ＋2b ）（2-3m ）【分析】(1)分组后提取公因式即可得到结果；(2)分组后提取公因式即可得到结果．【解析】解：(1)解法一：原式=m(x-y)+n(x-y)=(x-y)(m+n)解法二：原式=(mx+nx)-(my+ny)=x(m+n)-y(m+n)=(m+n)(x-y)(2)解法一：原式=2(a+2b)-3m(a+2b)=(a+2b)(2-3m)解法二：原式=(2a-3ma)+(4b-6mb)=a(2-3m)+2b(2-3m)=(2-3m)(a+2b)【点睛】此题考查了因式分解-分组分解法，难点是采用两两分组还是三一分组．【典例27】．先阅读下面的内容，再解决问题：对于形如222x xa a ++这样的二次三项式，可以用公式法将它分解成()2x a +的形式．但对于二次三项式2223x xa a +-，就不能直接运用公式了．此时，我们可以在二次三项式x 2＋223xa a -中先加上一项2a ，使它与22x xa +的和成为一个完全平方式，再减去2a ，于是有：2223x xa a +-()222223x xa a a a +-=+-()224x a a =+-()()222x a a =+-()()3x a x a =+-像这样，先添一适当项，使式中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变的方法称为“配方法”．利用“配方法”，解决下列问题：(1)分解因式：2815a a -+；(2)若22148650a b a b +--+=，并且ABC V 的三边长是a ，b ，c ，且c 为奇数，求ABC V 的周长．【答案】(1)()()35--a a (2)16或18或20【分析】（1）根据题干中提供的方法进行解答即可；（2）根据22148650a b a b +--+=，得出()()22740a b -+-=，求出7a =，4b =，根据三角形三边关系得出311c <<，根据c 为奇数，求出5c =，7，9，然后分别求出结果即可．【解析】（1）解：2815a a -+28161615a a +--+=()241a =--()()4141a a =-+--()()35a a =--；（2）解：∵22148650a b a b +--+=，∴2214498160a a b b ++--+=，∴()()22740a b -+-=，∴70-=a ，40b -=，解得：7a =，4b =，∵a ，b ，c 是ABC V 的三边长，∴311c <<，∵c 为奇数，∴5c =，7，9，当7a =，4b =，5c =时，ABC V 的周长是：74516++=，当7a =，4b =，7c =时，ABC V 的周长是：74718++=，当7a =，4b =，9c =时，ABC V 的周长是：74920++=．∴ABC V 的周长为16或18或20．【点睛】本题主要考查了分解因式的应用，三角形三边关系的应用，解题的关键是熟练掌握配方法分解因式．一、单选题1．因式分解3223a a b ab b +--的值为（）A ．()()2a b b a -+B ．()()2a b a b +-C ．()2ab a b +D ．()2ab a b -【答案】B【分析】利用分组分解法分解因式即可．【解析】解：原式()()3223a ab ab b =+-+()()22a a b b a b =+-+()()22a b a b =-+()()()a b a b a b =-++()()2a b a b =-+；故选B ．【点睛】本题考查因式分解．解题的关键是掌握分组分解法分解因式．2．用分组分解2222a b c bc --+的因式，分组正确的是（）A ．()()222a b b bc ---B ．()2222a b c ab--+C ．()()2222a b c bc ---D ．()2222a b c bc -+-【答案】D【分析】把二、三、四项作为一组，第一项作为一组，然后根据完全平方公式和平方差公式分解即可．【解析】解：2222a b c bc --+()2222a b c bc =-+-()22a b c =--()()a b c a b c =+--+．故选：D ．【点睛】本题考查了分组分解法分解因式，正确分组是解答本题的关键．3．下列分解因式错误的是（）A ．21555(31)a a a a +=+B ．()2222()()x y x y x y x y --=--=-+-C ．()(1)()k x y x y k x y +++=++D ．2()()a ab ac bc a b a c -+-=-+【答案】B【分析】利用因式分解的方法判断即可．【解析】解：A.()2155531a a a a +=+，正确；B.()2222x y x y --=-+，错误，所以此选项符合题意；C.()()()1k x y x y k x y +++=++，正确；D.()()2()()a bc ab ac a a b c a b a b a c --+=-+-=-+，正确故选B.【点睛】此题考查了因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．4．已知3a b +=，1ab =，则多项式22a b ab a b +--的值为（）A ．1-B ．0C ．3D ．6【答案】B【分析】本题考查了因式分解的应用，代数式求值，先利用分组分解法对多项式进行因式分解，再把已知条件代入计算即可求值，掌握因式分解的应用是解题的关键．【解析】解：22a b ab a b+--()()ab a b a b =+-+，()()1a b ab =+-，()311=⨯-，0=，故选：B ．5．已知a ，b ，c 是正整数，a ＞b ，且a 2﹣ab ﹣ac +bc ＝11，则a ﹣c 等于（）A ．±1B ．1或11C ．±11D ．±1或±11【答案】B【分析】根据因式分解的分组分解法即可求解．【解析】解：a 2-ab -ac +bc =11，（a 2-ab ）-（ac -bc ）=11，a （a-b ）-c （a-b ）=11，（a-b ）（a-c ）=11，∵a ＞b ，∴a-b ＞0，a ，b ，c 是正整数，∴a-b=1或11，a-c=11或1．故选：B ．【点睛】本题考查了因式分解的应用，解决本题的关键是掌握分组分解法分解因式．6．已知实数m ，n ，p ，q 满足4m n p q +=+=，4mp nq +=，则()()2222m n pq mn p q +++=（）A ．48B ．36C ．96D ．无法计算【答案】A【分析】先利用单项式乘以多项式法则将要求值的多项式进行整理，将题目所给的有确定值的式子进行变形，得出所需要的式子的值，运用整体代入法既可求解．【解析】解：4m n p q +=+= ，()()4416m n p q ∴++=⨯=，()()m n p q mp mq np nq ++=+++ ，16mp mq np nq ∴+++=，4mp nq += ，12mq np ∴+=，()()2222m n pq mn p q ∴+++，2222m pq n pq mnp mnq =+++，mp mq np nq mp np nq mq =⋅+⋅+⋅+⋅，mp mq mp np np nq nq mq =⋅+⋅+⋅+⋅，()()mp mq np nq np mq =+++，()()mp nq np mq =++，412=⨯，48=，故选：A ．【点睛】本题考查单项式乘以多项式、多项式乘以多项式的综合运用，解题的关键是对条件所给的式子变形要有方向性和目的性，同时要掌握分组分解法对式子进行因式分解．二、填空题7．因式分解：m 2-n 2-2m +1=．【答案】（m -1+n ）（m -1-n ）【分析】先分组，得到m 2-2m +1-n 2，后进行完全平方公式分解与平方差公式分解即可．【解析】原式=m 2-2m +1-n 2=（m -1）2-n 2=（m -1+n ）（m -1-n ）．故答案为（m -1+n ）（m-1-n ）．