8 平面向量线性运算及综合应用问题
常考问题平面向量的线性运算及综合应用2
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[真题感悟] [考题分析]
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解决平面向量问题．在解决此类问题的过程中， 只要根据题目的具体要求，在向量和三角函数 之间建立起联系，就可以根据向量或者三角函
数的知识解决问题．
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审题示例(四)突破有关平面向量问题的思维障碍
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审题与答题Hale Waihona Puke 知识与方法热点与突破
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[规律方法] 求解向量的夹角，关键是正确求出两向量的数量积 与模．本例中有两种解法，其一利用已知向量所满足的条 件和向量的几何意义求解，其二构造三角形，将所求夹角 转化为三角形的内角求解，更为直观形象．
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江苏省2014年高考数学(文)二轮复习简易通真题感悟：常考问题8 平面向量的线性运算及综合应用
常考问题9 等差数列、等比数列[真题感悟]1．(2012·苏州期中)在等差数列{a n }中，a 5＝3，a 6＝－2，则a 3＋a 4＋…＋a 8＝________.解析 根据等差数列性质计算．因为{a n }是等差数列，所以a 3＋a 4＋…＋a 8＝3(a 5＋a 6)＝3.答案 32．(2013·苏锡常镇调研)在等差数列{a n }中，已知a 8≥15，a 9≤13，则a 12的取值范围是________．解析 因为a 8＝a 1＋7d ≥15，a 9＝a 1＋8d ≤13，所以a 12＝a 1＋11d ＝－3(a 1＋7d )＋4(a 1＋8d )≤7.答案 (－∞，7]3．(2013·新课标全国Ⅰ卷)若数列{a n }的前n 项和为S n ＝23a n ＋13，则数列{a n }的通项公式是a n ＝________.解析 当n ＝1时，a 1＝1；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝23a n －23a n －1，故a n a n －1＝－2，故a n ＝(－2)n －1. 答案 (－2)n －14．(2011·江苏卷)设1＝a 1≤a 2≤…≤a 7，其中a 1，a 3，a 5，a 7成公比为q 的等比数列，a 2，a 4，a 6成公差为1的等差数列，则q 的最小值是________． 解析 由题意知a 3＝q ，a 5＝q 2，a 7＝q 3且q ≥1，a 4＝a 2＋1，a 6＝a 2＋2且a 2≥1，那么有q 2≥2且q 3≥3.故q ≥33，即q 的最小值为33.答案 33[考题分析]高考对本内容的考查主要有：(1)数列的概念是A 级要求，了解数列、数列的项、通项公式、前n 项和等概念，一般不会单独考查；(2)等差数列、等比数列是两种重要且特殊的数列，要求都是C级，熟练掌握等差数列、等比数列的概念、通项公式、前n项求和公式、性质等知识，理解其推导过程，并且能够灵活应用．试题类型可能是填空题，以考查单一性知识为主，同时在解答题中经常与不等式综合考查，构成压轴题．。
平面向量线性运算的应用 高一上学期数学人教B版(2019)必修第二册++++
证明：因为 M，N 分别是 AB，AC 的中点，所以 =
1
2
1
2
1
2
1
，
2
1
2
因此 = − = − = ( − ) = ，
1
2
=
1
，
2
A
所以 MN // BC，且 MN = BC.
M
B
N
C
学习目标
新课讲授
课堂总结
例 2 ：如图所示，已知平行四边形 ABCD 中，E、F 在对角线 BD 上，并且
问题 2：证明垂直问题，可用向量的哪些知识？
a b a b 0 x1 x2 y1 y2 0 (其中 a ( x1 , y1 ), b ( x2 , y2 ) )
学习目标
课堂总结
新课讲授
1
2
例 1 ：如图所示，MN 是△ABC 的中位线求证：MN // BC 且 MN = BC.
即 − 2 = ( − 2)，由共线定理可知 s = t = 2；
因此 AO : OF = CO : OE = 2 : 1 .
O
F
C
学习目标
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课堂总结
知识点 2：向量在物理中的应用
问题 3：物理中力与向量有何异同？
① 相同点：力和向量都既要考虑大小又要考虑方向；
② 不同点：向量与始点无关，力和作用点有关.
B
证明：因为 = + = + ，又因为E、F都是中点，
E
所以 + = + = 2 + 2 = 2；
另外 = + ，所以 + = 2 + 2；
江苏省2014年高考数学(文)二轮复习专题提升训练：8 平面向量的线性运算及综合应用
常考问题8 平面向量的线性运算及综合应用(建议用时：50分钟)1．(2012·苏州期中)已知向量a ＝(2，x )，b ＝(x －1,1)，若a ∥b ，则x 的值为________． 解析 由a ∥b ，得2－x (x －1)＝0，解得x ＝2或－1. 答案 2或－12．已知向量a 与b 的夹角为120°，|a |＝3，|a ＋b |＝13则|b | 等于________． 解析 向量a 与b 的夹角为120°，|a |＝3，|a ＋b |＝13， 则a ·b ＝|a ||b |·cos 120°＝－32|b |， |a ＋b |2＝|a |2＋2a ·b ＋|b |2.所以13＝9－3|b |＋|b |2，则|b |＝－1(舍去)或|b |＝4. 答案 43．已知非零向量a ，b ，c 满足a ＋b ＋c ＝0，向量a 与b 的夹角为60°，且|a |＝|b |＝1，则向量a 与c 的夹角为________．解析 因为a ＋b ＋c ＝0，所以c ＝－(a ＋b )．所以|c |2＝(a ＋b )2＝a 2＋b 2＋2a ·b ＝2＋2cos 60°＝3.所以|c |＝ 3.又c ·a ＝－(a ＋b )·a ＝－a 2－a ·b ＝－1－cos 60°＝ －32，设向量c 与a 的夹角为θ，则cos θ＝a ·c |a ||c |＝－321×3＝－32.又0°≤θ≤180°，所以θ＝150°. 答案 150°4．(2013·天一、淮阴、海门中学联考)在△ABC 中，已知AB →·AC →＝4，AB →·BC →＝－12，则|AB→|＝________. 解析 将AB →·AC →＝4，AB →·BC →＝－12两式相减得AB →·(AC →－BC →)＝AB →2＝16，则|AB →|＝4. 答案 45．(2013·新课标全国Ⅱ卷)已知正方形ABCD 的边长为2，E 为CD 的中点，则AE →·BD→＝________.解析 由题意知：AE →·BD →＝(AD →＋DE →)·(AD →－AB →)＝(AD →＋12AB →)·(AD→－AB →)＝AD →2－12AD →·AB →－12AB →2＝4－0－2＝2.答案 26．(2013·安徽卷改编)在平面直角坐标系中，O 是坐标原点，两定点A ，B 满足|OA →|＝|OB →|＝OA →·OB →＝2，则点集{P |OP →＝λOA →＋μOB →，|λ|＋|μ|≤1，λ，μ∈R }所表示的区域的面积是________．解析 由|OA →|＝|OB →|＝OA →·OB→＝2，知cos ∠AOB ＝12，又0≤∠AOB ≤π，则∠AOB ＝π3，又A ，B 是两定点，可设A (3，1)，B (0,2)，P (x ，y )，由OP→＝λOA →＋μOB →，可得⎩⎨⎧x ＝3λ，y ＝λ＋2μ⇒⎩⎪⎨⎪⎧λ＝33x ，μ＝y 2－36x .因为|λ|＋|μ|≤1，所以⎪⎪⎪⎪⎪⎪33x ＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪y 2－36x ≤1，当⎩⎨⎧x ≥0，3y －3x ≥0，时，3y ＋3x ≤6由可行域可得S 0＝12×2×3＝3，所以由对称性可知点P 所表示的区域面积S ＝4S 0＝4 3. 答案 4 37．如图，在正方形ABCD 中，已知AB ＝2，M 为BC 的中点，若N 为正方形内(含边界)任意一点，则AM →·AN →的最大值是________．解析 由数量积的定义得AM →·AN →＝|AM →|·|AN→|cos ∠NAM ，当N 点与C 点重合时，|AN→|cos ∠NAM 最大，解三角形得最大值为65，所以AM →·AN→的最大值是6.8．在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ADC ＝90°，AD ＝2，BC ＝1，P 是腰DC 上的动点，则|P A →＋3P B →|的最小值为______． 解析 建立如图所示的直角坐标系，设DC ＝m ，P (0，t )，t ∈[0，m ]，由题意可知，A (2,0)，B (1，m )，P A →＝(2，－t )，P B →＝(1，m －t )，P A →＋3P B →＝(5,3m －4t )，|P A →＋3P B →|＝52＋(3m －4t )2≥5，当且仅当t ＝34m 时取等号，即|P A →＋3P B →|的最小值是5. 答案 59．(2013·南通模拟)已知a ＝(sin α，sin β)，b ＝(cos(α－β)，－1)，c ＝(cos(α＋β)，2)，α，β≠k π＋π2(k ∈Z )． (1)若b ∥c ，求tan α·tan β的值； (2)求a 2＋b·c 的值．解 (1)若b ∥c ，则2cos(α－β)＋cos(α＋β)＝0， ∴3cos αcos β＋sin αsin β＝0，∵α，β≠k π＋π2(k ∈Z )，∴tan αtan β＝－3. (2)a 2＋b·c ＝sin 2α＋sin 2β＋cos(α－β)cos(α＋β)－2 ＝sin 2α＋sin 2β＋cos 2αcos 2β－sin 2αsin 2β－2 ＝sin 2α＋cos 2αsin 2β＋cos 2αcos 2β－2 ＝sin 2α＋cos 2α－2＝1－2＝－1.10．已知△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，设向量m ＝(a ，b )，n ＝(sin B ，sin A )，p ＝(b －2，a －2)． (1)若m ∥n ，求证：△ABC 为等腰三角形； (2)若m ⊥p ，边长c ＝2，C ＝π3，求△ABC 的面积． (1)证明 因为m ∥n ，所以a sin A ＝b sin B ，即a ·a 2R ＝b ·b 2R (其中R 是△ABC 外接圆的半径)，所以a ＝b .所以△ABC 为等腰(2)解 由题意，可知m ·p ＝0，即a (b －2)＋b (a －2)＝0，所以a ＋b ＝ab ，由余弦定理，知4＝c 2＝a 2＋b 2－2ab cos π3＝(a ＋b )2－3ab ，即(ab )2－3ab －4＝0，所以ab ＝4或ab ＝－1(舍去)．所以S △ABC ＝12ab sin C ＝12×4×sin π3＝ 3.11．(2013·苏北四市模拟)如图所示，A ，B 分别是单位圆与x 轴、y 轴正半轴的交点，点P 在单位圆上，∠AOP ＝θ(0<θ<π)，C 点坐标为(－2,0)，平行四边形OAQP 的面积为S .(1)求O A →·O Q →＋S 的最大值； (2)若CB ∥OP ，求sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2θ－π6的值．解 (1)由已知，得A (1,0)，B (0,1)，P (cos θ，sin θ)， 因为四边形OAQP 是平行四边形， 所以O Q →＝O A →＋O P →＝(1,0)＋(cos θ，sin θ) ＝(1＋cos θ，sin θ)． 所以O A →·O Q →＝1＋cos θ. 又平行四边形OAQP 的面积为 S ＝|O A →|·|O P →|sin θ＝sin θ，所以O A →·O Q →＋S ＝1＋cos θ＋sin θ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＋1.又0<θ<π，所以当θ＝π4时，O A →·O Q →＋S 的最大值为2＋1. (2)由题意，知C B →＝(2,1)，O P →＝(cos θ，sin θ)， 因为CB ∥OP ，所以cos θ＝2sin θ.又0<θ<π，cos 2θ＋sin 2θ＝1， 解得sin θ＝55，cos θ＝255，所以sin2 θ＝2sin θcos θ＝45，cos2θ＝cos 2θ－sin 2θ＝35.所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2θ－π6＝sin 2θcos π6－cos 2θsin π6＝45×32－35×12＝43－310. 备课札记：。
