高中数学频率分布直方图

频率分布直方图
作频率分布直方图的方法为：（1）把横轴分成若干段，每一线段对应一
个组的组距；（2）以此线段为底作矩形，它的高等于该组的组距
频率
，这
样得出一系列的矩形；（3）每个矩形的面积恰好是该组上的频率.频率折线图：如果将频率分布直方图中各相邻的矩形的上底边的中点顺次连接起，就得到一条折线，称这条折线为本组数据的频率折线图.
作茎叶图的方法是：将所有两位数的十位数字作为“茎”，个位数字作为“叶”，茎相同者共用一个茎，茎按从小到大的顺序从上向下列出，共茎的叶一般按从大到小（或从小到大）的顺序同行列出.
知识点1：利用频率分布直方图分析总体分布
例题1： 2000辆汽车通过某一段公路时的时速的频率分布直方图如右图所示，时速在[50,60)的汽车大约有 A ．30辆 B ．60辆 C ．300辆 D ．600辆
变式：某工厂对一批产品进行了抽样
检测.右图是根据抽样检测后的产品
净重（单位：克）数据绘制的频率分布直方图，其中产品净重的范围是 [96，106]，样本数据分组为[96，98），
[98，100),[100，102)，[102，104),[104，106],已知样本中产品净重小于100克的个数是36，则样本中净重大于或等于98克并且小于104克的产品的个数是
A.90
B.75
C. 60
D.45
变式：某初一年级有500名同学，将他们的
身高（单位：cm ）数据绘制成频率分布直方图（如图），若要从身高在
[)120,130，[)130,140，[]140,150三
组内的学生中，用分层抽样的方法选取
30人参加一项活动，则从身高在
[)130,140内的学生中选取的人数
为 ．
知识点2：用样本分估计总体
例题2某市2010年4月1日—4月30日对空气污染指数的监测数据如下（主要污染物为可吸入颗粒物）:
61,76,70,56,81,91,92,91,75,81,88,67,101,103,95,91,77,86,81,83,82,82,64,79,86,85,75,7
1,49,45,
96 98 100 102 104 106 0.150
0.125 0.100
0.075
0.050 克 频率/组距
100 110 120
130 140 150 身高
频率|组距
0.005
0.010
0.020
a
0.035
(Ⅰ) 完成频率分布表；
（Ⅱ）作出频率分布直方图；
（Ⅲ）根据国家标准，污染指数在0~50之间时，空气质量为优：在51~100之间时，为良；在101~150之间时，为轻微污染；在151~200之间时，为轻度污染。

请你依据所给数据和上述标准，对该市的空气质量给出一个简短评价. 变式：下图是样本容量为200的频率分布直方图。

根据样本的频率分布直方图估计，样本数据落在【6，10】内的频数
为，数据落在（2，10）内的概率约为。

知识点3：用样本的数字特征估计总体的数字特征
例题3为了了解小学生的体能情况，抽取了某小学同年级部分学生进行跳绳测试，将所得数据整理后，画出频率分布直方图如图所示，已知图中从左到右前三个小组的频率分别是0.1，0.3，0.4，第一小组的频数为5.
（1）求第四小组的频率；
（2）参加这次测试的学生人数是多少？（3）在这次测试中，学生跳绳次数的中位数落在第几小组内？
变式：某校高一某班共有64名学生，下图是该班某次数学考试成绩的频
率分布直方图，根据该图，估计该班同学数学成绩的平均数__________
知识点4：茎叶图的应用
例题4右图是2010年在惠州市举行的全省运动会上，七位评委为某跳水
比赛项目打出的分数的茎叶统计图，去掉一个最高分和一个最低分后，
所剩数据的平均数和方差分别为（）
A．84，4.84 B．84，1.6
C．85，1.6 D．85，4
变式：如图，是某篮球运动员在一个赛季的30场比赛中得分的茎叶图，则得分的中位数与众数分别为
A．3与3 B．23与3
C．3与23 D．23与23
8
9
44647
3
79
变式：甲、乙两人在10天中每天加工零件的个数用茎叶图表示下图，中间一列的数字表示零件个数，两边的数字表示零件个数的位数。

