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“2014年19本最激发灵感的书”
1. 《Alliance by Reid Hoffman》
“揭示了人性最基本的需求。无论是创业，还是企业管理，还是小到家庭、团队，做到Alliance后，一切都会变得很不一样。” – 光速中国基金 / 韩彦
2. 《安德的游戏》
“超越了儿童读物的科幻小说，在天马行空以及无数理性选择的背后，是人性的善良与爱。” – 景林资本 / 杨梦逸
3. 《David and Goliath》
“错位竞争的思路和执行方法，对于创业公司很有借鉴意义” – 蓝湖资本 / 胡磊
4. 《刀与星辰》
“这本书让我意识到，拥有自己的观点和审美体系是一件多么美好的事情。” – 以太资本 / 戴旭
5. 《高盛帝国》
“高盛百年历史的独家揭秘，如何在时代中屹立不败，如何能顺应时代发展，抓住机会迎头出击，如何深入理解合伙制，强烈推荐” – 熙金资本 / 刘立坤
6. 《活着》
““无善(符合宇宙/物理世界规律为善)无恶(违背宇宙规律为恶)心之体，有善有恶意之动，知善知恶是良知，为善去恶是格物。”格物致知，达到知(良知)行(格物)合一，意念与天理(宇宙规律)合一。此乃为王阳明心学之要义，亦是稻盛和夫活法之精髓。” – PP租车张丙军（自驾找PP租车，有驾照就有车。）
7. 《公正》
“保持追问的姿态，喜欢把思辨当成认知的常态” – 贝塔斯曼亚洲投资基金（BAI）/龙宇
8. 《精益创业》
豆瓣热评摘录：“《道德经》和《精益创业》的暗合可以显示古今中外的人类智慧多么相通。不过，与老子惜字如金的风格不同，Eric Ries从实际操作的角度写出了一本300页厚的书，对如何“作
于细”和“作于易”给出了系统化的建议。” – 书本推荐 by 红杉资本翟璐
9. 《略胜一筹》
“阿里巴巴首席战略官曾鸣的著作，描述了中国近代企业发展的逻辑规律，对企业成长战略非常有正面意义” – 创新工场 / 陈悦天
10. 《裸猿》
“从动物性的角度剖析人性，非常有启发” – 真格基金 / 顾旻曼
11. 《时间的形状》
豆瓣介绍：“我可以保证，这真是一本很有趣的书。跟随作者，你可以进入爱因斯坦的梦境，坐在牛顿老师的课堂，来到星光实验的现场……最近距离接触科学的真相。”
书本推荐 by 蘑菇街 / 陈琪
12. 《思考，快与慢》
“让人重新学习怎么思考。” – 蓝湖资本 / 胡博予
13. 《三体》
“从未如此期待国产电影哈哈” – 华兴资本 / 许乐洋
14. 《商战》（阿尔里斯版）
“专注和定位对于一个公司的影响” – 启明创投 / 黄宇
15. 《行在宽处》
“让人学到特别接地气的老企业家，是如何看待生活，企业管理，政商关系，等新一代企业家都会面临的问题，也能从字里行间感受到一个过来人，成功后的心态” – 真格基金 / 吴旦
16. 《向前一步》
“职场女性励志工作与生活平衡” – 世铭投资 / 熊婷
17. 《乡土中国》
“生动的讲述了中国” – HH / 王益莘
18. 《游戏改变世界》
“从解读游戏让人痴迷的设计原理出发，以一种全新的视角诠释了现代社会中的人，在衣食无忧情况下，真实的激励来源所在。除了对未来社会可能性的畅想以外，这本书在员工的激励、协作的领导以及自我习惯的养成方面也给了我不少启发。对于部分需要提高用户粘性的企业和app，读读游
戏为什么让人停不下来，也相当有借鉴意义。” – EQT / 易然
19. 《Z ero to One》
“颠覆原有很多思维和框架，推荐读英文原版” – 君联资本 / 侯琢
“这本书强过所有思考创业和投资的书的总和。就像枪炮细菌和钢铁之于社会学” – 经纬创投 / 熊飞也推荐 by 金沙江创投/ 刘佳
“2014年11本最受用创业相关书籍”
1. 《Creativity. Inc》
“听Ed Catmull, Pixar的founder CEO,亲自讲述这本书，这数十年之后，读起来更有感慨吧，未知的未来在无数个执着的转折后出现，能坚持的人真少，能坚持对现状的不满意的，更少” – 贝塔斯曼亚洲投资基金（BAI） / 龙宇
2. 《参与感》
“让创业项目运营更深入用户，把用户当朋友，最大化调动用户的参与感并给用户提供极致的体验，建立与用户的信任关系，通过口碑的积累建立长期品牌影响力。” – PP租车 / 张丙军
“很多内容都不陌生，但结合小米的发展历程和天价估值读完还是收益良多” – 君联资本 / 侯琢
3. 《黑客与画家》
豆瓣介绍：本书是硅谷创业之父Paul Graham 的文集，主要介绍黑客即优秀程序员的爱好和动机，讨论黑客成长、黑客对世界的贡献以及编程语言和黑客工作方法等所有对计算机时代感兴趣的人的一些话题。书中的内容不但有助于了解计算机编程的本质、互联网行业的规则，还会帮助读者了解我们这个时代，迫使读者独立思考。
推荐 by 蘑菇街 / 陈琪
4. 《九败一胜》
“失败不是成功之母，失败后的反思学习成长才是。创业成功的团队基因，是完全不同的。” – 真顺基金 / 李祝捷
“创业公司离死有多近” – 启明创投 / 黄宇
“创始人的视野和执行力令人惊叹” – HH / 王益莘
同时推荐 by 金沙江创投 / 刘佳
5. 《罗马人的故事》
“如何通过制度的建立对内治理、通过扶持和并存的态度对外，条条大路通罗马需要实力和胸怀，值得共勉” – SIG海纳亚洲创投基金 / 王雪晶
6. 《乔布斯传》
“读了好几遍，乔布斯丰富的人生，对于产品的理解，对于整个生态的格局，在家庭生活中不甚完美的表现，让人读完热血澎湃” – 熙金资本 / 刘立坤
7. 《失控》
“二十年前的预测未来的书。” – 蓝湖资本 / 胡博予
8. 《T he Hard T hing About Hard T hings》
“可能和大多数人的读后感不同，这本书让我意识到，#接地气#是多么重要。” – 以太资本 / 戴旭
9. 《游戏改变世界》
”这才是真正的游戏从业者“ – 华兴资本 / 许乐洋
10. 《做你自己》
“股神儿子的作品，读完之后，让人对人生的意义有了新的感受。人生除了追名逐利，还有很多事情可以做，非常适合一个人思考人生时候的阅读。“ – 景林资本 / 杨梦逸
11. 《Z ero to One》
“这个，大家都懂得“ – 真格基金 / 吴旦
“PT讲述创业历程，分享他对行业和创业的洞察，很多真知灼见” – 真格基金 / 顾旻曼
同时推荐 by 红杉资本 / 翟璐
“2014年：6本最受用投资相关书籍”