【点睛】本题考查了分组分解法、完全平方公式、平方差公式，将原式分组得到可以运用公式解决是关键．8．分解因式：2242x y x y -+-=．【答案】()()221x y x y -++【分析】先根据平方差公式，然后再提公因式分解因式即可．【解析】解：2242x y x y-+-()()2242x y x y +--=()()()222x y x y x y =+-+-()()221x y x y =-++．故答案为：()()221x y x y -++．【点睛】本题主要考查了因式分解，解题的关键是熟练掌握平方差公式，()()22a b a b a b -=+-．9．分解因式：2233x y x y ---＝．【答案】()(3)x y x y +--【分析】按照分组分解法进行分解因式即可．【解析】解：2233x y x y---22())(33x y x y --+=()()3()x y x y x y =+--+()(3)x y x y =+--．故答案为：()(3)x y x y +--．【点睛】本题考查了分组分解法分解因式，分组分解法是把各项适当分组，先根据各式的特点进行分组，再使分解因式在各组之间进行．；分组时用到添括号，添括号时要注意各项符号的变化；熟练掌握分解因式的方法是关键．10．分解因式：x 2﹣y 2+ax +ay ＝．【答案】（x +y ）（x ﹣y +a ）【分析】前两项一组，利用平方差公式分解因式，后两项一组，提取公因式a ，然后两组之间再提取公因式（x +y ）整理即可．【解析】解：x 2﹣y 2+ax +ay ，＝（x +y ）（x ﹣y ）+a （x +y ），＝（x +y ）（x ﹣y +a ）．【点睛】本题主要考查了多项式的因式分解，熟练掌握多项式的因式分解的方法，并根据多项式的特征灵活选用合适的方法是解题的关键．11．分解因式；．x 3﹣3x 2﹣6x +8=．【答案】（x ﹣4）（x ﹣1）（x +2）【分析】式子中加上2x 减去2x ，利用分组分解法及十字相乘法分解因式．【解析】解：x 3﹣3x 2﹣6x +8=3232268x x x x x -+--+=()()323288x x x x -+--=()()()1281x x x x ----=()()128x x x ---⎡⎤⎣⎦=()()2128x x x ---=（x ﹣4）（x ﹣1）（x +2），故答案为：（x ﹣4）（x ﹣1）（x +2）．【点睛】此题考查了十字相乘法及分组分解法分解因式，正确添加项及因式分解的方法是解题的关键．12．因式分解：22421x y y ---=．【答案】(21)(21)x y x y ++--【分析】先分组，然后根据公式法因式分解．【解析】22421x y y ---224(21)x y y =-++22(2)(1)x y =-+(21)(21)x y x y =++--．故答案为：(21)(21)x y x y ++--．【点睛】本题考查了分组分解法，公式法分解因式，掌握因式分解的方法是解题的关键．13．分解因式：2242x y x y -+-=．【答案】（2x-y ）(2x+y+1)【分析】此题是4项式，没有公因式，所以考虑利用分组分解法，前两项符合平方差公式，所以前两项一组，利用平方差分解因式，然后再利用提公因式法继续分解因式．【解析】2242(2)(2)(2)(2)(21)x y x y x y x y x y x y x y -+-=+-+-=-++故答案为:(2x −y )(2x +y +1).【点睛】考查因式分解-分组分解法，公式法，熟练掌握因式分解的几种方法是解题的关键.14．因式分解226136x xy y x y +-++-=【答案】（x+3y-2）（x-2y+3）【分析】先将第三、第五、第六项结合，用十字相乘法对6y 2-13y+6进行分解，把二、四项结合用提公因式法分解，再将x 2+（y+1）x-（3y-2）（2y-3），整体用十字相乘进行分解，得出即可．【解析】解：x 2+xy-6y 2+x+13y-6=x 2+（y+1）x-（6y 2-13y+6）=x 2+（y+1）x-（3y-2）（2y-3）=（x-2y+3）（x+3y-2）．故答案为（x+3y-2）（x-2y+3）．【点睛】此题主要考查了分组分解法分解因式，以及提公因式法和十字相乘法，正确分组以及熟练利用十字相乘法分解因式是解题关键．15．若220x x +-=，则3222020x x x +-+=．【答案】2022【分析】根据220x x +-=，得22x x +=，然后局部运用因式分解的方法达到降次的目的，整体代入求解即可．【解析】∵220x x +-=∴22x x +=∴3222020x x x +-+3222020x x x x =++-+()222020x x x x x =++-+222020x x x =+-+22020x x =++22020=+2022=故填“2022”．【点睛】本题主要考查了因式分解，善于运用因式分解的方法达到降次的目的，渗透整体代入的思想是解决本题的关键．16．多项式222a b a -+添加一个单项式后能用分组分解法进行因式分解．如果将2a 和2a +分成一组，2b -和此单项式分成一组，那么这个单项式为．【答案】2214a b 【分析】本题考查的是因式分解，掌握分组分解因式的方法是解本题的关键，先分解22a a +得到分组后的公因式是2a +，从而可得答案．【解析】解：∵()222a a a a +=+，∴2b -必须与2214a b 一组，∴2222124a b a a b -++2222124a a ab b =++-()()221244a ab a =++-()()()212224a ab a a =+++-()()21224a a b a ⎡⎤=+--⎢⎥⎣⎦()2211242a a ab b ⎛⎫=+-+ ⎪⎝⎭，故答案为：2214a b 17．甲、乙两农户各有两块地，如图所示，今年，这两个农户决定共同投资搞饲养业.为此，他们准备将这4块土地换成一块地，那块地的长为（a b +）米，为了使所换土地的面积与原来4块地的总面积相等，交换之后的土地的宽应该是米.【答案】a c+【分析】利用4块土地换成一块土地后的面积与原来4块土地的面积相等，而原来的4块土地的总面积2a bc ac ab =+++，则换成一块土地后面积也为(2a bc ac ab +++)平方米，又因为此地的长为（a b +）米，根据矩形面积的公式得到此地的宽为2()()a bc ac ab a b +++÷+，再把整理变形后再进行除法运算即可得到结论．【解析】解：∵原来4块地的总面积2a bc ac ab =+++，∴将这4块地换成一块地后面积为(2a bc ac ab +++)平方米，而此地的长为（a b +）米，∴此地的长2()()a bc ac ab a b =+++÷+2()()a ac bc ab a b =+++÷+[]()()()a a cb ac a b =+++÷+()()()a b a c a b =++÷+a c =+，故答案为：a c +．【点睛】本题主要考查了整式的混合运算：多项式除以多项式时，可以把被除式分解后再进行除法运算．18．已知：a ＝﹣226x +2017，b ＝﹣226x +2018，c ＝﹣226x +2019，则代数式a 2+b 2+c 2﹣ab ﹣bc ﹣ca 的值是．【答案】3【分析】根据a =-226x +2017，b =-226x +2018，c =-226x +2019，可以求得a -b 、b -c 、a -c 的值，然后将所求式子变形再因式分解即可解答本题．【解析】解：2262017a x =-+ ，2262018b x =-+，2262019c x =-+，1a b ∴-=-，1b c -=-，2a c -=-，222a b c ab bc ca∴++---2221(222222)2a b c ab bc ca =⨯++---2221[()()()]2a b b c a c =⨯-+-+-2221[(1)(1)(2)]2=⨯-+-+-1(114)2=⨯++162=⨯3=故答案为：3．