矩阵的定义
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的解取决于 系数
aij (i, j = 1,2,L, n),
常数项 bi (i = 1,2,L,n)
线性方程组的系数与常数项按原位置可排为
a11 a21 L a n1
2. 某航空公司在 某航空公司在A,B,C,D四 四 城市之间开辟了若干航线 , 如图所示表示了四城市间的 航班图,如果从 如果从A到 有航班 有航班, 航班图 如果从 到B有航班 则用带箭头的线连接 A 与B.
Fra Baidu bibliotek
1 2 14 3 同型矩阵. 例如 5 6 与 8 4 为同型矩阵 3 7 3 9
2.两个矩阵 = (aij )与B = (bij ) 同型矩阵 并且 2.两个矩阵A 为同型矩阵,并且 对应元素相等,即 对应元素相等 即
aij = bij (i = 1,2,L, m; j = 1,2,L, n ),
1 矩阵, 2 是一个 3 × 1 矩阵, 4 × 矩阵, (2 3 5 9) 是一个 1× 4 矩阵
(4) 是一个 1 × 1 矩阵 矩阵.
几种特殊矩阵 (1)行数与列数都等于 n 的矩阵 A ，称为 n 阶 (1)行数与列数都等于 方阵. 方阵.也可记作 An×n . 例如
A = diag(λ1, λ2 ,L, λn ). A = diag(c, c,Lc). 数量矩阵或纯量矩阵
记作
零矩阵， （4）元素全为零的矩阵称为零矩阵， × n 零 ）元素全为零的矩阵称为零矩阵 m 矩阵记作 om×n 或 o . 注意 例如 不同阶数的零矩阵是不相等的. 不同阶数的零矩阵是不相等的
a11 a21 M am 1
a12 a22 M
L a1n L a2 n M
am 2 L amn
称为 m × n矩阵.简称 m × n 矩阵. 记作 矩阵. 矩阵.
主对角线 a11
a 21 A= L a 副对角线 m 1
a12 a 22 L am1
L a1 n L a2n L L L a mn
线性变换. 线性变换
其中 a ij为常数 .
y1 = a11 x1 + a12 x2 + L + a1n xn , y = a x + a x + L+ a x , 2 21 1 22 2 2n n LLLLLLLLL ym = am 1 x1 + am 2 x2 + L + amn xn . LL
3.
半期考 成绩 张华 王玲 期末考 成绩 张华 王玲
英语 80 70 英语 60 80
数学 90 80 数学 80 90
计算机 70 90 计算机 90 90
二、矩阵的定义(Definition) 矩阵的定义(Definition)
由 m × n 个数 aij (i = 1,2,L, m; j = 1,2,L, n ) 排成的 m行 n 列的数表
表示有航班. 表示有航班 改成1,空白地方填上 改成 空白地方填上
其中
为了便于计算,把表中的 为了便于计算 把表中的 0,就得到一个数表 就得到一个数表: 就得到一个数表
A A B C D
0 1 1 0
1
B
C
D
1 1
0 0 1
0 0
0 0 1 0
这个数表反映了四城市间交通联接情况. 这个数表反映了四城市间交通联接情况
b1 a22 L a2n b2 对线性方程组的 研究可转化为对 L L L L 这张表的研究. 这张表的研究 an2 L ann bn B a12 L a1n
A
C
D
四城市间的航班图情况常用表格来表示: 四城市间的航班图情况常用表格来表示 到站 B D A C
发站
A B C D
则称矩阵 与 相等,记作 则称矩阵 A与 相等 记作 A = B . B
例1 n个变量 x1 , x2 ,L, xn与m 个变量 y1 , y2 ,L, ym 之 间的关系式
y1 = a11 x1 + a12 x2 + L + a1n xn , y = a x + a x + L+ a x , 2 21 1 22 2 2n n LLLLLLLLL ym = am 1 x1 + am 2 x2 + L + amn xn . 表示一个从变量 x1 , x2 ,L, xn 到变量 y1 , y2 ,L, ym的
a1 a2 B = , 称为列矩阵(或列向量). 称为列矩阵 列矩阵( 列向量). M a n 0 L 0 O λ 2 L 0 的方阵, 的方阵, 称为对角 称为对角 不全为0 不全为0 L L L 矩阵(或对角阵）. 矩阵( 对角阵） O L λ 0 n
13 6 2 2 2 2 2 2 2
是一个3 阶方阵 是一个 阶方阵.
