中国科技大学运筹学PPT
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问:应如何安排生产计划,才 能使总利润最大?
线性规划问题的数学模型
例1.3 已知资料如下表所示, 问如何安排生产才能使利润 最大?或如何考虑利润大, 产品好销。
设备 产 品
解: 1.决策变量:设产品I、II的产量 分别为 x1、x2 2.目标函数:设总利润为z,则 有: max z = 2 x1 + x2 3.约束条件:
3x1 +x2 +x3 +2 x4
x1、x2 、x3 、x4 ≥0
线性规划问题的数学模型
例1.5 某航运局现有船只种类、数量以及计划期内各条航 线的货运量、货运成本如下表所示:
航线号 船队 类型 编队形式 拖轮 1 1 2 1 A型 驳船 2 — 2 — B型 驳船 — 4 4 4 货运成本 (千元/队) 货运量 (千吨)
在生产管理方面的应用,最早是1939年前苏联的康特洛为奇提 出了生产组织与计划中的线性规划问题,并给出解乘数法的求解方 法,出版了第一部关于线性规划的著作《生产组织与计划中的数学 方法》。 但当时并没有引起重视,直到1960年康特洛为奇再次出版了 《最佳资源利用的经济计算》,才受到国内外的一致重视,为此康 特洛为奇获得了诺贝尔经济学奖。 线性规划提出后很快受到经济学家的重视,如:二次世界大战 中从事运输模型研究的美国经济学家库普曼斯(T.C.Koopmans), 他很快看到了线性规划在经济中应用的意义,并呼吁年轻的经济学 家要关注线性规划。其中阿罗、萨谬尔逊、西蒙、多夫曼和胡尔威 茨等都获得了诺贝尔奖。
绪论
国际上运筹学的思想可追溯到1914年,当时的 兰彻斯特提出了军事运筹学的作战模型。1917年, 丹麦工程师埃尔朗在研究自动电话系统中通话线路 与用户呼叫的数量关系问题时,提出了埃尔朗公式, 研究了随机服务系统中的系统排队与系统拥挤问题。 存储论的最优批量公式是在20世纪20年代初提出的。
运筹学简述
绪论
绪论
运筹学简述
运筹学(Operations Research,简写OR ) 系统工程的最重要的理论基础之一,在美国有人把运筹 学称之为管理科学(Management Science)。运筹学所研究的 问题,可简单地归结为一句话:
“依照给定条件和目标,从众多方案中选择最佳方案”
故有人称之为最优化技术。
绪论
运筹学的发展趋势 成熟的学科分支向纵深发展 新的研究领域产生 与新的技术结合 与其他学科的结合加强 传统优化观念不断变化
运筹学的主要内容
数学规划(线性规划、整数规划、目标规划、动态 规划等) 图论 存储论 排队论
对策论
排序与统筹方法 决策分析
运筹学的主要内容
1. 线性规划(Linear Program)是一个成熟的分支,它有 效的算法——单纯形法,主要解决生产计划问题,合理下料 问题,最优投资问题。 2. 整数规划(Integrate Program):在线性规划的基础上,变 量加上整数约束。 3. 非线性规划(Nonlinear Program):目标函数和约束条件 是非线性函数,如证券投资组合优化:如何合理投资使风险 最小。 4. 动态规划(Dynamic Program):多阶段决策问题。是美国 贝尔曼于1951年提出的。
其中: C (c1 c 2 c n )
x1 X xn
运筹学的主要内容
5、图与网络(Graph Theory and Network):中国邮递员问 题、哥尼斯堡城问题、最短路、最大流问题。 6、存储论(Inventory Theory):主要解决生产中的库存问 题,订货周期和订货量等问题。 7、排队论(Queue Theory):主要研究排队系统中的系统排 队和系统拥挤现象,从而评估系统的服务质量。 8、对策论(Game Theory):主要研究具有斗争性质的优化问 题。
2x1 + 2x2 ≤ 12
A 2
B 1
C 4
D 0
利润 (元)
Ⅰ
2
Ⅱ