【点睛】本题考查因式分解的应用，解答本题的关键是明确题意，巧妙变形，利用完全平方公式因式分解，求出所求式子的值．三、解答题19．分解因式：(1)22()()()x x y y y x --+-．(2)()222422m a a b ab +---．(3)22414xy x y +--．【答案】(1)()2()x y x y -+(2)()()()222m b m b m a b +-++(3)()()1212x y x y +--+【分析】本题考查提公因式法及公式法因式分解；（1）提公因式后利用平方差公式因式分解即可；（2）配方后利用平方差公式因式分解即可；（3）配方后利用平方差公式因式分解即可．【解析】（1）原式()()22xx y y x y -=--()()22x y x y =--()2()x y x y =-+．（2）原式()()222422m a a b ab =+-++()()2222m a a b =+-+()()2222m a a b m a a b =++++--()()22222m a b m b =++-()()()222m b m b m a b =+-++．（3）原式()22144x xy y =--+21(2)x y =--()()1212x y x y =+--+．20．分解因式：(1)234--x x (2)2268mx mxy my -+(3)2244x y x --+(4)222444x xy y x y -+-++．【答案】(1)()()41x x -+(2)()()24m x y x y --(3)()()22x y x y -+--(4)()22x y --【分析】本题主要考查了分解因式，熟知分解因式的方法是解题的关键．（1）利用十字相乘法分解因式即可；（2）先提取公因式m ，再利用十字相乘法分解因式即可；（3）先分组()2244x x y -+-，再利用完全平方公式和平方差公式分解因式即可；（4）先分组()()222444x xy y x y -+--+，进而得到()()244x y x y ---+，再利用完全平方公式分解因式即可．【解析】（1）解：234--x x ()()41x x =-+；（2）解：2268mx mxy my -+()2268m x xy y =-+（3）解：2244x y x --+()2244x x y =+--()222x y =--()()22x y x y =-+--；（4）解：222444x xy y x y -+-++()()222444x xy y x y -+--+=()()244x y x y =---+()22x y =--21．因式分解：(1)33221a b ab a b -+++；(2)222944a b bc c -+-．【答案】(1)()()2211a ab b ab -+++(2)()()3232a b c a b c +--+【分析】（1）先根据提公因式法以及平方差公式可得()()221ab a b a b a b +-+++，从而得到()()22221a ab ab b a b -++++，再根据十字相乘法进行因式分解，即可求解；（2）先分组，再利用完全平方公式以及平方差公式进行因式分解，即可求解．【解析】（1）解：33221a b ab a b -+++()22221ab a b a b =-+++()()221ab a b a b a b =+-+++()()22221a ab ab b a b =-++++()()2211a ab b ab =-+++（2）解：222944a b bc c -+-()222944a b bc c =--+()()2232a b c =--()()3232a b c a b c =+--+【点睛】本题主要考查了多项式的因式分解，熟练掌握多项式的因式分解方法——提公因式法、公式法、十字相乘法、分组分解法，并会结合多项式的特征，灵活选用合适的方法是解题的关键．22．因式分解：(1)22916x y -；(2)2224129a b bc c -+-；(3)2215x x --；(4)22465x y x y -+--．【答案】(1)()()3434x y x y +-(2)()()2323a b c a b c +--+(3)()()53x x -+(4)()()51x y x y +--+【分析】（1）利用平方差公式进行因式分解；（2）先利用完全平方公式将原式变形为()2223a b c --，再利用平方差公式进行因式分解；（3）利用十字相乘法进行因式分解；（4）利用分组分解法将原式变形为()()2223x y --+，再利用平方差公式进行因式分解．【解析】（1）解：22916x y -()()2234x y =-()()3434x y x y =+-；（2）解：2224129a b bc c -+-()2224129a b bc c =--+()2223a b c =--()()2323a b c a b c =+--+；（3）解：2215x x --(5)(3)x x =-+；（4）解：22465x y x y -+--()()224469x x y y =++--+()()2223x y =--+()()51x y x y =+--+．【点睛】本题考查因式分解，掌握分组分解法、十字相乘法、公式法等常用的因式分解方法是解题的关键．23．因式分解(1)3221624x x x-+-(2)222222a b x y ay bx--+-+【答案】(1)()()226x x x ---(2)()()a yb x a y b x -+---+【分析】（1）先提公因式，再利用十字相乘法继续分解即可解答；（2）先根据完全平方公式进行分组，再利用平方差公式继续分解即可解答．【解析】（1）解：3221624x x x-+-()22812x x x =--+()()226x x x =---（2）解：222222a b x y ay bx--+-+()()222222a ay y b bx x =-+--+()()22a y b x =---()()a yb x a y b x =-+---+【点睛】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，因式分解—分组分解法，一定要注意如果多项式的各项含有公因式，必须先提公因式．24．因式分解：(1)241616a a -+；(2)()()216a x y y x -+-；(3)22962x x y y ---；(4)()()2222223m m m m ----．【答案】(1)()242a -；(2)()()()44x y a a -+-；(3)()()332x y x y +--；(4)()()()212321m m m m +--+．【分析】（1）先提取公因式，再利用完全平方公式分解即可求解；（2）先进行公式变形为()()216a x y x y ---，再提取公因式，最后用平方差公式分解即可；（3）先将原式分组为()()22962x y x y --+再分别利用平方差公式和提公因式法分解，最后提公因式即可；（4）先利用十字相乘法进行分解，再次利用十字相乘法进行分解即可求解．【解析】（1）解：241616a a -+=()2444a a -+()242a =-；（2）解：()()216a x y y x -+-()()216a x y x y =---()()216x y a =--()()()44x y a a =-+-；（3）解：22962x x y y---()()22962x y x y =--+()()()3323x y x y x y =+--+()()332x y x y =+--（4）()()2222223m m m m ----()()222321m m m m =---+()()()212321m m m m =+--+．【点睛】本题考查了将多项式因式分解，因式分解的一般方法是先提公因式，再利用公式法分解，如果此方法无法正常分解，一般可以利用十字相乘法或分组分解法进行因式分解，注意因式分解一定要彻底。