1. 《Abundance》（富足）
“这本书与投资无关，却最深刻地印证我的投资理念，相信技术的进步能克服一切资源的限制，相信文明的进步是建立在人们对美好普适价值自然地拥抱。把乐观的目光投向富足的未来。” – 贝塔斯曼亚洲投资基金（BAI） / 龙宇
2. 《滚雪球》
“投资实际上是一种与人性弱点的对抗，在市场面前个人永远是渺小的” – 启明创投 / 黄宇
3. 《卖桔者言》
“产权和定价角度看交易。对公司治理和投资都有启发” – 真格基金 / 顾旻曼
4. 《投资中最简单的事》
“通俗易懂朗朗上口” – HH / 王益莘
同时推荐 by 红杉资本 / 翟璐
5. 《乌合之众》
豆瓣介绍：古斯塔夫?勒庞在他在书中极为精致地描述了集体心态，对人们理解集体行为的作用以及对社会心理学的思考发挥了巨大影响。
推荐 by 蘑菇街 / 陈琪
6. 《Z ero to One》
”创业大神的感悟对如今浮躁的中国创业圈很有现实指导意义” – 光速创投 / 潘翔
“peter大神的书，对于创业，投资都有很深的启发，如何在行业中发现机会，如何去抓住机会，很值得深入思考” – 熙金资本 / 刘立坤
“还是这本不解释” – 君联资本 / 侯琢
“创新垄断市场要素归纳精炼:技术，网络效应，规模，品牌。” – 险峰华兴 / 赵阳
“2014年：18本非实用主义的好书”
1. 《1Q84》
”笔者对现代人生活中人性的揭露以及描述让人手不释卷” – 真格基金 / 吴旦
2. 《创新者的窘境》
“修身养性” – 华兴资本 / 许乐洋
3. 《大数据时代》
“多知即多得” – 君联资本 / 侯琢
4. 《巨富》
推荐 by HH / 王益莘
5. 《奇点临近》
“让我们看到了灵魂永生的科技实现路径。” – PP租车 / 张丙军
6. 《讲谈社中国的历史》
“十本不同日本学者分别书写的中国不同朝代的历史，严肃而通俗” – SIG海纳亚洲创投基金 / 王雪晶
7. 《量子物理史话-上帝掷骰子吗》
“可能可以用通俗的语言让你的世界观动摇。” – 蓝湖资本 / 胡博予
8. 《李光耀：新加坡赖以生存的硬道理》
了解下新加坡的发展方式可以借鉴到中国的发展方向 – 启明创投 / 黄宇
9. 《NOMA》
“写给食物的情诗，在那儿吃饭，食神本人签名送的。我爱做饭” – 贝塔斯曼亚洲投资基金（BAI） /龙宇
10. 《品味四讲》
“开篇第一句：所有生活的美学旨在抵抗一个字—忙。这本书会让你的心突然静下来。” – 以太资本/ 戴旭
11. 《普京传》
“铁血强人的独白，赞” – 熙金资本 / 刘立坤
12. 《如何管理90后》
推荐 by 世铭投资 / 熊婷
13. 《统治史》
“对历史统治制度百科全书式的总结。从学术的角度看也许有些生硬武断，但不失为值得一看的书。” – EQT / 易然
14. 《T he Very hungry Caterpillar》
风险矩阵案例
三角模糊数互补判断矩阵案例 （模糊层次矩阵） 民航是一个高风险的服务行业，安全状况的好坏直接影响着其声誉、经济效益乃至生存。作为旅客登机出行的必经之地——机场则尤为重要。我国于2008年2月1日起，正式实施“民用机场运行安全管理规定”[2]，通过建立一套完善有效的安全管理体系，对保证航空安全有着重要的作用和意义，而其中的安全风险管理则是重要组成部分。目前美国、加拿大等国家在实施安全管理系统时，采用了风险评估矩阵来进行风险管理。该矩阵将风险的可能性和严重性联系在一起，可以根据用途进行细化，但是对于处理大量数据时，具有一定的局限性。 我国学者曾采用层次分析法(AHP)，对民用机场影响飞行安全的各因素进行了评估。但是，对于层次分析法，当判断矩阵不具有一致性时，需要调整判断矩阵的元素，使其具有一致性，这不排除要经过若干次调整、检验、再调整、再检验的过程才能使判断矩阵具有一致性；另外，判断矩阵的一致性与人类思维的一致性有显著差异[2-6]。 在进行安全风险管理时，存在着很多不确定因素困扰着风险评估，其主要原因是专家的意见存在着偏差，人为因素难以进行清晰明确的分析，然而这些不确定因素却是正常的和不可避免的。因此，引入了模糊数学，克服了层次分析法的局限性以及人类思维的主观性，从而形成了模糊层次分析法(Fuzzy Analytical Hierarchy Process，FAHP)。 笔者拟采取模糊层次分析法对某一民用机场影响飞行安全的各因素进行评估，这将不仅能够客观地评估民用机场的安全现状、发现隐患和薄弱环节，而且对于改善其安全有着积极的 作用。 1 预备知识
其中，λ值的选择取决于决策者的风险态度。 当λ＞0.5时，称决策者是追求风险的； 当λ=0.5时，称决策者是风险中立的；
矩阵方程求解方法
矩阵方程求解方法 本文所述的矩阵方程是指形如Ax=b的方程，其中A是一个mxn的矩阵，称为方程的系数 矩阵。x和b是mx1的矩阵。特别的，当b=0时，这种方程又称为其次方程。本文将讨论 这种矩阵的有解条件和求解方法。 矩阵方程的有解条件 为了解释矩阵方程的有解条件，我们首先要熟悉一些概念。 一个矩阵方程的增广矩阵是系数矩阵A和b并在一起构成的矩阵，记作(A,b)。 假定 , ,则矩阵方程的增广矩阵就是 矩阵的秩定义为其行向量中极大线性无关组中包含向量的个数，等价的说法是，矩阵的秩 是r，则矩阵通过行列初等变换，变换成左上角是一个r阶单位矩阵，其他都是0的矩阵。矩阵A的秩记作r(A)，其中r是英文单词rank的缩写。 有了这两个基本概念，我们就可以准确描述矩阵方程的有解条件了：矩阵方程Ax=b的有 解条件是矩阵A的秩等于增广矩阵(A,b)的秩，也就是r(A)=r(A,b)。 证明很简单，既然矩阵A的秩是r，那么肯定可以找到两个可逆的矩阵P,Q，满足 --1) 其中I r表示r阶单位矩阵。 应用到原来的方程，可以得到: --2) 我们把Q-1x当作一个未知的变量，PAQ当作系数，这就构成一个新的矩阵方程。而这个矩 阵方程的左侧系数除了前r行是有1的之外，其余行是0。为了它有解，Pb的后m-r行必 须也是0。这样(A,b)的秩必然是r。 必须注意到Q-1是可逆的，因此以Q-1x为未知变量的方程有解意味着以x为未知变量的原 方程也是有解的。
