精品教案：曲线的交点与轨迹

曲线的交点与轨迹
【知识网络】
1．掌握求曲线的交点的基本方法，进一步提高运算能力． 2．掌握求动点轨迹的基本步骤和常用方法． 3．了解部分曲线系方程的共同特征． 4．进一步体验数形结合等数学思想方法． 【典型例题】
[例1]（1）点M 到定点F （0，－4）的距离比它到直线y=5的距离少1，则点M 的轨迹方程是（ ） A ．y x 162-= B ．y x 162= C ．x y 162-= D ．x y 162
-= （2）曲线442
2=+y x 关于点M （3，5）对称的曲线方程是（ ） A ．()()410462
2
=+++y x B ．()()410462
2
=-+-y x
C ．()()410462
2
=-++y x D ．()()410462
2
=++-y x
（3）若△ABC 的三个顶点A ，B ，C 所对的三边a,b,c （a ＞b ＞c)成等差数列，A （－1，0），C （1，0），则顶点B 的轨迹方程是（ ）
A ．22143x y +=
B ．22
143x y +=（x≠±2)
C ．22143x y +=(x ＞0且x≠2)
D ．22
143
x y +=(x ＜0且x≠－2)
（4）两圆x 2＋y 2＋2x －3y ＋1=0, 2x 2＋2y 2＋x －4y=0公共点的直线方程是 ．
（5）过直线4x －5y ＋1=0与直线x －y ＋2=0的交点，且平行与直线2x －3y=0的直线方程是 ．
[例2] 动点A 、B 在直线x=－１上移动，设P(－4,0)，∠APB=60°，求△APB 外心的轨迹方程．
[例3] 直线l ：y=kx ＋1与双曲线C ：2x 2－y 2=1的右支交于不同的两点A ，B ，求实数k 的取值范围．
[例4] 如图，A ，B 是两个定点，且|AB|=2，动点M 到A 的距离是4，线段MB 的垂直平分线l 交MA 于
点P ，直线k 垂直于直线AB ，且B 点到直线k 的距离为3． （1）建立适当的坐标系，求动点P 的轨迹方程；
（2）求证：点P 到点B 的距离与点P 到直线k 的距离之比是定值；
（3）若点P 到A ，B 两点的距离之积为m ，当m 取最大值时，求P 点的坐标．
【课内练习】
1． P 是以F 1、F 2为焦点的椭圆上一点，过焦点F 2作∠F 1PF 2外角平分线的垂线，垂足为M ，则点M 的轨迹是（ ）
A.圆
B.椭圆
C.双曲线
D.抛物线
2．抛物线的焦点是（2，1），准线方程是x+y+1=0，则抛物线的顶点是（ ）
A ．（0，0）
B ．（1，0）
C ．(0, －1)
D ．(1,1) 3．椭圆x 2＋4y 2=13与圆x 2＋y 2=4公共点的个数是 （ ）
A ．0
B ．1
C ．2
D ．4
4．设抛物线有两个交点与直线)0()0(2
≠+=>=k b kx y a ax y ，其横坐标分别是1x 、2x ，而直线y=kx+b 与x 轴交点的横坐标是3x ，那么1x ，2x ，3x 的关系是（ ） A 、3x =1x +2x B 、
213111x x x += C 、2
311
11x x x += D 、1x =2x +3x 5．已知点A （－1，0），B （1，0），动点P 满足|PA|＋|PB|=2，则P 点的轨迹方程是 ．
6．与椭圆22
194
x y +=具有共同焦点，且经过点（1，2）的椭圆方程是 ．
7．如下关于双曲线的四个命题：
(1)若左焦点F 对应的左准线与实轴相交于N ，则双曲线的左顶点分有向线段FN 所成的比等于离心率e ；
(2)双曲线的离心率越大，它的开口就越开阔；
(3)当两条双曲线有共同的渐近线时，这两条双曲线的离心率相等；
A B
P
M l k
(4)若双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离等于实半轴长，则双曲线的离心率是2． 其中真命题的序号是 ．
8．已知△ABC 的两个顶点坐标分别是A （－2，0）、B （0，－2），第三个顶点C 在曲线132
-=x y 上移动，求△ABC 的重心轨迹方程．
9．当a 为何值时，曲线2