平面向量的线性运算及练习试题
平面向量的线性运算学习过程知识点一：向量的加法（1）定义已知非零向量,a b ，在平面内任取一点A ，作AB ＝a ，BC ＝b ，则向量AC 叫做a 与b 的和，记作a b +，即a b +＝AB ＋BC ＝AC ． 求两个向量和的运算，叫做叫向量的加法．这种求向量和的方法，称为向量加法的三角形法则． 说明：①运用向量加法的三角形法则时，要特别注意“首尾相接”，即第二个向量要以第一个向量的终点为起点，则由第一个向量的起点指向第二个向量终点 的向量即为和向量. ②两个向量的和仍然是一个向量，其大小、方向可以由三角形法则确定． ③位移的合成可以看作向量加法三角形法则的物理模型． （2）向量加法的平行四边形法则以点O 为起点作向量a OA = ，OB b =，以OA,OB 为邻边作OACB ，则以O 为起点的对角线所在向量OC 就是,a b 的和，记作a b +=OC 。
说明：①三角形法则适合于首尾相接的两向量求和，而平行四边形法则适合于同起点的两向量求和，但两共线向量求和时，则三角形法则较为合适.②力的合成可以看作向量加法平行四边形法则的物理模型．③对于零向量与任一向量00a a a a +=+=，（3）特殊位置关系的两向量的和①当向量a 与b 不共线时，a +b 的方向不同向，且|a +b |<|a |+|b |；②当a 与b 同向时，则a +b 、a 、b 同向，且|a +b |=|a |+|b |，③当a 与b 反向时，若|a |>|b |，则a +b 的方向与a 相同，且|a +b |=|a |-|b |；若|a |<|b |，则a +b 的方向与b 相同，且|a +b|=|b |-|a |.（4）向量加法的运算律①向量加法的交换律：a +b =b +a②向量加法的结合律：(a +b ) +c =a + (b +c )知识点二：向量的减法（1）相反向量：与a 长度相同、方向相反的向量.记作 -a 。
中考数学模拟试题平面向量的线性运算与应用
中考数学模拟试题平面向量的线性运算与应用平面向量的线性运算与应用一、引言近年来，随着中考的改革和升级，数学成为了中考的一门重要科目。
其中，平面向量的线性运算与应用是数学中的重要内容之一。
本文将着重讨论平面向量的线性运算及其在实际问题中的应用，旨在帮助学生更好地掌握这一知识点。
二、平面向量的基本概念平面向量是平面上具有大小和方向的量，通常用箭头表示。
平面向量可以由有序数对表示，也可以由起点和终点表示。
平面向量的模长表示向量的大小，用符号∥a∥表示。
平面向量的方向可以用有向角表示，其中角的正方向与顺时针方向相反。
另外，平面向量还可以进行线性运算，包括加法和数量乘法。
三、平面向量的线性运算1. 平面向量的加法平面向量的加法遵循平行四边形法则，即将两个向量首尾相连，构成一个平行四边形，新向量的起点为两个向量起点的连接点，终点为两个向量终点的连接点。
2. 平面向量的数量乘法平面向量的数量乘法即将向量与一个实数相乘，得到一个新的向量。
数量乘法可改变向量的大小和方向。
当实数大于0时，向量的方向不变，模长增大；当实数小于0时，向量的方向相反，模长不变；当实数等于0时，所得向量为零向量。
四、平面向量运算的基本性质1. 交换律平面向量的加法满足交换律，即 a + b = b + a。
2. 结合律平面向量的加法满足结合律，即 (a + b) + c = a + (b + c)。
3. 数量乘法的结合律平面向量的数量乘法满足结合律，即 k(la) = (kl)a。
4. 数量乘法分配律平面向量的数量乘法分配律，即 (k + l)a = ka + la。
五、平面向量的应用1. 向量位移平面向量可以用来描述物体在平面上的位移。
通过将物体的起始位置和结束位置表示为向量，可以计算出物体的位移向量。
2. 向量共线与垂直关系利用平面向量的数量乘法可以判断两个向量是否共线，即它们的模长之比是否相等。
如果两个向量的数量乘法为零，则它们垂直。
平面向量的线性运算与应用
平面向量的线性运算与应用平面向量的线性运算是指对向量进行加法和数乘的操作，而其应用则包括向量的投影、求模、夹角等。
本文将从简单的概念出发，逐步介绍平面向量的线性运算和其应用。
一、平面向量的加法平面向量的加法是指将两个向量相加得到一个新的向量的操作。
设有平面向量a(a_1, a_1)和a(a_2, a_2)，则它们的和向量为a+a=(a_1+a_2, a_1+a_2)。
二、平面向量的数乘平面向量的数乘是指将一个向量乘以一个实数得到一个新的向量的操作。
设有平面向量a(a, a)和实数a，则它们的数乘为aa=(aa, aa)。
三、平面向量的投影平面向量的投影是指将一个向量投影到另一个向量上的操作，得到一个新的向量。
设有平面向量a和向量a，它们的投影记作aaaa_aa。
投影的计算公式为aaaa_aa=(a·a/a·a)a，其中a·a表示向量a和a的数量积，a·a表示向量a的模的平方。
四、平面向量的模平面向量的模是指向量的长度，也可以看作是向量的大小。
设有平面向量a(a, a)，它的模记作|a|，计算公式为|a|=√(a^2+a^2)。
五、平面向量的夹角平面向量的夹角是指两个向量之间的角度。
设有平面向量a和a，它们的夹角记作a，计算公式为cos a=(a·a)/(a的模×a的模)。
六、平面向量的应用平面向量的线性运算和应用在数学和物理中有着广泛的应用。
例如，在几何中，我们可以利用向量的线性运算来求解平面的交点、线段的长度等问题；在物理中，我们可以利用向量的运算来描述力的合成、速度的方向等问题。
总结：平面向量的线性运算包括加法和数乘，加法是将两个向量相加得到一个新的向量，数乘是将一个向量乘以一个实数得到一个新的向量。
此外，平面向量还可以进行投影、求模和夹角等操作。
平面向量的应用广泛，包括几何和物理等领域。
通过学习和理解平面向量的线性运算和应用，我们可以更加准确地描述和解决各种数学和物理问题。
平面向量的线性运算与应用
平面向量的线性运算与应用在数学中，平面向量是一个具有大小和方向的量，常用箭头表示，用于表示平面上的物理量或几何概念。
平面向量的线性运算是指对向量进行加减和标量乘法的操作。
同时，平面向量的线性运算在许多应用中是非常重要和有用的。
一、平面向量的定义和表示平面向量由其大小和方向共同确定，通常用a→表示。
其中，大小称为向量的模，记作|a→|，方向可以用与向量平行的线段来表示。
在笛卡尔坐标系中，可以用坐标表示平面向量。
例如，向量a→可以用(ai, aj)来表示。
二、平面向量的线性运算1. 向量的加法平面向量的加法是指两个向量按照相同的方向进行相加。
设向量a→=(a1, a2)，向量b→=(b1, b2)，则向量a→+b→=(a1+b1, a2+b2)。
2. 向量的减法平面向量的减法是指两个向量按照相反的方向进行相减。
设向量a→=(a1, a2)，向量b→=(b1, b2)，则向量a→-b→=(a1-b1, a2-b2)。
3. 向量的标量乘法平面向量的标量乘法是指向量与一个标量的乘积。
设向量a→=(a1, a2)，标量k，则向量ka→=(ka1, ka2)。
三、平面向量的应用平面向量的线性运算在许多数学和物理问题中都有广泛的应用。
1. 平面几何问题在平面几何问题中，平面向量的线性运算常常用于判断点、线、圆等的位置关系，计算长度和面积等。
例如，可以利用向量的加法和减法判断线段的平行性和垂直性；可以使用向量的模计算线段的长度；可以利用向量的叉乘计算三角形的面积等。
2. 力学问题在力学中，平面向量的线性运算被广泛应用于描述物体的受力情况。
根据牛顿第二定律，物体所受的合力等于物体的质量乘以加速度，可以用平面向量的标量乘法表示。
同时，可以使用平面向量的加法和减法来计算多个力的合力，从而描述物体的运动状态。
3. 电磁学问题在电磁学中，平面向量的线性运算同样起着重要的作用。
例如，可以使用平面向量的加法和减法来计算电场的合成和分解；可以利用平面向量的叉乘来计算电磁感应产生的力和磁场等。
常考问题8平面向量的线性运算及综合应用-12页word资料
常考问题8 平面向量的线性运算及综合应用[真题感悟]1．(2019·辽宁卷)已知点A (1,3)，B (4，－1)，则与向量A B →同方向的单位向量为( )． A.⎝⎛⎭⎫35，－45 B.⎝⎛⎭⎫45，－35 C.⎝⎛⎭⎫－35，45 D.⎝⎛⎭⎫－45，35 解析 A B →＝(4，－1)－(1,3)＝(3，－4)， ∴与A B →同方向的单位向量为A B→|A B →|＝⎝⎛⎭⎫35，－45. 答案 A2．(2019·福建卷)在四边形ABCD 中，AC →＝(1,2)，BD →＝(－4,2)，则该四边形的面积为( ) A. 5 B ．2 5 C ．5 D ．10解析 因为AC →·BD →＝0，所以AC →⊥BD →.故四边形ABCD 的面积S ＝12|AC →||BD →|＝12×5×25＝5.答案 C3．(2019·湖北卷)已知点A (－1,1)，B (1,2)，C (－2，－1)，D (3,4)，则向量AB →在CD →方向上的投影为( ) A.322 B.3152C. －322 D ．－3152解析 AB →＝(2,1)，CD →＝(5,5)，所以AB →在CD →方向上的投 影为AB →·CD →|CD →|＝2×5＋1×552＋52＝1552＝322.答案 A4．(2019·新课标全国Ⅰ卷)已知两个单位向量a ，b 的夹角为60°，c ＝t a ＋(1－t )b .若b ·c ＝0，则t ＝________.解析 因为向量a ，b 为单位向量，又向量a ，b 的夹角为60°，所以a ·b ＝12，由b·c ＝0，得∴b ·c ＝t a ·b ＋(1－t )·b 2＝12t ＋(1－t )×12＝12t ＋1－t ＝1－12t ＝0.∴t ＝2.答案 25．(2019·山东卷)已知向量AB →与AC →的夹角为120°，且|AB →|＝3，|AC →|＝2.若A P →＝λAB →＋AC →，且AP →⊥BC →，则实数λ的值为________．