分组分解法教案

9.16分组分解法教材解读：本章主要介绍提公因式法、公式法、二次项系数为1的十字相乘法和分组分解法四种最简单、最常用的分解因式的方法。

本节内容分组分解法是为前面三种方法的运用创造条件，即把多项式各项适当分组，使之能够应用以上三种方法。

分组的目的不仅要使各组“局部”能分解因式，而且要能对整体进一步进行因式分解。

因式分解和整式的乘法运算都是整式的一种恒等变形，因式分解是整式乘法的一种逆向变形，也是今后学习分式的基础。

课程标准要求：在因式分解中，所涉及的多项式不超过四项；不涉及添项、拆项等偏重技巧性的要求。

用公式法分解因式时，只涉及平方差公式和完全平方公式。

不要求掌握用十字相乘法对二次项系数不等于1的二次三项式进行因式分解；关于一般的二次三项式的因式分解，将通过后续学习主要掌握求根公式法。

由于因式分解需要学生有较高的观察能力、分析能力和应用能力，因此要关注学生不同的思维方式，鼓励、引导学生积极思考，勇于探索，培养学生潜在的思维能力和创新能力。

教学目标：1.理解分组分解法的概念.2.掌握用分组分解法分解含有四项的多项式.3.经历分组分解法分解含有四项的多项式的过程,体会因式分解的基本方法之间的联系和区别,提高观察、分析和解决综合问题的能力.重点:分组分解法分解含有四项的多项式.难点:选择适当的分组方法，继续因式分解.教学过程：一．复习师：我们已经学习了因式分解的哪几种基本方法？生：提公因式法、公式法、十字相乘法。

师：好，下面让我们试一试用这些基本方法来因式分解吧！分解因式，并归纳解题模块：2266b a -归纳解题模块：两项式的因式分解的解题模块：1.“提”取公因式2.“套”平方差公式 18153242222+-++a a b ab a归纳解题模块：三项式的因式分解的解题模块：1.“提”取公因式2.“套”完全平方公式或十字相乘法设计意图：通过三道题目的练习，引导学生归纳出两项式和三项式因式分解的解题模块，训练学生的归纳能力。

第17讲分组分解法因式分解(五大题型)(学生版)-七年级上册同步讲义(沪教版2024)

