矩阵的概念及其运算-

矩阵 C 完全由矩阵 A 和矩阵 B 决定, C 中第 i 行第 j 列元 c i j 是由 A 中第 i 行的每一个元与 B 中第 j 列的对应元相
乘然后再相加得到的
定义 设 A aij 是ms 矩阵, B bij 是sn 矩阵
则由元
c i j a i 1 b 1 j a i 2 b 2 j a i s b s j ( i 1 , 2 ,, m ; j 1 , 2 ,, n )
2.1 矩阵的概念
一、矩阵的引入 二、矩阵的概念 三、几种特殊的方阵
一、矩阵的引入
1. mn线性方程组
a11x1 a12x2

a21x1

a22 x2


am1x1 am2x2
a1nxn b1 a2nxn b2
amnxn bm
当mn时,上式称为n 元线性方程组
(i,j1,2, ,n),则称A 为下三角矩阵.
对称矩阵：如果 n 阶方阵A aij 中的元满足
aijaji (i,j1,2, n) 则称 A 为对称矩阵
a11 a12
a1n
A


a12
a22
a2n





a1n a2n
ann
其实,引例中航班只有单程的情况比较少见,国内航班
ann
数量矩阵：如果 n 阶对角矩阵 A 中元 a11a22 anna,
a 0
0
A


0
a
0




0
0
a

特别的,当a 1 时,该数量矩阵称为单位矩阵,记为E n 或 E
很多书也记为 I n 或 I .
上(下)三角矩阵：如果 n 阶方阵 A aij 中的元满足
68
14
22
2 8 7 4 6 8
3 3221
222 ? 24
18
22
注意： 矩阵乘法不满足交换律 即A ： B B,A
矩阵乘法的运算规则
1ABCABC 2A B C A B A CBCABAC A 3 kA B k A B A k B （其中 k 为常数）; 4 A m n E n E m A m n A ; A m n O n p O m p ; O q m A m n O q n 5 设A是 n 阶矩阵，称 A k 为A的 k 次幂，即
性质
1、 A A
不一样!
AB AB
2、 kA kn A
3、 ABABBA
定义
设A是n阶方阵,若 A 0 ,则称A为非奇异矩阵
(非退化矩阵).否则称A为奇异矩阵(退化矩阵).
amnxn bm
对线性方程组的 研究可转化为对 这张矩形数表的 研究
a11 a12

a
21
a22

am1 am2
a1n b1
a2n
b2


amn bm
2.某航空公司在A,B,C,D四城市 之间开辟了若干航线 ,如图所示 表示了四城市间的航班图,如果
从A到B有航班,则用带箭头的 A
线从 A 指向B
到站
A
B
C
A
发站 B C
D
B
C D
D
为了便于计算,把表中的 那就得到了如下的数表
改为1,而空白处填0,
0
1
1
0
1
0
1
0
1
0
0
1
0
1
0
0
这个数表反映了四个城市之间的交通连接情况
二、矩阵的概念
定义
由 mn个数排成的一个m行n列的的数表
a11 a12
a1n
A


a21
a22
a ij0 ,ij(i,j 1 ,2 , ,n ),则称 A 为上三角矩阵
a11 a12
a1n
A
0
a22
a2
n



上

0
0
ann

a11 0
0
下 A


a21
a22
0





an1 an2
ann
如果 n 阶方阵A aij 中的元满足 aij 0,i j
则称矩阵 A 与矩阵 B 相等,记为 A B
行数列数对应相等的矩阵为同型矩阵
对比行列式相等的概念 只要两个行列式值相等，就说这两个行列式相等
定义
两个mn矩阵 Aaij ,Bbij 的和 A B
指的是 mn矩阵 (aij bij ) ,即
A B a ijm n b ijm n a ij b ijm n
系数 a ij(i 1 ,2 , m ;j 1 ,2 , n )
方程组的解取决于
常数项 bi(i1,2, m)
将方程组的未知量系数 与常数项按原来的位置 可以排成一个矩形数表
a11x1 a12x2

a21x1

a22 x2


am1x1 am2x2
a1nxn b1 a2nxn b2
大多为双程,也就是说,其路线矩阵为对称矩阵.
反称矩阵：如果 n 阶方阵 A aij 中元满足
a ij a ji (i,j 1 ,2 , ,n ) 则称 A 为反称矩阵. 由定义可以推出,若 A 为反称矩阵,则 aii aii ,即 aii 0(i1,2, ,n)因此反称矩阵的主对角线元全为零
0 a12
a1n
A