2()12
x a y -+=与曲线y 2=12 x 有公共点？
10．已知点F （1，0），直线1:-=x l ，点B 是l 上的动点，若过B 垂直于y 轴的直线与线段BF 的垂直平分线交于点M ．
（1）求点M 的轨迹C 的方程；
（2）设1:-=x l 与x 轴相交于H ，直线BF 与曲线C 相交于P 、Q 两点，求证：向量,与向量HF 的夹角相等． ．
20.2曲线的交点与轨迹
A 组
1．已知点A （－2，0），B （3，0），动点P （x,y)满足P A → ·PB →
=x 2,则P 的轨迹是（ ）
A.圆
B.椭圆
C.双曲线
D.抛物线
2．过原点的直线13
42
2-=-y x l 与双曲线交于两个不同的点，则直线l 的斜率的取值范围是（ ） )
3
3
()33()
23
()23()3
3
33()2
3
23(∞+--∞∞+--∞-
-
，，．，，．，．，． D C B A
3．若抛物线y 2=1
2 x 与圆222210x y ax a +-+-=有且仅有三个公共点，则a 的可取值集合是 （ ）
A ．｛1｝
B ．｛17
18
｝
C ．（－1，1）
D ．（17
18
，1）
4．求抛物线y 2=20x 上各点和点(10，0)所连的线段中点的轨迹方程是 ．
5．抛物线的准线为y 轴，焦点运动的轨迹为y 2－4x 2+8y=0 (y≠0),则其顶点运动的轨迹方程为 ． 6．由圆x 2＋y 2=4上任意一点向x 轴作垂线，求垂线夹在圆周和x 轴间的线段中点的轨迹方程． 7．已知椭圆的一个焦点F 1（0，－22），对应的准线方程为y=－4
2
9，且一个顶点的坐标为（0，3） （1）求椭圆方程；
（2）是否存在直线l ，使l 与椭圆交于不同的两点M 、N ，且线段MN 恰被直线 x=－
2
1
平分，若存在求出l 的倾斜角的范围，若不存在请说明理由．
8．在直角坐标平面内，已知两点A （－3，0）及B （3，0），动点P 到点A 的距离为8，线段BP 的垂直平分线交AP 于点Q ．
（1）求点Q 的轨迹T 的方程；
（2）若过点B 且方向向量为（－1，3）的直线l ，与（1）中的轨迹T 相交于M 、N 两点，试求△AMN
的面积．
B 组
1．抛物线2
ax y =上存在关于直线x+y=0对称的两点，则a 的取值范围是（ ）
A 、43>
a B 、4
3
≥a C 、0>a D 、0≥a
2．方程x 2cosθ+(2cosθ－1)y 2=1(θ∈[]π2,0)表示双曲线的充要条件是（ ）
A ．θ∈（
3π，2π）∪（23π，35π） B ．θ∈（3π，2
π
）
C ．θ∈（3π，35π）
D ．θ∈（3π，2
π
）∪（23π，58π）
3．对于抛物线C ：y 2＝4x ，我们称满足y 02＜4x 0的点M(x 0，y 0)在抛物线内部，若点M(x 0，y 0)在抛物线内部，则直线l ：y 0y ＝2（x ＋x 0）与抛物线C （ ）
A ．恰有一个公共点
B ．恰有两个公共点
C ．可能一个公共点，也可能两个
D ．没有公共点
4．已知直线y=kx ＋3与椭圆22
116x y b
+=恒有公共点，则b 的取值范围是 ．
5．椭圆)0(2
22
2
>=+a a y x 和连接A(1，1)、B(2，3)两点的线段有公共点，那么a 的取值范围是 ．
6．已知以y 轴为右准线的双曲线C 经过定点M （1，2），它的右焦点F 在圆弧（x －1）2+（y －2）2=4(x>0)上运动．
(1) 求双曲线C 的离心率e 的值； (2) 当直线MF ∥x 轴时求双曲线的方程．
7．直线l ：y=mx+1与椭圆C ：ax 2+y 2=2交于A 、B 两点，以OA 、OB 为邻边作平行四边形OAPB （O 为坐标原点）
（1）当a=2时，求点P 的轨迹方程；
（2）当a,m 满足a+2m 2=1，且记平行四边形OAPB 的面积函数S （a ）,求证：2＜S(a)＜4．
8．已知动圆与圆F 1：x 2＋y 2＋6x ＋4＝0和圆F 2：x 2＋y 2—6x —36＝0都外切． （I ）求动圆圆心的轨迹C 的方程；
（II ）若直线L 被轨迹C 所截得的线段的中点坐标为（—20，—16），求直线L 的方程；