第17讲分组分解法因式分解（五大题型）学习目标1、会用分组分解法进行因式分解；2、尝试不同的分组方式进行因式分解3、掌握分组分解法的应用一、分组分解法对于一个多项式的整体，若不能直接运用提公因式法和公式法进行因式分解时，可考虑分步处理的方法，即把这个多项式分成几组，先对各组分别分解因式，然后再对整体作因式分解——分组分解法.即先对题目进行分组，然后再分解因式.【方法规律】分组分解法分解因式常用的思路有：方法分类分组方法特点分组分解法四项二项、二项①按字母分组②按系数分组③符合公式的两项分组三项、一项先完全平方公式后平方差公式五项三项、二项各组之间有公因式六项三项、三项二项、二项、二项各组之间有公因式三项、二项、一项可化为二次三项式二、添、拆项法把多项式的某一项拆开或填补上互为相反数的两项（或几项），使原式适合于提公因式法、公式法或分组分解法进行分解.要注意，必须在与原多项式相等的原则下进行变形.添、拆项法分解因式需要一定的技巧性，在仔细观察题目后可先尝试进行添、拆项，在反复尝试中熟练掌握技巧和方法.【即学即练1】因式分解：27321x y xy x -+-．【即学即练2】分解因式：221x ax x ax a +++--．【即学即练3】分解因式：2222ac bd ad bc +--．【即学即练4】分解因式：()()2221ab x x a b +++．【即学即练5】已知3a b -=，4b c -=-，则代数式()2a acb ac ---的值是．题型1：因式分解—分组分解法【典例1】．因式分解：221x x --=.【典例2】．分解因式：2221x x y -+-=．【典例3】．因式分解：()2224x xy y ---=【典例4】．因式分解：293m n n m -+-=．【典例5】．因式分解：am an bm bn +--=．【典例6】．因式分解：2222a b a b ---=【典例7】．分解因式：5322x x x +--．【典例8】．分解因式：22243x x y y ----．【典例9】．分解因式：(1)322344a b a b ab -+(2)x xy y --+22444【典例10】．把多项式422434x x y y ++分解因式．【典例11】．因式分解：222332x xy y x y +-+++=．【典例12】．因式分解：322383649a ab ab b -+-题型2：因式分解综合【典例13】．分解因式：(1)22()()()x x y y y x --+-．(2)()222422m aa b ab +---．(3)22414xy x y +--．【典例14】．分解因式：(1)234--x x (2)2268mx mxy my -+(3)2244x y x --+(4)222444x xy y x y -+-++．【典例15】．因式分解(1)3223363x y x y xy -+-；(2)22(2)4a b a --；(3)222(2)11(2)24x x x x +-++；(4)22442a ab b ac bc ++--．【典例16】．因式分解(1)()()525m m m -+-(2)42281x x y -(3)2242x x y y ---(4)2212x y xy+--(5)222655m mn n m n-++-+题型3：利用分组分解法求值【典例17】．已知a+b ＝3，ab ＝-1，则3a+ab+3b ＝，a 2+b 2=【典例18】．若x 2+4x +8y +y 2+20＝0，则x ﹣y ＝．【典例19】．已知3a b -=，4b c -=-，则代数式()2a acb ac ---的值是．【典例20】．已知3a b +=，1ab =，则多项式22a b ab a b +--的值为（）A ．1-B ．0C ．3D ．6【典例21】．已知112a m =+，122b m =+，132c m =+，则222222a ab b ac c bc ++-+-的值为．题型4：分组分解法的应用【典例22】．51x +的分解因式结果中，含有的因式是()A ．21x -B ．1x -C ．1x +D ．4321x x x x ++++【典例23】．多项式x 2﹣4xy ﹣2y +x +4y 2分解因式后有一个因式是x ﹣2y ，另一个因式是（）A ．x +2y +1B ．x +2y ﹣1C ．x ﹣2y +1D ．x ﹣2y ﹣1【典例24】．三角形三边分别为A 、B 、C ，且2()a bc a b c -=-，则这个三角形(按边分类)一定是三角形．题型5：材料题【典例25】．【阅读理解】()()()()()()mx nx my ny mx nx my ny x m n y m n m n x y +++=+++=+++=++()()()()()()mx nx my ny mx my nx ny m x y n x y m n x y +++=+++=+++=++以上分解因式的方法称为分组分解法，分组的方式可以任意两项组合成一组，也可以是其中若干项分成一组．【问题解决】(1)分解因式：2244x y x --+；(2)ABC V 的三边a ，b ，c 满足22220--+=a bc c ab ，判断ABC V 的形状．【典例26】．观察下面的分解因式过程，说说你发现了什么.例：把多项式am ＋an ＋bm ＋bn 分解因式.解法1：am ＋an ＋bm ＋bn ＝（am ＋an ）＋（bm ＋bn ）＝a （m ＋n ）＋b （m ＋n ）＝（m ＋n ）（a ＋b ）.解法2：am ＋an ＋bm ＋bn ＝（am ＋bm ）＋（an ＋bn ）＝m （a ＋b ）＋n （a ＋b ）＝（a ＋b ）（m ＋n ）.根据你的发现，把下面的多项式分解因式:(1)mx －my ＋nx －ny ；(2)2a ＋4b －3ma －6mb.【典例27】．先阅读下面的内容，再解决问题：对于形如222x xa a ++这样的二次三项式，可以用公式法将它分解成()2x a +的形式．但对于二次三项式2223x xa a +-，就不能直接运用公式了．此时，我们可以在二次三项式x 2＋223xa a -中先加上一项2a ，使它与22x xa +的和成为一个完全平方式，再减去2a ，于是有：2223x xa a +-()222223x xa a a a +-=+-()224x a a =+-()()222x a a =+-()()3x a x a =+-像这样，先添一适当项，使式中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变的方法称为“配方法”．利用“配方法”，解决下列问题：(1)分解因式：2815a a -+；(2)若22148650a b a b +--+=，并且ABC V 的三边长是a ，b ，c ，且c 为奇数，求ABC V 的周长．一、单选题1．因式分解3223a a b ab b +--的值为（）A ．()()2a b b a -+B ．()()2a b a b +-C ．()2ab a b +D ．()2ab a b -2．用分组分解2222a b c bc --+的因式，分组正确的是（）A ．()()222a b b bc ---B ．()2222a b c ab--+C ．()()2222a b c bc ---D ．()2222a b c bc -+-3．下列分解因式错误的是（）A ．21555(31)a a a a +=+B ．()2222()()x y x y x y x y --=--=-+-C ．()(1)()k x y x y k x y +++=++D ．2()()a ab ac bc a b a c -+-=-+4．已知3a b +=，1ab =，则多项式22a b ab a b +--的值为（）A ．1-B ．0C ．3D ．65．已知a ，b ，c 是正整数，a ＞b ，且a 2﹣ab ﹣ac +bc ＝11，则a ﹣c 等于（）A ．±1B ．1或11C ．±11D ．±1或±116．已知实数m ，n ，p ，q 满足4m n p q +=+=，4mp nq +=，则()()2222m n pq mn p q +++=（）A ．48B ．36C ．96D ．无法计算二、填空题7．因式分解：m 2-n 2-2m +1=．8．分解因式：2242x y x y -+-=．9．分解因式：2233x y x y ---＝．10．分解因式：x 2﹣y 2+ax +ay ＝．11．分解因式；．x 3﹣3x 2﹣6x +8=．12．因式分解：22421x y y ---=．13．分解因式：2242x y x y -+-=．14．因式分解226136x xy y x y +-++-=15．若220x x +-=，则3222020x x x +-+=．16．多项式222a b a -+添加一个单项式后能用分组分解法进行因式分解．如果将2a 和2a +分成一组，2b -和此单项式分成一组，那么这个单项式为．17．甲、乙两农户各有两块地，如图所示，今年，这两个农户决定共同投资搞饲养业.为此，他们准备将这4块土地换成一块地，那块地的长为（a b +）米，为了使所换土地的面积与原来4块地的总面积相等，交换之后的土地的宽应该是米.18．已知：a ＝﹣226x +2017，b ＝﹣226x +2018，c ＝﹣226x +2019，则代数式a 2+b 2+c 2﹣ab ﹣bc ﹣ca 的值是．三、解答题19．分解因式：(1)22()()()x x y y y x --+-．(2)()222422m a a b ab +---．(3)22414xy x y +--．20．分解因式：(1)234--x x (2)2268mx mxy my -+(3)2244x y x --+(4)222444x xy y x y -+-++．21．因式分解：(1)33221a b ab a b -+++；(2)222944a b bc c -+-．22．因式分解：(1)22916x y -；(2)2224129a b bc c -+-；(3)2215x x --；(4)22465x y x y -+--．23．因式分解(1)3221624x x x-+-(2)222222a b x y ay bx --+-+24．因式分解：(1)241616a a -+；(2)()()216ax y y x -+-；(3)22962x x y y ---；(4)()()2222223m m m m ----．25．分解因式：()()()()()()mx nx my ny mx nx my ny x m n y m n m n x y +++=+++=+++=++，以上分解因式的方法称为分组分解法，对于四项多项式的分组，可以是“二、二分组（如此例）”，也可以是“三、一（或一、三）分组”，根据以上阅读材料解决问题：【跟着学】分解因式：()()33223232a b a b ab a a b b ab -+-=+--()()22a a b b a b =+-+()()_____a b =+＝______．【我也可以】分解因式：2242x x y y ---．【拓展训练】已知a ，b ，c 为ABC V 的三边长，若2222220a b c ac bc ++--=，试判断ABC V 的形状．26．先阅读以下材料，然后解答问题，分解因式．mx nx my ny+++()()mx nx my ny =+++()()x m n y m n =+++()()m n x y =++；也可以mx nx my ny +++()()mx my nx ny =+++()()m x y n x y =+++()()m n x y =++．以上分解因式的方法称为分组分解法，(1)请用分组分解法分解下列因式：①2()--+a x y x y ②2244x y x --+(2)拓展延伸①若22228160x xy y x -+-+=求x ，y 的值；②求当x 、y 分别为多少时？代数式22512986x xy y x -+++有最小的值，最小的值是多少？27．由整式的乘法运算法则可得()()()2.ax b cx d acx ad bc x bd ++=+++由于我们道因式分解是与整式乘法方向相反的变形，利用这种关系可得()()()2acx ad bc x bd ax b cx d +++=++．通过观察可如可把()2acx ad bc x bd +++中的x 着作是未知数．a 、b 、c 、d 在作常数的二次三项式：通过观察()()()2.acx ad bc x bd ax b cx d +++=++可知此种因式分解是把二次三项式的二项式系数ac 与常数项bd 分别进行适当的分解来凑一次项的系数．此分解过程可以用十字相乘的形式形象地表示成如图1，此分解过程可形象地表述为“竖乘得首、尾，叉乘凑中项，这种分解的方法称为十字相乘法．如：将二次三项式2273x x ++的二项式系数2与常数项3分别进行适当的分解，如图2，则()()2273321x x x x ++=++．根据阅读材料解决下列问题：(1)用十字相乘法因式分解：24913x x +-；(2)用十字相乘法因式分解：()2()1235x y x y +-++；(3)结合本题知识，因式分解：222887146x xy y x y ++--+．28．阅读下列文字与例题，并解答：将一个多项式分组进行因式分解后，可用提公因式法或公式法继续分解的方法称作分组分解法．例如：以下式子的分解因式的方法就称为分组分解法．222a ab b ac bc++++原式()()222a ab b ac bc =++++()()2a b c a b =+++()()a b a b c =+++(1)试用“分组分解法”因式分解：22x y xz yz-+-(2)已知四个实数a ，b ，c ，d ，满足a b ≠，c d ≠，并且212a ac k +=，212b bc k +=，224c ac k +=，224d ad k +=，同时成立．①当1k =时，求a c +的值；②当0k ≠时，用含a 的代数式分别表示b 、c 、d （直接写出答案即可）．。