解析 由AP →⊥BC →知AP →·BC →＝0，即AP →·BC →＝(λAB →＋AC →)·(AC →－AB →)＝(λ－1)AB →·AC →－λA B →2＋AC →2＝(λ－1)×3×2×⎝⎛⎭⎫－12－λ×9＋4＝0，解得λ＝712. 答案712[考题分析]题型 选择题、填空题难度 低档 考查平面向量的有关概念(如单位向量)、数量积的运算(求模与夹角等)． 中档 在平面几何中，求边长、夹角及数量积等． 高档 在平面几何中，利用数量积的计算求参数值等. 1．向量的概念(1)零向量模的大小为0，方向是任意的，它与任意非零向量都共线，记为0. (2)长度等于1个单位长度的向量叫单位向量，a 的单位向量为±a|a |.(3)方向相同或相反的向量叫共线向量(平行向量)．(4)如果直线l 的斜率为k ，则a ＝(1，k )是直线l 的一个方向向量． (5)|b |cos 〈a ，b 〉叫做b 在向量a 方向上的投影． 2．两非零向量平行、垂直的充要条件 设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，(1)若a ∥b ⇔a ＝λb (λ≠0)；a ∥b ⇔x 1y 2－x 2y 1＝0. (2)若a ⊥b ⇔a ·b ＝0；a ⊥b ⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0. 3．平面向量的性质(1)若a ＝(x ，y )，则|a |＝a·a ＝x 2＋y 2. (2)若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则 |A B →|＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2.(3)若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，θ为a 与b 的夹角，则cos θ＝a ·b |a||b |＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21x 22＋y 22.4．当向量以几何图形的形式出现时，要把这个几何图形中的一个向量用其余的向量线性表示，就要根据向量加减法的法则进行，特别是减法法则很容易使用错误，向量MN →＝ON →－OM →(其中O 为我们所需要的任何一个点)，这个法则就是终点向量减去起点向量．5．根据平行四边形法则，对于非零向量a ，b ，当|a ＋b |＝|a －b |时，平行四边形的两条对角线长度相等，此时平行四边形是矩形，条件|a ＋b |＝|a －b |等价于向量a ，b 互相垂直，反之也成立．6．两个向量夹角的范围是[0，π]，在使用平面向量解决问题时要特别注意两个向量夹角可能是0或π的情况，如已知两个向量的夹角为钝角时，不单纯就是其数量积小于零，还要求不能反向共线.热点一 平面向量的线性运算【例1】 (2019·江苏卷)设D ，E 分别是△ABC 的边AB ，BC 上的点，AD ＝12AB ，BE ＝23BC .若DE →＝λ1AB →＋λ2AC →(λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为________．解析 如图，DE →＝DB →＋BE →＝12AB →＋23BC →＝12AB →＋23(AC →－AB →)＝－16AB →＋23AC →，则λ1＝－16，λ2＝23，λ1＋λ2＝12. 答案 12[规律方法] 在一般向量的线性运算中，只要把其中的向量当作字母，其运算类似于代数中合并同类项的运算，在计算时可以进行类比．本例中的第(1)题就是把向量DE →用AB →，AC →表示出来，再与题中已知向量关系式进行对比，得出相等关系式，可求相应的系数． 【训练1】 (2019·天津卷)在平行四边形ABCD 中，AD ＝1，∠BAD ＝60°，E 为CD 的中点．若AC →·BE →＝1，则AB 的长为________．解析 在平行四边形ABCD 中，取AB 的中点F ，则BE →＝FD →，∴BE →＝FD →＝AD →－12AB →，又AC→＝AD →＋AB →，∴AC →·BE →＝(AD →＋AB →)·(AD →－12AB →)＝AD →2－12AD →·AB →＋AD →·AB →－12AB →2＝|AD →|2＋12|AD →||AB →|·cos 60°－12|AB →|2＝1＋12×12|AB →|－12|AB →|2＝1. ∴⎝⎛⎭⎫12－|AB →||AB →|＝0，又|AB →|≠0，∴|AB →|＝12. 答案 12热点二 平面向量的数量积【例2】 若两个非零向量a ，b 满足|a ＋b|＝|a －b|＝2|a |， 则向量b 与a ＋b 的夹角为( )． A.π6 B.5π6 C.π3 D.2π3解析 法一 由已知|a ＋b |＝|a －b |，两边平方，整理可得a·b ＝0.①由已知|a ＋b |＝2|a |，两边平方，整理可得a 2＋b 2＋2a ·b ＝4a 2.② 把①代入②，得b 2＝3a 2，即|b |＝3|a |.③ 而b ·(a ＋b )＝b ·a ＋b 2＝b 2，故cos 〈b ，a ＋b 〉＝b ·(a ＋b )|b |·|a ＋b |＝b 23|a |·2|a |＝3a 223a 2＝32.又〈b ，a ＋b 〉∈[0，π]，所以〈b ，a ＋b 〉＝π6.法二 如图，作O A →＝a ，O B →＝b ，以OA ，OB 为邻边作平行四边形OACB ，则O C →＝a ＋b ，B A →＝a －b .由|a ＋b |＝|a －b |，可知|O C →|＝|B A →|，所以平行四边形OACB 是矩形．又|a ＋b |＝|a －b |＝2|a |，可得|O C →|＝|B A →|＝2|O A →|，故在Rt △AOB 中，|OB →|＝|BA →|2－|OA →|2,) ＝3|O A →|，故tan ∠OBA ＝|O A →||O B →|＝33，所以∠BOC ＝∠OBA ＝π6.而〈b ，a ＋b 〉＝∠BOC ＝π6.答案 A[规律方法] 求解向量的夹角，关键是正确求出两向量的数量积与模．本例中有两种解法，其一利用已知向量所满足的条件和向量的几何意义求解，其二构造三角形，将所求夹角转化为三角形的内角求解，更为直观形象．【训练2】 (2019·湖南卷)已知a ，b 是单位向量，a ·b ＝0.若向量c 满足|c －a －b |＝1，则|c |的取值范围是( )．A ．[2－1，2＋1]B ．[2－1，2＋2]C ．[1，2＋1]D ．[1，2＋2] 解析 由a ，b 为单位向量且a ·b ＝0， 可设a ＝(1,0)，b ＝(0,1)，又设c ＝(x ，y )，代入|c －a －b |＝1得(x －1)2＋(y －1)2＝1， 又|c |＝x 2＋y 2，故由几何性质得12＋12－1≤|c |≤12＋12＋1，即2－1≤|c |≤2＋1. 答案 A热点三 平面向量与三角函数的综合【例3】 已知向量m ＝(sin x ，－1)，n ＝(cos x,3)． (1)当m ∥n 时，求sin x ＋cos x3sin x －2cos x的值；(2)已知在锐角△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，3c ＝2a sin(A ＋B )，函数f (x )＝(m ＋n )·m ，求f ⎝⎛⎭⎫B ＋π8的取值范围． 解 (1)由m ∥n ，可得3sin x ＝－cos x ，于是tan x ＝－13，∴sin x ＋cos x 3sin x －2cos x ＝tan x ＋13tan x －2＝－13＋13×⎝⎛⎭⎫－13－2＝－29.(2)在△ABC 中A ＋B ＝π－C ，于是 sin(A ＋B )＝sin C ， 由正弦定理，得3sin C ＝2sin A sin C ， ∵sin C ≠0，∴sin A ＝32.又△ABC 为锐角三角形，∴A ＝π3，于是π6<B <π2.∵f (x )＝(m ＋n )·m ＝(sin x ＋cos x,2)·(sin x ，－1)＝sin 2 x ＋sin x cos x －2＝1－cos 2x 2＋12sin 2x －2＝22sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4－32， ∴f ⎝⎛⎭⎫B ＋π8＝22sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫B ＋π8－π4－32＝22sin2B －32.由π6<B <π2得π3<2B <π，∴0<sin 2B ≤1，－32<22sin 2B －32≤22－32， 即f (B ＋π8)∈⎝⎛⎦⎤－32，22－32.[规律方法] 在平面向量与三角函数的综合问题中，一方面用平面向量的语言表述三角函数中的问题，如利用向量平行、垂直的条件表述三角函数式之间的关系，利用向量模表述三角函数之间的关系等；另一方面可以利用三角函数的知识解决平面向量问题．在解决此类问题的过程中，只要根据题目的具体要求，在向量和三角函数之间建立起联系，就可以根据向量或者三角函数的知识解决问题．【训练3】 (2019·江苏卷)已知向量a ＝(cos α，sin α)，b ＝(cos β，sin β)，0<β<α<π. (1)若|a －b |＝2，求证：a ⊥b ；(2)设c ＝(0,1)，若a ＋b ＝c ，求α，β的值．(1)证明 由|a －b |＝2，即(cos α－cos β)2＋(sin α－sin β)2＝2，整理得cos αcos β＋sin αsin β＝0，即a ·b ＝0，因此a ⊥b .(2)解 由已知条件得⎩⎪⎨⎪⎧cos α＋cos β＝0，sin α＋sin β＝1，cos β＝－cos α＝cos(π－α)，由0<α<π，得0<π－α<π，又0<β<π，故β＝π－α.则sin α＋sin (π－α)＝1，即sin α＝12，故α＝π6或α＝5π6.当α＝π6时，β＝5π6(舍去)当α＝5π6时，β＝π6.审题示例(四) 突破有关平面向量问题的思维障碍图1解析 法一 设直角三角形ABC 的两腰长都为4，如图1所示，以C 为原点，CA ，CB 所在的直线分别为x 轴，y 轴，建立平面直角坐标系，则A (4,0)，B (0,4)，因为D 为AB 的中点，所以D (2,2)．因为P 为CD 的中点，所以P (1,1)．故|PC |2＝12＋12＝2，|P A |2＝(4－1)2＋(0－1)2＝10，|PB |2＝(0－1)2＋(4－1)2＝10，所以|P A |2＋|PB |2|PC |2＝202＝10. 图2法二 如图2所示，以C 为坐标原点，CA ，CB 所在的直线分别作为x 轴，y 轴建立平面直角坐标系．设|CA |＝a ，|CB |＝b ，则A (a,0)，B (0，b )，则D ⎝⎛⎭⎫a 2，b 2，P ⎝⎛⎭⎫a 4，b 4， ∴|PC |2＝⎝⎛⎭⎫a 42＋⎝⎛⎭⎫b 42＝a 216＋b216，|PB |2＝⎝⎛⎭⎫a 42＋⎝⎛⎭⎫b 4－b 2＝a 216＋9b 216，|P A |2＝⎝⎛⎭⎫a 4－a 2＋⎝⎛⎭⎫b 42＝9a 216＋b 216，所以|P A |2＋|PB |2＝10⎝⎛⎭⎫a 216＋b 216＝10|PC |2，∴|P A |2＋|PB |2|PC |2＝10.法三 如图3所示，取相互垂直的两个向量C A →＝a ，C B →＝b 作为平面向量的基向量，显然a ·b ＝0.图3则在△ABC 中，B A →＝a －b ，因为D 为AB 的中点，所以C D →＝12(a ＋b )．因为P 为CD 的中点，所以P C →＝－12C D →＝－12×12(a ＋b )＝－14(a ＋b )．