（Ⅲ）若点P 在直线L 上，且过点P 的椭圆C ∕以轨迹C 的焦点为焦点，试求点P 在什么位置时，椭圆C ∕的长轴最短，并求出这个具有最短长轴的椭圆C ∕的方程．
20.2曲线的交点与轨迹
【典型例题】
例1 （1）B ．提示：联想抛物线定义．
（2）B ．提示：用坐标转移法，所求曲线上任意一点关于对称中心的对称点在以知曲线上。

也可以找椭圆中心关于已知点的对称点后，直接写对称曲线方程． （3）D ．提示：注意三边的大小顺序．
（4）3
2 x －y ＋1=0．提示：在两个方程的二次项系数相同时相减即可．
（5）2x －3y －3=0．提示：利用直线系方程． 例2、设外心坐标为（x,y)
cos60=︒，化简得3x 2－8x －y 2－12=0(x ＜－1)
例3、将直线方程代入双曲线方程化简得（k 2－2)x 2＋2kx ＋2=0，该方程有两个正根则
222
222(2)8(2)020
22
02k k k k k k ⎧≠⎪=-->⎪⎪⎨->-⎪
⎪>⎪
-⎩
，解之得k 的取值范围是（－2，－ 2 ）． 例4、(1)以直线AB 为x 轴，AB 中点为原点建立直角坐标系，由题意知：|PA|＋|PB|=|PA|＋|PM|=4，应用
椭圆定义得动点轨迹方程是22
143
x y +=；
（2）直线k 恰好是椭圆的准线，用椭圆的第二定义即可得到证明，e=12 ；（3）m=|PA|·|PB|≤2(||||)4PA PB +=4，当且仅当|PA|=|PB|时m 最大，这时点P 在y 轴上，故点P 的坐标是（0， 3 ），或（0，－ 3 ） 【课内练习】
1．A ． 提示：以椭圆中心为圆心，半径为半长轴长的一个圆． 2．B ．提示：自焦点向准线作垂线，垂足与焦点连线的中点即顶点． 3．D ．提示：解方程组即可． 4．B ．提示：用韦达定理．
5．y=0．提示：P 到A ，B 两点的距离之和恰好等于线段AB 的长．
6
22
1+=．提示：设出椭圆方程后，将点的坐标代入． 7． ①②④．提示：可以依据一个具体方程适当变化．
8．设C 点坐标为（0x ，0y ），△ABC 重心坐标为（x,y ），依题意有 3020
x x ++-=
3
200
y y +-=
解得 230+=x x 230+=y y
因点C （x ．，0y ）在132-=x y 上移动，132
00-=x y 所以()1233232
-+=+x y ，整理得
()191322
+=⎪⎭⎫ ⎝
⎛
+y x 为所求△ABC 重心轨迹方程．
9．[－ 2 ，94 ]．提示：将y 2=1
2 x 代入第一支曲线的方程，化简后讨论方程一根非负，一根为负与两根均
非负的情况．
10．（1）由已知易得|MF|=|MB|由抛物线定义得点M 的轨迹方程为
,42
x y
=（x ≥0）
（2）设直线BQ 方程,1+=my x 设P ),(),,(2211y x Q y x
则⎩⎨⎧+==1
42my x x y 消去x 得0442=--my y ∴1,42121=-=x x y y 而),1(11y x += )0,2(= ∴1
61)1(2)1(2),cos(12
112
1
211+++=
+++=
x x x y x x HF HP
同理1
61161111
61),cos(12
111
2
1
122
22+++=
++
+=
+++=
x x x x x x x x x
∵向量所成角范围在[0，π]上 ∴结论成立．
20.2曲线的交点与轨迹
A 组
1．D ．提示：坐标代入．
2．C ．提示：数形结合与双曲线的渐近线比斜率，或联列方程组． 3．A ．提示：联列方程组后，x 有一个根为0，另外只能有一个正根． 4．y 2=10x －50．提示：坐标转移法．
5．y 2－16x 2+8y=0(y≠0)．提示：设顶点得焦点，用坐标转移法．
6．2214
x y +=．用坐标转移法．
7．（1）由题意： c
a 2－c=42
既 c=22 c+a=3+22 a=3
又中心为（0，0）∴椭圆方程为x 2
+9
2
y =1(也可用统一定义)
（2）令：l ：y=kx+m 代入9x 2+y 2=9
