高等数学1.4无穷大与无穷小的关系
同济大学高等数学第七版1.4--无穷小与无穷大
lim f (x)
x
M 0，X 0，x : x X f (x) M
见教材37页, 题 5
填空：
当 x
2
时，tan x 是无穷大 lim tan x
x
2
1
当 x 0
时，
x
是正无穷大
1 lim x x0
1 lim x x0
无穷小一般用希腊字母 α, β, γ 等表示
无穷小的 ε-δ 定义
(x) 是 x x0 时的无穷小 lim (x) 0
xx0
0, 0
x : 0 x x0 (x)
无穷小的例子
下列函数何时为无穷小？
(x 1)2 (x 1)
lim(x 1)2 0
x1
1 (x ) x
谢谢观看！ 2020
M
M 0 1 使得，当
M
0 x 0 时，就有 1 M
x
称 1/x 为 x 0 时的无穷大，记作：lim 1 x0 x
所以 lim f (x) 的刻划需要两个正数： x x0
M 用来表示函数值 f(x) 的绝对值可以任意大:
|f(x) | > M 。
δ 用来表示当自变量 x 与 x0 的距离充分接近时
x 1
x 1
只要 x 1 2
M 1
证 M 0 2 使得，当
M 1
0 x 1 时，就有
所以 lim x 1 x1 x 1
x 1 M
x 1
x 1 lim x1 x 1
x 1 铅直渐近线
水平渐近线 y 1
y x 1 x 1
若 lim f (x) x x0 则 x = x0 为 y = f(x) 的铅直渐近线 x x0 y f (x)
高教社2024高等数学第五版教学课件-1.4 无穷小与无穷大
1
因为
→∞
=0
2．无穷大量
定义2
如果函数 = ()的绝对值在自变量的某一变化过
程中无限增大，则称函数 = ()为无穷大量，记作 () = ∞.
例如，因为 = ∞，所以 是 → ∞时的无穷大；因为
→+∞
1
→0
=
1
示()的绝对值无限变大且都是负值，而后者表示()的绝对值无限
变小，趋于零.
3．无穷小与无穷大的关系
定理1
1
在自变量的同一变化过程中，如果()是无穷大，则
是
()
无穷小；反之，如果()是无穷小，且() ≠
例如，当 →
1时， 2
1
0，则
是无穷大.
()
1
− 1是无穷小，而 2 是无穷大.
⑴称一个函数()是无穷小，必须指明自变量的变化趋势，如
3 + 1是当 → −1时的无穷小，但当 → 0时就不是无穷小.
⑵ 不要把一个绝对值很小的非零常数(如10−100 )说成是无穷小，
因为这个数的极限不为0.
⑶ 数“0”可以看成无穷小.（是唯一可作为无穷小的常数）
1
⑷ 无穷小的定义对数列也适用，例如数列{ }，当 → ∞时，就
∞，所以 是
→ 0时的无穷大.
这里，虽然使用了极限的符号 () = ∞，但并不意味着
()有极限. 因为，根据极限的定义，极限值必须是常数. 然而∞不
是常数，它只表示()的绝对值无限变大的一种变化趋势.
注意：⑴ 称一个函数()是无穷大，必须指明自变量的变化趋势，
1
是当
′
′
1-4无穷小与无穷大精品PPT课件
仍为该过程中的无穷小？
例
x2 , x , 3x 都是 x 0 中的无穷小,
lim x2 lim x 0
x x0
x0
lim x 1 x0 3x 3
同一过程中的两个无穷小之和、差、积 仍为该过程中的无穷小.
➢问题 同一过程中的两个无穷小之商是否
仍为该过程中的无穷小？
例
x2 , x , 3x 都是 x 0 中的无穷小.
无穷小与无穷大
一、无穷小 二、无穷大 三、无穷小与无穷大的关系
无穷小与无穷大
一、无穷小 二、无穷大 三、无穷小与无穷大的关系
提问与解答环节
Questions And Answers
谢谢聆听
·学习就是为了达到一定目的而努力去干, 是为一个目标去 战胜各种困难的过程,这个过程会充满压力、痛苦和挫折
例1
记作：lim f ( x) ()
lim 1
y
x x0
lim 1 x x 0 lim 1 x x 0
o
x
例2 lim e x x lim e x 0 x
例3
1
lim e x
x0
1
lim e x 0
x0
y
o
x
二、无穷大
（一）无穷大的概念 （二）无穷大的性质 （三）无穷大的比较
➢推论3 某过程中的无穷小的正整数次乘幂 仍为该过程中的无穷小.
一、无穷小
（一）无穷小的概念 （二）无穷小的性质 （三）无穷小的比较
一、无穷小
（一）无穷小的概念 （二）无穷小的性质 （三）无穷小的比较
同一过程中的两个无穷小之和、差、积 仍为该过程中的无穷小.
➢问题 同一过程中的两个无穷小之商是否
高等数学(同济大学版) 课程讲解 1.4-1.5 无穷小.