在△CBP 中，P B →＝P C →＋C B →＝－14(a ＋b )＋b ＝－14a ＋34b ，在△CAP 中，P A →＝P C →＋C A →＝－14(a ＋b )＋a ＝34a －14b .所以|P C →|2＝⎣⎡⎦⎤－14(a ＋b )2＝116(a 2＋b 2＋2a ·b )＝116(|a |2＋|b |2)，|P B →|2＝⎝⎛⎭⎫－14a ＋34b 2＝116a 2＋916b 2－38a ·b ＝116|a |2＋916|b |2，|P A →|2＝⎝⎛⎭⎫34a －14b 2＝916a 2＋116b 2－38a ·b ＝916|a |2＋116|b |2.故|P A |2＋|PB |2|PC |2＝⎝⎛⎭⎫916|a |2＋116|b |2＋⎝⎛⎭⎫116|a |2＋916|b |2116(|a |2＋|b |2)＝10.答案 D方法点评 以上根据向量数与形的基本特征，结合题目中的选项以及直角三角形的条件，从三个方面提出了不同的解法，涉及向量的基本运算、坐标运算等相关知识，在寻找解题思路时，应牢牢地把握向量的这两个基本特征．[针对训练] 在△ABC 中，已知BC ＝2，AB →·AC →＝1，则△ABC 的面积S △ABC 最大值是________． 解析 以线段BC 所在直线为x 轴， 线段BC 的垂直平分线为y 轴， 建立平面直角坐标系， 则B (－1,0)，C (1,0)．设A (x ，y )，则AB →＝(－1－x ，－y )， AC →＝(1－x ，－y )，于是AB →·AC →＝(－1－x )(1－x )＋(－y )(－y )＝x 2－1＋y 2.由条件AB →·AC →＝1知x 2＋y 2＝2，这表明点A 在以原点为圆心，2为半径的圆上． 当OA ⊥BC 时，△ABC 面积最大，即 S △ABC ＝12×2×2＝ 2.(建议用时：60分钟)1．(2019·陕西卷)设a ，b 为向量，则“|a ·b |＝|a ||b |”是“a ∥b ”的( )． A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 解析 由|a ||b ||cos 〈a ，b 〉|＝|a ||b |， 则有cos 〈a ，b 〉＝±1.即〈a ，b 〉＝0或π，所以a ∥b .由a ∥b ，得向量a 与 b 同向或反向，所以〈a ，b 〉＝0或π，所以|a ·b |＝|a ||b |. 答案 C2．已知向量a 与b 的夹角为120°，|a |＝3，|a ＋b |＝13则|b | 等于( )． A ．5 B ．4 C ．3 D ．1解析 向量a 与b 的夹角为120°，|a |＝3，|a ＋b |＝13， 则a ·b ＝|a ||b |·cos 120°＝－32|b |，|a ＋b |2＝|a |2＋2a ·b ＋|b |2.所以13＝9－3|b |＋|b |2，则|b |＝－1(舍去)或|b |＝4. 答案 B3．(2019·辽宁一模)△ABC 中D 为BC 边的中点，已知A B →＝a ，A C →＝b 则在下列向量中与A D →同向的向量是( )． A.a |a |＋b |b | B.a |a |－b |b | C.a ＋b |a ＋b |D ．|b |a ＋|a |b解析 ∵A D →＝12(A B →＋A C →)＝12(a ＋b )，∴向量a ＋b|a ＋b |与向量A D →是同向向量．答案 C4．已知非零向量a ，b ，c 满足a ＋b ＋c ＝0，向量a 与b 的夹角为60°，且|a |＝|b |＝1，则向量a 与c 的夹角为( )．A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°解析 因为a ＋b ＋c ＝0，所以c ＝－(a ＋b )．所以|c |2＝(a ＋b )2＝a 2＋b 2＋2a ·b ＝2＋2cos 60°＝3.所以|c |＝ 3.又c ·a ＝－(a ＋b )·a ＝－a 2－a ·b ＝－1－cos 60°＝ －32，设向量c 与a 的夹角为θ，则cos θ＝a ·c |a ||c |＝－321×3＝－32.又0°≤θ≤180°，所以θ＝150°. 答案 D5．(2019·安徽卷)在平面直角坐标系中，O 是坐标原点，两定点A ，B 满足|OA →|＝|OB →|＝OA →·OB →＝2，则点集{P |OP →＝λOA →＋μOB →，|λ|＋|μ|≤1，λ，μ∈R }所表示的区域的面积是( )． A ．2 2 B ．2 3 C ．4 2 D ．4 3解析 由|OA →|＝|OB →|＝OA →·OB →＝2，知cos ∠AOB ＝12，又0≤∠AOB ≤π，则∠AOB ＝π3，又A ，B是两定点，可设A (3，1)，B (0,2)，P (x ，y )，由OP →＝λOA →＋μOB →，可得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3λ，y ＝λ＋2μ⇒⎩⎨⎧λ＝33x ，μ＝y 2－36x .因为|λ|＋|μ|≤1，所以⎪⎪⎪⎪33x ＋⎪⎪⎪⎪y 2－36x ≤1，当⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，3y －3x ≥0，时，3y ＋3x ≤6由可行域可得S 0＝12×2×3＝3，所以由对称性可知点P 所表示的区域面积S ＝4S 0＝43，故选D.答案 D6．(2019·新课标全国Ⅱ卷)已知正方形ABCD 的边长为2，E 为CD 的中点，则AE →·BD →＝________.解析 由题意知：AE →·BD →＝(AD →＋DE →)·(AD →－AB →)＝(AD →＋12AB →)·(AD →－AB →)＝AD →2－12AD →·AB →－12AB →2＝4－0－2＝2. 答案 27．(2019·江西卷)设e 1，e 2为单位向量，且e 1，e 2的夹角为π3，若a ＝e 1＋3e 2，b ＝2e 1，则向量a 在b 方向上的射影为________．解析 a 在b 方向上的射影为|a |cos 〈a ，b 〉＝a ·b|b |.∵a ·b ＝(e 1＋3e 2)·2e 1＝2e 21＋6e 1·e 2＝5. |b |＝|2e 1|＝2. ∴a ·b |b |＝52. 答案 528．在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ADC ＝90°，AD ＝2，BC ＝1，P 是腰DC 上的动点，则|P A →＋3P B →|的最小值为______．解析 建立如图所示的直角坐标系，设DC ＝m ，P (0，t )，t ∈[0，m ]，由题意可知，A (2,0)，B (1，m )，P A →＝(2，－t )，P B →＝(1，m －t )，P A →＋3P B →＝(5,3m －4t )，|P A →＋3P B →|＝52＋(3m －4t )2≥5，当且仅当t ＝34m 时取等号，即|P A →＋3P B →|的最小值是5.答案 59．如图，在平面直角坐标系xOy 中，点A 在x 轴正半轴上，直线AB 的倾斜角为3π4，|OB |＝2，设∠AOB ＝θ，θ∈⎝⎛⎭⎫π2，3π4. (1)用θ表示点B 的坐标及|OA |； (2)若tan θ＝－43，求O A →·O B →的值．解 (1)由题意，可得点B 的坐标为(2cos θ，2sin θ)．在△ABO 中，|OB |＝2，∠BAO ＝π4，∠B ＝π－⎝⎛⎭⎫π－3π4－θ＝3π4－θ.由正弦定理，得|OB |sin ⎝⎛⎭⎫π－34π＝|OA |sin B ， 即|OA |＝22sin ⎝⎛⎭⎫3π4－θ.(2)由(1)，得O A →·O B →＝|O A →||O B →|cos θ＝42sin ⎝⎛⎭⎫3π4－θcos θ.因为tan θ＝－43，θ∈⎝⎛⎭⎫π2，3π4， 所以sin θ＝45，cos θ＝－35. 又sin ⎝⎛⎭⎫3π4－θ＝sin 3π4cos θ－cos 3π4sin θ＝22×⎝⎛⎭⎫－35－⎝⎛⎭⎫－22×45＝210， 故O A →·O B →＝42×210×⎝⎛⎭⎫－35＝－1225. 10．已知△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，设向量m ＝(a ，b )，n ＝(sin B ，sin A )，p ＝(b －2，a －2)．(1)若m ∥n ，求证：△ABC 为等腰三角形；(2)若m ⊥p ，边长c ＝2，C ＝π3，求△ABC 的面积． (1)证明 因为m ∥n ，所以a sin A ＝b sin B ，即a ·a 2R ＝b ·b 2R(其中R 是△ABC 外接圆的半径)，所以a ＝b .所以△ABC 为等腰三角形． (2)解 由题意，可知m ·p ＝0，即a (b －2)＋b (a －2)＝0，所以a ＋b ＝ab ，由余弦定理，知4＝c 2＝a 2＋b 2－2ab cos π3＝(a ＋b )2－3ab ，即(ab )2－3ab －4＝0，所以ab ＝4或ab ＝－1(舍去)． 所以S △ABC ＝12ab sin C ＝12×4×sin π3＝ 3. 11．如图所示，A ，B 分别是单位圆与x 轴、y 轴正半轴的交点，点P 在单位圆上，∠AOP ＝θ(0<θ<π)，C 点坐标为(－2,0)，平行四边形OAQP 的面积为S .(1)求O A →·O Q →＋S 的最大值；(2)若CB ∥OP ，求sin ⎝⎛⎭⎫2θ－π6的值． 解 (1)由已知，得A (1,0)，B (0,1)，P (cos θ，sin θ)，因为四边形OAQP 是平行四边形，所以O Q →＝O A →＋O P →＝(1,0)＋(cos θ，sin θ)＝(1＋cos θ，sin θ)．所以O A →·O Q →＝1＋cos θ.又平行四边形OAQP 的面积为S ＝|O A →|·|O P →|sin θ＝sin θ，所以O A →·O Q →＋S ＝1＋cos θ＋sin θ＝2sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＋1. 又0<θ<π，所以当θ＝π4时，O A →·O Q →＋S 的最大值为2＋1. (2)由题意，知C B →＝(2,1)，O P →＝(cos θ，sin θ)， 因为CB ∥OP ，所以cos θ＝2sin θ.又0<θ<π，cos 2θ＋sin 2θ＝1，解得sin θ＝55，cos θ＝255， 所以sin2 θ＝2sin θcos θ＝45，cos2θ＝cos 2θ－sin 2θ＝35. 所以sin ⎝⎛⎭⎫2θ－π6＝sin 2θcos π6－cos 2θsin π6＝45×32－35×12＝43－310.。
初中数学知识归纳平面向量的线性运算及应用
初中数学知识归纳平面向量的线性运算及应用初中数学知识归纳：平面向量的线性运算及应用一、引言初中数学中，线性运算是一个重要的概念。
在平面几何中，平面向量的线性运算是一种常见且有用的运算。
本文将归纳总结平面向量的线性运算及其应用。
二、平面向量的定义与表示平面向量是具有大小和方向的量，用有向线段表示。
在直角坐标系中，平面向量可以用坐标表示为：AB = (x, y)其中，x表示与x轴的水平距离，y表示与y轴的垂直距离。
三、平面向量的线性运算1. 平面向量的加法若有两个平面向量AB = (x₁, y₁)和CD = (x₂, y₂)，则它们的和为：AB + CD = (x₁ + x₂, y₁ + y₂)2. 平面向量的数乘若有一个平面向量AB = (x, y)和一个实数k，那么它们的数乘为：kAB = (kx, ky)3. 平面向量的减法若有两个平面向量AB = (x₁, y₁)和CD = (x₂, y₂)，则它们的差为：AB - CD = (x₁ - x₂, y₁ - y₂)4. 平面向量的线性组合若有n个平面向量A₁, A₂, ..., An和n个实数k₁, k₂, ..., kn，则它们的线性组合为：k₁A₁ + k₂A₂ + ... + knAn四、平面向量的应用1. 平行向量两个向量的方向相同或相反时，它们为平行向量。