则这10天甲、乙两人日加工零件的平均数分别为和。

知识点5：综合应用
例题5某班同学利用国庆节进行社会实践，对[25,55]岁的人群随机抽
取n人进行了一次生活习惯是否符合低碳观念的调查，若生活习惯符合低碳观念的称为“低碳族”，否则称为“非低碳族”，得到如下统计表和各年龄段人数频率分布直方图：
补全频率分布直方图并求n 、a、p的值；
变式：下图甲是某市有关部门根据对当地干部的月收入情况调查后画出的样本频率分布直方图，
已知图甲中从左向右第一组的频数为4000．在样本中记月收入在[1000，1500），[1500，2000），[2000，2500），[2500，3000），[3000，3500），[3500，4000]的人数依次为A1、A2、…、A6．图乙是统计图甲中月工资收入在一定范围内的人数的算法流程图，则样本的容量n= _________；图乙输出的S=_________．（用数字作答）
则样本的容量n=；图乙输出的S=．（用数字作答）
练习:
1．(A级) 某班50名学生在一次百米测试中，成绩全部
介于13秒与19秒之间，将测试结果按如下方式分成六
组：第一组，成绩大于等于13秒且小于14秒；第二组，
成绩大于等于14秒且小于15秒；……
第六组，成绩大于等于18秒且小于等于19秒.右图是按
上述分组方法得到的频率分布直方图.
设成绩小于17秒的学生人数占全班总人数的百分比
为x,成绩大于等于15秒且小于17秒的学生人数为y，
则从频率分布直方图中可分析出x和y 分别为.
2.(B级)为了解某校高三学生的视力情况，随机地抽查了该校100名高三
学生的视力情况，得到频率分布直方图如图所示，由于不慎，部分数据丢失，但知道前四组的频数成等比数列，后六组的频数成等差数列，设最大频率为a，视力在4.6到5.0之间的学生数为b,则a,b的值分别为.
3.（B级）甲、乙两名同学在5次体育测试中的成
绩统计的茎叶图如图所示，若甲、乙两人的平均成
绩分别是x甲、x乙，则x甲x乙，比
稳定. 4.（B级）已知总体的各个体的值由小到大依次为2，3，3，7，a，b，12,13.7,18.3,20,且总体的中位数为10.5.若要使该总体的方差最小，则a、b的取值分别是.
5.（A级）某教师出了一份共3道题的测试卷，每道题1分，全班得3
分，2分，1分，0分的学生所占比例分别为30%,40%,20%,10%,若全班30人，则全班同学的平均分是分.
6.（A级）从某项综合能力测试中抽取100人的成绩，统计如表，则这100人成绩的标准差为.
分数 5 4 3 2 1
人数20 10 30 30 10
7.（B级）为了了解某地区高三学生的身体发育情况，抽查了该地区100
名年龄为17.5岁～18岁的男生体重（kg），得到频率分布直方图如下：
根据上图可得这100名学生中体重在［56.5，64.5）的学生人数是.
8.（A级）某校高中生共有900人，其中高一年级300人，高二年级200人，高三年级400人，现分层抽取容量为45的样本，那么高一、高二、高三年级抽取的人数分别为.
9.（A级）某牛奶生产线上每隔30分钟抽取一袋进行检验，则该抽样方
法为①；从某中学的30名数学爱好者中抽取3人了解学习负担情况，则该抽样方法为②.那么①，②分别为.
10.（A级）一个单位共有职工200人，其中不超过45岁的有120人，
超过45岁的有80人.为了调查职工的健康状况，用分层抽样的方法从全体职工中抽取一个容量为25的样本，应抽取超过45岁的职工人.
12（B级）对某电子元件进行寿命追踪调查，情况如下：
寿命（h）100～
200
200～
300
300～
400
400～
500
500～
600
个数
2
30 80 40 30
（1）列出频率分布表；
（2）画出频率分布直方图；
（3）估计电子元件寿命在100 h～400 h以内的概率；（4）估计电子元件寿命在400 h以上的概率. 14.（B级）某赛季甲、乙两名篮球运动员每场比赛得分情况如下：
甲的得分：12，15，24，25，31，31，36，36，37，39，44，49，50；
乙的得分：8，13，14，16，23，26，28，33，38，39，59.
（1）制作茎叶图，并对两名运动员的成绩进行比较；
（2）计算上述两组数据的平均数和方差，并比较两名运动员的成绩和稳定性；
（3）能否说明甲的成绩一定比乙好，为什么？
16.（C级）为了了解高一学生的体能情况，某校抽取部分学生进行一分钟跳绳次数测试，将所得数据整理后，画出频率分布直方图（如图所示），图中从左到右各小长方形面积之比为2∶4∶17∶15∶9∶3，第二小组频数为12.