课时授课计划课次序号：一、课题：§1.4 无穷小与无穷大§1.5 极限运算法则二、课型：新授课三、目的要求：1.理解无穷小和无穷大的概念，掌握无穷小、无穷大以及有界量之间的关系；2.掌握极限的运算法则.四、教学重点：无穷小和无穷大的概念，极限的运算法则.教学难点：极限运算法则的应用.五、教学方法及手段：启发式教学，传统教学与多媒体教学相结合．六、参考资料：1.《高等数学释疑解难》，工科数学课程教学指导委员会编，高等教育出版社；2.《高等数学教与学参考》，张宏志主编，西北工业大学出版社．七、作业：习题1–4 4（1）；习题1–5 1（1）（5）（7）（14），3（2）八、授课记录：授课日期班次九、授课效果分析：复习1.两种变化趋势下函数极限的定义，左右极限（单侧极限）2.函数极限的性质：唯一性、局部有界性、局部保号性、函数极限与数列极限的关系.对于函数极限来说，有两种情形比较特殊：一种是极限为零，另一种是极限无穷不存在，我们分别称之为无穷小和无穷大.下面我们先介绍无穷小与无穷大，在此基础上，进一步介绍极限的运算法则.第四节无穷小与无穷大一、无穷小定义1 若limα（x）=0，则称α（x）为该极限过程中的一个无穷小．例1当x→2时，y=2x-4是无穷小，因为容易证明（2x-4）=0．当x→∞时，y=也是无穷小，因为=0．定理1(无穷小与函数极限的关系定理lim f（x）=A的充要条件是f（x）=A+(x，其中(x为该极限过程中的无穷小．证为方便起见，仅对x→x0的情形证明，其他极限过程可仿此进行．设f(x=A，记(x=f(x-A，则ε＞0，δ＞0，当x∈（x0，δ）时，｜f（x）-A｜＜ε，即｜(x｜＜ε．由极限定义可知，(x=0，即(x是x→x0时的无穷小，且f（x）=A+(x．反过来，若当x→x0时，(ξ是无穷小，则ε＞0，δ＞0，当x∈（x0，δ）时，｜(ξ-0｜=｜(ξ｜＜ε，即｜f（ξ）-A｜＜ε，由极限定义可知，f（ξ）=A．二、无穷大在lim f（ξ）不存在的各种情形下，有一种较有规律，即当x→x0或x→∞时，｜f（ξ）｜无限增大的情形．例如，函数f（ξ）=，当x→1时，｜f（ξ）｜=无限增大，确切地说，M＞0（无论它多么大），总δ＞0，当x∈（1，δ）时，｜f（ξ）｜＞M，这就是我们要介绍的无穷大．定义2 若M＞0（无论它多么大），总δ＞0（或X＞0），当x∈（x0，δ）（或｜ξ｜＞X）时，｜f（ξ）｜＞M恒成立，则称f（ξ）当x→x0（或x→∞）时是一个无穷大．若用f（ξ）＞M代替上述定义中的｜f（ξ）｜＞M，则得到正无穷大的定义；若用f（ξ）＜-M代替｜f（ξ）｜＞M，则得到负无穷大的定义．某极限过程中的无穷大、正无穷大、负无穷大分别记作：．注（1）若,则称为曲线的垂直渐近线．（2）称一个函数为无穷大时,必须明确地指出自变量的变化趋势．对于一个函数,一般来说,自变量趋向不同会导致函数值的趋向不同．例如函数y=,当x→时,它是一个无穷大,而当x→时,它则是一个无穷小．（3）由无穷大的定义可知,在某一极限过程中的无穷大必是无界变量,但其逆命题不成立．例如, 当n→∞时,(1+(-1nn是无界变量,但它不是无穷大．例2=+∞，=-∞，=-∞,=+∞, =-∞．三、无穷小与无穷大的关系定理2在某极限过程中，若f（ξ）为无穷大，则为无穷小；反之，若f（ξ）为无穷小，且f（ξ）≠0，则为无穷大．证我们仅对x→x0的情形证明，其他情形仿此可证．设f（ξ）=∞，则ε＞0，令M=，则δ＞0，当x∈（x0，δ）时，｜f（ξ）｜＞M=，即＜ε，故为x→x0时的无穷小．反之，若f（ξ）=0，且f（ξ）≠0，则M＞0，令ε=，则δ＞0，当x∈（x0，δ）时，｜f（ξ）｜＜ε=，即＞M，故为x→x0时的无穷大．第五节极限运算法则一、无穷小运算法则定理1在某一极限过程中，如果(x，(x是无穷小，则(x± (x也是无穷小．证我们只证x→x0的情形，其他情形的证明类似．由于x→x0时，(x，(x均为无穷小，故ε＞0，δ1＞0，当0＜｜x-x0｜＜δ1时，｜(x｜＜，（1）δ2＞0，当0＜｜x-x0｜＜δ2时，｜(x｜＜，（2）取δ=min（δ1，δ2），则当0＜｜x-x0｜＜δ时，（1）、（2）两式同时成立，因此｜(x±(x｜≤｜(x｜+｜(x｜＜+=ε．由无穷小的定义可知，x→x0时，(x± (x为无穷小．