(2)只有一行的矩阵 (2)只有一行的矩阵 A1×n = (a1 , a2 ,L, an ), 称为行矩阵( 行向量) 称为行矩阵(或行向量). 行矩阵
只有一列的矩阵
λ1 形如 0 （3） ） L 0
一、矩阵概念的引入 Introduction of the definition of Matrix
a11 x1 + a12 x2 + L + a1n xn = b1 a x + a x + L + a x = b 2n n 2 1. 线性方程组 21 1 22 2 LLLLLLLLLLLL an1 x1 + an 2 x2 + L + ann xn = bn
思考题
矩阵与行列式的有何区别? 矩阵与行列式的有何区别?
思考题解答
矩阵与行列式有本质的区别， 矩阵与行列式有本质的区别，行列式是一个 算式，一个数字行列式经过计算可求得其值， 算式，一个数字行列式经过计算可求得其值，而 矩阵仅仅是一个数表 它的行数和列数可以不同. 数表， 矩阵仅仅是一个数表，它的行数和列数可以不同
0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 ≠ (0 0 0 0). 0 0 0 0 0 0
(5)上三角形 ,下三角形矩阵 上三角形 下三角形矩阵
a11 a12 L a1n 0 a22 L a2n 形如 M M M 0 0 L ann
线性变换
x1 = cos ϕx − sin ϕy , y1 = sin ϕx + cos ϕy .
对应
cos ϕ sin ϕ
− sin ϕ cos ϕ
Y
这是一个以原点为中心 角的旋转变换 旋转变换. 旋转 ϕ 角的旋转变换
P1 ( x1 , y1 )
ϕ
O
θ
P ( x, y ) X
a 11 a 21 A= L a m1
a 12 a 22 L am1
L L L L
a1n a 2 n 系数矩阵 L a mn
线性变换与矩阵之间存在着一一对应关系. 线性变换与矩阵之间存在着一一对应关系.
y1 = x1 , y = x , 2 2 称之为恒等变换 恒等变换. 若线性变换为 称之为恒等变换. LLL yn = x n y1 = x1 , 1 0 L 0 y = x , 2 2 对应 0 1 L 0 单位阵. L L L L 单位阵. LLL 0 0 L 1 yn = x n
的矩阵称为上三角矩阵 的矩阵称为上三角矩阵 特点：主对角线的左下方的元素全为零． 特点：主对角线的左下方的元素全为零．
(6)方阵 方阵
1 0 0 1 E = En = L L O 0 0
0 O L 0 L L L 1 L
全为1 全为
称为单位矩阵（ 单位阵） 称为单位矩阵（或单位阵）. 单位矩阵 同型矩阵与矩阵相等的概念 1.两个矩阵的行数相等,列数相等时,称为同 1.两个矩阵的行数相等,列数相等时,称为同 两个矩阵的行数相等 型矩阵. 型矩阵
矩阵A的 (m, n)元
简记为
A = Am×n = (aij )m×n = (aij ).