得：(k 2+9)x 2+2kmx+m 2－9=0用韦达定理及△＞0可以解得倾斜角θ∈（
3π，2
π
）∪（32π，π）．
8．（1）由于QB=QP ，故AQ+BQ=AP ＞AB ，Q 点的轨迹是以A 、B 为焦点的椭圆．其中2a=8,a=4,a 2=16,
c=3,c 2=9, b 2=a 2－c 2=7
椭圆方程为17
162
2=+y x （2）∵l 过点B 且方向向量为（－1，3），∴l 的方程为y=－3（x －3） 将直线方程代入椭圆方程化简得：55x 2－288x ＋320=0
x 1+x 2=
55
288
,x 1x 2=55320
|x 1－x 2|=212
214)(x x x x -+=55112
|MN |=2
)3(1-+|x 1－x 2|=55
224
A 到MN 的距离333
136=+=
d
S △AMN =
55
333621=MN d B 组
1．A ．提示：在抛物线上任意取一点，该点关于直线的对称点还在抛物线上．
2．A ．提示：将问题转化成0＜cosθ＜1
2
．
3．D ．提示：可以取一个特殊点如（1，1）． 4．[9，16）∪（16，＋∞）．提示：点（0，3）在椭圆上或在椭圆内． 5．
2
34
26≤≤a ．提示：考虑两个边界位置的a 的取值． 6．（1）e=2
（2）准线x=0，F （3，2），e=2
双曲线方程：3x 2―y 2+6x+4y―13=0
7．（1）解：设P （x,y ），则OP 中点为E （
2
,2y
x ） 由⎪⎩⎪⎨
⎧=++=2
21
2
2y x mx y 消去y 得（2+m 2）x 2+2mx-1=0 设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2) 则
221x x +=－2
2m
m
+, 221y y +=m 221x x ++1=2
22m + 即AB 的中点为E （－22m m +,2
22
m
+） 于是
消去m,得点P 的轨迹方程为2x 2+y 2-2y=0
(2)证明：由 消去y 得 (a+m 2)x 2+2mx-1=0
2
22m m
x +-= 2
22
2m y +=
y=mx+1
ax 2+y 2=2
进一步就可以求出|AB|=2
22
)2(41m
a m a m
+++⋅
∵O 到AB 的距离d=2
11m +·S(a)=|AB|d=
1
4
)2(42
2+=
++a m a m a ∵a+2m 2=1 ∴0＜a ＜1 ∴2＜S(a)＜4．
8．（Ⅰ）圆F 1：（x+3）2+y 2=5 ， 圆F 2：（x —3）2+ y 2=45 设动圆半径为r ，圆心为M ，则由已知得：
⎪⎩⎪⎨⎧+=+=5
3521r MF r MF ∴|MF 2|—|MF 1|=25
∴动圆圆心的轨迹C 为以F 1，F 2为焦点，实轴长为25的双曲线的左支，
易得其方程为：14
52
2=-y x （x<0） （Ⅱ）设L 方程为：y+16=k （x+20），并设L 与轨迹C 交点坐标为（x 1，y 1），（x 2，y 2）. 则由已知得：
202
2
1-=+x x , 即x 1+x 2= —40……① 由⎪⎩⎪⎨⎧=--+=145
16202
2y x k kx y 消去y 得： （4—5k 2）x 2—10k （20k —16）x —5（20k —16）2—20=0
∴x 1+x 2=2
54)
1620(10k
k k -- ……② 由①、②得：2
54)
1620(10k k k --= —40
∴k=1
∴所求直线L 的方程为y=x+4 （Ⅲ）
椭圆的长轴长等于|PF 1|+|PF 2|.
要求长轴最短，只需在直线L 上找一点P ，使点P 到F 1、F 2的距离之和最小． 由平面几何知识知：作F 1关于L 的对称点Q ，连结QF 2交直线L 于点P ，则点P 即为所求点，坐标为（87,825-） 此时长轴2a=|PF 1|+|PF 2|=|PQ|+|PF 2|=|QF 2|=52 从而a 2=225，C=3∴b 2=a 2—c 2=2
79225=- ∴椭圆C′的方程为：12
7
2252
2=+y x
Q P。