在平行四边形的性质中，平行向量具有重要的应用。
2. 向量共线与共面若有三个点A，B，C构成的两个向量AB和AC共线，则三个点A，B，C共线。
若两个向量在同一个平面内，它们为共面向量。
3. 向量的模长与方向角平面向量的模长为向量的长度，用|AB|表示。
向量的方向角为向量与水平方向的夹角，一般用α表示。
4. 平面向量的投影平面向量的投影表示一个向量在另一个向量上的投影长度，应用于解决几何问题中的投影性质。
5. 平面向量的线性相关与线性无关若存在一组实数k₁, k₂, ..., kn，使得k₁A₁ + k₂A₂ + ... + knAn = 0且不全为0，则这组向量为线性相关向量。
平面向量的线性运算
平面向量的线性运算平面向量是解决平面几何问题的重要工具。
平面向量之间可以进行线性运算，包括加减法、数量乘法和应用特殊运算规则的向量乘法。
本文将详细介绍平面向量的线性运算及其应用。
一、平面向量的基本概念在平面直角坐标系中，向量由两个有序实数对表示，分别表示向量在 x 轴和 y 轴上的分量。
设向量 a 的分量为 (a1, a2)，则向量 a 可表示为 a = a1i + a2j，其中 i 和 j 分别是 x 轴和 y 轴的单位向量。
二、平面向量的加法设有两个平面向量 a = a1i + a2j， b = b1i + b2j，其和为 c = (a1 +b1)i + (a2 + b2)j。
向量的加法满足交换律、结合律和零向量的存在性。
三、平面向量的减法设有两个平面向量 a = a1i + a2j， b = b1i + b2j，其差为 c = (a1 - b1)i + (a2 - b2)j。
向量的减法也满足交换律和结合律。
四、平面向量的数量乘法设有平面向量 a = a1i + a2j，实数 k，k与向量 a 的数量积为 k * a =ka1i + ka2j。
数量乘法满足结合律、分配律和对数乘法的分布律等性质。
五、平面向量的线性运算应用1. 向量共线与平行若有两个非零向量 a 和 b，当且仅当存在实数 k，使得 a = kb，称向量 a 和 b 共线。
若向量 a 和 b 共线且方向相同或相反，则称向量 a 和b 平行。
2. 向量的线性组合设有向量组 a1, a2, ..., an，其中每个向量的形式为 ai = ai1i + ai2j。
对于任意给定的实数 k1, k2, ..., kn，向量 b = k1a1 + k2a2 + ... + knan 称为向量组 a1, a2, ..., an 的线性组合。
3. 向量的共面性若存在不全为零的实数 k1, k2, k3，使得 k1a1 + k2a2 + k3a3 = 0，称向量组 a1, a2, a3 共面。
8 平面向量线性运算及综合应用问题
8 平面向量线性运算及综合应用问题8平面向量线性运算及综合应用问题8平面向量线性运算及综合应用问题1．未知两个非零向量a，b满足用户|a＋b|＝|a－b|，则下面结论恰当的就是a．a∥bc．|a|＝|b|b．a⊥bd．a＋b＝a－b2．已知向量a，b满足|a|＝|b|＝1，|a－b|＝1，则|a＋b|＝a．2c.3d．2→→→1→→3．在△abc中，已知d是ab边上一点，若ad＝2db，cd＝ca＋λcb，则λ＝32112a.．－d．－33334．设△abc的三个内角为a，b，c，向量m＝3sina，sinb)，n＝(cosb，3cosa)，若m·n＝1＋cos(a＋b)，则c＝a.ππ2π5πd.63365．已知|a|＝|b|＝2，(a＋2b)·(a－b)＝－2，则a与b的夹角为()．a.πππ2πc.63236．已知向量a＝3，1)，b＝(0，－1)，c＝(k3)．若a－2b与c共线，则k＝________.7．设立向量a，b，c满足用户a＋b＋c＝0，(a－b)⊥c，a⊥b，若|a|＝1，则|a|＋|b|＋|c|的值就是________．→→8．如图，在矩形abcd中，ab2，bc＝2，点e为bc的中点，点f在边cd上，若ab·af→→＝2，则ae·bf的值就是________．9．已知向量a＝(cosx，sinx)，b＝(－cosx，cosx)，c＝(－1，0)．π(1)若xa，c的夹角；6π9π(2)当x时，求函数f(x)＝2a·b＋1的最大值．2810．未知向量a＝(cosα，si nα)，b＝(cosβ，sinβ)，c＝(－1,0)．(1)求向量b＋c的长度的最大值；π(2)设立αa⊥(b＋c)，谋cosβ的值．41211．已知△abc的内角a、b、c的对边分别为a、b、c3sinccosc－cosc＝，且c＝2(1)谋角c；(2)若向量m＝(1，sina)与n＝(2，sinb)共线，求a、b的值．。
平面向量的线性运算与应用
平面向量的线性运算与应用平面向量是解决平面上几何问题的重要工具之一，线性运算是平面向量的基本操作，而应用则是将线性运算应用于实际问题的过程。
本文将介绍平面向量的线性运算以及一些典型的应用。
一、平面向量的线性运算1. 向量的加法向量的加法满足交换律和结合律，即对于任意两个向量a和b，有a + b = b + a，(a + b) + c = a + (b + c)。
向量的加法可以通过将两个向量的对应分量相加得到。
2. 向量的数乘向量的数乘是指向量与一个实数相乘的操作。
设向量a，实数k，则ka为向量的数乘，即ka = (k * ax, k * ay)。
向量的数乘满足结合律和分配律。
3. 向量的减法向量的减法可以看作是加法的逆运算，即a - b = a + (-b)。
其中，-b 为向量b的相反向量，满足-b = (-1) * b。
二、平面向量的应用1. 平面几何问题平面向量可以用于解决平面几何中的一些问题，如求线段的中点、垂直平分线、三角形的重心、垂心等。
通过将问题转化为向量运算，可以简化求解过程。
2. 力的合成与分解在物理学中，力可以看作是一个有大小和方向的向量。
利用向量的加法，可以将多个力合成为一个合力，求解物体受力情况。
而利用向量的分解，则可以将一个力分解为多个分力，研究物体的运动情况。
3. 直角坐标系与向量的关系在直角坐标系中，向量可以表示为一个有序数对。
通过向量的线性运算，可以计算向量的模、单位向量、向量的夹角等。
这对于解决平面几何问题以及分析物体的运动具有重要意义。
4. 平面向量的投影向量的投影即一个向量在另一个向量上的正交投影。
通过向量的内积运算，可以计算向量的投影长度，从而解决一些与平面几何相关的问题，如点到直线的距离、直线的夹角等。
总结：平面向量的线性运算及其应用广泛应用于数学、物理等领域。
通过熟练掌握向量的线性运算规则，并将其应用于实际问题的解决中，可以提高解题效率，简化计算过程。
对于学习平面几何、力学等学科具有重要意义。
平面向量的表示和运算的综合应用题
平面向量的表示和运算的综合应用题在数学中，平面向量是一种有大小和方向的量，可以用箭头表示。
平面向量的表示和运算是数学中的一项基础内容，也是解决各种综合应用题的关键。
本文将通过一系列实例，说明平面向量的表示和运算在综合应用题中的具体应用。
1. 平面向量的表示平面向量通常用坐标表示，其中横轴表示向量在水平方向上的大小，纵轴表示向量在竖直方向上的大小。
举例说明，设向量A表示为(3,4)，其中3表示横轴上的长度，4表示纵轴上的长度。
向量A的起点默认为坐标原点(0,0)，终点为坐标(3,4)。
以此为基础，可以表示任意平面向量。
2. 平面向量的运算平面向量的运算主要包括加法和乘法。
向量的加法是将两个向量的对应分量相加，乘法可以是向量与常数的乘积或向量与向量的点积。
2.1 向量的加法向量的加法可以将两个向量的对应分量相加，得到一个新的向量。
例如，向量A(3,4)与向量B(1,2)的相加结果为(3+1,4+2)=(4,6)。
2.2 向量的乘法2.2.1 向量与常数的乘积向量与常数的乘积等于将向量的每个分量都乘以该常数。
例如，向量A(3,4)与常数k的乘积为(k*3,k*4)。
2.2.2 向量的点积向量的点积是指两个向量对应分量的乘积之和。
设向量A(a1,a2)和向量B(b1,b2)，则它们的点积为a1*b1+a2*b2。
3. 平面向量的综合应用通过平面向量的表示和运算，可以解决各种实际问题。
下面将通过几个综合应用题来说明。
3.1 平面向量的共线性判断假设有三个点A(x1,y1)，B(x2,y2)，C(x3,y3)，判断这三个点是否共线。
这可以通过判断向量AB和向量BC是否平行来解决。
如果向量AB和向量BC平行，则说明点A、B、C共线。
3.2 平面向量的位移问题假设有一个平面上的点P(x1,y1)，有平面向量a(x,y)，现在要求点P 经过平面向量a的位移得到的新坐标。
只需将向量a的坐标与点P的坐标相加即可得到新的坐标。
平面向量的线性运算与应用
平面向量的线性运算与应用平面向量是数学中一个重要的概念，具有广泛的应用。
在本文中，我们将探讨平面向量的线性运算及其应用。
通过学习和理解这些概念，我们可以更好地应用平面向量解决实际问题。
一、平面向量的定义和表示方式平面向量可以用有序数对表示，其中第一个数表示向量在x轴上的分量，第二个数表示向量在y轴上的分量。
例如，向量a可以表示为a = （a1，a2）。
平面向量也可以使用箭头表示，箭头的指向表示向量的方向，箭头的长度表示向量的大小。
二、平面向量的线性运算平面向量可以进行加法、减法和数乘等线性运算。
1. 向量加法：向量的加法是指将两个向量相加的运算。
由于向量有方向，所以向量相加要根据有向线段法则进行运算。
2. 向量减法：向量的减法是指将一个向量减去另一个向量得到的运算。
向量减法也要遵循有向线段法则。
3. 数乘：数乘是指将向量的每个分量都乘以一个实数得到的运算。
数乘可以改变向量的大小和方向。
三、平面向量的应用平面向量在许多领域中都有广泛的应用，包括几何、物理、工程等。
1. 几何应用：平面向量可以用于求解几何问题，如点的坐标、线段的长度、角的夹角等。
通过将几何问题转化为向量问题，可以简化计算过程。
2. 物理应用：平面向量在物理学中有着重要的应用。
例如，力可以表示为一个平面向量，通过对力的合成和分解，可以求解物体的运动、受力分析等问题。
3. 工程应用：平面向量的应用在工程领域中也非常广泛。
例如，力的分解、矢量图形的绘制、力矩的计算等都需要运用平面向量的知识。
四、平面向量的线性运算与应用实例为了更好地理解平面向量的线性运算及其应用，我们来看一个实例：假设有一辆汽车沿着某条道路行驶，速度为v1，风的速度为v2，向量v1表示汽车的速度，向量v2表示风的速度。
1. 向量加法的应用：汽车的实际速度可以表示为v = v1 + v2。
如果风向相反于汽车行驶的方向，那么汽车的实际速度会减小；如果风向与汽车行驶的方向一致，那么汽车的实际速度会增加。
高三 平面向量线性运算及综合应用问题