矩阵方程的解 对于矩阵方程Ax=b，如果满足r(A)=r(A,b)，则矩阵方程是有解的。为了求它的解，我们首先把矩阵方程通过行列初等变换变化成前文2）式的形式，代入1）式后得到： --3) 其中Q-1x和Pb是一个列向量，我们可以把它们分割成rx1和(n-r)x1的两个矩阵，分别记作x’1和x’2，及b’1和b’2。则很显然我们可以得到： --4) 很显然，b’2必须为0，因为展开后b’2等于0 x’1 +0 x’2 =0 而由4式可以看出，x’1= b’1，x’2可以为任意向量。 所以方程最后的解为： --5) 从解的形式可以看出解空间有如下特性： 1．方程Ax=b的解空间的秩是n=r(A) 2．如果A是满秩的，则方程的解唯一。
层次分析法
城市核心竞争力的多层次评价指标 作者：未知来源：网络添加日期：10年02月06日 一、城市核心竞争力评价指标体系的建立 （一）层次体系建立 1.城市竞争力的评价指标 城市竞争力是一个混沌的系统，这些系统以其表现方式的不同可概括成两类:硬分力和软分力，其中硬分力=人才力+资本力+科技力+环境力+区位力+设施力+结构力，软分力=文化力+制度力+管理力+开放力，这样城市竞争力的框架便表示为:城市竞争力=硬分力+软分力。 2.城市核心竞争力的定义 城市核心竞争力是一座城市所具有的关键性能力，这种能力能使一座城市在某一个行业(或产业)、某一个领域取得领先地位，获得竞争优势。所以，在这些关键性领域的投入与产出比例一般要高于其他领域。 3.城市核心竞争力的评价方法 确定权重的方法很多，由于城市核心竞争力判别系统是一个多级递阶结构，采用层次分析法较为适宜。 4.建立的指标层次体系 城市核心竞争力包含软实力与硬实力两方面。前者包含有：文化力、制度力、管理力、开放力。后者包含有：人才力、资本力、科技力、环境力、区位力、设施力、结构力。 （二）层次分析方法的基本过程 1.建立层次结构模型 在这一步中，我们首先要确定目标，随后找出影响目标的几个主因，而然后在每个主因下再找出分别影响这些主因的分因。 2.构造判断矩阵
确定各层次因素之间的相对重要性并赋以相应的分值，构造出各层次中的所有判断矩阵。分值标准如上表： 3.层次单排序 对判断矩阵B，计算满足BW=λmaxW的特征根与特征向量，式中λmax 为B 的最大特征根，W 为对应于λmax 的正规化特征向量，W的分量Wi 是相应因素单排序的权值。为了检验矩阵的一致性,需要计算它的一致性指标CI，定义CI=(λmax- n) /(n- 1)。随机一致性指标RI，可查表确定。 4.层次总排序 层次总排序需要从上到下逐层顺序进行，对于最高层下面的第二层，其层次单排序即为总排序。随后对这个总的排序矩阵计算特征值与特征向量。 5.一致性检验 对总排序矩阵的计算结果仍然要进行一致性检验，方法可参考步骤（3） 二、城市核心竞争力层次评价步骤 1.建立城市核心竞争力层次结构模型 根据以上层次结构模型建立城市核心竞争力的层次结构模型，即城市核心竞争力包含软实力与硬实力两方面。前者包含有：文化力、制度力、管理力、开放力。后者包含有：人才力、资本力、科技力、环境力、区位力、设施力、结构力。 2.构造判断矩阵 首先，建立城市核心竞争力层次矩阵，设为A，其表达如下： 其次，细化硬实力矩阵，设为B1，表达如下：
第3章 矩阵及其运算
第3章 矩阵及其运算 3.1 基本要求、重点难点 基本要求： 1．1．掌握矩阵的定义. 2．2．掌握矩阵的运算法则. 3．3．掌握伴随矩阵的概念及利用伴随矩阵求逆矩阵的方法. 4．4．掌握矩阵秩的概念及求矩阵秩的方法. 5．5． 掌握初等变换和初等矩阵的概念，能够利用初等变换计算矩阵的秩，求可逆矩阵的逆矩阵. 6．6．掌握线形方程组有解得判定定理及其初等变换解线形方程组的方法. 重点难点：重点是矩阵定义，矩阵乘法运算，逆矩阵的求法，矩阵的秩，初等 变换及线性方程组的解. 难点是矩阵乘法，求逆矩阵的伴随矩阵方法. 3.2 基本内容 3.2.1 3.2.1 重要定义 定义3.1 由n m ?个数)2,1;,2,1(n j m i a ij ==组成的m 行n 列的数表成为一个m 行n 列矩阵，记为 ????????????mn m m n n a a a a a a a a a 2122221 11211 简记为A n m ij a ?=)(，或A )(ij a =,n m A ?,mn A 注意行列式与矩阵的区别： （1） （1） 行列式是一个数，而矩阵是一个数表. （2） （2） 行列式的行数、列数一定相同，但矩阵的行数、列数不一定相 同. （3） （3） 一个数乘以行列式，等于这个数乘以行列式的某行（或列）的所有元素，而一个数乘以矩阵等于这个数乘以矩阵的所有元素. （4） （4） 两个行列式相等只要它们表示的数值相等即可，而两个矩阵相等则要求两个矩阵对应元素相等. （5） （5） 当0||≠A 时，||1A 有意义，而A 1 无意义.
n m =的矩阵叫做阶方阵或m 阶方阵.一阶方阵在书写时不写括号，它在 运算中可看做一个数. 对角线以下（上）元素都是0的矩阵叫上（下）三角矩阵，既是上三角阵， 又是下三角的矩阵，也就是除对角线以外的元素全是0的矩阵叫对角矩阵.在对角矩阵中，对角线上元素全一样的矩阵叫数量矩阵；数量矩阵中，对角线元素全是1的n 阶矩阵叫n 阶单位矩阵，常记为n E （或n I ），简记为E （或I ），元素都是0的矩阵叫零矩阵，记为n m 0?，或简记为0. 行和列分别相等的两个矩阵叫做同型矩阵，两个同型矩阵的且对应位置上的 元素分别相等的矩阵叫做相等矩阵. 设有矩阵A =n m ij a ?)(，则A -n m ij a ?-=)(称为A 的负矩阵. 若A 是方阵，则保持相对元素不变而得到的行列式称为方针A 的行列式，记 为||A 或A Det . 将矩阵A 的行列式互换所得到的矩阵为A 的转置矩阵，记为T A 或A '. 若方阵A 满足A A T =，则称A 为对称矩阵，若方阵A 满足A A T -=，则称A 为反对称矩阵. 若矩阵的元素都是实数，则矩阵称为实矩阵.若矩阵的元素含有复数，则称矩 阵为复矩阵，若A =n m ij a ?)(是复矩阵，则称矩阵n m ij a ?)(（其中ij a 为ij a 的共轭矩阵，记为A n m ij a ?=)(. 定义3.2 对于n 阶矩阵A ，如果存在n 阶矩阵B ，使得E BA AB ==，则 称方阵A 可逆，B 称为A 的逆矩阵，记做1-=A B . 对于方阵A n m ij a ?=)(，设ij a 的代数余子式为ij A ，则矩阵 *A ????????????=nm n n n n A A A A A A A A A 2122212 12111 称为A 的伴随矩阵，要注意伴随矩阵中元素的位置. 定义3.3 设有矩阵A ，如果： （1） （1） 在A 中有一个r 阶子式D 不为零.