这m × n个数称为 A的元素 ,简称为元 . 简称为元
元素是实数的矩阵称为实矩阵 元素是实数的矩阵称为实矩阵, 实矩阵 元素是复数的矩阵称为复矩阵 元素是复数的矩阵称为复矩阵. 复矩阵
例如
1 0 3 5 是一个 2 × 4 实矩阵 实矩阵, − 9 6 4 3
aij (i, j = 1,2,L, n),
常数项 bi (i = 1,2,L,n)
线性方程组的系数与常数项按原位置可排为
a11 a21 L a n1
2. 某航空公司在 某航空公司在A,B,C,D四 四 城市之间开辟了若干航线 , 如图所示表示了四城市间的 航班图,如果从 如果从A到 有航班 有航班, 航班图 如果从 到B有航班 则用带箭头的线连接 A 与B.
Fra Baidu bibliotek
1 2 14 3 同型矩阵. 例如 5 6 与 8 4 为同型矩阵 3 7 3 9
2.两个矩阵 = (aij )与B = (bij ) 同型矩阵 并且 2.两个矩阵A 为同型矩阵,并且 对应元素相等,即 对应元素相等 即
aij = bij (i = 1,2,L, m; j = 1,2,L, n ),
1 矩阵, 2 是一个 3 × 1 矩阵, 4 × 矩阵, (2 3 5 9) 是一个 1× 4 矩阵
(4) 是一个 1 × 1 矩阵 矩阵.
几种特殊矩阵 (1)行数与列数都等于 n 的矩阵 A ，称为 n 阶 (1)行数与列数都等于 方阵. 方阵.也可记作 An×n . 例如
A = diag(λ1, λ2 ,L, λn ). A = diag(c, c,Lc). 数量矩阵或纯量矩阵
记作
零矩阵， （4）元素全为零的矩阵称为零矩阵， × n 零 ）元素全为零的矩阵称为零矩阵 m 矩阵记作 om×n 或 o . 注意 例如 不同阶数的零矩阵是不相等的. 不同阶数的零矩阵是不相等的
a11 a21 M am 1
a12 a22 M
L a1n L a2 n M
am 2 L amn
称为 m × n矩阵.简称 m × n 矩阵. 记作 矩阵. 矩阵.
主对角线 a11
a 21 A= L a 副对角线 m 1
a12 a 22 L am1
L a1 n L a2n L L L a mn
线性变换. 线性变换
其中 a ij为常数 .
y1 = a11 x1 + a12 x2 + L + a1n xn , y = a x + a x + L+ a x , 2 21 1 22 2 2n n LLLLLLLLL ym = am 1 x1 + am 2 x2 + L + amn xn . LL
3.
半期考 成绩 张华 王玲 期末考 成绩 张华 王玲
英语 80 70 英语 60 80
数学 90 80 数学 80 90
计算机 70 90 计算机 90 90
二、矩阵的定义(Definition) 矩阵的定义(Definition)
由 m × n 个数 aij (i = 1,2,L, m; j = 1,2,L, n ) 排成的 m行 n 列的数表
表示有航班. 表示有航班 改成1,空白地方填上 改成 空白地方填上
其中
为了便于计算,把表中的 为了便于计算 把表中的 0,就得到一个数表 就得到一个数表: 就得到一个数表
A A B C D
0 1 1 0
1
B
C
D
1 1
0 0 1
0 0
0 0 1 0
这个数表反映了四城市间交通联接情况. 这个数表反映了四城市间交通联接情况
b1 a22 L a2n b2 对线性方程组的 研究可转化为对 L L L L 这张表的研究. 这张表的研究 an2 L ann bn B a12 L a1n
A
C
D
四城市间的航班图情况常用表格来表示: 四城市间的航班图情况常用表格来表示 到站 B D A C
发站
A B C D
则称矩阵 与 相等,记作 则称矩阵 A与 相等 记作 A = B . B
例1 n个变量 x1 , x2 ,L, xn与m 个变量 y1 , y2 ,L, ym 之 间的关系式
y1 = a11 x1 + a12 x2 + L + a1n xn , y = a x + a x + L+ a x , 2 21 1 22 2 2n n LLLLLLLLL ym = am 1 x1 + am 2 x2 + L + amn xn . 表示一个从变量 x1 , x2 ,L, xn 到变量 y1 , y2 ,L, ym的
a1 a2 B = , 称为列矩阵(或列向量). 称为列矩阵 列矩阵( 列向量). M a n 0 L 0 O λ 2 L 0 的方阵, 的方阵, 称为对角 称为对角 不全为0 不全为0 L L L 矩阵(或对角阵）. 矩阵( 对角阵） O L λ 0 n
13 6 2 2 2 2 2 2 2
是一个3 阶方阵 是一个 阶方阵.