推论在同一极限过程中的有限个无穷小的代数和仍为无穷小．定理2在某一极限过程中，若(x是无穷小，f（x）是有界变量，则(x f（x）仍是无穷小．证我们只证x→∞时的情形，其他情形证法类似．设f（x）为x→∞时的有界变量，则M＞0，当｜x｜＞X1＞0时，｜f（x）｜＜M，又因(x=0，则ε＞0，对来说，X2＞0，当｜x｜＞X2时，｜(x｜＜，取X=m ax{X1，X2}，则当｜x｜＞X时，有｜(x·f（x）｜=｜(x｜·｜f（x）｜＜·M =ε．这就证明了当x→∞时，(x f（x）是无穷小．例1求．解因为x∈（-∞，+∞），｜sin x｜≤1，且=0，故由定理2得sin x=0．推论在某一极限过程中，若C为常数，(x和(x是无穷小，则C(x，(x（x）均为无穷小．这是因为C和无穷小均为有界变量，由定理2即可得此推论．此推论可推广到有限个无穷小乘积的情形．定理3在某一极限过程中，如果(x是无穷小，f（x）以A为极限，且A≠0,则(x\f（x）仍为无穷小．证由定理2可知，我们只需证为该极限过程中的有界变量即可．我们仅对x→x0时进行证明，其他情形类似可证．因为f（x）=A，A≠0, 则对ε=，δ＞0，当x∈（x0，δ）时，有｜｜f（x）｜-｜A｜｜≤｜f（x）-A｜＜，从而＜｜f（x）｜＜，故＜=M, 即为时的有界变量．利用无穷小的性质及无穷小与函数极限的关系，我们可得极限四则运算法则．二、极限的四则运算法则定理4若，则(1 ;(2 ;(3 l= (．证我们仅证（2），（3）．因为，所以f（x）=A +(x，g（x）=B +β(x，其中，于是f(x g(x=［A+］［B+β(x］=AB+Aβ(x+B+β(x．由定理1及其推论可得, , ．故由第四节定理1及本节定理1可知．同理，对于式（3），只需证-是无穷小即可，因为-=-=，由定理1及其推论可知．由刚获证的式（2）可知．所以，其中为无穷小．最后由第四节中的定理１便得lim==（B≠0）．推论1 若存在，C为常数，则．这就是说，求极限时，常数因子可提到极限符号外面，因为．推论2 若存在，n∈N，则．例2 求．结论：多项式函数当极限为，而解===-2．例3求，其中m，n∈N．解由于分子分母的极限均为零，这种情形称为“”型，对此情形不能直接运用极限运算法则，通常应设法去掉分母中的“零因子”．===．例4求．解此极限仍属于“”型，可采用二次根式有理化的办法去掉分母中的“零因子”．====．例5求．解分子分母均为无穷大，这种情形称为“”型．对于它，我们也不能直接运用极限运算法则，通常应设法将其变形．==．结论当，例6求解====1例7求解====．例8设f(x=问b取何值时，存在．解由于==2，==b，由第三节定理１可知，要存在，必须=，因此b=2．三、复合函数极限运算法则定理5设函数由复合而成，如果，且在x0的一个去心邻域内，，又=A，则=A．该定理可运用函数极限的定义直接推出，故略去证明．例9求解因为=0，=1，故=1．例10 求．解因为=0，=0，故=0．课堂总结1.无穷小与无穷大的概念以及它们之间的关系；2.极限运算法则：无穷小运算法则、四则运算法则、复合函数极限运算法则．在计算极限时，应注意法则成立的条件，不要错误地运用以上法则．。
高等数学1.4无穷大与无穷小的关系
x x 0 时的无穷小.
x x 0 时的无穷小. 0, 0, 当 0 x x0 时，
lim f ( x ) A ( x) , 即 f ( x) A , x x
0
因为 ( x ) 是当
二、无穷大 定义: 绝对值无限增大的函数称为 无穷大. 1 1 称 为 x 0 时的无穷大 如 x 0时， ， x x 如 lim f ( x ) ; lim f ( x )
（2） 设 lim f ( x ) 0, 且 f ( x ) 0.
x x0
要证： M > 0， >0，当 0 <|x – x0| < ， 1 1 M. 恒有 f ( x ) , f ( x ) 0, f ( x) M 当x
1 x0 时，f ( x ) 为无穷大
M
x0
f (x)
M邻域， x0 的空心邻域 ， 0
该邻域内所有点相应 的曲线上的点落在绿 –M 色区域内.
x0
x0
x
2 无穷大
x x0
lim f ( x )
y
>0， M > 0， 当 0 <|x – x0| < ， 恒有 | f (x) | >M.