数学教案-分组分解法-教学教案

数学教案－分组分解法－教学教案教学目标1.使学生掌握分组后能运用提公因式和公式法把多项式分解因式；2.通过因式分解的综合题的教学，提高学生综合运用知识的能力.教学重点和难点重点：在分组分解法中，提公因式法和分式法的综合运用.难点：灵活运用已学过的因式分解的各种方法.教学过程设计一、复习把下列各式分解因式，并说明运用了分组分解法中的什么方法.(1)a²－ab+3b－3a；(2)x²－6xy+9y²－1；(3)am－an－m²+n²；(4)2ab－a²－b²+c².解(1) a²－ab+3b－3a=(a²－ab)－(3a－3b)=a(a－b)－3(a－b)=(a－b)(a－3);(2)x²－6xy+9y²－1=(x－3y) 2－1=(x－3y+1)(x－3y－1);(3)am－an－m²+n²=(am－an)－(m²－n²)=a(m－n)－(m+n)(m－n)=(m－n)(a－m－n);(4)2ab－a²－b²+c²=c²－(a2+b2－2ab)=c²－(a－b) 2=(c+a－b)(c－a+b).第(1)题分组后，两组各提取公因式，两组之间继续提取公因式.第(2)题把前三项分为一组，利用完全平方公式分解因式，再与第四项运用平方差公式继续分解因式.第(3)题把前两项分为一组，提取公因式，后两项分为一组，用平方差公式分解因式，然后两组之间再提取公因式.第(4)题把第一、二、三项分为一组，提出一个“－”号，利用完全平方公式分解因式，第四项与这一组再运用平方差公式分解因式.把含有四项的多项式进行因式分解时，先根据所给的多项式的特点恰当分解，再运用提公因式或分式法进行因式分解.在添括号时，要注意符号的变化.这节课我们就来讨论应用所学过的各种因式分解的方法把一个多项式分解因式.二、新课例1 把分解因式.问：根据这个多项式的特点怎样分组才能达到因式分解的目的?答：这个多项式共有四项，可以把其中的两项分为一组，所以有两种分解因式的方法.解方法一方法二；例2 把分解因式.问：观察这个多项式有什么特点?是否可以直接运用分组法进行因式分解?答：这个多项式的各项都有公式因ab，可以先提取这个公因式，再设法运用分组法继续分解因式.解：====例3 把45m2－20ax2+20axy－5ay2分解因式.分析：这个多项式的各项有公因式5a，先提取公因式，再观察余下的因式，可以按：一、三”分组原则进行分组，然后运用公式法分解因式.解45m2－20ax2+20axy－5ay2=5a(9m2－4x2+4xy－y2)=5a[9m2－(4x2－4xy+y2)]=5a[(3m2)－(2x－y) 2]=5a(3m+2x－y)(3m－2x+y).例4 把2(a2－3mn)+a(4m－3n)分解因式.分析：如果去掉多项式的括号，再恰当分组，就可用分组分解法分解因式了.解 2(a2－3mn)+a(4m－3n)=2a2－6mn+4am－3an=(2a2－3an)+(4am－6mn)=a(2a－3n)+2m(2a－3n)=(2a－3n)(a+2m).指出：如果给出的多项式中有因式乘积，这时可先进行乘法运算，把变形后的多项式按照分组原则，用分组分解法分解因式.三、课堂练习把下列各式分解因式：(1)a2+2ab+b2－ac－bc；(2)a2－2ab+b2－m2－2mn－n2；(3)4a2+4a－4a2b+b+1；(4)ax2+16ay2－a－8axy；(5)a(a2－a－1)+1；(6)ab(m2+n2)+mn(a2+b2)；答案：(1)(a+b)(a+b－c)；(2)(a－b+m+m)(a－b－m－n)；(3)(2a+1)(2a+1－2ab+b)；(4)a(x－4y+1)(x－4y－1)；(5)(a－1) 2 (a+1)；(6)(bm+an)(am+bn).四、小结1.把一个多项式因式分解时，如果多项式的各项有公因式，就先提出公因式，把原多项式变为这个公因式与另一个因式积的形式.如果另一个因式是四项(或四项以上)的多项式，再考虑用分组分解法因式分解.2.如果已知多项式中含有因式乘积的项与其他项之和(或差)时(如例3)，先去掉括号，把多项式变形后，再重新分组.五、作业1.把下列各式分解因式：(1)x3y－xy3；(2)a4b－ab4；(3)4x2－y2+2x－y；(4)a4+a3+a+1；(5)x4y+2x3y2－x2y-2xy2；(6)x3－8y3－x2－2xy－4y2；(7)x2+x－(y2+y)；(8)ab(x2－y2)+xy(a2－b2).2.已知x－2y=－2b=－4098，求2bx2－8bxy+8by2－8b的值.答案：1.(1)xy(x+y)(x－y)；(2)ab(a－b)(a2+ab+b2)；(3)(2x－y)(2x+y+1)；(4)(a+1) 2 (a2－a+1)；(5)xy(x+2y)(x+1)(x－1)；(6)(x2+2xy+4y2)(x－2y－1)；(7)(x－y)(x+y+1)；(8)(ax－by)(bx+ay).2.原式=2b(x－2y+2)(x－2y－2)当x－2y=－2，b=－4098时，原式的值=0.课堂教学设计说明1.突出“通法”的作用.对于含四项的多项式，可以根据所给的多项式的特点，常采取“二、二”分组或“一、三”分组的方法进行因式分解，这是运用分组法把多项式分解因式的通法，是带有规律性和程序性的解题思路，学生应切实掌握.安排例1的目的是：引导学生运用分组的通法把一个含有六项的多项式分解因式，促使学生能举一反三，触类旁通.2.加强各种方法的纵横联系.把分组分解法与提公因式法和公式法之间结合为一体，进行纵横联系，综合运用，考察学生掌握因式分解的方法和技能的状况是这节课教学设计的目标.通过讨论例3，引导学生综合应用三种方法把多项式分解因式，以开发学生解题思路的变通性和灵性活，对于启迪学生的思维和开阔学生的视野起到重要作用.3.打通相反的思维过程.因式分解与整式乘法是相反的变形，也是相反的思维过程，学生在学习多项式的因式分解时，也应当适当联系整式的乘法.安排例4，目的是引导学生认识到，在把多项式因式分解时，如果给出的多项式出现了有因式乘积的项，但又不能提取公因式，这时就需要进行乘法运算，把变形后的多项式重新分组，再分解因式，从而启发学生在学习数学时，应善于对数学知识和方法融汇贯通习惯于正向和逆向思维.探究活动系数为1的型的二次三项式同学们已经会分解因式了，那么二次项系数不是1的二次三项式怎么分解呢？如：1．；2. .有兴趣的同学可以模仿型式子的因式分解试着把上面两式分解因式,你能总结出规律吗?答案:1. ;2. .规律：二次项系数不是1的二次三项式分解因式时，若满足下列条件，则可将其分解为：可分解为，即可分解为，即，，，满足，即按斜线十字交叉相乘的积之和若与一次项系数相等，则可分解因式，第一个因式由第一行的两个数组成第二个因式由第二行的两个数组成分解结果为：数学教案－分组分解法谢谢浏览!。