矩阵的基本概念
§1 矩阵及其运算 教学要求：理解矩阵的定义、掌握矩阵的基本律、掌握几类特殊矩阵（比如零矩阵，单位矩阵，对称矩阵和反对称矩阵 ) 的定义与性质、注意矩阵运算与通常数的运算异同。能熟练正确地进行矩阵的计算。 知识要点： 一、矩阵的基本概念 矩阵，是由个数组成的一个行列的矩形表格，通常用大写 字母表示，组成矩阵的每一个数，均称为矩阵的元素，通常 用小写字母其元素表示，其中下标都是正整数， 他们表示该元素在矩阵中的位置。比如，或 表示一个矩阵，下标表示元素位于该矩阵的第行、第列。元素全为零的矩阵称为零矩阵。 特别地，一个矩阵，也称为一个维列向量；而一个矩阵，也称为一个维行向量。
当一个矩阵的行数与烈数相等时，该矩阵称为一个阶方阵。对于方阵，从左上角到右下角的连线，称为主对角线；而从左下角到右上角的连线称为付对角线。若一个阶方阵的主对角线上的元素 都是，而其余元素都是零，则称为单位矩阵，记为，即： 。如一个阶方阵的主对角线上（下）方的元 素都是零，则称为下（上）三角矩阵，例如，是 一个阶下三角矩阵，而则是一个阶上三角 矩阵。今后我们用表示数域上的矩阵构成的集合， 而用或者表示数域上的阶方阵构成的集合。 二、矩阵的运算 1、矩阵的加法：如果是两个同型矩阵（即它们具 有相同的行数和列数，比如说），则定义它们的和 仍为与它们同型的矩阵（即），的元素为和 对应元素的和，即：。
给定矩阵，我们定义其负矩阵为：。这样我们 可以定义同型矩阵的减法为：。由于矩阵的加法运算归结为其元素的加法运算，容易验证，矩阵的加法满足下列运算律： （ 1）交换律：； （ 2）结合律：； （ 3）存在零元：； （ 4）存在负元：。 2 、数与矩阵的乘法： 设为一个数，，则定义与的乘积仍 为中的一个矩阵，中的元素就是用数乘中对应的 元素的道德，即。由定义可知：。容易验证数与矩阵的乘法满足下列运算律： （1 ）； （2 ）； （3 ）； （4 ）。
矩阵多项式与多项式矩阵
§8矩阵多项式与多项式矩阵 设A 是n 阶阵，则为矩阵A 的特征多项式 事实上，n n n n a a a A E f ++++=-=--λλλλλ111)( 因此有 一、Hamilton -Cayley Th （哈密顿—开莱） Th 2.每个n 阶矩阵A ，都是其特征多项式的根，即 0111=++++--E a A a A a A n n n n （矩阵） 注：该定理旨在用于：当一个n 阶矩阵的多项式次数高于n 次时，则可用该定理将它化为次数小于n 的多项式来计算。 eg 1.设???? ? ??-=010110201A 试计算E A A A A A 432)(2458-++-=? 解：A 的特征多项式为 12)(23+-=-=λλλλA E f 取多项式432)(2 458-++-=λλλλλ? )()()149542(235λλλλλλr f +?-+-+= 余项103724)(2+-=λλλr 由上定理0)(=A f ???? ? ??----=+-==∴346106195026483103724)()(2E A A A r A ? Df 2.一般地，设)(λ?是多项式，A 为方阵，若0)(=A ?，则称)(λ?是矩阵A 的零化多项式。 根据定义：每个矩阵都有其零化多项式，即A E f -=λλ)( Df 3.设A 是n 阶矩阵，则的首项系数为1的次数最小的零化多项式)(λm ，称为A 的最小多项式。 显然：①矩阵A 的零化多项式都被其最小多项式整除。 ②矩阵A 的最小多项式是唯一的 Th 3.矩阵A 的最小多项式的根必是A 的特征根；反之，A 的特征根也必是A 的最小多项式的根——特征多项式与最小多项式之间的关系。 由此可得，求最小多项式的一个方法： 设n n C A ?∈，其所有不同的特征值为s λλλ,,,21 ，则其特征多项式为ks s k k A E f )()()()(2121λλλλλλλλ---=-=
矩阵的定义及其运算规则
矩阵的定义及其运算规则 1、矩阵的定义 一般而言，所谓矩阵就是由一组数的全体，在括号（）内排列成m行n 列（横的称行，纵的称列）的一个数表，并称它为m×n阵。 矩阵通常是用大写字母 A 、B …来表示。例如一个m 行n 列的矩阵可以简记为： ，或 。即： （2-3） 我们称（2-3）式中的为矩阵A的元素，a的第一个注脚字母，表示矩阵的行数，第二个注脚字母j（j＝1，2，…，n）表示矩阵的列数。 当m＝n时，则称为n阶方阵，并用表示。当矩阵（a ij）的元素仅有一行或一列时，则称它为行矩阵或列矩阵。设两个矩阵，有相同的行数和相同的列数，而且它们的对应元素一一相等，即，则称该两矩阵相等，记为A＝B。 2、三角形矩阵 由i＝j的元素组成的对角线为主对角线，构成这个主对角线的元素称为主对角线元素。 如果在方阵中主对角线一侧的元素全为零，而另外一侧的元素不为零或不全为零，则该矩阵叫做三角形矩阵。例如，以下矩阵都是三角形矩阵： ，，，。 3、单位矩阵与零矩阵 在方阵中，如果只有的元素不等于零，而其他元素全为零，如： 则称为对角矩阵，可记为。如果在对角矩阵中所有的彼此
都相等且均为1，如：，则称为单位矩阵。单位矩阵常用E来表示，即： 当矩阵中所有的元素都等于零时，叫做零矩阵，并用符号“0”来表示。 4、矩阵的加法 矩阵A＝（a ij）m×n和B＝（b ij）m×n相加时，必须要有相同的行数和列数。如以C＝（c ij）表示矩阵A及B的和，则有： m ×n 式中：。即矩阵C的元素等于矩阵A和B的对应元素之和。 由上述定义可知，矩阵的加法具有下列性质（设A、B、C都是m×n矩阵）： （1）交换律：A＋B＝B＋A （2）结合律：（A＋B）＋C＝A＋（B＋C） 5、数与矩阵的乘法 我们定义用k右乘矩阵A或左乘矩阵A，其积均等于矩阵中的所有元素都乘上k之后所得的矩阵。如： 由上述定义可知，数与矩阵相乘具有下列性质：设A、B都是m×n矩阵，k、h为任意常数，则： （1）k（A＋B）＝kA＋kB （2）（k＋h）A＝kA＋hA （3）k（hA）＝khA
矩阵理论