( X 0) ( x X) 定义2 M 0, 0,当 0 x x0 时，有
x x0
x
f ( x) M
则称f ( x )是 x x 0 时的无穷大, 记为 ( x )
x x0
f ( x ) ). lim f ( x ) . ( lim x
1[1].4.无穷小与无穷大
![1[1].4.无穷小与无穷大](https://img.taocdn.com/s3/m/4cc6dcdb50e2524de5187edc.png)
1 2 + 3 2 x +2 x x = 0 = 0. lim 3 2 = lim x→∞ 2x + x +1 x→∞ 1 1 2 2+ + 3 x x
m−1
对于一般的有理函数
a0 x + a1 x + ⋯+ am f (x) = b0 xn + b1 xn−1 + ⋯+ bn
m
（m, n 为正整数）,有 为正整数） 有
定理3 有界变量与无穷小的乘积是无穷小。 定理 有界变量与无穷小的乘积是无穷小。 内有界， 证 设函数u在 U (x0 ,δ1 )内有界，则 ∃M > 0, 恒有 u < M. 使得当0 < x − x0 < δ 1时，
0
又设α是当x → x 0时的无穷小, ∴ ∀ε > 0, ∃δ 2 > 0, 使得当0 < x − x 0 < δ 2时
故
1 lim = ∞. x →1 x − 1
证明:函数 内无界, 例3 证明 函数 y = x cos x 在(−∞,+∞) 内无界 但当 x
→ +∞
时,该函数不是无穷大.。 该函数不是无穷大
证 ∀M > 0, 在 (−∞,+∞) 内，总 ∃x0 , 使 y ( x0 ) > M 例如,取 x0 = 2kπ , y (2kπ ) = (2kπ ) cos 2kπ = 2kπ 例如 取 (k = 0,1,2,⋯), 只要 k > M 时，就有 y ( x0 ) > M 2k 无界. 故在 (−∞,+∞)内 y = x cos x无界
lim 推论2 存在, lim 推论 设 x→ x f ( x) g ( x) = A存在 若 x→ x f ( x) = ∞.
高等数学1-4-无穷小与无穷大
说明: 除 0 以外任何很小的常数函数都不是无穷小 !
因为 C 当
显然 C 只能是 0 换句话说，0 是无穷小量。 C 时,
定理 1 . ( 无穷小与函数极限的关系 )
x x0
lim f ( x) A
f ( x ) A , 其中 为
x x0 时的无穷小量 .
证: lim f ( x) A
1.4 无穷小与无穷大
一、无穷小量 定义1 . 若 则称函数 例如 : 函数 函数 为当 函数
(或x ) 时 , 函数
为当
(或x ) 时的无穷小 .
（以零为极限的变量。） 为当 时为无穷小;
时为无穷小;
为当 时为无穷小.
定义1. 若 则称函数 为
(或
x ) 时 , 函数
(或
x ) 时的无穷小 .
当
但
所以
3. 若
时,
不是无穷大 !
则直线
x x0
为曲线
的铅直渐近线 .
三、无穷小与无穷大的关系
定理2. 在自变量的同一变化过程中, 若 若
1 为无穷大, 则 为无穷小 ; f ( x) 1 为无穷大. 为无穷小, 且 f ( x) 0 , 则 f ( x) (自证)
说明: 据此定理 , 关于无穷大的问题都可转化为 无穷小来讨论.
无穷小的性质
定理1
定理2
有限个无穷小量的代数和仍是无穷 小量。
有界变量与无穷小量的乘积仍是无
穷小量。 推论1 常量与无穷小量的乘积是无穷小量。
推论2 有限个无穷小量的乘积仍是无穷小量。
定理3 极限不为零的函数除无穷小量，所得的
商是无穷小量。
x x0
高等数学 第五节 无穷小与无穷大
xxxxxx000
0 0
则称x x0是y f x的铅直渐近线.
8
无穷大与无穷小的关系:
定理2: 在自变量的同一变化过程中，如果f x为无穷大,
则
f
1
x
为无穷小;
反之, 且如果f
x为无穷小,且f
x
0,
则
f
1
x
为无穷大.
证 设 lim f x ,
x x0
M 0, 0,当0 x x0 时,有 f x M.
x ( x0 , 1 ),
u M 成立。
U 设 lim 0, 则对于 x x0 当 x ( x0 , 2 )
0, 2 0, 时， 恒有 .
M
U 取 min1 , 2, 则当 x ( x0 , ),
u M 及 同时成立。
M
从而 u u M .
M
所以，
取
1 M
,对上述
0, 当0
x x0
,
有
1
f x
1 M
f
1
x
为
无穷小.
9
反之 : 设当x x0时, f x为无穷小：
0, 0,当0 x x0 时,就有 f x .
取M
1 , 对上述
0,当0
x x0
时, 就有
1
f x
M.
由 , M的任意性：当x x0时, f 1x为无穷大.
x0
由定理2知, x cos 1 是无穷小,
lim x cos 1 0.
x
x0
x
14
即 y不是无穷大.
7
例2 证明lim 4 x3 x 3
证 M 0, 要使 4 4 M , 只要 x 3 1 ,
高数无穷小无穷大
4 只要取 δ = , 则对满足 M
所以 说明: 说明 若 为曲线 则直线 x =x0 的铅直渐近线 . 渐近线
9
三、无穷小与无穷大的关系
定理2. 定理 在自变量的同一变化过程中, 若 若
1 为无穷大, 则 为无穷小 ; f (x) 1 为无穷大. . 为无穷小, 且 f (x) ≠ 0, 则 f (x) (x (自证)
第四节 无穷小与无穷大
一、 无穷小 二、 无穷大 三 、 无穷小与无穷大的关系
第一章
1
一、 无穷小
定义1 定义 . 若 为
(或 →∞) x
时 , 函数 记为
则称函数
(或 →∞) x lim f (x) = 0
x→x0
时的无穷小 . 无穷小
lim f (x) = 0
x→ ∞
∀ε > 0,
当 时, 有
6
二、 无穷大 定义2 任给 定义 . 若任给 M > 0 , 总存在 一切满足不等式 (正数 X ) , 使对 正数 ① 则称函数 当
( x > X ) 的 x , 总有
( x →∞) 时为无穷大, 记作
( lim f (x) = ∞ )
x→ ∞
若在定义中将 ①式改为 则记作
x→x0 ( x→ ) ∞
∃δ > 0, (X > 0),
0< x −x0 <δ ( x > X)
2
例如 : 函数 函数 当 函数 当 时为无穷小; 时为无穷小; 当 时为无穷小.
