8 平面向量线性运算及综合应用问题

1．已知两个非零向量a ，b 满足|a ＋b |＝|a －b |，则下面结论正确的是

( )．

A ．a ∥b

B ．a ⊥b

C ．|a |＝|b |

D ．a ＋b ＝a －b

2．已知向量a ，b 满足|a |＝|b |＝1，|a －b |＝1，则|a ＋b |＝

( )．

A ．1 B. 2 C. 3 D ．2

3．在△ABC 中，已知D 是AB 边上一点，若AD →＝2DB →，CD →＝13

CA →＋λCB →，则λ＝ ( )．

A.23

B.13 C ．－13 D ．－23

4．设△ABC 的三个内角为A ，B ，C ，向量m ＝(3sin A ，sin B )，n ＝(cos B ，3cos A )，若m ·n ＝1＋cos(A ＋B )，则C ＝

( )．

A.π6

B.π3

C.2π3

D.5π6

5．已知|a |＝|b |＝2，(a ＋2b )·(a －b )＝－2，则a 与b 的夹角为 ( )．

A.π6

B.π3

C.π2

D.2π3

6．已知向量a ＝(3，1)，b ＝(0，－1)，c ＝(k ，3)．若a －2b 与c 共线，则k ＝________.

7．设向量a ，b ，c 满足a ＋b ＋c ＝0，(a －b )⊥c ，a ⊥b ，若|a |＝1，则|a |2＋|b |2＋|c |2

的值是________．

8．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝2，点E 为BC 的中点，点F 在边CD 上，若AB →·AF

→＝2，则AE →·BF →的值是________．

9．已知向量a ＝(cos x ，sin x )，b ＝(－cos x ，cos x )，c ＝(－1，0)．

(1)若x ＝π6

，求向量a ，c 的夹角； (2)当x ∈π2，9π8

时，求函数f (x )＝2a ·b ＋1的最大值．

10．已知向量a ＝(cos α，sin α)，b ＝(cos β，sin β)，c ＝(－1,0)．

(1)求向量b ＋c 的长度的最大值；

(2)设α＝π4

，且a ⊥(b ＋c )，求cos β的值．

11．已知△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，3sin C cos C －cos 2C ＝12

，且c ＝3.

(1)求角C ；

(2)若向量m ＝(1，sin A )与n ＝(2，sin B )共线，求a 、b 的值．