矩阵理论 通过学习矩阵理论这门课，发现在这个大数据的时代，矩阵理论是这个时代的基础学科，也是计算机飞速发展的引擎，它的重要性令我咂舌。一下内容是我对矩阵理论这门课程的总结和描述。 本门课程主要包含以下几部分内容：线性方程组、线性空间与线性变换、内积空间、特殊变换及其矩阵、范数及其应用、矩阵分析及其应用、特征值问题。 一 线性方程组 对*m n 矩阵A 施行一次初等行变换(初等行变换)，相当于在A 的左边(右边)乘以相应的m 阶(n 阶)初等矩阵。 由于现代计算机处理的数据越来越多，运行的任务越来越大，因此，对矩阵的处理复杂度就是我们关注的重点。 对行列式的拉普拉斯变换是将一个n 阶行列式的计算转化为n 个1n -阶行列式的计算，但是它的计算时间是!n 级。所以拉普拉斯展开定理在理论上非常重要，但在计算上一般仅用于低阶或特殊的行列式。 判断一个算法的优劣，有很多标准，包括时间复杂度和空间复杂度，显然，时间复杂度越小，说明算法效率越高，因此算法也越有价值；而空间复杂度越小，说明算法越好。但主要考虑时间复杂度，因为人生苦短嘛哈哈。 对于一些常用的()f n ，成立下列重要关系： 23(1)(log )()(log )()() (2)(3)(!)()n n n O O n O n O n n O n O n O O O n O n <<<<<<<<< LU 分解就是致力于对降低对方程组求解的复杂度。LU 分解就是在可以的情况下，将矩阵A 分解成单位下三角矩阵和一个上三角的乘积。这样的话，对Ax b =求解，可以转化为对Ly b =求解，然后对Ux y =求解。但是，不是每一个矩阵都可以这样分解，是要满足一定的要求的，这个要求就是矩阵A 的顺序主子式均不为零。 但是不满足这个条件的矩阵就不能分解了吗？当然不是啦！加入一个方阵A 不是顺序主子式不全为零的时候，但是通过行变换，可以满足要求，这样就得了下面这个定理。 如果存在置换矩阵P 、单位下三角矩阵L 与上三角矩阵U ，使得方阵A 满足P A L U =，称作带置换的LU 分解。
计算方法_矩阵LU分解法
clear all; %A=LU矩阵三角分解法 n=input('输入方矩阵的维数: '); for i=1:n for j=1:n A(i,j)=input('依次输入矩阵元素：'); end end %输入一个n阶方形矩阵 for j=1:n L(j,j)=1; %Doolittle分解，L对角元素全为1 end for j=1:n U(1,j)=A(1,j); end %U的第一行 for i=2:n L(i,1)=A(i,1)/U(1,1); end %L的第一列 for k=2:n for j=k:n sum1=0; for m=1:k-1 sum1=sum1+L(k,m)*U(m,j); end %求和 U(k,j)=A(k,j)-sum1; end for i=k+1:n sum2=0; for m=1:k-1 sum2=sum2+L(i,m)*U(m,k); end %求和 L(i,k)=(A(i,k)-sum2)/U(k,k); end end L %输出下三角矩阵L U %输出上三角矩阵U
运行结果：（示例） 输入方矩阵的维数: 4 依次输入矩阵元素： 1 依次输入矩阵元素： 1 依次输入矩阵元素： 2 依次输入矩阵元素： 3 依次输入矩阵元素：0 依次输入矩阵元素： 2 依次输入矩阵元素： 1 依次输入矩阵元素： 2 依次输入矩阵元素： 1 依次输入矩阵元素：-1 依次输入矩阵元素： 2 依次输入矩阵元素： 2 依次输入矩阵元素： 2 依次输入矩阵元素： 2 依次输入矩阵元素： 5 依次输入矩阵元素：9 A=LU分解后则可以求解Ax=b线性方程组，相关计算参考计算方法，这里不再详细介绍。
最小割集、径集
相关概念 割集——也叫做截集或截止集，它是导致顶上事件发生的基本事件的集合。也就是说事故树中一组基本事件的发生，能够造成顶上事件发生，这组基本事件就叫割集。引起顶上事件发生的基本事件的最低限度的集合叫最小割集。 径集——也叫通集或导通集，即如果事故树中某些基本事件不发生，顶上事件就不发生。那么，这些基本事件的集合称为径集。不引起顶上事件发生的最低限度的基本事件的集合叫最小径集。 TOP 最小割集求解方法 行列法 结构法 布尔代数化简法 行列法 行列法是1972年福塞尔提出的方法，所以也称其为福塞尔法。其理论依据是：“与门”使割集容量增加，而不增加割集的数量；“或门”使割集的数量增加，而不增加割集的容量。这种方法是从顶上事件开始，用下一层事件代替上一层事件，把“与门”连接的事件，按行横向排列；把“或门”连接的事件，按列
纵横向摆开。这样，逐层向下，直至各基本事件，列出若干行，最后利用布尔代数化简。化简结果，就得出若干最小割集。 为了说明这种计算方法，我们以图4—25所示的事故树为例，求其最小割集。 事故树示意图 我们看到，顶上事件T与中间事件A1、A2是用“或门”连接的，所以，应当成列摆开，即 A1、A2与下一层事件B1、B2、X1、X2、X4的连结均为“与门”，所以成行排列：
下面依此类推： 整理上式得： 下面对这四组集合用布尔代数化简，根据A ·A ＝A ，则X 1·X 1＝X 1，X 4·X 4＝X 4，即 又根据A ＋A ·B ＝A ，则X 1·X 2＋X 1·X 2·X 3＝X 1·X 2，即 于是，就得到三个最小割集{X 1，X 2}，{ X 4，X 5}，{ X 4，X 6}。按最小割集化简后的事故树，如图4－26所示:
矩阵图基本知识
矩阵图基本知识 (一)矩阵图的概念 所谓矩阵图是一种利用多维思考去逐步明确问题的方法。其工具是矩阵图。就是从问题的各种关系中找出成对要素L1，L2，…，L i，…，L n和R1，R2，…，R j，…，R n，用数学上矩阵的形式排成行和列，在其交点上标示出L和R各因素之间的相互关系，从中确定关键点的方法。 在分析质量问题的原因、整理顾客需求、分解质量目标时，将问题、顾客需求、质量目标(设为L)放在矩阵图的左边，将问题的原因、顾客需求转化来的质量目标或针对质量目标提出的质量措施(设为R)列在矩阵图的上方，用不同的符号表示它们之间关系的强弱，通常用◎表示关系密切，○表示有关系，△表示可能有关系，如图6.4-16所示。通过在交点处给出行与列对应要素的关系及关系程度，可以从二元关系中探讨问题所在和问题的形态，并得到解决问题的设想。 在寻求问题的解决手段时，若目的(或结果)能够展开为一元性手段(或原因)，则可用树图法。然而，若有两种以上的目的(或结果)，则其展开用矩阵图法较为合适。 (二)矩阵图的种类 在矩阵图法中，按矩阵图的型式可将矩阵图分为L型、T型、X型和Y 型四种。如图6.4-17所示。 (1)L型矩阵图是一种最基本的矩阵图，如图6.4-17(a)所示，它是由A类因素和B类因素二元配置组成的矩阵图。这种矩阵图适用于把若干个目的和为了实现这些目的的手段，或若干个结果及其原因之间的关联。 (2)T型矩阵图是由C类因素和B类因素组成的L型矩阵图和由C类因素和A类因素组成的L型矩阵图组合在一起的矩阵图，如图6.4-17(b)所示。即表示C类因素分别与B类因素和A类因素相对应的矩阵图。 (3)Y型矩阵图是由A类因素和B类因素、B类因素和C类因素、C类因