有效台时
2
12
2
8
0
16
4
12
3
x1 + 2x2 ≤ 8
4x1 ≤ 16 4x2 ≤ 12 x1 ≥ 0 , x2 ≥ 0
线性规划问题的数学模型
例1.4 某厂生产三种药物, 这些药物可以从四种不同的 原料中提取。下表给出了单 位原料可提取的药物量
线性规划问题的数学模型
例1.1 如图所示,如何截取x使铁皮所围成的容积最 大? x
v a 2 x x
2
a
dv 0 dx
2(a 2 x ) x (2) (a 2 x )2 0
a x 6
线性规划问题的数学模型
例1.2 某厂生产两种产品, 下表给出了单位产品所需资 源及单位产品利润
运筹学
( Operations Research )
第一章
运 筹 帷 幄 之 中 决 胜
绪
论
千 里 之
Introduction
外
绪论
本章主要内容: (1)运筹学简述 (2)运筹学的主要内容 (3)本课程的教材及参考书 (4)本课程的特点和要求 (5)本课程授课方式与考核 (6)运筹学在经济管理中的应用
“运作研究(Operational Research)小组”: 解决复杂的战略和战术问题。例如:
1. 如何合理运用雷达有效地对付德军德空 袭 2. 对商船如何进行编队护航,使船队遭受 德国潜艇攻击时损失最少; 3. 在各种情况下如何调整反潜深水炸弹的 爆炸深度,才能增加对德国潜艇的杀伤 力等。
绪论
解:
1.决策变量:设四种原料的使用
量分别为:x1、x2 、x3 、x4
2.目标函数:设总成本为z min z = 5 x1 + 6 x2 + 7 x3 + 8 x4 3.约束条件:
x1 + 2x2 + x3 + x4 ≥160 2x1 +4 x3 +2 x4 =200 ≤180
要求:生产A种药物至少160 单位;B种药物恰好200单位, C种药物不超过180单位,且 使原料总成本最小。
简写为: max(min) Z
c x
j 1 j
n
j
a
j 1
n
ij
x j ( ) bi
(i 1 2 m ) (j 1 2 n)
xj 0
线性规划问题的数学模型
向量形式: m ax (min) z CX
p j x j ( ) B X 0
9、决策分析(Decision Analysis) :主要研究定量化决策。
本课程授课方式与考核
讲授为主,结合习题作业
学科总成绩
平时成绩 (40%)
期末成绩 (60%)
课堂考勤 (50%)
平时作业 (50%)
运筹学在经济管理中的应用
运筹学在经济管理中的应用涉及的方面:
1. 2. 3. 4.
生产计划
绪论
运筹学的历史与发展 “运筹学思想的出现可以追溯到很早—“田忌赛马” 。 齐王要与大臣田忌赛马,双方各出上、中、下马各一匹, 对局三次,每次胜负1000金。田忌在好友、著名的军事谋 略家孙膑的指导下,以以下安排: 齐王 上 中 下
田忌
下
上
中
绪毁的开封皇宫。他 的施工方案是:先将皇宫前的一条大街挖成一条大 沟,将大沟与汴水相通。使用挖出的土就地制砖, 令与汴水相连形成的河道承担繁重的运输任务;修 复工程完成后,实施大沟排水,并将原废墟物回填, 修复成原来的大街。丁谓将取材、运输及清废用 “一沟三用”巧妙地解决了,体现了系统规划的思 想。
约束条件
Constraints
怎样辨别一个模型是线性规划模型? 其特征是: (1)问题的目标函数是多个决策变量的线性函数, 通常是求最大值或最小值; (2)问题的约束条件是一组多个决策变量的线性不 等式或等式。
线性规划问题的数学模型
3. 建模条件 (1) 优化条件:问题所要达到的目标能用线型函数描述,且 能够用极值 (max 或 min)来表示; (2) 限定条件:达到目标受到一定的限制,且这些限制能够 用决策变量的 线性等式或线性不等式表示; (3) 选择条件:有多种可选择的方案供决策者选择,以便找 出最优方案。
项目 设备 A(h) 设备 B(h) 调试工序(h) 利润(元) Ⅰ 0 6 1 2 Ⅱ 5 2 1 1 每天可用能力 15 24 5
