第1章复变函数习题答案习题详解

第一章习题详解

1．求下列复数的实部与虚部，共轭复数、模与辐角：z 1)

i

231+解：

()()()13

2349232323231231i

i i i i i -=+-=-+-=+实部：13

3231=

⎪⎭⎫

⎝⎛+i Re 虚部：132231-

=⎪⎭

⎫

⎝⎛+i Im 共轭复数：1323231i

i +=⎪⎭

⎫

⎝⎛+模：131

1323231

2

22=

+=

+i 辐角：πππk arctg k arctg k i i Arg 232213

31322231231+⎪

⎭⎫ ⎝⎛-=+-=+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+arg 2)

i

i i --131解：

()()()2

532332113311131312i i i i i i i i i i i i i i -=

-+-=++---=+-+-=--实部：2

3131

=⎪⎭⎫

⎝⎛--i i i Re 虚部：25131-

=⎪⎭

⎫

⎝⎛--i i i Im 共轭复数：253131i i i i +=⎪⎭

⎫

⎝⎛--模：2

344

342531312

2

2==+=

--i

i i 辐角：πππk arctg k arctg k i i i i i i Arg 235223252131131+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+⎪⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛-=+⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎭⎫ ⎝⎛--arg

3)

()()

i

i i 25243-+解：

()()()2

26722672

72625243i

i i

i i

i i --=-+=

--=

-+实部：()()2725243-

=⎪⎭

⎫

⎝⎛-+i i i Re 虚部：()()1322625243-=-

=⎪⎭

⎫

⎝⎛-+i i i Im 共轭复数：()()226725243i

i i i +-=

⎪⎭

⎫

⎝⎛-+模：

()()

292

5

22627252432

2=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝

⎛

-=-+i

i i 辐角：()()ππk arctg k arctg i i i Arg 272622722625243+⎪⎭

⎫ ⎝⎛=+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝

⎛--=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+4)

i

i i +-2184解：i

i i i i i 3141421

8

-=+-=+-实部：(

)1421

8=+-i i i Re 虚部：(

)3

421

8-=+-i i

i Im 共轭复数：(

)i

i i i 31421

8

+=+-模：10

3142221

8

=+=+-i i

i 辐角：(

)()πππk arctg k arctg k i i i i i

i Arg 2321324421821

8+-=+⎪⎭

⎫

⎝

⎛

-

=++-=+-arg 2．当、等于什么实数时，等式

成立？

x y ()i i

y i x +=+-++13531解：根据复数相等，即两个复数的实部和虚部分别相等。有：

()()()i

i i y i x 8235131+=++=-++ ⎩⎨

⎧=-=+8321y x ⎩⎨⎧==⇒11

1

y x

3．证明虚数单位有这样的性质：i i

i i ==--1

证明：i i i i i -===

-2

1

1 i

i i i -=-=+=00

i

i i ==-∴-14．证明1)

z

z z =2

证明：设，则iy x z +=iy

x z -=()()2

2

2

22

2

2

y x

y

x iy x z +=+=

+=∴()()2

2y x iy x iy x z z +=-+=z

z z =∴2

2)

2

121z z z z ±=±证明：设，，则有：

111iy x z +=222iy x z +=()()()()()()21212121221121y y i x x y y i x x iy x iy x z z ±-±=±+±=+±+=±()()()()()()21212211221121y y i x x iy x iy x iy x iy x z z ±-±=-±-=+±+=±2

121z z z z ±=±∴3)

2

121z z z z =证明：设，，则有：

1

11θi e r z =2

22θi e

r z = ()()

21212121212121θθθθθθ+-+===i i i i e r r e r r e r e r z z ()

21212121212121θθθθθθ+---==∙=i i i i i e r r e r e r e r e r z z

2121z z z z =∴4)

022

12

1≠=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛z z z z z ,证明：设，，则有：

1

11θi e r z =2

22θi e

r z =

()()21212

11111θθθθθθ---===⎪⎪⎫ ⎛i i i i e r e r e r z