矩阵方程的解法
矩阵方程的解法 本文首先介绍了行对称矩阵的定义及性质，利用矩阵的广义逆，奇异值分解，给出了矩阵方程AX=B有行对称解的充分必要条件及有解时通解的表达式；并给出了矩阵方程解集合中与给定矩 阵的最佳逼近解的表达式。最后利用奇异值分解给出了矩阵方程 有行对称解的充分必要条件及有解时通解的表达式。矩阵方程问 题是指在满足一定条件的矩阵集合中求矩阵方程的解的问题。不 同的约束条件，不同的矩阵方程，就导致了不同的约束矩阵方程 问题。约束矩阵方程问题在结构设计，参数识别，主成分分析， 勘测，遥感，生物学，电学，固体力学，结构动力学，分子光谱学，自动控制理论，振动理论，循环理论等领域都有重要应用。 约束矩阵方程问题的内容非常广泛、约束矩阵方程问题又分为线性约束矩阵方程问题和非线性约束矩阵方程问题、有关线性约束矩阵方程问题的研究成果相当丰富、其中最简单的矩阵方程AX = B是研究最透彻的一类问题、求解线性矩阵方程一般会遇到两种情况：一是当矩阵方程有解时，如何求它的解及最佳逼近；二是 当矩阵方程无解时，如何求它的最小二乘解。对于本文所研究的AX= B、这两类简单矩阵方程，国内外学者已经作了大量研究。都在相应的文献中对其进行了大量的研究，解决了求此方程的一些 约束解和最小二乘解的问题。自从针对工程应用领域提出了行对
称矩阵概念之后，这方面研究已经取得了一些成果，如对行对称矩阵的一些性质，行对称矩阵的QR分解。本文先对行对称矩阵进行介绍，再将行对称矩阵与约束矩阵方程结合起来，先研究了矩阵方程AX=B有行对称实矩阵解的充要条件，有解时，用奇异值分解及广义逆求出解及最佳逼近。再对矩阵方程有行对称实矩阵解的充要条件进行了研究，利用奇异值分解得出了有解时的充要条件及解的表达式。设表示全体n*m阶实矩阵集合，rank(A)表示矩阵A的秩,表示次对角线上元素全为1，其余元素全为0的方阵，即=,显然有成立。表示n阶正交矩阵全体。本文要讨论以下问题：问题1 给定矩阵A,B,求实行对称方阵X，使得AX=B。问题2 给定，求，使得。其中为问题1的解集。问题3 给定矩阵,求实行对称方阵X，使得=B。 定义设A = ()，若A满足，则称A为n *m行对称矩阵、所有n *m行对称矩阵的全体记为。考查满足的矩阵A，不难发现A 是关于行具有某种对称性的矩阵，即当阶数n为奇数时，以将行为对称线，矩阵A的行关于该线对称；当阶数n为偶数时，在行与行间做一条直线，则A的行关于该直线对称。或简单的说，将A 进行上下翻转后矩阵不变，我们就称这种矩阵为行对称矩阵。为了更好的了解行对称矩阵，我们介绍一下行对称矩阵的性质：（1）当n=2k时，=、（2）当n=2k+1时，=定义设A=，r(A)=r,的大于零的特征值为。则称为A的奇异值。定义设矩阵A ，若矩阵X满足如下四个Penrose方程：
两类二次矩阵方程的数值求解方法
两类二次矩阵方程的数值求解方法 二次矩阵方程在物理学、材料学、工程学、控制理论和科学计算等诸多领域有着广泛而深刻的应用.对其解的存在性研究和相应的数值求解方法不但在理论上具有重要意义而且在实际应用中也非常有价值.尤其近十几年随着计算机的飞速发展,非线性矩阵方程的数值解在工程控制领域和计算数学领域都逐渐发展成为了一个非常热门的课题.本文主要研究来自于物理中质量一弹簧系统的一类单边二次矩阵方程的数值求解问题和来自粒子转移理论中的非对称代数Riccati 矩阵方程数值求解问题.在第2章,我们研究来自于质量-弹簧系统的一类单边二次矩阵方程的数值求解问题.我们首先提出这一方程解存在的一个充分条件；其次根据方程系数矩阵的特点,我们提出一种保M-矩阵结构的加倍算法来计算方程的极端解；在适当的条件下,我们还证明该算法的单调收敛性和局部二次收敛性.我们的数值试验说明我们提出的算法要优于带精确线性搜索的牛顿法和伯努利迭代法.在第3章,我们研究用循环约化算法来求解过阻尼系统产生的单边二次矩阵方程.与现有的二次收敛循环约化算法不同,我们提出一种三次收敛的循环约化算法.在过阻尼条件下我们证明所提出算法的适定性和收敛性.数值试验表明该算法在方程接近于过阻尼系统的临界状态时将比原来的循环约化算法具有更快的收敛性.在第4章,我们继续研究循环约化算法的在临界状态过阻尼系统中的收敛性.Guo, Higham和Tisseur在假设临界过阻尼系统中按绝对值大小顺序排列的第n个特征值的部分重数(partial multiplicity)为2的条件下证明了循环约化算法的线性收敛性,而且算法产生的某些矩阵序列收敛于零矩阵.我们首先给出一个例子说明当上述假设条件不满足时,循环约化算法的收敛性与Guo等的收敛结论并不完全相同,即算法产生的相应的矩阵序列可以不收敛到零
图的矩阵表示及习题-答案汇总
177 图的矩阵表示 图是用三重组定义的，可以用图形表示。此外，还可以用矩阵表示。使用矩阵表示图，有利于用代数的方法研究图的性质，也有利于使用计算机对图进行处理。矩阵是研究图的重要工具之一。本节主要讨论无向图和有向图的邻接矩阵、有向图的可达性矩阵、无向图的连通矩阵、无向图和有向图的完全关联矩阵。 定义9.4.1 设 G =
178 ③邻接矩阵与结点在图中标定次序有关。例如图9.23(a)的邻接矩阵是A (G )，若将图9.23(a)中的接点v 1和v 2的标定次序调换，得到图9.23(b)，图9.23(b)的邻接矩阵是A ′(G )。 ?????? ? ? ?='001010110001 1100)(G A 考察A (G )和A ′(G )发现，先将A (G )的第一行与第二行对调，再将第一列与第二列对调可 得到A ′(G )。称A ′(G )与A (G )是置换等价的。 一般地说，把n 阶方阵A 的某些行对调，再把相应的列做同样的对调，得到一个新的n 阶方阵A ′，则称A ′与A 是置换等价的。可以证明置换等价是n 阶布尔方阵集合上的等价关系。 虽然，对于同一个图，由于结点的标定次序不同，而得到不同的邻接矩阵，但是这些邻接矩阵是置换等价的。今后略去结点标定次序的任意性，取任意一个邻接矩阵表示该图。 ④对有向图来说，邻接矩阵A (G )的第i 行1的个数是v i 的出度， 第j 列1的个数是v j 的入度。 ⑤零图的邻接矩阵的元素全为零，叫做零矩阵。反过来，如果一个图的邻接矩阵是零矩阵，则此图一定是零图。 设G =
