浅谈高等代数在中学的应用

浅谈高等代数在中学的应用

数学与计算机科学学院专业：数学与应用数学

学号：2011031532 朱伟达指导老师：卢明先

【摘要】线性代数是数学的一个分支，是一门数学基础课程．近几年随着高等数学已渐渐走入初等数学，线性代数在初等数学中也有广泛应用．本文共分为五个部分：例说行列式在中学数学中的应用，线性方程组在中学数学中的应用，二次型理论在中学数学中的应用，矩阵与变换引入中学数学的意义及应用，用向量法解决初等几何问题．本文主要是从上述几个方面分析了线性代数在中学数学中的若干应用以及有关例题的讲解过程．

【关键词】行列式;齐次线性方程组;二次型; 矩阵;向量

Discussion on Application of Higher Algebra in middle school

ZHU wei-da 2011031532 Advisor:LU ming-xian

Pure and Applied Mathematics College of Mathematics and Computer Science 【Abstract】:Linear algebra is a branch of mathematics. It is a mathematical foundation co urse. In recent years, some content of higher mathematics are begun to learn by middle school stud ents. And Linear algebra has also wide application in elementary mathematics. This paper is divid ed into five parts. In these parts, we will give a lot of examples to show some applications of deter minant, Linear equations, quadratic theory, matrix and transform, vector in elementary mathematic s.

【Keywords】: determinant homogeneous linear system quadratic form matrix vector.

引言:线性代数是学习自然科学、工程和社会科学的一门高度抽象且逻辑性很强的基础理论课程，它本身理论性强，并且计算繁杂．作为高等学校基础课，除了作为各门学科的重要工具以外，还是提高人才的全面素质中起着重要的作用，他在培育理性思维和审美功能方面的作用也得到充分的重视．可以说任何与数学有关的课程都涉及线性代数知识．学习数学就必须解题，解题要以自己的实践过程来实现．本文在阐述一些重要的概念和定理之后，常常附以具体例子，这样可以使读者从实例中了解问题的具体内容，掌握解决问题的思路和算法步骤，以减少理解障碍，从而提高逻辑读者的推理和判断的能力．

第1章 行列式在中学数学中的应用

随着高中数学新课程的实施,行列式在中学数学中的渗透、应用越来越受关注, 行列式是在寻求线性方程组公式解的过程中产生的。行列式是线性代数的基本工具,有许多的应用。这里结合中学数学着重探讨行列式的应用。本文从三个方面浅析其在中学数学中的应用.

1.1 用行列式证明等式

利用行列式证明等式与不等式的方法是对同一行列式用两种不同的计算方法，利用其结果相等而得到等式的证明. 例1 已知0a b c

，求证333

3a b c abc .

证明：令3

3

3

3D a b c abc =++-，则

0000a b c a b c a b c a b c D

c a b c a b c a b b c

a b

c

a

b c

a

，

即3

3330a

b c abc

例2 已知1ax by ，1bx cy ，1cx ay ，求证：222ab bc ca a b c .

证明：令222()()()()D

ab bc ca a b c a b c b c b c a c ，则有

11011001

1

a c a

b ax by a b D

b a

c a cx ay c a c

b

b

c

bx cy b

c

.

例3 在ABC ∆中，求证2

2

2

cos cos cos 12cos cos cos A B C A B C .

证明 由于2

2

2

1

cos cos cos cos cos 2cos cos cos 1

cos 1

cos cos cos 1

C B A B C A B C C

A B A

cos cos cos cos 0cos cos 1

1

cos cos 1cos 01cos 0cos cos cos 1

0cos 1

a b C B C B

C B

a C

b

c A A A a

a

a B

b B

c A A

所以，在ABC 中，222

cos cos cos 12cos cos cos A B C A B C 成立.

例 4求证：2

22cos cos cos (

)2cos cos cos(

)1.

证明：因为

2

2

21cos cos cos 1cos(

)

12cos cos cos(

)cos cos cos (

)

cos

cos(

)

1

D

又22

1

000sin sin sin 00

sin sin sin D

，

故2

2

2cos

cos cos (

)2cos cos cos(

)1

1.2 用行列式分解因式

由行列式的定义，

11

12112212212122

a a a a a a a a .由此启发，我们可以把一个代数式

F 看成两个式子的差，而每个式子又可以看成两个因式的乘积，即

F MN PQ (,,,M N P Q 均为代数式)，于是M P F

Q

N

.由此即可根据行列式的性质，

对某些多项式进行因式分解. 例1分解因式4

3262420x x x x .

解：4

322262420

(61)4(65)x

x x x x x x x 222

21165(4)

461

4

61

x x x x

x x x