3
定义1. 定义 若 则称函数 为
(或
x →∞) 时 , 函数
(或
则
x →∞) 时的无穷小 . 无穷小
以外任何很小的常数 很小的常数都 说明: 除 0 以外任何很小的常数都不是无穷小 ! 因为 当 显然 C 只能是 0 !
1_4 无穷大与无穷小
若在定义中将 ①式改为
则记作
x x0 ( x )
( f ( x) M ) ,
( lim f ( x) )
Page 5
注意:
1. 无穷大不是很大的数, 它是描述函数的一种状态.
2. 函数为无穷大 , 必定无界 . 但反之不真 ! 例如, 函数 当 但 所以 时, 不是无穷大 !
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例 . 证明
证: 任给正数 M , 要使 即
1 只要取 , 则对满足 M
的一切 x , 有
所以 说明: 若
为曲线 则直线 x x 0 的铅直渐近线 . 渐近线
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三、无穷小与无穷大的关系
定理2. 在自变量的同一变化过程中,
若
若
1 为无穷大, 则 为无穷小 ; f ( x) 1 为无穷大. 为无穷小, 且 f ( x) 0 , 则 f ( x) (自证)
§1.4 无穷大与无穷小
一、 无穷小
0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011
二、 无穷大
三、无穷小与无穷大的关系
4
1
2
1
一、 无穷小
定义1 . 若
为
(或x )
时 , 函数
则称函数
(或x )
例如 :
时的无穷小 .
函数 函数 当
当
时为无穷小; 时为无穷小;
函数
当
说明: 据此定理 , 关于无穷大的问题都可转化为 无穷小来讨论.
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内容小结
1. 无穷小与无穷大的定义 2. 无穷小与函数极限的关系 Th1 3. 无穷小与无穷大的关系 Th2
Page 9
时为无穷小.
1.4无穷小与无穷大
极限定义总结
例如： f ( x ) lim
x
M 0, X 0,当x X时，恒有| f ( x) | M .
精确定义的模式：
任给 ( )
，存在 ()
，当
，恒有
| f ( x ) A | , 0 , 0 , 0 | x x0 | , | f ( x ) | M , f ( x ) M , M 0 X 0. | x | X , x X , x X . f ( x ) M
_
因变量（函数值）的变化趋势有4种，
f ( x) A, f ( x) , f ( x) , f ( x) .
所以极限定义共24种。
精确定义的模式： 任给 ( ) ，存在 () ，当 ，恒有
0 , 0 , 0 | x x0 | ,
| f ( x ) A | , M 0 X 0. | x | X , x X , x X . | f ( x ) | M , f ( x ) M , f ( x ) M
来说，极限是不存在的．但为了便于叙述函数的这一性态，我
们也说“函数的极限是无穷大”．
正无穷大与负无穷大:
x x0 ( x )
lim f (x) ， lim f (x) ．
x x0 ( x )
同学们自己写出 精确定义
例2
1 lim ． （证明） x 1 x 1
思考题
1。无限个无穷小的和是否是无穷小？ 2。无穷大+无穷大=无穷大？ 3。无界变量是否是无穷大？
1 1 1 1 1.非，n 时， ... n 1. n n n n
无穷小与无穷大的运算关系
无穷小与无穷大的运算关系无穷小和无穷大是数学中的两个特殊概念，它们在数学分析中起着重要的作用。
无穷小代表着趋近于零的数，而无穷大则代表着趋近于无穷大的数。
它们之间的运算关系是数学中的一个重要内容，本文将就无穷小与无穷大的运算关系进行探讨。
我们来看无穷小的运算。
无穷小与有限数的运算规则类似，但需要注意的是，无穷小与无穷小之间的运算结果可能是有限数，也可能是无穷大或者无穷小。
根据无穷小与有限数的运算规则，我们可以得出以下结论：1. 无穷小与有限数的和、差、积仍然是无穷小。
例如，设a是无穷小，b是有限数，则a+b、a-b、ab都是无穷小。
2. 无穷小与无穷小的和、差、积的结果可能是有限数，也可能是无穷大或者无穷小。
具体结果取决于无穷小之间的比较大小关系。
例如，设a和b都是无穷小，若a的阶数高于b的阶数，则a+b是a 的同阶无穷小，a-b是b的同阶无穷小，ab是比a和b阶数低的无穷小。
3. 无穷小与有限数的商可能是有限数，也可能是无穷大或者无穷小。
具体结果取决于无穷小的阶数和有限数的大小关系。
例如，设a是无穷小，b是有限数，若a的阶数高于b，则a/b是a的同阶无穷小；若a的阶数低于b，则a/b是b的同阶无穷大；若a的阶数等于b，则a/b可能是有限数，也可能是无穷大或者无穷小。
接下来，我们来看无穷大的运算。
与无穷小类似，无穷大与有限数的运算规则也需要注意。
根据无穷大与有限数的运算规则，我们可以得出以下结论：1. 无穷大与有限数的和、差、积仍然是无穷大。
例如，设a是无穷大，b是有限数，则a+b、a-b、ab都是无穷大。
2. 无穷大与无穷大的和、差、积的结果可能是有限数，也可能是无穷大或者无穷小。
具体结果取决于无穷大之间的比较大小关系。
例如，设a和b都是无穷大，若a的阶数高于b的阶数，则a+b是a 的同阶无穷大，a-b是b的同阶无穷大，ab是比a和b阶数低的无穷大。
3. 无穷大与有限数的商可能是有限数，也可能是无穷大或者无穷小。
无穷小与无穷大可编辑全文
绝 对 值 f ( x) 无 限 增 大 ， 就 称f ( x)是 该 变 化 过
程 中 的 无 穷 大 ， 并 记 作（ 以x x0为 例 ）
lim f ( x) 或
x x0
f ( x) ( x x0 ).