9.16 分组分解法教案.doc

9.16 分组分解法一、课前练习1. 分解因式：（1）65x x 2--； (2)2510x x 2++（3）229y -x ； (4)8a -2ax ax 2+.2. 分解因式：（1）x)-n(3-3)-m(x ； (2)b)(a -b)-b)(a (a ++；（3）y)-(x -y)-(x -2.二、阅读理解1.阅读教材P52～54.2.利用_______来分解因式的方法叫做分组分解法.3.尝试你能将多项式2222c b ab a -+-因式分解吗？4．阅读中遇到的问题有________________________________________________________ ___________________________________________________________________________三、新课探索1.尝试分解因式 a(x+y)-x-y.2. 尝试分解因式by bx ay ax +++.3. 尝试分解因式1b 2ab a 22-++例题1 把3bd -bc 6ad -2ac +分解因式.4 练一练把4kn 6mn 9km 6k 2--+分解因式.例题2 把222c a b 2bc -+-分解因式.例题3 把x y y x x 882223-+-分解因式四、课内练习1．分解因式：（1）c -b ac -ab + ； (2)2b 2a -ab -a 2+；（3）6bc -2ac 9b -3a +；(4)8-4x -6x y 32+y x .2．分解因式：（1）b a b a ---22；(2)12a -b -a 22+；（3）2222c b a ac -+-.3．分解因式：（1）x xy y 33x 2--+；(2)18y -9x -y 2x x 23+；（3）24-12y -2)x (y 2)x (y 2+++；(4)22222222x n y m y n x m --+.9个小学生教育案例个案一：学生小田，老师，家长都反映他是个“不开窍”的孩子，一道应用题，老师课堂上讲过，家长又复习过，可做起来就是错误百出，一到考试就更不行了，别的同学背课文，一下子背出了，可他读了好多遍，还是记不住，丢三落四，常用字常会错，渐渐地学习提不起兴趣。

沪教版(五四学制)七上：6分组分解法课件

4a2+2a–b2+b =2a(a+1)+b(–b+1)
=(2a+b)(2a–b+1) 全部提取后括号内保留1
可按字母指数特征分组
活动2 探究新课
我们把这种分组方式简单地称为“二二”分组． “二二”分组分解时应注意的问题：（1）把四项式二二分为两组(按字母特征分组，或按系数特征分组，或按字母指数特征分组)；（2）分组分解后产生新公因式；（3）继续用提取公因式法来分解因式；
活动5 思考探究
如何对下面的多项式分解因式？
x2-4xy+4y2-4
完全平方式
活动6 课后作业
练习册 9.16 第1、4题
=(a+b)(x+y)
利用分组来分解因式的方法叫做分组分解法
有其他的分组的方法吗？
活动2 探究新课
例题1 分解因式
方法二：
2ac–6ad+bc–3bd 解：2ac–6ad+bc–3bd
解： 2ac–6ad+bc–3bd =(2ac–6ad)+(bc–3bd)
=(2ac+bc) + (–6ad–3bd) =c(2a+b)–3d(2a+b)法分解因式
（1）a(x+y)+b(x+y) = (x+y)(a+b)
提取公因式法
（2）(a-2b)2-1 = (a-2b-1)(a-2b+1)
公式法[平方差]
（3）a2-4ab+4b2 = (a-2b)2
公式法[完全平方]
（4）x2-10x+16 = (x-2)(x-8)
活动3 巩固练习