平面向量线性运算及综合应用问题知识梳理教学重、难点作业完成情况典题探究例1若向量BA →＝(2,3)，CA →＝(4,7)，则BC →＝( )A ．(－2，－4)B ．(2,4)C ．(6,10)D ．(－6，－10)例2设a ，b 都是非零向量．下列四个条件中，使a |a |＝b|b |成立的充分条件是( )．A ．a ＝－bB ．a ∥bC ．a ＝2bD ．a ∥b 且|a |＝|b |例3设a ，b 是两个非零向量，下列选项正确的是( )．A ．若|a ＋b |＝|a |－|b |，则a ⊥bB ．若a ⊥b ，则|a ＋b |＝|a |－|b |C ．若|a ＋b |＝|a |－|b |，则存在实数λ，使得b ＝λaD ．若存在实数λ，使得b ＝λa ，则|a ＋b |＝|a |－|b |例4已知向量a ，b 夹角为45°，且|a |＝1，|2a －b |＝10，则|b |＝________.演练方阵A 档（巩固专练）1．若向量,a b 满足|||||1==+=a b a b ，则⋅a b 的值为 ( ) A ．12- B ．12C ． 1-D ． 1 2．已知ABCD 为平行四边形，若向量AB = a ，AC = b ，则向量BC为（ ）A ．-a bB ．a +bC ．-b aD ．--a b3．在△ABC 中，,1AB AC AC ⊥=，点D 满足条件3BD BC = ，则AC AD ⋅等于（ ）A ．3B ．1C ．32D ．124．已知平面向量=(1,2)=(2,)m -，a b , 且∥a b , 则m 的值为( )A ．1-B ．C ．4-D ．45．△ABC 外接圆的半径为1，圆心为O ，且2OA AB AC ++=0 ， ||||OA AB =，则CAC B ⋅ 等于( )A ．32B ．3C ．3D ．236．已知向量()()k b a ,2,1,2-==,且(2)a a b ⊥-,则实数=k ( )A ．14-B ．6-C ．6D ．147．在平面直角坐标系xoy 中，已知A(1,0)，B （0,1），点C 在第二象限内，56AOC π∠=，且|OC|=2，若OC OA OB λμ=+，则λ，μ的值是（ ）A ．3，1B ．1，3C ．-1，3D ．3-，18．向量=(3,4)=(,2)x ，a b , 若⋅a b =a ,则实数x 的值为（ ）A ．1-B ．12-C ．13-D ．19．AC 为平行四边形ABCD 的一条对角线，(2,4),(1,3),AB AC AD 则===（ ）A ．(2,4)B ．(3,7)C ．(1,1)D ．(1,1)--10．对任意两个非零的平面向量α和β，定义⋅=⋅ αβαβββ，若平面向量,a b 满足0≥>a b ，a 与b 的夹角(0,)3θπ∈，且 a b 和 b a 都在集合{|}2nn ∈Z 中，则a b =（ ）A ．21B ．2C ． 23D ．23B 档（提升精练）1．已知矩形ABCD 中，2AB =，1AD =，E 、F 分别是BC 、CD 的中点，则()AE AF AC+?等于 ．2．在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠A=90°，AB=AD=1，BC=2，E 是CD 的中点， 则CD BE ⋅=.3．已知1||=a，2||=b ，向量a 与b 的夹角为 60，则=+||b a .4．如图，正六边形ABCDEF 的边长为1，则AC DB ⋅=______．5．在边长为1的正方形ABCD 中，E 、F 分别为BC 、DC 的中点，则向量AE AF ⋅=． 6．在ABC ∆中，D 为BC 中点，若120BAC ∠=︒，1AB AC ⋅=-，则AD 的最小值是 .7．已知向量(1,3)=a ，(2,1)=-b ，(3,2)=c .若向量c 与向量k +a b 共线，则实数k =_____．8．在边长为的等边ABC ∆中，D 为BC 边上一动点，则AB AD ⋅的取值范围是 ．9．在Rt ABC ∆中，90C ︒∠=，4,2AC BC ==，D 是BC 的中点，那么()AB AC AD -∙=u u u r u u u r u u u r____________;若E 是AB 的中点，P 是ABC ∆（包括边界）内任一点．则AD EP ⋅uuu r uu r的取值范围是___________.10．在直角三角形ABC 中，90ACB ∠=︒，2AC BC ==，点P 是斜边AB 上的一个三等分点，则CP CB CP CA ⋅+⋅=．C 档（跨越导练）1．已知△ABC 和点M 满足MA →＋MB →＋MC →＝0，若存在实数m 使得AB →＋AC →＝mAM →成立，则m ＝( )．A ．2B ．3C ．4D ．52．如图，△ABC 中，∠C ＝90°，且AC ＝BC ＝3，点M 满足BM →＝2MA →，则CM →·CB →＝( )．A ．2B ．3C ．4D ．63．设x ，y ∈R ，向量a ＝(x,1)，b ＝(1，y )，c ＝(2，－4)，且a ⊥c ，b ∥c ，则|a ＋b |＝( )．A . 5 B.10 C ．2 5 D ．104．已知a 与b 均为单位向量，其夹角为θ，有下列四个命题：p 1：|a ＋b |>1⇔θ∈⎣⎡⎭⎫0，2π3；p 2：|a ＋b |>1⇔θ∈⎝⎛⎦⎤2π3，π； p 3：|a －b |>1⇔θ∈⎣⎡⎭⎫0，π3；p 4：|a －b |>1⇔θ∈⎝⎛⎦⎤π3，π. 其中的真命题是( )．A ．p 1，p 4B ．p 1，p 3C ．p 2，p 3D ．p 2，p 45．若a ，b ，c 均为单位向量，且a ·b ＝0，(a －c )·(b －c )≤0，则|a ＋b －c |的最大值为( )．A .2－1B ．1 C. 2 D ．26．已知△ABC 为等边三角形，AB ＝2.设点P ，Q 满足AP →＝λAB →，AQ →＝(1－λ)AC →，λ∈R ，若BQ →·CP →＝－32，则λ＝( )．A.12B.1±22C.1±102 D.－3±222 7．如图，平面内有三个向量OA →，OB →，OC →，其中OA →与OB →的夹角为120°，OA →与OC →的夹角为30°，且|OA →|＝|OB →|＝1，|OC →|＝23，若OC →＝λOA →＋μOB →(λ，μ∈R )，则λ＋μ的值为________．8．已知正方形ABCD 的边长为1，点E 是AB 边上的动点，则DE →·CB →的值为____________；DE →·DC →的最大值为____________．9．已知向量a ＝(sin x ，－1)，b ＝⎝⎛⎭⎫cos x ，32. (1)当a ∥b 时，求cos 2x －3sin 2x 的值；(2)求f (x )＝(a ＋b )·b 的最小正周期和单调递增区间．10．在△ABC 中，角A 、B 、C 所对应的边分别为a 、b 、c ，且满足cos A 2＝255，AB →·AC →＝3.(1)求△ABC 的面积； (2)若b ＋c ＝6，求a 的值．成长足迹课后检测学习（课程）顾问签字：负责人签字：教学主管签字：主管签字时间：。
第02讲 平面向量的线性运算(3个知识点+4种题型+强化训练)解析版
第02讲 平面向量的线性运算（3个知识点+4种题型+强化训练）知识点一、向量加法1．向量加法的定义定义：求两个向量和的运算 叫做向量的加法． 对于零向量与任意向量a 规定0＋a ＝a ＋0＝a . 2．向量求和的法则三角形法则已知非零向量a b 在平面内任取一点A 作AB →＝a BC →＝b 则向量AC →叫做a 与b的和 记作a ＋b 即a ＋b ＝A B →＋BC →＝A C →.平行四边形法则已知两个不共线向量a b 作AB →＝a AD →＝b 以AB → AD →为邻边作▱ABCD 则对角线上的向量AC →＝a ＋b .思考：两个向量相加就是两个向量的模相加吗？[提示] 不是 向量的相加满足三角形法则 而模相加是数量的加法． 3．向量加法的运算律 (1)交换律：a ＋b ＝b ＋a .(2)结合律：(a ＋b )＋c ＝a ＋(b ＋c )． 知识点二、向量减法1．相反向量(1)定义：与向量a 长度相等 方向相反的向量 叫做a 的相反向量． (2)性质：①－(－a )＝a .②对于相反向量有：a ＋(－a )＝0. ③若a b 互为相反向量 则a ＝－b a ＋b ＝0. 2．向量的减法(1)定义：a －b ＝a ＋(－b ) 即减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量． (2)作法：在平面内任取一点O 作OA →＝a OB →＝b 则向量BA →＝a －b 如图所示．思考：在什么条件下|a－b|＝|a|＋|b|?[提示]当a b至少有一者为0或a b非零且反向时成立．知识点三、向量的数乘运算(1)定义：规定实数λ与向量a的积是一个向量这种运算叫做向量的数乘记作：λa它的长度与方向规定如下：①|λa|＝|λ||a|；②当λ＞0时λa的方向与a的方向相同；当λ＜0时λa的方向与a的方向相反．(2)运算律：设λμ为任意实数则有：①λ(μ a)＝(λμ)a；②(λ＋μ)a＝λa＋μ a；③λ(a＋b)＝λa＋λb；特别地有(－λ)a＝λ(－a)＝－(λa)；λ(a－b)＝λa－λb.(3)线性运算：向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算向量线性运算的结果仍是向量．对于任意向量a b以及任意实数λμ1μ2恒有λ(μ1a＋μ2b)＝λμ1a±λμ2b.(4) 共线向量定理向量a(a≠0)与b共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ使b＝λa.思考：定理中把“a≠0”去掉可以吗？[提示]定理中a≠0不能漏掉．若a＝b＝0则实数λ可以是任意实数；若a＝0b≠0则不存在实数λ使得b＝λa.知识复习题型一、向量的加法一、单选题1．在平面四边形ABCD中下列表达式化简结果与AB相等的是（）A．AC CD+B．AD DC CB++C．CA CB+--D．CB DA DC【答案】B【分析】根据平面的线性运算求得正确答案.【详解】AC C AD+=不符合题意.D++=+=符合题意.AD DC CB AC CB ABCA CB BA-=不符合题意.=+-+≠不符合题意.CB DA DC CB CA AB故选：B2．（2024下·全国·高一专题练习）下列等式不正确的是()①()()++=++；a b c a c b②0+=；AB BA③AC DC AB BD=++.A．②③B．②C．①D．③【答案】B【分析】根据向量加法的运算律判断即可.【详解】对于① ()()++=++正确；a b c a c b对于② 0+=错误；AB BA对于③ DC AB BD AB BD DC AC++=++=正确.故选：B3．（2024下·全国·高一专题练习）如图所示的方格纸中有定点O P Q E F G H则OP OQ+=（）A．OE B．OF C．OG D．OH【答案】B【分析】根据平行四边形法则即可求.【详解】以OP OQ 为邻边作平行四边形 可知OF 为所作平行四边形的对角线故由平行四边形法则可知OF 对应的向量OF 即所求向量． 故选：B4．（2024下·全国·高一专题练习）已知四边形ABCD 为菱形 则下列等式中成立的是（ ） A ．AB BC CA += B ．AB AC BC += C ．AC BA AD += D ．AC AD DC +=【答案】C【分析】根据菱形的性质 结合平面向量加法的运算性质进行判断即可. 【详解】对于A AB BC AC += 故A 错误；对于B 因为AB BC AC += 所以2AB AC AB BC +=+ 故B 错误； 对于C AC BA BA AC BC AD +=+== 故C 正确；对于D 因为AD DC AC += 所以2AC AD AD DC +=+ 故D 错误. 故选：C5．（2024上·河北石家庄·高一石家庄市第二十四中学校考期末）向量()AB OM BO MB +++= （ ） A ．BC B ．AB C ．AC D ．AM【答案】B【分析】利用向量加法的三角形法则及向量加法的运算律即可求解. 【详解】由()AB OM BO MB AB BO OM MB AB +++=+++= 故B 正确. 故选：B. 二、填空题6．