例 如, 当x 0时, y 1 是 无 穷 大. x
特殊情形：正无穷大，负无穷大．
原式
lim x0
(2 x )2 1 x2
8.
2
若未定式的分子或分母为若干个因子的乘积，则
可对其中的任意一个或几个无穷小因子作等价无
穷小代换，而不会改变原式的极限．
例４ 求 lim ( x 1)sin x . x0 arcsin x
解 当x 0时, sin x ~ x, ar多;
察
各 极
lim sin x 1, x0 x
sin x与x大致相同;
限 （ 0 型）lxim0
0
x 2 sin x2
1 x
lim sin
x0
1 x
不存在.
不可比.
极限不同, 反映了趋向于零的“快慢”程度不 同.
定义2: 设,是同一过程中的两个无穷小,且 0.
(1) 如果 lim 0，就说 是比 高阶的无穷小,
lim 1 0, x x
函数 1 是当x 时的无穷小. x
lim (1)n 0, (1)n 是当n 时的无穷小.
n n
n
注意 （1）无穷小是变量,不能与很小的数混淆;
（2）零是可以作为无穷小的唯一的数.
2、无穷小与函数极限的关系:
定理 1 lim f ( x) A f ( x) A ( x), x x0
lim sin x 1， x0 x
1-4无穷小与无穷大
n
lim x n , lim f ( x ) , lim f ( x ) , lim f ( x )
x x0 x x0 x x
其逆否命题经常用于证明一个函数 不是无穷大.
x x0 x
lim f ( x ) , lim f ( x ) , lim f ( x ) .
1 例如 lim . x 1 x 1
注意 无穷大是变量,不能与很大的数混淆; 特殊情形：正无穷大，负无穷大．
x x0 ( x )
lim f ( x ) (或 lim f ( x ) )
极限为零的函数称为无穷小.
例如,
lim sin x 0, 函数 sin x是当x 0时的无穷小. x 0
1 lim 0, x x
( 1) n lim 0, n n
1 函数 是当x 时的无穷小. x
( 1) n 数列{ }是当n 时的无穷小. n
x x0 ( x )
2 无穷大在函数图形上的体现
结论 : 如果 lim f ( x ) , 则直线x x0是函数y f ( x )
x x0
的图形的铅直渐近线.
1 例如 lim . x 1 x 1
y
1 x 1
三 无穷小与无穷大的关系
定理2 在同一自变量变化过程中,无穷大的倒数 为无穷小;恒不为零的无穷小的倒数为无穷大.
意义 1.将一般极限问题转化为特殊极限问题(无穷 小);
2.给出了函数f ( x )在x 0附近的近似表达式 f ( x ) A, 误差为( x ).
无穷小与无穷大
解 因为
tanx sinx tanx1 cosx ，而tanx
lim
x0
x2 2x
0 ，lim x0
2x x2
，lim x0
2x x
2
产生这种不同结果的原因，是因为当 x 0 时三个无穷小趋于0的速度是
有差别的。
定义1.3 设 ,是当自变量 x a a可以是有限数x0 ,可以是 或
时的两个无穷小,且 0。 (1)如果 lim 0 ，则称当 x a 时 是 的高阶无穷小，或称 是
x0 2x
所以 x2 2x x 0 ；
因为 lim x2 9 6 x3 x 3
所以当x →3时，x2 9
是x 3 的同阶无穷小；
因为
lim sinx x0 x
1 ，sinx
与x 是x
→0时的等价无穷小，所以
sinx x x 0 ；
定理1.3(等价无穷小的替换原理) 设 ， ，' ，是' x a时的无
时，
x 1
无 限 增 大, 所 以
x 1 是 当x 1 时 的 无 穷 大,
记作 lim 1 。
x1 x 1
上述 x x0 时的无穷大的定义,很容易推广到 x x0 ，x x0 ，x ，x 时的情形。
1.3 无穷大与无穷小的关系
定理1.2 在自变量的同一变化过程中，若 lim f x 则
若 lim f x 0则
lim
f
1
x
。
lim
f
1
x
0；
例1.4 求 lim x 4。 x1 x 1
解 因为 lim x 1 0 ，即 x 1 是当 x 1 时的无穷小，
x1 x 4
x4
无穷小与无穷大的关系
1 2 1 例如,当x → 0时, x sin , x arctan 都是无穷小 x x
一,填空题: 填空题:
练 习 题
凡无穷小量皆以________为极限. ________为极限 1, 凡无穷小量皆以________为极限.