矩阵方程的解法
两类矩阵方程的行对称矩阵解 及AX=B的最佳逼近 摘要本文首先介绍了行对称矩阵的定义及性质，利用矩阵的广义 逆，奇异值分解，给出了矩阵方程AX=B有行对称解的充分必要条件及有解时通解的表达式；并给出了矩阵方程解集合中与给定矩阵的最佳 逼近解的表达式。最后利用奇异值分解给出了矩阵方程T 有行 AXA B 对称解的充分必要条件及有解时通解的表达式。 矩阵方程问题是指在满足一定条件的矩阵集合中求矩阵方程的 解的问题。不同的约束条件，不同的矩阵方程，就导致了不同的约束矩阵方程问题。约束矩阵方程问题在结构设计，参数识别，主成分分析，勘测，遥感，生物学，电学，固体力学，结构动力学，分子光谱学，自动控制理论，振动理论，循环理论等领域都有重要应用。 约束矩阵方程问题的内容非常广泛. 约束矩阵方程问题又分为 线性约束矩阵方程问题和非线性约束矩阵方程问题. 有关线性约束 矩阵方程问题的研究成果相当丰富. 其中最简单的矩阵方程AX = B 是研究最透彻的一类问题. 求解线性矩阵方程一般会遇到两种情况：一是当矩阵方程有解时，如何求它的解及最佳逼近；二是当矩阵方程无解时，如何求它的最小
二乘解。对于本文所研究的AX=B 、T AXA B =这两类简单矩阵方程，国 内外学者已经作了大量研究。都在相应的文献中对其进行了大量的研究，解决了求此方程的一些约束解和最小二乘解的问题。 自从针对工程应用领域提出了行对称矩阵概念之后，这方面研究已经取得了一些成果，如对行对称矩阵的一些性质，行对称矩阵的QR 分解。 本文先对行对称矩阵进行介绍，再将行对称矩阵与约束矩阵方程结合起来，先研究了矩阵方程AX=B 有行对称实矩阵解的充要条件，有解时，用奇异值分解及广义逆求出解及最佳逼近。再对矩阵方程 T AXA B =有行对称实矩阵解的充要条件进行了研究，利用奇异值分解 得出了有解时的充要条件及解的表达式。 设*m n R 表示全体n*m 阶实矩阵集合，rank(A)表示矩阵A 的秩,n J 表示 次对角线上元素全为1，其余元素全为0的方阵，即n J =*0 101n n ?? ? ? ?? ? ,显然有1 ,T n n n n J J J J -==成立。*n n OR 表示n 阶正交矩阵全体。 本文要讨论以下问题： 问题1 给定矩阵A,B ∈*m n ,求实行对称方阵X ，使得AX=B 。
几何光学中的矩阵方法
几何光学中的矩阵方法 几何光学是基于几何学研究光学的基本方法。几何光学，尤其是矩阵方法在研究光学系统成像时有着巨大的优势。本文通过论述矩阵方法在几何光学中的应用，介绍描述傍轴光线成像的光学ABCD矩阵。同时进一步将矩阵方法拓展至非傍轴光线，得到描述任意光线成像的严格ABCD矩阵。 在光学研究中，当光波长远小于研究对象的尺寸时，通常会利用几何光学方法来研究光线的传播。几何光学中光线的传播遵循三个基本定律：1. 光在自由空间中沿直线独立传播；2. 光的折射定律；3. 光的反射定律。虽然几何光学忽略了光的波动性，无法解释干涉、衍射等物理现象，但是其在光学系统成像性质的研究中有着巨大的优势。 光学系统成像的核心是光学系统变换。1840年C. Gauss建立了高斯光学，用来研究理想光学系统傍轴成像（即满足傍轴近似的光线的成像）性质。傍轴近似下，光线与光学系统中心轴的夹角很小，可以使用小角近似关系，。在这种近似下，光学系统变换退化为线性变换，因此可以用矩阵方法来进行描述。矩阵方法最初是由R. A. Sampson引入几何光学，用来处理几何像差等问题错误！未找到引用源。。之后矩阵方法拓展至研究非傍轴成像，为非傍轴成像的研究提供了新的方法。 本文分为两部分，第一部分着重于傍轴近似下的矩阵方法，介绍ABCD矩阵对光学系统变换的描述。第二部分拓展至包括非傍轴光线的任意光线的传播，介绍并推导严格ABCD矩阵。 一傍轴光线成像与矩阵 上述结论基于傍轴近似，研究的是理想光学系统的傍轴成像。然而实际成像系统中，非傍轴光线成像造成的影响往往是不可忽略的。非傍轴光线与傍轴光线往往不是成像于同一点，即非傍轴光线与傍轴光线成像之间存在差异，称之为几何像差。实际成像中，我们需要关注成像质量，即需要去衡量几何像差的大小。这种情况下，傍轴ABCD矩阵是无法解决的。我们需要引入可以描述非傍轴光线的ABCD矩阵，即严格ABCD矩阵。 二任意光线成像与严格ABCD矩阵 对于任意光线的成像，我们希望同样能够用矩阵进行描述，同时能够保持与傍轴ABCD矩阵相似的形式。因此我们尝试去除傍轴近似，来得到严格的变换关系，即严格ABCD矩阵错误！未找到引用源。。 对于共轴光学系统，光线成像依旧可以分成自由空间传播、折射与反射三种情况。首先我们讨论折射情况。从几何学的角度，我们首先作出入射光线与折射光线所在直线。设折射点为，在入射光线所在的直线上作，在折射光线所在直
矩阵知识点归纳
矩阵知识点归纳 (一)二阶矩阵与变换 1．线性变换与二阶矩阵 在平面直角坐标系xOy 中，由? ??? ? x ′＝ax ＋by ，y ′＝cx ＋dy ，(其中a ，b ，c ，d 是常数)构成的变换称 为线性变换．由四个数a ，b ，c ，d 排成的正方形数表???? ? ?a b c d 称为二阶矩阵，其中a ，b ，c ， d 称为矩阵的元素，矩阵通常用大写字母A ，B ，C ，…或(a ij )表示(其中i ，j 分别为元素a ij 所在的行和列)． 2．矩阵的乘法 行矩阵[a 11a 12]与列矩阵??????b 11b 21的乘法规则为[a 11a 12]???? ??b 11b 21＝[a 11b 11＋a 12b 21]，二阶矩阵??????a b c d 与列矩阵??????x y 的乘法规则为??????a b c d ??????x y ＝??????ax ＋by cx ＋dy .矩阵乘法满足结合律，不满足交换律和消去律． 3．几种常见的线性变换 (1)恒等变换矩阵M ＝???? ? ?1 00 1； (2)旋转变换R θ对应的矩阵是M ＝???? ?? cos θ －sin θsin θ cos θ； (3)反射变换要看关于哪条直线对称．