（2024下·全国·高一专题练习）已知向量a 表示“向东航行3km” b 表示“向南航行3 km” 则a b +表示 .【答案】向东南航行32km. 【分析】根据向量加法法则分析即可.【详解】根据题意由于向量a 表示“向东航行3km” 向量b 表示“向南航行3km” 那么可知a b +表示向东南航行223332+=km. 故答案为：向东南航行32km 7．（2023·全国·高一随堂练习）化简：（1）AB BC CD ++= ； （2）AB BC CD DE EF ++++= ； （3）AB CB AC --= ； （4）12231n n A A A A A A -++⋅⋅⋅+= ． 【答案】 AD AF 0 1n A A 【分析】根据向量加减法的几何意义进行运算即可. 【详解】（1）AB BC CD AC CD AD ++=+=；（2）AB BC CD DE EF AC CD DE EF ++++=+++AD DE EF AE EF AF =++=+=； （3）0AB CB AC AB BC AC AC AC --=+-=-=； （4）122311311111n n n n n n n n A A A A A A A A A A A A A A A A ----++⋅⋅⋅+=+⋅⋅⋅+==+=.故答案为：AD ；AF ；0；1n A A . 三、解答题8．（2023·全国·高一随堂练习）如果0AB BC CA ++= 那么A B C 三点是否一定是一个三角形的三个顶点？ 【答案】不一定【分析】考虑A B C 三点是否共线即可回答.【详解】当A B C 三点共线也有0AB BC CA ++= 所以A B C 三点不一定是一个三角形的三个顶点.9．（2024下·全国·高一专题练习）如图 已知a 、b 、c 求作向量a b c ++．【答案】作图见解析【分析】在平面内任取一点O 作OA a = AB b = BC c = 利用平面向量加法的三角形法则可作出向量a b c ++.【详解】作法：如图所示 在平面内任取一点O 作OA a = AB b = BC c = 则OC OA AB BC a b c =++=++．题型二、向量的减法 一、单选题1．（2022上·江西·高三校联考阶段练习）对于非零向量a b “0a b +=”是“a b ∥”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】根据相反向量一定是共线向量 共线向量不一定是相反向量可求解. 【详解】由0a b +=得0a b += 所以a b =- 则a b ∥； 由a b ∥得a 与b 方向相同或相反 模长不一定相等 所以0a b +=不一定成立所以“0a b +=”是“a b ∥”的充分不必要条件. 故选:A.2．（2023下·河北张家口·高一河北省尚义县第一中学校考阶段练习）向量AB CB DA -+=（ ） A ．BD B ．CDC ．DCD ．0【答案】C【分析】根据向量的概念 以及向量加减法的运算律 即可得出答案. 【详解】由AB CB DA AB BC DA AC AD DC -+=++=-=. 故选：C.3．（2024下·全国·高一专题练习）已知,a b 为非零向量 则下列说法错误的是（ ） A ．若||||||a b a b +=+ 则a 与b 方向相同B ．若||||||a b a b +=- 则a 与b 方向相反C ．若||||||a b a b +=- 则a 与b 有相等的模D ．若||||||a b a b -=- 则a 与b 方向相同 【答案】C【分析】运用向量三角不等式的取等条件求解即可.【详解】由向量三角不等式可知 只有当非零向量,a b 同向时 有||||||a b a b +=+||||||a b a b -=- 故A D 正确；只有当非零向量,a b 反向时 有||||||||b b a a +=- ||||||a b a b +=- 故B 正确 C 错误．故选：C ． 二、多选题4．（2023下·湖南怀化·高一校考期中）下列各式中结果一定为零向量的是（ ） A ．BO OM MB ++ B ．AB BC +C ．C BO OB O CO +++D ．AB AC BD CD -+-【答案】ACD【分析】利用向量的加法运算 结合零向量的意义逐项计算判断作答. 【详解】对于A 0O M BO M B MO OM ++=+= A 是； 对于B AB BC AC += AC 不一定是零向量 B 不是；对于C ()()000BO O OB OC CO B O C BO C O +++=+++=+= C 是； 对于D ()0AB AC BD CD AB AD AD BD AC CD -+-=+-+=-= D 是. 故选：ACD 5．若a 、b 为相反向量 且1a = 1b = 则a b += a b -= . 【答案】 0 2【分析】利用相反向量的定义结合平面向量的加、减法可求得结果. 【详解】因为a 、b 为相反向量 且1a = 1b = 则0a b += 2a b a -= 因此 0a b += 22a b a -==. 故答案为：0；2.6．（2022下·上海闵行·高一上海市七宝中学校考阶段练习）若向量a 与b 共线 且1==a b 则+=a b ． 【答案】0或2【分析】由题可知a 与b 相等或互为相反向量 据此即可求a b + 【详解】向量a 与b 共线 且a b = ∴a 与b 相等或互为相反向量 当a 与b 相等时 22a a b ==+ 当a 与b 互为相反向量时 0=0a b =+． 故答案为：0或2．7．（2022·高一课时练习）如图所示 中心为O 的正八边形1278A A A A 中()11,2,,7i i i a A A i +== ()1,2,,8j j b OA j == 则25257a a b b b ++++= ．（结果用i a ib 表示）【答案】6b【分析】根据向量的加减运算即可求得答案. 【详解】由题图可知 25257a a b b b ++++2356257A A A A OA OA OA =++++()()2235567OA A A OA A A OA =++++367OA OA OA =++36366OA OA OA OA b =+-==,故答案为：6b8．已知长度相等的三个非零向量,,OA OB OC 满足OA OB OC ++=0,则由A ,B ,C 三点构成的∴ABC 的形状是 三角形. 【答案】等边【详解】如图,以OA ,OB 为邻边作菱形OAFB ,则OA OB OF +=,∴OF OC +=0,∴OF =-OC . ∴O ,F ,C 三点共线. ∴四边形OAFB 是菱形, ∴CE 垂直平分AB.∴CA=CB. 同理,AB=AC.∴△ABC 为等边三角形. 四、解答题9．（2022下·河南周口·高一校考阶段练习）化简下列各式： (1)()()BA BC ED EC ---； (2)()()AC BO OA DC DO OB ++--- 【答案】(1)DA(2)0【分析】（1）根据平面向量加法和减法的运算法则化简即可得出结果； （2）首先化简出两个向量的结果 再与第三个向量进行加减运算即可求得结果. 【详解】（1）利用平面向量的加减运算法则可得()()()BA BC ED EC BA CB ED CE CA CD CA DC DA ---=+-+=-=+=（2）由平面向量的加减运算法则可得()()()()AC BO OA DC DO OB AC BA DC OD BO ++---=+-++()0BC DC BD BC BC =-+=-=题型三 、向量的数乘运算 一、单选题1．（2023·湖南岳阳·校联考模拟预测）已知向量,a b 则()()2a b a b +--=（ ） A ．a b + B ．a b - C ．3a b + D ．3ab【答案】D【分析】直接由向量的线性运算即可求解.【详解】由题意()()2223a b a b a b a b a b +--=+-+=+. 故选：D.2．（2024上·河南焦作·高三统考期末）已知ABC 所在平面内一点D 满足102DA DB DC ++=则ABC 的面积是ABD △的面积的（ ） A ．5倍 B ．4倍C ．3倍D ．2倍【答案】A【分析】利用平面向量的线性运算计算即可．【详解】设AB 的中点为M 因为102DA DB DC ++=所以2()CD DA DB =+ 所以4CD DM = 所以点D 是线段CM 的五等分点所以5ABC ABDCM S SDM==,所以ABC 的面积是ABD △的面积的5倍． 故选：A.3．（2023下·河南洛阳·高一河南省偃师高级中学校考阶段练习）在ABC 中 点M 是AB 的中点 N 点分AC 的比为:1:2,AN NC BN =与CM 相交于E 设,AB a AC b == 则向量AE =（ ）A．1132a b+B．1223a b+C．2155a b+D．3455a b+【答案】C【分析】由三点共线性质以及平面向量基本定理解方程组即可得解.【详解】由题意,,B E N三点共线所以存在Rλ∈使得()113AE AB AN AB ACλλλλ-=+-=+同理,,C E M三点共线所以存在Rμ∈使得()112AE AC AM AC ABμμμμ-=+-=+由平面向量基本定理可得1213μλλμ-⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩解得21,55λμ==所以2155AE a b=+.故选：C.4．（2023·湖南永州·统考二模）在ABC中若1,2AB AC CA CB+=+=则ABC的面积的最大值为（）A．16B．15C．14D．13【答案】D【分析】设,E F分别为,BC AB的中点结合三角形相似推出43ABC ACEFS S=四边形由题意可得1||,||12AE CF==确定四边形ACEF面积的最大值即可得答案.【详解】设,E F分别为,BC AB的中点连接EF则EF AC∥则BEF△∴BCA故14BEF ABCS S=,则34ABC ACEF S S =四边形 故43ABCACEFSS =四边形 又1,2AB AC CA CB +=+= 则21,22AB AC AE CA CB CF +==+== 故1||,||12AE CF ==当AE CF ⊥时 四边形ACEF 面积最大 最大值为1111224⨯⨯=故ABC 的面积的最大值为411343⨯=故选：D 5．（2024下·全国·高一专题练习）在ABC 中 D 为AC 上一点且满足 12AD DC =，若P 为BD 的中点 且满足 AP AB AC λμ=+，则λμ+的值是 . 【答案】23【分析】根据平面向量的线性运算计算即可. 【详解】如图因为12AD DC = 所以13AD AC =则11111112222326AP AB AD AB AC AB AC =+=+⨯=+ 所以12λ=16μ= 23λμ+=.故答案为：23.6．（2024下·全国·高一专题练习）已知矩形ABCD 中 对角线交于点O 若125,3BC e DC e == 则OC = . 【答案】12 5322e e +【分析】利用向量的线性运算可得OC 的表达形式.【详解】因为ABCD 是矩形 所以1111122222OC AC AB BC DC BC ==+=+ 所以125322OC e e =+.故答案为：125322e e +7．（2022·全国·模拟预测）在平行四边形ABCD 中 点G 在AC 上 且满足3AC AG = 若DG mAB nAD =+ 则m n -= .【答案】1【分析】利用向量线性运算求得1233DG AB AD =- 与题干对照即可求解. 【详解】()11123333DG AG AD AC AD AB AD AD AB AD =-=-=+-=- 则13m = 23n =-所以1m n -=. 