(2)只有一行的矩阵 (2)只有一行的矩阵 A1×n = (a1 , a2 ,L, an ), 称为行矩阵( 行向量) 称为行矩阵(或行向量). 行矩阵
只有一列的矩阵
λ1 形如 0 （3） ） L 0
一、矩阵概念的引入 Introduction of the definition of Matrix
a11 x1 + a12 x2 + L + a1n xn = b1 a x + a x + L + a x = b 2n n 2 1. 线性方程组 21 1 22 2 LLLLLLLLLLLL an1 x1 + an 2 x2 + L + ann xn = bn
思考题
矩阵与行列式的有何区别? 矩阵与行列式的有何区别?
思考题解答
矩阵与行列式有本质的区别， 矩阵与行列式有本质的区别，行列式是一个 算式，一个数字行列式经过计算可求得其值， 算式，一个数字行列式经过计算可求得其值，而 矩阵仅仅是一个数表 它的行数和列数可以不同. 数表， 矩阵仅仅是一个数表，它的行数和列数可以不同
0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 ≠ (0 0 0 0). 0 0 0 0 0 0
(5)上三角形 ,下三角形矩阵 上三角形 下三角形矩阵
a11 a12 L a1n 0 a22 L a2n 形如 M M M 0 0 L ann
线性变换
x1 = cos ϕx − sin ϕy , y1 = sin ϕx + cos ϕy .
对应
cos ϕ sin ϕ
− sin ϕ cos ϕ
Y
这是一个以原点为中心 角的旋转变换 旋转变换. 旋转 ϕ 角的旋转变换
P1 ( x1 , y1 )
ϕ
O
θ
P ( x, y ) X
a 11 a 21 A= L a m1
a 12 a 22 L am1
L L L L
a1n a 2 n 系数矩阵 L a mn
线性变换与矩阵之间存在着一一对应关系. 线性变换与矩阵之间存在着一一对应关系.
y1 = x1 , y = x , 2 2 称之为恒等变换 恒等变换. 若线性变换为 称之为恒等变换. LLL yn = x n y1 = x1 , 1 0 L 0 y = x , 2 2 对应 0 1 L 0 单位阵. L L L L 单位阵. LLL 0 0 L 1 yn = x n
的矩阵称为上三角矩阵 的矩阵称为上三角矩阵 特点：主对角线的左下方的元素全为零． 特点：主对角线的左下方的元素全为零．
(6)方阵 方阵
1 0 0 1 E = En = L L O 0 0
0 O L 0 L L L 1 L
全为1 全为
称为单位矩阵（ 单位阵） 称为单位矩阵（或单位阵）. 单位矩阵 同型矩阵与矩阵相等的概念 1.两个矩阵的行数相等,列数相等时,称为同 1.两个矩阵的行数相等,列数相等时,称为同 两个矩阵的行数相等 型矩阵. 型矩阵
矩阵A的 (m, n)元
简记为
A = Am×n = (aij )m×n = (aij ).
这m × n个数称为 A的元素 ,简称为元 . 简称为元
元素是实数的矩阵称为实矩阵 元素是实数的矩阵称为实矩阵, 实矩阵 元素是复数的矩阵称为复矩阵 元素是复数的矩阵称为复矩阵. 复矩阵
例如
1 0 3 5 是一个 2 × 4 实矩阵 实矩阵, − 9 6 4 3