a12
0
a2n





a1n
a2n
0

2.2 矩阵的运算
一、矩阵的加法 二、矩阵的数乘 三、矩阵的乘积 四、矩阵的转置
定义
如果 Aaij ,Bbij 是两个mn矩阵,
且满足 a ij b ij(i 1 ,2 , m ;j 1 ,2 , n )
A


a21
a22

an1 an2
a1n
a2
n


ann
其中 a11,a22, ,ann 称为方阵A的主对角线元.
当 mn矩阵 A 中所有的元均为零时,称 A 为 零矩阵,记为 O m n . 若不引起混淆,记为O .
注 不同阶数的零矩阵是不相等的. 意
三、几种特殊的方阵
a11 a12
A


a21
a22

am1 am2
a1n
a2n


X
x1


x
2


amn
xn
方程组可用矩阵表示为 AXB
b1
B


b
2


bm
定义
将矩阵A
aij
的行取作列（或列取作行），
mn
ka2n


kamn
数k 与矩阵 A 的乘积就是把 A 中的每个元都乘以k .
数乘后的矩阵与原矩阵为同型矩阵
数乘法则
k(AB)kAkB (kl)AkAlA (kl)Ak(lA )l(kA ) 1A A 0AO 若k0,AO,则 kAO
矩阵相加与数乘矩阵合起来,统称为矩阵的线性运算.
减法同样也要求同型矩阵
加减法其实是两个矩阵的对应位置上的元分别相加相减
定义 设 A aij 是mn矩阵, k 是常数,数 k 与矩阵
A 的乘积指的是矩阵 ( k a i j ) ,记为 k A ,即
ka11 ka12
kA


ka21
ka22

kam1 kam2
ka1n
2ABAB
3kA kA
（其中 k 为常数）;
4ABBA
5 n 阶方阵 A 是对称矩阵的充要条件是 A A
n 阶方阵 A 是反称矩阵的充要条件是 A A
定义
对n阶方阵 A aij ,将A中元按照原来顺序做
一个n阶行列式,称之为方阵A的行列式,记为 d e t A , 或 A
(A B )2A 22A B B 2 Ak O 并不能推出 A O A2 E 并不能推出 AE
用矩阵表示线性方程组
a11x1 a12x2

a21x1

a22 x2


am1x1 am2x2
a1nxn b1 a2nxn b2
amnxn bm
A k A A A 并且 AmAk Amk, Am k Amk.
k个
m,k为 正 整 数
不一样的乘法
1 A B 存在不一定 B A 存在 2 AB,BA 都存在也不一定相等
3AO ,BO ,AB却可能等于 O 4ACBC,CO并不能推出 A B 5 A B k A k B k ;A 2 B 2 ( A B ) ( A B )
的行数相同
S i
A 与B 乘积的第 i 行 j 列元 c i j 是由 A 中的第 i 行的每一个元
与B 中的第 j 列的对应元相乘然后得到
j列


行




动动笔
7 1
4 2 2223
8322?24
a2n



am1 am2
amn
称为一个 mn 矩阵, 其中a i j 称为矩阵的第i 行 j 列
元(i 1 ,2 , m ;j 1 ,2 , n ).mn矩阵A 也记为
A m n 或者
aij
.
mn
当 mn时,即矩阵的行数等于列数时,称 A 为n阶方阵
a11 a12
可得到一个nm矩阵，称此矩阵为 A 的转置矩阵，简称
A 的转置，记为A
a11 a12
a1n
A


a
21
a22
a2n



am1 am2
amn
a11 a21
A


a12
a22

a1n a2n
am1
am
2


anm
矩阵转置的性质
1A A
只有同型矩阵才能相加，结果也是同型矩阵
交换律 ABBA
结合律 A (B C ) (A B ) C
AOA其中 A , O 是同类型矩阵
负矩阵
记A aij mn,则称其为 A 的负矩阵
AAO
定义减法 ABA(B)
A B a i jm n b i jm n a i j b i jm n
一阶方阵 A a 视同普通的数 a .
对角矩阵：如果 n 阶方阵 A aij 中的元满足 a ij 0 ,
ij(i,j1,2, n),则称 A 是对角矩阵
a11 0
0
A

0
a22
0

通常对角矩阵记为




diaga11,a22, ann
0 0
构成的mn矩阵 C cij
称为矩阵 A 与矩阵 B 的乘积,记为 C AB
乘积矩阵 C AB的行数等于 A 的行数，列数等于 B 的列数
A
B
ms
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
sn
mn
C=AB
位于左边的矩阵 A 的列数与位于右边的矩阵 B
S列






行