分组分解法课件2022—2023学年沪教版(上海)数学七年级第一学期

(2)4 x2 2xy y2 (3)b2 4a 1 4a2 (4)ax2 2axy 1 a ay2
16
因式分解：
am an bm bn
解：原式（ am an ) ( bm bn ) a (m n) b (m n) (m n)(a b)
解：原式（ am bm ) ( an bn ) m (a b) n (a b) (a b )(m n )
a(a b) c(a b)
-----组内提公因式
(a b)(a c)
----组间提公因式
解：原式（a2 bc) (ac ab)
(a2-bc)+a(c-b) =?
分组的规律：按字母特点分组
因式分解
步骤（口诀）：
一提二套三分组四检查
练一练
因式分解：
（１）ｘｙ－１＋ｘ－ｙ
例题2：分解因式：
am+an+bm+bn
能不能分解因式？为什么？
利用分组来分解因式的方法叫做分组分解法
因式分解：am an bm bn
解：am an bm bn (am bn) (an bm)
?
成功与否关键：分组后能否继续分解因式
例题1：分解因式：
a2 ab ac bc
分组分解法的步骤:
解:原式（a2 ab) (ac bc) ----分组
思考题：因式分解
m2 4mn n2 9
解：原式（m2 4mn 4n2） 9 （m 2n)2 9 (m 2n 3)(m 2n 3)
温故而知新 ☞
(1)xy 1 x y (2)ab a b 1 (3)ax2 bx a b (4)2x3 2x2 y 8y 8x
(1) 1 m2 3mn 9n2 81 4

(完整word版)因式分解分组分解法教案

因式分解——分组分解法教案学科：数学任课教师：授课时间：姓名年级八年教学课题因式分解方法（五)：--------分组分解法教学目标1.理解分组分解法的概念和意义；2.掌握分组分解法中使用“二二”、“一三”分组的不同题型的解题方法；3. 渗透化归数学思想和局部、整体的思想方法.重点难点1.分组分解法中筛选合理的分组方案，掌握分组的规律与方法；2.综合运用提公因式法和公式法完成因式分解.课前检查作业完成情况：优□良□中□差□建议__________________________________________课堂教学过程过程因式分解方法（五）：----------分组分解法一、知识点复习因式分解的常用方法一、提公因式法.：ma+mb+mc=m(a+b+c)二、运用公式法：（1）平方差公式： a2-b2=(a+b)(a-b)﹤=======﹥(a+b)(a-b) = a2-b2；(2) 完全平方公式：a2±2ab+b2=(a±b)2﹤=======﹥(a±b)2 = a2±2ab+b2；(3) 立方和公式： a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2) ﹤=======﹥(a+b)(a2-ab+b2) =a3+b3；(4) 立方差公式： a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2) ﹤=======﹥(a-b)(a2+ab+b2) = a3-b3．补充两个常用的公式：(5)a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2；(6)a3+b3+c3-3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)；三、十字相乘法：))(()(2qxpxpqxqpx++=+++知识点五：分组分解法一.创设情境我们已经学习了在分解因式中，根据项数的不同，可以选择不同的分解方法，如果有公因式，通常首先提取公因式，那我们来看一道题目：分解因式：ax＋ay＋ab＋ac.二．探索尝试把上面的式子改为a x＋ay＋bx＋by，还能用我们学过的方法分解因式吗？三、分组分解法.（一）分组后能直接提公因式例1：分解因式：bnbmanam+++分析：从“整体”看，这个多项式的各项既没有公因式可提，也不能运用公式分解，但从“局部”看，这个多项式前两项都含有a，后两项都含有b，因此可以考虑将前两项分为一组，后两项分为一组先分解，然后再考虑两组之间的联系。

9.16分组分解法-

基础训练
一、填空题
1、分解因式xy-xz+y-z=
2、式3x-6y+ax-2ay=
二、分解因式
3 x2-4y2-x+2y
4、ac-bc-a2+2ab-b2
5、x2-y2+2y-1
能力提升
6、分解因式（x2-3x）2－2(x2－3x)－8
7、分解因式a2-3a+b2-3b+2ab-54
课后反思
ax+ay+bx+by将它们分成两组
=a(x+y)+b(x+y)（两、两分组）
=(x+y)(a+b)
这个多项式还有其它分组的方法吗
？
ax+ay+bx+by
=ax+bx+ay+by
=x(a+b)+y(a+b)
=(a+b)(x+y)
a2+2ab+b2-1将它们分成两组
=(a+b)2-1（一、三分组）
=(a+b+1)(a+b-1)
教学目标
知识与技能
理解分组分解法的意义；掌握用分组分解法分解含有四项的多项式
过程与方法
注意培养学生观察、分析和应用能力以及团队协作的能力
情感、态度
与价值观
尝试中获得合作的成功，感受成功的喜悦
教学策略与手段
教学重点
掌握分组分解法的分组原则
教学难点
如何分组才能达到因式分解的目的；选择分组方法
教学策略
（或方法、模式）
=(c-3d)(2a+b)
用一，三；二，四分组的方法，独立完成这道题。

分组分解法课件沪教版(上海)数学七年级第一学期

3、十字相乘法：x2 (a b)x ab (x a)(x b)
课前练习
1、分解因式
(1)x2 5x 6 (2)x2 10x 25 (3)x2 9y2
(x 6)(x 1)
(x 5)2
(x 3y)(x 3y)
(4)a(3x 4y） b(3x 4y) （3x 4y）(a b)
提高练习：
把下列各式分解因式：
m4 36a2 24ma 4m2
(2m 1)2 m2b2 4m2b 4m2
课堂小结
（1）运用分组分解法分解因式的关键是合理分组，要预见分组后组与组之间还能否继续进行因式分解。分组时可进行尝试，最后找到合理的分组方法。
局部入手, 兼顾全局，自觉试验，合理分组.
四项多项式分组有两种：
二、二分组
三、一分组或一、三组
方法分组分解法
分类
分组方法
特点
四项五项六项
二项、二项
①按字母分组②按系数分组③符合公式的两项分组
三项、一项
先完全平方公式后平方差公式
三项、二项
各组之间有公因式
三项、三项二项、二项、二项
三项、二项、一项
各组之间有公因式可化为二次三项式
练习
把下列各式分解因式：
10.(z2-x2-y2)2-4x2y2
思考与探究
如何将下列多项式分解因式？
ax ay bx by
1、无公因式可提 2、无法用公式法分解因式 3、无法用十字相乘法分解因式
分解因式：ax + ay + bx + by
解法一：原式=(ax+ay)+(bx+by) =a(x+y)+b(x+y) =(x+y)(a+b)

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