解: 1.决策变量:设产品I、II的产量
分别为 x1、x2
2.目标函数:设总利润为z,则有: max z = 2 x1 + x2 3.约束条件: 5x2 ≤ 15 6x1+ 2x2 ≤ 24 x1+ x2 ≤ 5 x1, x2≥0
线性规划问题的数学模型
4. 建模步骤
(1) 确定决策变量:即需要我们作出决策或选择的量。一般 情况下,题目问什么就设什么为决策变量;
(2) 找出所有限定条件:即决策变量受到的所有的约束; (3) 写出目标函数:即问题所要达到的目标,并明确是max 还是 min。
线性规划问题的数学模型
5. 线性规划数学模型的一般形式
运 筹 帷 幄 之 中
第一章
线 性 规 划及单纯形法
决 胜 千 里 之
Linear Programming
外
Chapter1 线性规划
(Linear Programming)
本章主要内容:
LP的数学模型 图解法
单纯形法
单纯形法的进一步讨论-人工变量法 LP模型的应用
线性规划问题的数学模型
1. 规划问题 生产和经营管理中经常提出如何合理安排,使人力、 物力等各种资源得到充分利用,获得最大的效益, 这就是规划问题。 线性规划通常解决下列两类问题: (1)当任务或目标确定后,如何统筹兼顾,合理安排,用 最少的资源 (如资金、设备、原标材料、人工、时间等) 去完成确定的任务或目标 (2)在一定的资源条件限制下,如何组织安排生产获得最 好的经济效益(如产品量最多 、利润最大.)
目标函数:
max (min) z c1 x1 c 2 x 2 c n x n a1 1 x1 a1 2 x 2 a1 n x n ( ) b1
约束条件:
a m 1 x1 a m 2 x 2 a m n x n ( ) bm x1 0 x n 0
x1 + x2 + 2x3 + x4 ≤ 30 2x1 + 2x3 ≤ 34 4x2 + 4x3 + 4x4 ≤ 52 25x1+20x2 =200 40x3+20x4 =400 xj ≥ 0 ( j = 1,2,3,4)
线性规划问题的数学模型
2. 线性规划的数学模型由三个要素构成 决策变量 目标函数 Decision variables Objective function
运输问题
人事管理 库存管理
5.
6. 7.
市场营销
财务和会计 物流配送
另外,还应用于设备维修、更新和可靠性分析,项目的选择 与评价,工程优化设计等。
“管理运筹学”软件介绍
“管理运筹学”2.0版包括:线性规划、运输问题、整数规划(0-1整数 规划、纯整数规划和混合整数规划)、目标规划、对策论、最短路径、 最小生成树、最大流量、最小费用最大流、关键路径、存储论、排队论、 决策分析、预测问题和层次分析法,共15个子模块。
1 1 2 3 2 4
36 36 72 27
25 20 40 20
船只种类 拖 轮
船只数
30
航线号
1 2
合同货运量
200 400
A型驳船
B型驳船
34
52
问:应如何编队,才能既完成合同任务,又使总货运成本为最小?
线性规划问题的数学模型
解: 设:xj为第j号类型船队的队数(j = 1,2,3,4), z 为总货运成本 则: min z = 36x1 + 36x2 + 72x3 + 27x4
绪论
20世纪50年代中期,钱学森、许国志等教授在国内全面介 绍和推广运筹学知识,1956年,中国科学院成立第一个运筹学研 究室,1957年运筹学运用到建筑和纺织业中,1958年提出了图上 作业法,山东大学的管梅谷教授提出了“中国邮递员问题”, 1970年,在华罗庚教授的直接指导下,在全国范围内推广统筹方 法和优选法。 1978年11月,在成都召开了全国数学年会,对运筹学的理论 与应用研究进行了一次检阅,1980年4月在山东济南正式成立了 “中国数学会运筹学会”,1984年在上海召开了“中国数学会运 筹学会第二届代表大会暨学术交流会”,并将学会改名为“中国 运筹学会”。