2,在 __________ 条件下, 直线 y = c 是函数 y = f ( x ) 的水平渐近线 .
3,lim f ( x ) = A _______ f ( x ) = A + α ,
0
则有 lim α( x ) = 0,
x → x0
∴ f ( x ) = A + α( x ).
充分性 设 f ( x ) = A + α( x ),
其中 α( x )是当x → x 0时的无穷小,
则 lim f ( x ) = lim ( A + α( x )) = A + lim α( x ) = A.
意义 关于无穷大的讨论,都可归结为关于无穷小 关于无穷大的讨论 都可归结为关于无穷小 的讨论. 的讨论
四,小结
无穷小与无穷大是相对于过程而言的. 无穷小与无穷大是相对于过程而言的 1,主要内容: 两个定义 四个定理 三个推论 ,主要内容 两个定义;四个定理 三个推论. 四个定理;三个推论 2,几点注意: ,几点注意
2,无穷小与函数极限的关系: ,无穷小与函数极限的关系
定理 1
x → x0
无穷小和无穷大
2.不要把无穷小和一种很小旳数相混同（0除外） 无穷小：（函数旳绝对值）无限变小
➢无穷小与函数极限旳关系
➢定理：函数f(x)在某过程中以A为极限旳充要条件是：
函数f(x)能够表达为A与该过程中旳无穷小之和.
即：lim f (x) A f (x) A
为同一过程中旳无穷小
一、无穷小
（一）无穷小旳概念 （二）无穷小旳性质 （三）无穷小旳比较
一、无穷小
（一）无穷小旳概念 （二）无穷小旳性质 （三）无穷小旳比较
➢性质1 同一过程中旳有限个无穷小之和 仍为该过程中旳无穷小.
➢性质2 某过程中旳有界函数与该过程中旳无穷小之积 仍为该过程中旳无穷小.
➢推论1 常量与某过程中旳无穷小之积 仍为该过程中旳无穷小.
➢推论2 同一过程中旳有限个无穷小之积 仍为该过程中旳无穷小.
➢推论3 某过程中旳无穷小旳正整多次乘幂 仍为该过程中旳无穷小.
一、无穷小
（一）无穷小旳概念 （二）无穷小旳性质 （三）无穷小旳比较
一、无穷小
（一）无穷小旳概念 （二）无穷小旳性质 （三）无穷小旳比较
同一过程中旳两个无穷小之和、差、积 仍为该过程中旳无穷小.
➢问题 同一过程中旳两个无穷小之商是否
二、无穷大
（一）无穷大旳概念 （二）无穷大旳性质 （三）无穷大旳比较
➢性质1 同一过程中旳有界函数与无穷大之和 仍为该过程中旳无穷大.
➢性质2 某过程中旳有限个无穷大旳乘积 仍为该过程中旳无穷大.
二、无穷大
（一）无穷大旳概念 （二）无穷大旳性质 （三）无穷大旳比较
二、无穷大
（一）无穷大旳概念 （二）无穷大旳性质 （三）无穷大旳比较
那么称函数f(x)为该过程中旳无穷小.
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M邻域， ， x0 的空心邻域 0
该邻域内所有点相应 的曲线上的点落在绿 –M –M 色区域内.
M
f (x)
x0
x0
x0
x
.
2. 无穷大
x x0
lim f ( x )
y
M > 0， >0， M 当 0 <|x – x0| < ， M M 恒有 | f (x) | >M. M M M
x x0
1 lim 0, x x
( 1)n lim 0, n n
注意
1 是当 x 时的无穷小 函数 x
( 1)n } 是当 n 时的无穷小 数列 { n
（1）无穷小是函数,不能与很小的数混淆; （2）零是可以作为无穷小的唯一的数.
极限为零的函数称为无穷小. 2、无穷小与函数极限的关系: 定理1 lim f ( x ) A f ( x ) 其中 ( x ) 是当 x 证: 必要性
lim 设x x
0
x x0
A ( x ),
x 0时的无穷小. f ( x ) A, 0, 0,
当 0 x x0 时，有 f ( x ) A .
令 f ( x ) A ( x ), ( x )
有 lim ( x )
1 定理2 (1) lim f ( x ) lim x x0 x x0 f ( x ) ( x )
( x )
三、无穷小与无穷大的关系
0;
lim f ( x ) . 证 （1） 设 x x
要证： 0, 0, 当 0 x x0 时，
则直线 x x0 时有 f ( x ) M
1 y x 1
x0 是函数 y f ( x )
图形的铅直渐近线 定义： 如果 lim f ( x ) c , 则直线
x
y c 是函数 y f ( x )
图形的水平渐近线
( X 0) ( x X) 定义2 M 0, 0,当 0 x x0 时，有
x x0
x
f ( x) M
则称f ( x )是 x x 0 时的无穷大, 记为 ( x )
x x0
f ( x ) ). lim f ( x ) . ( lim x
f ( x) M
lim f ( x )
f ( x0 ) M
非无穷大 证明思路
y
M 0, X 0, x0 X 有
M –X y
y
X >0， M > 0， 当|x |>X时 恒有 | f (x) | >M.
f (x)
0
X
x
函数在（a,b）内无界 M 0,
x0 ( a , b )
有 f (x0 ) M
0
x0
x1
Y=f x x)
无穷大
无界函数
y
无穷大
x x0
lim f ( x )
M邻域，
–M
X >0， 当 X <|x | 该邻域内所有点相应 的曲线上的点落在绿 色区域内.
x x0
lim f ( x )
1 例 证明 lim . x 1 x 1 1 证 M 0. 要使 M, x 1
1 只要 x 1 M , 取 1 , M
该邻域内所有点相应 的曲线上的点落在绿 色区域内. –M 因此，无穷大的 –M 定义也称无穷大 的M — 定义
0
f (x)
x0
x0
x0
x
.