例如若关于x 轴对称，则变换对应矩阵为M 1＝??????1 00 －1；若关于y 轴对称，则变换对应矩阵为M 2＝???? ?? －1 0 0 1；若关于坐标原点对称，则变换对应矩阵M 3＝???? ?? －1 0 0 －1； (4)伸压变换对应的二阶矩阵M ＝???? ??k 1 00 k 2，表示将每个点的横坐标变为原来的k 1 倍，纵 坐标变为原来的k 2倍，k 1，k 2均为非零常数； (5)投影变换要看投影在什么直线上，例如关于x 轴的投影变换的矩阵为M ＝??????1 00 0； (6)切变变换要看沿什么方向平移，若沿x 轴平移|ky |个单位，则对应矩阵M ＝???? ? ?1 k 0 1， 若沿y 轴平移|kx |个单位，则对应矩阵M ＝???? ??1 0k 1.(其中k 为非零常数)． 4．线性变换的基本性质 设向量α＝??????x y ，规定实数λ与向量α的乘积λα＝??????λx λy ；设向量α＝??????x 1y 1，β＝???? ??x 2y 2，规定向量α与β的和α＋β＝???? ?? x 1＋x 2y 1＋y 2. (1)设M 是一个二阶矩阵，α、β是平面上的任意两个向量，λ是一个任意实数，则①M (λα)＝λMα，②M (α＋β)＝Mα＋Mβ. (2)二阶矩阵对应的变换(线性变换)把平面上的直线变成直线(或一点)．
行阶梯形矩阵方法总结
行阶梯形矩阵方法总结 导读：行阶梯形矩阵，Row—Echelon Form，是指线性代数中的矩阵。 阶梯形矩阵 如果： 所有非零行（矩阵的行至少有一个非零元素）在所有全零行的上面。即全零行都在矩阵的底部。 非零行的首项系数（leading coefficient），也称作主元，即最左边的首个非零元素（某些地方要求首项系数必须为1），严格地比上面行的首项系数更靠右。 首项系数所在列，在该首项系数下面的元素都是零（前两条的推论）。 这个矩阵是行阶梯形矩阵： 化简后的行阶梯形矩阵（reduced row echelon form），也称作行规范形矩阵（row canonical form），如果满足额外的条件：每个首项系数是1，且是其所在列的唯一的非零元素。例如： 注意，这并不意味着化简后的行阶梯形矩阵的左部总是单位阵。例如，如下的矩阵是化简后的行阶梯形矩阵： 因为第3列并不包含任何行的首项系数。 矩阵变换到行阶梯形 通过有限步的行初等变换，任何矩阵可以变换为行阶梯形。由
于行初等变换保持了矩阵的行空间，因此行阶梯形矩阵的行空间与变换前的原矩阵的行空间相同。 行阶梯形的.结果并不是唯一的。例如，行阶梯形乘以一个标量系数仍然是行阶梯形。但是，可以证明一个矩阵的化简后的行阶梯形是唯一的。 一个线性方程组是行阶梯形，如果其增广矩阵是行阶梯形。类似的，一个线性方程组是简化后的行阶梯形或'规范形'，如果其增广矩阵是化简后的行阶梯形。 【行阶梯形矩阵方法总结】 1.数学线性代数之矩阵学习总结 2.线性代数矩阵课件 3.银行工作总结的写作方法 4.矩阵检测试题 5.琵琶行描写音乐的方法 6.学习方法的总结 7.新人银行柜员个人总结 8.银行后勤总结 上文是关于行阶梯形矩阵方法总结，感谢您的阅读，希望对您有帮助，谢谢
矩阵发展历史
矩阵发展历史 因为行列式要求行数等于列数，排成的表总是正方形的，通过对它的研究又发现了矩阵的理论。矩阵也是由数排成行和列的数表，可以行数和烈数相等也可以不等。 矩阵和行列式是两个完全不同的概念，行列式代表着一个数，而矩阵仅仅是一些数的有顺序的摆法。利用矩阵这个工具，可以把线性方程组中的系数组成向量空间中的向量；这样对于一个多元线性方程组的解的情况，以及不同解之间的关系等等一系列理论上的问题，就都可以得到彻底的解决。 矩阵是数学中的一个重要的基本概念，是代数学的一个主要研究对象，也是数学研究和应用的一个重要工具。“矩阵”这个词是由西尔维斯特首先使用的，他是为了将数字的矩形阵列区别于行列式而发明了这个述语。而实际上，矩阵这个课题在诞生之前就已经发展的很好了。从行列式的大量工作中明显的表现出来，为了很多目的，不管行列式的值是否与问题有关，方阵本身都可以研究和使用，矩阵的许多基本性质也是在行列式的发展中建立起来的。在逻辑上，矩阵的概念应先于行列式的概念，然而在历史上次序正好相反。 先把矩阵作为一个独立的数学概念提出来，并首先发表了关于这个题目的一系列文章。凯莱同研究线性变换下的不变量相结合，首先引进矩阵以简化记号。1858年，他发表了关于这一课题的第一篇论文《矩阵论的研究报告》，系统地 阐述了关于矩阵的理论。文中他定义了矩阵的相等、矩阵的运算法则、矩阵的转置以及矩阵的逆等一系列基本概念，指出了矩阵加法的可交换性与可结合性。另外，凯莱还给出了方阵的特征方程和特征根（特征值）以及有关矩阵的一些基本结果。凯莱出生于一个古老而有才能的英国家庭，剑桥大学三一学院大学毕业后留校讲授数学，三年后他转从律师职业，工作卓有成效，并利用业余时间研究数学，发表了大量的数学论文。 1855 年，埃米特(C.Hermite，1822～1901)证明了别的数学家发现的一些矩阵类的特征根的特殊性质，如现在称为埃米特矩阵的特征根性质等。后来，克莱伯施(A.Clebsch，1831～1872)、布克海姆(A.Buchheim)等证明了对称矩阵的特征根性质。泰伯(H.Taber)引入矩阵的迹的概念并给出了一些有关的结论。 在矩阵论的发展史上，弗罗伯纽斯(G.Frobenius,1849-1917)的贡献是不可磨灭的。他讨论了最小多项式问题，引进了矩阵的秩、不变因子和初等因子、正交矩阵、矩阵的相似变换、合同矩阵等概念，以合乎逻辑的形式整理了不变因子和初等因子的理论，并讨论了正交矩阵与合同矩阵的一些重要性质。 1854 年，约当研究了矩阵化为标准型的问题。1892年，梅茨勒(H.Metzler)引进了矩阵的超越函数概念并将其写成矩阵的幂级数的形式。傅立叶、西尔和庞加莱的著作中还讨论了无限阶矩阵问题，这主要是适用方程发展的需要而开始的。 矩阵本身所具有的性质依赖于元素的性质，矩阵由最初作为一种工具经过两个多世纪的发展，现在已成为独立的一门数学分支——矩阵论。而矩阵论又可分为矩阵方程论、矩阵分解论和广义逆矩阵论等矩阵的现代理论。矩阵的应用是多方面的，不仅在数学领域里，而且在力学、物理、科技等方面都十分广泛的应用。