故答案为：1 三、解答题8．（2024下·全国·高一专题练习）若向量x y 满足23x y a += 32x y b -= a 、b 为已知向量 求向量x y ． 【答案】231313=+x a b 321313=-y a b 【分析】根据23x y a += 32x y b -= 列方程组求解. 【详解】解：由方程组2332x y ax y b +=⎧⎪⎨-=⎪⎩解得231313=+x a b 321313=-y a b .题型四、平面向量共线定理及应用一、单选题1．（2024·陕西安康·陕西省安康中学校联考模拟预测）已知平面向量a 与b 不共线 向量(),32m xa b n a x b =+=+- 若//m n 则实数x 的值为（ ）A ．1B ．13-C ．1或13-D ．1-或13【答案】C【分析】根据平面共线定理 由向量平行 求得x 满足满足的方程 求解即可. 【详解】由//m n 且,m n 均不为零向量 则()32,m n a x b λλλλ==+-∈R可得()132x x λλ=⎧⎨=-⎩ 则()3210x x --= 整理得23210x x 解得1x =或13x ． 故选：C ．2．（2024上·辽宁·高一校联考期末）已知a 与b 为非零向量,2,OA a b OB a b OC a b λμ=+=-=+ 若,,A B C 三点共线 则2λμ+=（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】D【分析】根据三点共线可得向量共线 由此结合向量的相等列式求解 即得答案. 【详解】由题意知 ,,A B C 三点共线 故2,(2)(1)AB a b BC a b λμ=-=-++, 且,AB BC 共线故不妨设,(0)A k B k BC =≠ 则1(2)2(1)k k λμ=-⎧⎨-=+⎩ 所以122μλ+-=- 解得23λμ+=故选：D3．（2024下·全国·高一专题练习）已知21,e e 为两个不共线的向量 若向量12122,23a e e b e e =+=-+ 则下列向量中与向量2a b +共线的是（ ） A ．1252e e -+ B ．12410e e +C ．12104e e +D ．122e e +【答案】B【分析】根据向量线性运算表示12225a b e e +=+ 然后利用共线向量基本定理求解即可. 【详解】因为向量122a e e =+ 1223b e e =-+ 所以12225a b e e +=+．又()1212410225e e e e +=+ 所以12410e e +与2a b +共线． 故选：B ． 二、填空题4．（2024·全国·高三专题练习）在ABC 中 O 是边BC 的中点 AP t AO = 过点P 的直线l 交直线,AB AC 分别于,M N 两点 且,AM mAB AN nAC == 则11m n+= . 【答案】2t【分析】由三点共线的性质列式求值. 【详解】由题意：().222t t tAP t AO AB AC AB AC ==+=+ 由,,M P N 三点共线知 ()()11AP AM AN mAB nAC λλλλ=+-=+-. ()212t m t n λλ⎧=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩⇒ 212t m t n λλ⎧=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩消去λ 得112m n t+=. 故答案为：2t5．（2022上·河南·高二校联考期末）已知ABC 中 点D 在线段AB （不含端点）上 且满足()R CD xCA yCB x y =+∈, 则12x y+的最小值为 .【答案】322+/223+【分析】根据向量共线可得1x y += 即可利用基本不等式的乘“1”法求解. 【详解】∴(),R CD xCA yCB x y =+∈ 由于D 在线段AB （不含端点）上 故,,A D B 三点共线 所以1x y +=且00，x y >>则()121223322y xx y x y x y x y ⎛⎫+=++=++≥+ ⎪⎝⎭ 当且仅当2y x xy=时 即21,22x y =-=-时取等号 故12x y+有最小值322+. 故答案为：322+.6．（2024下·全国·高一专题练习）如图所示 在ABC 中 14AN NC =P 是BN 上的一点 若611AP AB mAC =+ 则实数m 的值为 ．【答案】111【分析】借助共线定理的推论即可得. 【详解】因为14AN NC = 所以5AC AN = 所以6651111AP AB mAC AB mAN =+=+ 因为P B N 三点共线 所以65111m += 解得111m =.故答案为：111. 7．（2023·吉林长春·东北师大附中校考模拟预测）在ABC 中 M N 分别是边AB AC 上的点 且23AN AC =13AM AB = 点O 是线段MN 上异于端点的一点 且满足340(0)OA OB OC λλ++=≠ 则λ= ．【答案】8【分析】用OA 、AN 表示出OC 、OB 从而得到6977AO AN AM λλ=+++ 再根据M O N 三点共线 得到69177λλ+=++ 解得即可. 【详解】解：因为23AN AC =13AM AB =所以()23AN OC OA =- ()13AM OB OA =- 即32OC AN OA =+ 3OB AM OA =+因为340OA OB OC λ++= 所以()333402OA AM OA AN OA λ⎛⎫++++= ⎪⎝⎭即()769AO AN AM λ+=+ 即6977AO AN AM λλ=+++ 因为M O N 三点共线 故69177λλ+=++ 解得8λ=． 故答案为：8 8．（2022下·陕西西安·高一统考期中）设,a b 是不共线的两个向量. (1)若2OA a b =- 3OB a b =+ 3OC a b =- 求证：A B C 三点共线； (2)若8a kb +与2ka b +共线 求实数k 的值. 【答案】(1)证明见解析； (2)±4.【分析】（1）要证明三点共线 即证明三点组成的两个向量共线即可. （2）由共线性质求出参数即可.【详解】（1）由2OA a b =- 3OB a b =+ 3OC a b =- 得3(2)2AB OB OA a b a b a b =-=+--=+ 3(3)242BC OC OB a b a b a b AB =-=--+=--=-因此//AB BC 且有公共点B 所以A B C 三点共线.（2）由于8a kb +与2ka b +共线 则存在实数λ 使得8(2)a kb ka b λ+=+ 即(8)(2)0k a k b λλ-+-= 而,a b 是不共线因此8020k k λλ-=⎧⎨-=⎩解得2,4k λ==或2,4k λ=-=- 所以实数k 的值是4±.9．（2024上·辽宁·高一校联考期末）如图 在ABC 中 D 是BC 上一点 G 是AD 上一点 且2AG BD DG CD== 过点G 作直线分别交,AB AC 于点,E F .(1)用向量AB 与AC 表示AD ； (2)若54AB AE = 求ACAF 和EG EF的值.【答案】(1)1233AD AB AC =+ (2)138AC AF = 1318EG EF =.【分析】（1）利用向量的线性运算求解；（2）设AC AF μ= 利用向量的线性运算和平面向量基本定理求解. 【详解】（1）2221233333AD AB BD AB BC AB BA AC AB AC =+=+=++=+.（2）因为54AB AE = 所以54AB AE =．设AC AF μ= 22122454333399189AG AD AB AC AB AC AE AF μ⎛⎫==+=+=+ ⎪⎝⎭ 因为,,G E F 三点共线 所以541189μ+= 解得138μ= 所以138AC AF =.因为48513EF EA AF AB AC =+=-+424264134859945918513EG EA AG AB AB AC AB AC AB AC ⎛⎫=+=-++=-+=-+ ⎪⎝⎭所以1318EG EF =即1318EG EF =. 10．（2024下·全国·高一专题练习）如图 在平行四边形ABCD 中 ,,AB a AD b M ==为AB 中点 N 为BD 上靠近点B 的三等分点 求证：,,M N C 三点共线．【答案】证明见解析【分析】根据三点共线要求证明//CM CN即可.【详解】∴,AB a AD b==∴BD AD AB b a=-=-．∴N是BD上靠近点B的三等分点∴11()33BN BD b a==-．∴在平行四边形中BC AD b==∴112()333CN BN BC b a b a b =-=--=--．①∴M为AB的中点∴111,()222MB a CM MC MB BC a b a b⎛⎫=∴=-=-+=-+=--⎪⎝⎭．②由①②可得32CM CN=．由向量共线定理知//CM CN．又∴CM与CN有公共点C ∴,,M N C三点共线．。
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1．已知两个非零向量a ，b 满足|a ＋b |＝|a －b |，则下面结论正确的是
( )．
A ．a ∥b
B ．a ⊥b
C ．|a |＝|b |
D ．a ＋b ＝a －b
2．已知向量a ，b 满足|a |＝|b |＝1，|a －b |＝1，则|a ＋b |＝
( )．
A ．1 B. 2 C. 3 D ．2
3．在△ABC 中，已知D 是AB 边上一点，若AD →＝2DB →，CD →＝13
CA →＋λCB →，则λ＝ ( )．
A.23
B.13 C ．－13 D ．－23
4．设△ABC 的三个内角为A ，B ，C ，向量m ＝(3sin A ，sin B )，n ＝(cos B ，3cos A )，若m ·n ＝1＋cos(A ＋B )，则C ＝
( )．
A.π6
B.π3
C.2π3
D.5π6
5．已知|a |＝|b |＝2，(a ＋2b )·(a －b )＝－2，则a 与b 的夹角为 ( )．
A.π6
B.π3
C.π2
D.2π3
6．已知向量a ＝(3，1)，b ＝(0，－1)，c ＝(k ，3)．若a －2b 与c 共线，则k ＝________.
7．设向量a ，b ，c 满足a ＋b ＋c ＝0，(a －b )⊥c ，a ⊥b ，若|a |＝1，则|a |2＋|b |2＋|c |2
的值是________．
8．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝2，点E 为BC 的中点，点F 在边CD 上，若AB →·AF
→＝2，则AE →·BF →的值是________．
9．已知向量a ＝(cos x ，sin x )，b ＝(－cos x ，cos x )，c ＝(－1，0)．
(1)若x ＝π6
，求向量a ，c 的夹角； (2)当x ∈π2，9π8
时，求函数f (x )＝2a ·b ＋1的最大值．
10．已知向量a ＝(cos α，sin α)，b ＝(cos β，sin β)，c ＝(－1,0)．
(1)求向量b ＋c 的长度的最大值；
(2)设α＝π4
，且a ⊥(b ＋c )，求cos β的值．
11．已知△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，3sin C cos C －cos 2C ＝12
，且c ＝3.
(1)求角C ；
(2)若向量m ＝(1，sin A )与n ＝(2，sin B )共线，求a 、b 的值．。