( x )
lim f ( x )
y
M 0, (X 0)
当 x X时 有 f ( x)
M
M
f (x)
–X
0
X
x
意义： 关于无穷大的讨论,都可归结为关于无穷小的讨论.
lim f ( x ) M 0, 0,当0 x x 时有 f ( x ) M 0 x x0 lim f ( x ) A 0 0, 使当0 x x0 时,f ( x ) A .
（2） 设 lim f ( x ) 0, 且 f ( x ) 0.
x x0
要证： M > 0， >0，当 0 <|x – x0| < ， 1 1 M. 恒有 f ( x ) , f ( x ) 0, f ( x) M 当x
1 x0 时，f ( x ) 为无穷大
函数在（a,b）内无界 M 0, y
x0 ( a , b )
有 f (x0 ) >M
任给M2 任给M1
Y=f(x)
0
x0 x1
x
-M1
函数在（a,b）的有界性: x (a , b ) 有 f ( x ) M 成立, M 0,
x
无穷大 lim f ( x )
1 有：f ( x ) ,即 f ( x ) . 1 当 x x0 时， f ( x ) 为无穷小
0
1
lim f ( x ) M 0, 0,当0 x x 时有 f ( x ) M 0 x x0 lim f ( x ) A 0 0, 使当0 x x0 时, f ( x ) A .
lim f ( x ) 是指极限不存在 （2）
x x0
（3） 要指明自变量的变化过程. 说无穷小或无穷大，
1 是无穷小; 例如, : 当 x 0 时， 是无穷大; 当x 时， x
无穷大
x x0
lim f ( x )
y
>0， M > 0， 当 0 <|x – x0| < ， 恒有 | f (x) | >M.
f ( x) A ( x)
x x 0 时的无穷小.
x x 0 时的无穷小. 0, 0, 当 0 x x0 时，
lim f ( x ) A ( x) , 即 f ( x) A , x x
0
因为 ( x ) 是当
二、无穷大 定义: 绝对值无限增大的函数称为 无穷大. 1 1 称 为 x 0 时的无穷大 如 x 0时， ， x x 如 lim f ( x ) ; lim f ( x )
M
x0
f (x)
M邻域， x0 的空心邻域 ， 0
该邻域内所有点相应 的曲线上的点落在绿 –M 色区域内.
x0
x0
x
2 无穷大
x x0
lim f ( x )
y
>0， M > 0， 当 0 <|x – x0| < ， 恒有 | f (x) | >M.
x x0
0, f ( x ) A ( x ).
x x 0 时的无穷小.
其中 ( x ) 是当
极限为零的函数称为无穷小.
定理1
x x0
lim f ( x ) A f ( x ) A ( x ),
其中 ( x ) 是当 x x 0 时的无穷小. 证 充分性 设 f ( x ) A ( x ), 其中 ( x ) 是当
x
时的无穷大
( x )
lim f ( x )
y
函数不是
x
时的无穷大
M
Y=f(x)
M 0, X 0, 0
X1
x01
X2
x02
x
x0 ( X , )，有
f ( x0 ) M
无穷大1
M 0, X 0,当 x X时，有
( x )
x X
0
x0
>0， M > 0， 当 0 <|x – x0| < ， 恒有 | f (x) | >M. 函数在（a,b）内无界 M 0,
x0 ( a , b )
有 f (x0 ) M
0
x0
x0
x
y
x0
x1
Y=f x x)
无穷大
无界函数
无穷大1
( x )
绝对值无限增大的函数称为无穷大. 如 lim f ( x )
x x0 ( x )
特殊情形： 正无穷大，负无穷大．
x x0 ( x )
lim f ( x ) (或 lim f ( x ) )
x x0 ( x )
注意 （1）无穷大是函数,不能与很大的数混淆;
M邻域， ， x0 的空心邻域 0
该邻域内所有点相应 的曲线上的点落在绿 –M – 色区域内. –M M
– –M M –M –M
M
f (x)
x0
x0
x0
x
.
2无穷大
x x0
lim f ( x )
y
>0， M > 0， M 当 0 <|x – x0| < ， 恒有 | f (x) | >M. M M邻域， x0 的空心邻域 ， 0
x x0
三、无穷小与无穷大的关系 极限为零的函数称为无穷小.
如 lim f ( x ) 0; lim f ( x ) 0.
x x0
x
绝对值无限增大的函数称为无穷大.
x x0
f ( x ) ). lim f ( x ) . ( lim x
1 0; 定理2 (1) lim f ( x ) lim x x0 x x0 f ( x ) ( x ) ( x )