（1）第二小组的频率是多少？样本容量是多少？
（2）若次数在110以上（含110次）为达标，试估计该学校全体高一学生的达标率是多少？
（3）在这次测试中，学生跳绳次数的中位数落在哪个小组内？请说明理由.
知识点1：利用频率分布直方图分析总体分布
例题1：（2011中山期末A）D
变式：(2009山东卷理B)答案A
变式：（2011杭州质检B）学生中选取的人数为10 ．
知识点2：用样本分估计总体
例题2（2010安徽卷B），略
变式：（2009湖北卷B）【答案】64
变式：（2009广东卷理B）略
知识点3：用样本的数字特征估计总体的数字特征
例题3（2011华附月考B）50（人）.
（3）中位数落在第三小组内.
变式：（广东六校联考B）：略
知识点4：茎叶图的应用
例题4(2011·惠州三调A)
【解析】C去掉最高分和最低分后，所剩分数为84，84，86，84，87，可以计算得平均数和方差.
变式：（2011杭州质检A）（ D ）
变式：(2010年高考天津卷A)
【答案】24，23
知识点5：综合应用
例题5（2011佛山一检C）
解：（Ⅰ）第二组的频率为1(0.040.040.030.020.01)50.3
-++++⨯=，
所以高为0.3
0.06
5
=．频率直方图如下：
-------------------------------2分
第一组的人数为
120
200
0.6
=，频率为0.0450.2
⨯=，所以
200
1000
0.2
n==．
由题可知，第二组的频率为0．3，所以第二组的人数为10000.3300
⨯=，
所以
195
0.65
300
p==．
第四组的频率为0.0350.15
⨯=，所以第四组的人数为10000.15150
⨯=，
所以1500.460
a=⨯=．
变式：（2010广雅月考B）则样本的容量n=10000；图乙输出的S=
6000．（用数字作答）
四：方向预测、胜利在望
1．(A级) 答案0.9,35 2.(B级)答案0.27，78
3.（B级）答案＜乙甲
4.（B级）答案10.5、10.5
5.（A级）答案 1.9 6 答案
5
10
2
7.（B级）.答案40 8.（A级）答案15，10，20
9.（A级）答案系统抽样，简单随机抽样
10.（A 级）答案 10
11（B 级）解 （1）又因为第三组的频数为12， ∴本次活动的参评作品数为
5
112
=60. （2）根据频率分布直方图，可以看出第四组上交的作品数量最多，共有60×
1
464326
+++++=18（件）.
（3）第四组的获奖率是1810=9
5
，第六组上交的作品数量为 60×
1464321+++++=3（件），∴第六组的获奖率为32=9
6
，显然第六组
的获奖率高.
12（B 级）解 （1）样本频率分布表如下：
寿命（h ） 频数 频率 100～200 20 0.10 200～300 30 0.15 300～400 80 0.40 400～500 40 0.20 500～600 30 0.15 合计
200
1
（2）频率分布直方图
（3）由频率分布表可以看出，寿命在100 h ～400 h 的电子元件出现的频率为0.65，所以我们估计电子元
件寿命在100 h ～400 h 的概率为0.65.
（4）由频率分布表可知，寿命在400 h 以上的电子元件出现的频率为0.20+0.15=0.35，故我们估计电子元件寿命在400 h 以上的概率为0.35.
14.（B 级）解 （1）甲运动员发挥比较稳定，总体得分情况比乙好.
（2）x 甲=33，2
甲s ≈127.23，x 乙=27，
2乙s ≈199.09，∴x 甲＞x 乙, 2甲s ＜2乙s ，
∴甲运动员总体水平比乙好，发挥比乙稳定.
（3）不能说甲的水平一定比乙好，因
为上述是甲、乙某赛季的得分情况，用样本估计总体也有一定的偶然性，并不能说一定准确反映总体情况. 16.（C 级）解 （1）因此第二小组的频率为：3
91517424
+++++=0.08.
又因为频率=
样本容量第二小组频数，所以样本容量=第二小组频率第二小组频数=08
.012
=150.
（2）由图可估计该学校高一学生的达标率约为
3
91517423
91517++++++++×100%=88%.
（3）由已知可得各小组的频数依次为6,12,51,45,27,9,所以前三组的频数之和为69，前四组的频数之和为114，所以跳绳次数的中位数落在第四小组内.。